8.27. Defin´ıci´o Ha egy M sima sokas´agon ´ertelmezett J majdnem komplex strukt´ur´ara teljes¨ulnek a Newlander–Nirenberg-t´etel ekvivalens felt´etelei, akkor azt mondjuk, hogy J egy integr´alhat´o majdnem komplex strukt´ura.
8.28. Defin´ıci´o (K¨ahler-sokas´ag) Legyen (M, ω) egy szimplektikus sokas´ag, J egy ω-kompatibilis majdnem komplex strukt´ura. Azt mondjuk, hogy (M, ω, J) K¨ahler, ha J integr´alhat´o. Ebben az esetben ω-t K¨ahler-form´anak nevezz¨uk.
8.29. Megjegyz´es Egy K¨ahler-sokas´ag komplex sokas´ag is egyben, ´ıgy t¨obbek k¨oz¨ottd=
∂ + ¯∂ minden differenci´alform´ara.
Az al´abbiakban az al´abbi term´eszetesen felmer¨ul˝o k´erd´est v´alaszoljuk meg: hol a helye az ω form´anak az
Ωk(M;C) = M
m+l=k
Ωm,l felbont´asban?
Kiindul´ask´ent szedj¨uk ¨ossze, hogy mit tudunk ω-r´ol: ω egy val´os, nemelfajul´o, z´art 2-forma, amely kompatibilis az adott majdnem komplex strukt´ur´aval.
Mivel ω 2-forma,
Tudjuk, hogy M J komplex strukt´ur´aja ω-kompatibilis, ez´ert J egy szimplektomor-fizmus, vagyis J∗ω=ω. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy
J∗dzj = dzj◦J=idzj
J∗d¯zj = d¯zj◦J= −id¯zj .
A fenti sz´amol´ast a (8.1) k´epletbe behelyettes´ıtve azt kapjuk, hogy J∗ω = X
8.30. Megjegyz´es (Dolbeault-kohomol´ogia) Legyen M egy komplex sokas´ag, ekkor komplexust, ahol ∂¯ a differenci´al. Hagyom´anyosan
HDolbeaultl,m (M)def= ker ¯∂l,m im ¯∂l,m−1
jel¨oli az M komplex sokas´ag megfelel˝o Dolbeault-f´ele kohomol´ogiacsoportj´at.
Visszat´erve az ω szimplektikus forma vizsg´alat´ahoz, ω z´art, vagyis dω = 0, amib˝ol d =∂+ ¯∂ miatt
∂ω= 0 , ∂ω¯ = 0
k¨ovetkezik, hiszen k¨ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´uak. Ez ut´obbi miatt ω meghat´atoz egy [ω]∈HDolbeault1,1 (M)
Ez azt jelenti, hogy minden x∈M pontban hjk(x) egy Hermite-f´ele m´atrix.
Tov´abbmenve, ismert, hogy∧nω 6= 0, mivelωnemelfajul´o. A fenti sz´am´ıt´asok alapj´an 06=∧nω=n!
AzωK¨ahler-forma ´esJ kompatibilit´asa azt is eredm´enyezi, hogy minden 06=ueset´en ω(u, J u)>0; m´ask´eppen fogalmazva, a hjk(x) m´atrix pozit´ıv definit mindenx∈M-re.
8.31. Megjegyz´es Az eddigieket ¨osszefoglalva: ha ω egy K¨ahler-forma egy M komplex sokas´agon, akkor ω egy ∂- ´es ∂-z´¯ art (1,1)-forma M-en, amely lok´alisan pozit´ıv definit Hermite-f´ele m´atrixokkal van megadva.
A K¨ahler-sokas´agoknak l´athat´oan igen sok el˝ony¨os tulajdons´aga van, felmer¨ul azon-ban a k´erd´es, hogy milyen m´odon tudunk komplex sokas´agokat konstru´alni, amelyek teljes´ıtik a kir´ott felt´eteleket. Egy igen hasznos m´odszert mutatunk, ami a komplex anal´ızisb˝ol j¨on.
8.32. Defin´ıci´o (Er˝osen pluriszubharmonikus f¨uggv´enyek) Legyen M egy komp-lex sokas´ag, φ:M →Regy sima f¨uggv´eny. Azt mondjuk, hogy φ er˝osen pluriszubharmo-nikus(EPSH), ha minden (U, z1, . . . , zn)⊆M komplex koordin´atak¨ornyezetre ´es minden
Bizony´ıt´as. Az ´all´ıt´ast k¨ozvzetlen sz´amol´assal kapjuk:
∂ω = i
Mivel ω ∈Ω1,1, J∗ω =ω, s ´ıgy ω(·, J·) szimmetrikus.
´es az egy¨utthat´om´atrixφ EPSH volta miatt pozit´ıv definit. Ezzel bel´attuk, hogy ω ´es J kompatibilis, ´esω nemelfajul´o, ahogy akartuk.
8.34. P´elda Legyen M =Cn 'R2n a szok´asos z1, . . . , zn komplex koordin´at´akkal, zj =
´ıgy ahjk m´atrix egyenl˝o az identit´assal, ami pozit´ıv definit. Ezzel bel´attuk, hogyφ EPSH.
Hat´arozzuk meg azω = 2i∂∂φ¯ K¨ahler-form´at: vagyis ω a standard szimplektikus forma R2n-en.
Irodalomjegyz´ ek
[AM69] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969.
MR 0242802 (39 #4129)
[Ara12] Donu Arapura, Algebraic geometry over the complex numbers, Universitext, Springer, New York, 2012. MR 2895485
[Bre93] Glen E. Bredon, Topology and geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol.
139, Springer-Verlag, New York, 1993. MR 1224675 (94d:55001)
[CdS01] Ana Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry, Lecture Notes in Ma-thematics, vol. 1764, Springer-Verlag, Berlin, 2001. MR 1853077 (2002i:53105) [Con] Brian Conrad, Higher derivatives and taylor’s formu-la via multilinear maps, unpublished lectures notes, http://math.stanford.edu/∼conrad/diffgeomPage/handouts.html.
[Fra12] Theodore Frankel, The geometry of physics, third ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2012, An introduction. MR 2884939 (2012j:58001)
[Ful95] William Fulton, Algebraic topology, Graduate Texts in Mathematics, vol. 153, Springer-Verlag, New York, 1995, A first course. MR 1343250 (97b:55001) [GM96] Sergei I. Gelfand and Yuri I. Manin, Methods of homological algebra,
Springer-Verlag, Berlin, 1996, Translated from the 1988 Russian original. MR 1438306 (97j:18001)
[Har77] Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, New York, 1977, Gra-duate Texts in Mathematics, No. 52. MR 0463157 (57 #3116)
[Har08] G¨unter Harder,Lectures on algebraic geometry. I, Aspects of Mathematics, E35, Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden, 2008, Sheaves, cohomology of sheaves, and applications to Riemann surfaces. MR 2382668 (2009b:14001)
[Hat02] Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. MR 1867354 (2002k:55001)
[Huy05] Daniel Huybrechts, Complex geometry, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2005, An introduction. MR 2093043 (2005h:32052)
[Kur09] Alex Kuronya, Introduction to topology, 2009, Lectu-re notes for the Budapest Semesters in Mathematics,
http://www.math.bme.hu/∼kalex/Teaching/Spring10/Topology/TopNotes Spring10.pdf.
[Mas91] William S. Massey,A basic course in algebraic topology, Graduate Texts in Ma-thematics, vol. 127, Springer-Verlag, New York, 1991. MR 1095046 (92c:55001) [McC01] John McCleary, A user’s guide to spectral sequences, second ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58, Cambridge University Press, Camb-ridge, 2001. MR 1793722 (2002c:55027)
[MS98] Dusa McDuff and Dietmar Salamon,Introduction to symplectic topology, second ed., Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1998. MR 1698616 (2000g:53098)
[Mun75] James R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1975. MR 0464128 (57 #4063)
[Nor08] D. G. Northcott, Multilinear algebra, Cambridge University Press, Cambridge, 2008, Reprint of the 1984 original. MR 2482681 (2009m:15030)
[Osb00] M. Scott Osborne, Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 196, Springer-Verlag, New York, 2000. MR 1757274 (2001d:18013)
[Rot09] Joseph J. Rotman, An introduction to homological algebra, second ed., Univer-sitext, Springer, New York, 2009. MR 2455920 (2009i:18011)
[SS88] G¨unter Scheja and Uwe Storch, Lehrbuch der Algebra. Teil 2, Mathematis-che Leitf¨aden. [Mathematical Textbooks], B. G. Teubner, Stuttgart, 1988, Unter Einschluss der linearen Algebra. [Including linear algebra]. MR 934019 (89f:00002)
[SZ94] Ralph St¨ocker and Heiner Zieschang, Algebraische Topologie, second ed., Ma-thematische Leitf¨aden. [Mathematical Textbooks], B. G. Teubner, Stuttgart, 1994, Eine Einf¨uhrung. [An introduction]. MR 1328835 (96b:55001)
[Sza09] Tam´as Szamuely, Galois groups and fundamental groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 117, Cambridge University Press, Cambridge, 2009. MR 2548205 (2011b:14064)
[War] Thomas Ward, Topology lecture notes, online lecture notes, http://www.uea.ac.uk/∼h720/teaching/topology/materials/topology.pdf.
[Wei94] Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, Cambridge, 1994. MR 1269324 (95f:18001)
[wik] Homotopy groups of spheres, Wikipedia bejegyz´es, http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy groups of spheres.