A homologikus algebra alapjai
3.2. Hossz´ u egzakt sorozat
A homologikus algebra val´osz´ın˝uleg legfontosabb elemi eredm´enye, hogy l´ anckomplexu-sok r¨ovid egzakt sorozat´ahoz egy ´un. hossz´u egzakt sorozatot lehet hozz´arendelni. Ez a t´etel ´all sz´amtalan topol´ogiai, geometriai ´es sz´amelm´eleti eredm´eny h´atter´eben, ´es nagy szerepet j´atszik abban, hogy a homologikus algebra a modern matematika l´etfontoss´ag´u tartoz´eka lett.
A hossz´u egzakt sorozatr´ol sz´ol´o t´etel, egy ´altal´anos m´odszer, az ´un. diagramvad´aszat k¨ovetkezm´enye, ami l´enyeg´eben abb´ol ´all, hogy elemeket kerget¨unk k¨orbe kommutat´ıv diagramokban, am´ıg a k´ıv´ant ´all´ıt´ast be nem l´atjuk. A m´odszerrel sok kommutat´ıv diagramok egzakts´ag´ar´ol sz´ol´o eredm´enyt lehet el´erni, mi most el˝osz¨or egy egyszer˝ubbet bizony´ıtunk be. Mivel ez lesz az els˝o komolyabb diagramvad´aszatunk, igyeksz¨unk a bizony´ıt´ast teljes r´eszletess´eggel bemutatni, k´es˝obb ett˝ol gyakran el fogunk tekinteni.
3.41. Lemma (5-Lemma) Tekints¨uk az al´abbi kommutat´ıv diagramot, amelyben mind-k´et sor egzakt.
A
α
φ1 //B
β
φ2 //C
γ
φ3 //D
δ
φ4 //E
A0 ψ1 //B0 ψ2 //C0 ψ3 //D0 ψ4 //E0 Ekkor
1. Ha β ´es δ monomorfizmus ´es α epimorfizmus, akkor γ monomorfizmus.
2. Ha β ´es δ epimorfizmus ´es monomorfizmus, akkor γ epimorfizmus.
3. Ha α,β, δ, ´es izomorfizmusok, akkor γ is az.
Bizony´ıt´as. Az els˝o k´et ´all´ıt´as bizony´ıt´asa teljesen anal´og m´odon t¨ort´enik, ezek k¨oz¨ul csak az els˝ot mutatjuk meg.
Ehhez legyen c ∈C tetsz˝oleges elem, amelyre γ(c) = 0. C´elunk az, hogy megmuta-tassuk, c= 0, vagyis γ injekt´ıv.
Mivel ψ3 R-line´aris, a γ(c) = 0 felt´etelb˝ol ψ3(γ(c)) = 0 k¨ovetkezik. A C φ3 //
γ
D
δ
C0 ψ3 //D0 diagram kommutativit´asa miatt
0 =ψ3(γ(c)) = (ψ3◦γ)(c) = (δ◦φ3)(c) =δ(φ3(c)).
Azonban δ monomorfizmus, vagyis injekt´ıv, ´ıgy φ3(c) = 0 is k¨ovetkezik, m´ask´eppen diagram kommutativit´as´at kapjuk, hogy
β(b) =ψ1(α(a)) = (ψ1◦α)(a) = (β◦φ1)(a) =β(φ1(a)) . Csakhogy β feltev´es szerint injekt´ıv, ez´ert b =φ1(a), amib˝ol
c=φ2(b) =φ2(φ1(a)) = 0
ad´odik, mivel a fels˝o sor egzakt, ´ıgyφ2◦φ1 = 0. Ezzel bel´attuk, hogy γ injekt´ıv.
A harmadik ´all´ıt´as az els˝o kett˝o kombin´aci´oja.
A most l´atott m´odszer seg´ıts´eg´evel igazoljuk az al´abbi ´all´ıt´asokat.
3.19 Feladat (3×3-lemma) Tekints¨uk az al´abbi kommutat´ıv diagramot:
0
amelyben minden oszlop egzakt. Igazoljuk az al´abbiakat.
1. Ha az als´o k´et sor egzakt, akkor a fels˝o is.
2. Ha a fels˝o k´et sor egzakt, akkor az als´o is.
3.42. T´etel (Hossz´u egzakt sorozat l´etez´ese) Legyen 0→A•
f•
−→B• g•
−→C• →0
R-modulusok komplexusainak egy r¨ovid egzakt sorozata. Ekkor l´etezik egy mindk´et ir´ any-ban v´egtelen
. . .−−→∂•,p Hp(A•)−−−−→Hp(f•) Hp(B•)−−−−→Hp(g•) Hp(C•)−−−→∂•,p−1 Hp−1(A.)−−−−−→Hp−1(f•) . . .
egzakt sorozat, a fenti r¨ovid egzakt sorozathoz tartoz´o ´un. hossz´u egzakt sorozat, amelyben
∂•,phcidef=
f−1◦∂pB◦g−1(c)
3.43. Megjegyz´es A ∂• homomorfimzus neve ¨osszek¨ot˝o homomorfimzus.
Bizony´ıt´as. A bizony´ıt´as eszk¨oze a diagramvad´aszat. Kiindul´ask´ent tekints¨uk az al´abbi kommutat´ıv diagramot: 1. l´ep´es. Els˝ok´ent megkonstru´aljuk a
∂•,p: Hp(C•)→Hp−1(A•)
¨osszek¨ot˝o homomorfizmust. Ec´elb´ol legyen
hci ∈Hp(C•)
tetsz˝oleges, ahol c ∈ Zp(C•), vagyis olyan c ∈ Cp elem, amelyre ∂pCc = 0. Mivel a felt´etelben szerepl˝o sorozat egzakt, ez´ert gp sz¨urjekt´ıv, s ´ıgy l´etezik b ∈ Bp, amelyre gp(b) = c.
Ekkor
gp−1∂pBb=∂pCgpb=∂pCc= 0 , amib˝ol k¨ovetkezik, hogy
∂pBb∈Kergp−1= imfp−1
ism´et az egzakts´ag miatt. Ez ut´obbi viszont azzal ekvivalens, hogy l´etezik a ∈ Ap−1, amelyre fp−1(a) = ∂pBb.
Ekkor
fp−2∂p−1A a=∂p−1B fp−1a=∂p−1B ∂pBb= 0
megint csak a diagram kommutativit´as´at ´es B• l´anckomplexus volt´at felhaszn´alva, Osszefoglalva azt kaptuk, hogy a¨
c7→
(f−1◦∂pB◦g−1)(c)
∈Hp−1(A•)
hozz´arendel´es j´o v´alaszt´as lesz, felt´eve, hogy bel´atjuk, hogy j´oldefini´alt, vagyis hogy nem f¨ugg b v´alaszt´as´at´ol. A tov´abbiakban els˝ok´ent ezzel fogunk foglalkozni.
Legyen b0 ∈ Bp egy tetsz˝oleges olyan elem, amelyre gpb0 = c, vagyis gp(b−b0) = 0, m´ask´eppen b−b0 ∈ Kergp = imfp. Ezek szerint l´etezik olyan a0 ∈ Ap, amelyre fpa0 = b−b0. Innen ism´et csak a diagram kommutativit´asa miatt azt kapjuk, hogy
fp−1(a−a0) =fp−1a−fp−1a0=∂pBb−∂pBb0=∂pBfpa00=fp−1∂pAa00 .
A fenti egyenl˝os´egl´anc k´et sz´el´et megvizsg´alva ´esfp−1 injektivit´as´at figyelembe v´eve arra jutunk, hogy a−a0 =∂pAa0, vagyis a∼a0, teh´at v´egeredm´enyben hai=ha0i.
Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen a
c7→
f−1∂g−1(c) hozz´arendel´es val´oban j´oldefini´alt.
Tartozunk m´eg a teljess´egnek azzal, hogy igazoljuk, hogy a fenti lek´epez´es csakhci-t˝ol, a c elem homol´ogiaoszt´aly´at´ol f¨ugg. Ennek ellen˝orz´es´ehez legyen
c0def=c+∂p+1C c00 , c00def=gp+1(b00),
´
es legyen tov´abb´a
b0def=b+∂p+1B b00 . Ekkor
gp(b0) =gp(b) +gp∂p+1B b00=c+∂p+1c c00=c0 ,
azonban
∂pBb0=∂pBb+∂pB∂p+1B b00=∂pBb ,
´
es mivel fp−1 injekt´ıv, ez´ert k´eszen vagyunk.
Annak ellen˝orz´ese, hogy∂• homomorfizmus, egy egyszer˝u k¨ozvetlen sz´amol´as.
2. L´ep´es. Bel´atjuk, hogy a kapott sorozat egzakt.
1. Az induk´alt lek´epez´esek funktorialit´as´ab´ol ´es az adott r¨ovid egzakt sorozat komp-lexus volt´ab´ol k¨ovetkezik, hogy
H•(g)◦H•(f) =H•(g◦f) =H•(0) = 0 . 2. Ha ∂b= 0, akkor defin´ıci´o szerint
∂•(H•(g)(hbi)) =
f−1∂b
=h0i .
3. Ellen˝orizz¨uk, hogy H•(f)◦∂• = 0. Legyen hci ∈Hp(C•) ´esc∈Zp(C•). Ekkor
∂•hci=
f−1∂g−1(c) , ez´ert
f•∂•hci=
f(f−1∂g−1)(c)
=h∂g−1(c)i=h0i , ahogy k´ıv´antuk.
4. Megmutatjuk, hogy KerH•(g) ⊆ imH•(f). Legyen H•(g)(hbi) = 0, ami azzal ekvivalens, hogy l´etezik c ∈ C•, amelyre g(b) = ∂c. Legyen b0 ∈ B•, amelyre g(b0) =c. Ekkor
g(b−∂Bb0) =g(b)−g(∂Bb0) =∂Cc−∂C(g(b0)) =∂Cc−∂Cc= 0 .
Teh´at hbi reprezent´ans´at v´alaszthatjuk ´ugy, hogy g(b) = 0 legyen. Ekkor viszont van olyan a∈ A•, amelyre f(a) = b ´es ∂a = 0 (mivel f injekt´ıv ´es ∂b = 0). Azaz val´oban
hbi=f∗hai , amint azt ´all´ıtottuk.
5. Bel´atjuk, hogy Kerf• ⊆ im∂•. Tegy¨uk fel, hogy f∗hai = 0. Ekkor f(a) = ∂b valamely b ∈B•-re. Legyen cdef=g(b), erre teljes¨ul, hogy
∂c=∂g(b) =g∂(b) =gf(a) = 0 .
Teh´at cegy ciklus, ´es∂•hci=hai a∂• homomorfizmus konstrukci´oja miatt.
6. V´eg¨ul igazoljuk, hogy Ker∂• ⊆ img•. Ehhez tegy¨uk fel, hogy ∂•hci =h0i. Ekkor
∂• konstrukci´oja miatt egy olyan b ∈ B• elemre, amelyre g(b) = c, mindig l´etezik a ∈A•, hogy f(a) = ∂b´es a hat´ar, mivel ∂•hci= 0. Legyen teh´at a=∂a0. Ekkor
∂f(a0) =f(∂a0) =f(a) =∂b , k¨ovetkez´esk´epp ∂(b−f(a0)) = 0, ´es
g(b−f(a0)) =c−0 =c . Az im´entiekb˝ol azt kapjuk, hogy
g•hb−f(a0)i=hci , ahogy arra sz¨uks´eg¨unk volt.
Ezzel a t´etelt igazoltuk.
3.20 Feladat (Mayer–Vietoris-sorozat, algebrai verzi´o) Tekints¨uk az R-modulu-sokb´ol ´all´o al´abbi kommutat´ıv diagramot, amelynek sorai egzaktak:
· · · //An in //
Igazoljuk, hogy ha a γn homomorfizmus minden n eg´esz sz´amra bijekt´ıv, akkor az al´abbi sorozat egzakt:
El˝osz¨or defini´alunk egy szabad R-modulusokb´ol ´all´o K• komplexust. Ehhez legyen
Kpdef=
differenci´alt az al´abbi m´odon defini´aljuk:
d(ei1...ip)def=
p
X
r=1
(−1)r−1xirei
1...bir...ip .
Ellen˝orizz¨uk, hogy a (K•, d•) ´un. Koszul-komplexus val´oban egy komplexus.
3.22 Feladat Legyenek A• ´es B• R-modulusok l´ancokomplexusai, f, g: A• →B• homo-t´op l´anclek´epez´esek, F egy R-modulusokat R-modulusokba k´epez˝o addit´ıv funktor. Mu-tassuk meg, hogy F(f), F(g) : F(A•)→F(B•) szint´en homot´op l´anclek´epez´esek.