A tenzorszorzat homologikus tulajdons´ agai

B A_S .

ψS

==

diagram kommutat´ıv.

2.25 Feladat Igazoljuk az im´enti ´all´ıt´ast.

2.6. A tenzorszorzat homologikus tulajdons´ agai

Itt a tenzorszorzatnak az egzakt sorozatokhoz val´o viszony´at fogjuk elemezni. A homo-logikus algebra idev´ag´o defin´ıci´oi a 3 fejezetben tal´alhat´ok. Eml´ekeztet˝o¨ul, modulusok egy

. . .−→Mi−1 φi−1

−→M_i−→M^φi _i+1. . .

sorozat´at egzaktnak nevezz¨uk, ha mindeni∈I eset´en kerφi = imφi−1. Az alapvet˝o eredm´eny ebben a t´em´aban az al´abbi.

2.87. ´All´ıt´as (A tenzorszorzat jobbegzakts´aga) Legyen M⁰−→M^φ −→M^{ψ 00} −→0

R-modulusok egy egzakt sorozata, N tetsz˝oleges R-modulus. Ekkor az M⁰⊗_RN^φ⊗id−→^NM ⊗_RN^ψ⊗id−→^NM⁰⁰⊗_RN −→0 sorozat is egzakt.

Bizony´ıt´as. L´attuk, hogy sz¨urjekt´ıv lek´epez´esek tenzorszorzata is sz¨urjekt´ıv, ez´ert az M⁰⊗_RN^φ⊗id−→^NM ⊗_RN^ψ⊗id−→^NM⁰⁰⊗_RN −→0

sorozat M⁰⁰⊗RN-n´el egzakt lesz.

Mivel kerψ = imφ, ez´ert ψ◦φ= 0, s ´ıgy (ψ◦φ)⊗id_N = 0. Ebb˝ol viszont (ψ◦φ)⊗id_N = (ψ⊗id_N)◦(φ⊗id_N)

miatt r¨ogt¨on ad´odik, hogy kerψ⊗id_N ⊇imφ⊗id_N.

H´atra van m´eg annak igazol´asa, hogy kerψ⊗id_N ⊆imφ⊗id_N, m´ask´eppen, hogy a ψ ⊗id_N ´altal induk´alt

β: M ⊗_RN/im(φ⊗id_N)−→M⁰⁰⊗_RN

lek´epez´es bijekt´ıv. Ennek demonstr´al´as´ara megkonstru´aljuk az inverz lek´epez´est. Legyen m⁰⁰ ∈ M⁰⁰ ´es n ∈ N tetsz˝oleges. Mivel ψ feltev´es szerint sz¨urjekt´ıv, l´etezik m ∈ M, amelyre ψ(m) = m⁰⁰. Tekints¨uk a

γ: M⁰⁰×N −→ M ⊗_RN/im(φ⊗id_N) (m⁰⁰, n) 7→ m⊗n

hozz´arendel´est. Bel´atjuk, hogy j´oldefini´alt, vagyis nem f¨ugg m⁰⁰ inverz k´ep´enek a v´ alasz-t´as´at´ol. Legyenm₁ ∈ψ⁻¹(m⁰⁰). Ekkorψ(m₁−m) = 0, ´ıgym₁−m∈kerψ = imφ(mivel M• egzakt), teh´at

m₁⊗n−m⊗n= (m₁−m)⊗n∈im(φ⊗id_N), ahogy ´all´ıtottuk. Ekkor viszont γ induk´al egy

γ: M⁰⁰⊗N −→M ⊗N/im(φ⊗id_N) R-homomorfizmust, amelyre

m⁰⁰⊗n 7→m⊗n

minden m⁰⁰ ∈M⁰⁰ ´es n∈N eset´en. Ezt ¨osszevetve a β lek´epez´essel l´athatjuk, hogyβ ´es γ egym´as inverzei.

2.88. Megjegyz´es Fontos tudnival´o, hogy a bizony´ıt´as l´enyeges m´odon felhaszn´alta ψ sz¨urjektivit´as´at. Nem igaz ´altal´aban, hogy ha M⁰ → M → M⁰⁰ egzakt sorozat, akkor M⁰ ⊗N →M ⊗N →M⁰⁰⊗N is az lenne.

Egy egyszer˝u p´elda erre az al´abbi: legyen R =Z, ´es tekints¨uk a 0→Z→Z

egzakt sorozatot, ahol a nemtrivi´alis morfizmus a µ_d:a →da lek´epez´es, ahol d >1eg´esz sz´am. Ekkor az N^def=Z/dZ v´alaszt´assal azt kapjuk, hogy

0−→Z/dZ=Z⊗_ZZ/dZ^µ−→^d⊗idZ/dZ=Z⊗_ZZ/dZ ugyanakkor µ_d⊗id = 0, teh´at a kapott sorozat nem egzakt.

2.89. Megjegyz´es Egy m´asik, gyors bizony´ıt´ast tudunk adni a tenzorszorzat jobbeg-zakts´ag´ara, ha a Hom-funktorokkal val´o kapcsolat´at felhaszn´aljuk. L´attuk kor´abban, a tenzorszorzat ´es aHom-funktor adjung´alt funktorok, r´eszletessebben: tetsz˝oleges M, N, P R-modulusokra l´etezik egy

Hom_R(M⊗_RN, P)'Hom_R(M,Hom_R(N, P))

kanonikus homomorfizmus. Eml´ekeztet¨unk tov´abb´a arra is, hogy r¨ogz´ıtett M R-modulus eset´en a kovari´ans Hom-funktor N 7→ Hom_R(M, N) bal-egzakt, a kontravari´ans N 7→

Hom_R(N, M) funktor jobb-egzakt.

Jel¨olje M• az 2.87. All´ıt´´ asban szerepl˝o egzakt sorozatot. Ekkor a Hom_R(N, P)

R-modulushoz tartoz´o kontravari´ansHom-funktor jobb egzakt, ez´ert azt kapjuk, hogyHom_R(M_•,Hom_R(N, P)) egzakt sorozat lesz. Azonban

Hom_R(M•,Hom_R(N, P))'Hom_R(M•⊗_RN, P) ,

ez´ert a bal oldalon ´all´o sorozat is egzakt. Mivel ez tetsz˝oleges P R-modulusra teljes¨ul, M• ⊗_RN is egzakt kell, hogy legyen.

A most ismertetett ´ervel´es j´oval ´altal´anosabb k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott is ´erv´enyes: l´ enye-g´eben azt mutatja meg, hogy minden bal-adjung´alt funktor jobb-egzakt.

2.26 Feladat Legyenek M ´es N R-modulusok, M⁰ ≤ M, N⁰ ≤ N r´eszmodulusok.

Konstru´aljunk meg a kanonikus

(M/M⁰)⊗(N/N⁰)'(M ⊗N)/(im(M⁰⊗N →M ⊗N) + im(M⊗N⁰ →M ⊗N)) izomorfizmust.

Mivel egy r¨ogz´ıtett R-modulussal t¨ort´en˝o tenzorszorz´as ´altal´aban nem egzakt, az alkalmaz´asok (pl. algebrai topol´ogia, kommutat´ıv algebra ´es algebrai geometria, stb.) szempontj´ab´ol kit¨untetett jelent˝os´eg¨uk van azoknak a modulusoknak, amelyekre ez m´egis teljes¨ul.

2.90. Defin´ıci´o (Lapos modulusok) EgyM R-modulust laposnak nevez¨unk, ha a ve-le val´o ⊗_RM tenzorszorz´as egzakt sorozatokat egzakt sorozatokba visz.

2.91. Megjegyz´es K¨onnyen l´athat´o, hogy egy modulus laposs´ag´at elegend˝o 0→M⁰ →M →M⁰⁰ →0

r¨ovid egzakt sorozatokon tesztelni.

2.92. Megjegyz´es Mivel egy 0 → M⁰ →^φ M sorozat pontosan akkor egzakt, ha φ in-jekt´ıv, a lapos modulusok defin´ıci´oj´ab´ol ´es a tenzorszorzat jobb-egzakts´ag´ab´ol k¨ovetkezik, hogy egy N R-modulus pontosan akkor lesz lapos, ha minden φ : M⁰ → M injekt´ıv lek´epez´esre φ⊗id_N:M⁰ ⊗N →M ⊗N is injekt´ıv marad.

2.93. ´All´ıt´as Egy N R-modulus pontosan akkor lapos, ha tetsz˝oleges M⁰,M v´egesen gener´alt modulusok ´es φ:M⁰ →M injekt´ıv lek´epez´es eset´en φ⊗id_N:M⁰⊗N →M⊗N szint´en injekt´ıv.

Bizony´ıt´as. L´attuk, hogy egy lapos modulussal val´o tenzorszorz´as meg˝orzi a lek´epez´esek injektivit´as´at, ´ıgy csak az ´all´ıt´as megford´ıt´asa van h´atra. LegyenekM ´esM⁰ tetsz˝oleges R-modulusok,φ :M⁰ →M egy injekt´ıv lek´epez´es. Tegy¨uk fel, hogy automatikusan v´egesen gener´alt, legyen tov´abb´a M0 ≤M, amely tartalmazza M₀⁰-nek a φ ´altal vett k´ep´et ´es amelyre

r

X

i=1

φ(m⁰_i)⊗n_i= 0∈M₀⊗N . Ilyen modulus l´etezik a 2.12. Lemma alapj´an. Jel¨olje z0

def=Pr

i=1m⁰_i ⊗ni mint M₀⁰ ⊗N -beli elemet (ld. ism´et 2.11. Megjegyz´es). Ekkor φ|_M⁰

0 : M₀⁰ → M₀ v´egesen gener´alt modulusok k¨ozti injekt´ıv lek´epez´es, amelyre

(φ|_M⁰

0 ⊗id_N)(z₀) = 0 ,

amib˝ol az ´All´ıt´asban szerepl˝o felt´etel miatt z0 = 0, ´ıgy z = 0 is teljes¨ul, vagyisφ⊗idN

injekt´ıv, ezzel N lapos.

2.27 Feladat Legyen φ : R → S egy gy˝ur˝uhomomorfizmus, M egy lapos R-modulus.

Igazoljuk, hogy ekkor M_S laposS-modulus lesz.

2.28 Feladat Mutassuk meg, hogy ha M ´es N laposR-modulusok, akkor M⊗_RN is az.

2.29 Feladat Legyen {M_i |i∈I} R-modulusok egy csal´adja. Igazoljuk, hogy M

i∈I

M_i pontosan akkor lapos, ha M_i lapos minden i∈I eset´en.

2.94. Megjegyz´es A tenzorszorzat ´es direkt ¨osszegek felcser´elhet˝os´eg´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden szabad modulus lapos.

2.7. Tenzoralgebr´ ak

Egy r¨ogz´ıtett R-modulus tenzorhatv´anyai k¨ozti ¨osszef¨ugg´eseket legegyszer˝ubben a fok-sz´amozott algebra-strukt´ura seg´ıts´eg´evel ´ırhatjuk le.

2.95. Defin´ıci´o (Tenzoralgebra) Legyen R tetsz˝oleges gy˝ur˝u, M egy R-modulus. Ek-kor hozz´a tudunk rendelni M-hez egy T_R(M) foksz´amozott R-algebr´at az al´abbi m´odon:

legyen

T_R(M)^def=

∞

M

i=0

M^⊗i mint foksz´amozott R-modulus, ahol

(TR(M))i=M^⊗i az T_R(M) algebra i-edfok´u homog´en r´esze.

A multiplikat´ıv strukt´ur´at a homog´en r´eszeken a M^⊗i⊗M^⊗j 'M^⊗(i+j)

term´eszetes homomorfizmusok seg´ıts´eg´evel ´ertelmezz¨uk, az eg´esz gy˝ur˝un pedig a homog´en r´eszekr˝ol t¨ort´en˝o biline´aris kiterjeszt´essel. A T_R(M)-beli szorz´asra a ⊗ jelet haszn´aljuk.

2.30 Feladat Ellen˝orizz¨uk, hogy az eml´ıtett m˝uveletekkel T_R(M) val´oban egy foksz´ amo-zott R-algebra.

2.96. Megjegyz´es Az M modulust kanonikusan azonos´ıthatjuk a TR(M) homog´en el-s˝ofok´u r´esz´evel. Az ´ıgy kapott be´agyaz´ast i_M :M ,→T_R(M) fogja jel¨olni.

2.31 Feladat Mutassuk meg, hogy ha m= (m_i)i∈N, n= (n_i)i∈N∈T_R(M), akkor (m⊗n)_i=

i

X

j=0

m_j ⊗n_i−j .

2.97. Megjegyz´es Mivel az m ∈ M elemek tenzorszorzatai (az ´un. felbonthat´o tenzo-rok) minden i≥0-ra gener´alj´ak az M^⊗i tenzorszorzatot mint R-modulust, ´ıgy gener´alni fogj´ak T_R(M)-et mint algebr´at.

2.32 Feladat Igazoljuk, hogy haF szabadR-modulus, akkorT_R(F)egy szabadR-algebra.

2.98. ´All´ıt´as (A tenzoralgebr´ak univerz´alis tulajdons´aga) Jel¨olj¨on R tetsz˝oleges gy˝ur˝ut, M egy R-modulust. Ekkor minden A R-algebra ´es minden φ : M → A R-modulus-homomorfizmus eset´en l´etezik pontosan egy φe : T_R(M) → A R-algebra-homo-morfizmus, amelyre a

M ^{φ //}

iM

A T_R(M)

φe

;;

diagram kommutat´ıv.

Amennyiben A=⊕^∞_i=0A_i foksz´amozott R-algebra ´es φ(M)⊆A₁, akkor φeegy foksz´ a-mozott R-algebr´ak k¨ozti homog´en homomorfizmus lesz.

Bizony´ıt´as. A φ R-algebra-homomorfizmuste R-line´aris φ_i: M^⊗i −→A lek´epez´esek direkt ¨osszegek´ent fogjuk defini´alni.

Hai= 0, akkor legyenφ₀ :R→A azA R-algebra strukt´uralek´epez´ese. Amennyiben i≥1, akkor tekints¨uk az

Mⁱ=M × · · · ×M −→ A

(m₁, . . . , m_i) 7→ φ(m₁)· · · · ·φ(m_i) hozz´arendel´est. Ez l´athat´oan R-multiline´aris, ´ıgy induk´al egy

M^⊗i −→A R-line´aris lek´epez´est, amelyre

m₁ ⊗ · · · ⊗m_i 7→φ(m₁)· · · · ·φ(m_i)

minden m₁, . . . , m_i ∈M eset´en. Legyen ez φ_i, speci´alisan vegy¨uk ´eszre, hogy φ₁ =φ.

Ekkorφe^def=⊕i∈Nφ_i :T_R(M)→A R-modulus-homomorfizmus, amelyre φe₁ =φ.

H´atra van m´eg annak igazol´asa, hogyφegy˝ur˝uhomomorfizmus. Mivelφ R-multiline´e aris, ezt elegend˝o felbonthat´o tenzorokra megmutatni. Legyen i, j ≥1,

m=m₁⊗ · · · ⊗m_i ´es n=n₁ ⊗ · · · ⊗n_j .

Ekkor

φ(me ⊗n) = φ((me ₁⊗ · · · ⊗m_i)⊗(n₁⊗ · · · ⊗n_j))

= φ(me ₁⊗ · · · ⊗m_i⊗n₁⊗ · · · ⊗n_j)

= φ_i+j(m₁⊗ · · · ⊗m_i⊗n₁⊗ · · · ⊗n_j)

= φ_i+j(m₁⊗ · · · ⊗m_i⊗n₁⊗ · · · ⊗n_j)

= φ(m₁)· · · · ·φ(m_i)·φ(n₁)· · · · ·φ(n_j)

= (φ(m₁)· · · · ·φ(m_i))·(φ(n₁)· · · · ·φ(n_j))

= φi(m1⊗ · · · ⊗mi)·φj(n1⊗ · · · ⊗nj)

= φ(me ₁⊗ · · · ⊗m_i)·φ(ne ₁⊗ · · · ⊗n_j) , amint azt k´ıv´antuk.

Mivel φ|e_M =φ ´esM gener´alja T_R(M)-et mintR-algebr´at, φeegy´ertelm˝uen meghat´ a-rozott.

A foksz´amozott algebr´akra vonatkoz´o ´all´ıt´as r¨ogt¨on ad´odik abb´ol, hogyφ_i A₁·. . .·A₁ -b˝ol A_i -be k´epez.

2.99. K¨ovetkezm´eny Legyen F egy szabad R-modulus az {e_i |i∈I} b´azison, A mint fent, ´es {a_i |i∈I} A-beli elemek tetsz˝oleges kollekci´oja. Ekkor l´etezik pontosan egy φ :T_R(F)→A R-algebra-homomorfizmus, amelyre φ(e_i) =a_i minden i∈I eset´en.

2.100. Megjegyz´es Az im´enti K¨ovetkezm´eny ´ertelm´eben gondolhatunk T_R(F)-re ´ugy, mint az {ei |i∈I} nemkommutat´ıv v´altoz´o feletti (nemkommutat´ıv) polinomgy˝ur˝ure.

2.101. ´All´ıt´as Legyen φ :M →N egy R-line´aris lek´epez´es. Ekkor l´etezik pontosan egy φe: T_R(M)−→T_R(N)

R-algebra-homomorfizmus, amelyre φ|e_M =φ. A φealgebra-homomorfizmus homog´en, ´es φ|e_M^⊗i=φ⊗ · · · ⊗φ .

2.102. Megjegyz´es A fent konstru´alt φ R-algebra-homomorfizmusra gyakran ae T(φ) jel¨ol´est is haszn´alj´ak.

Bizony´ıt´as. Tekints¨uk az

M−→N^φ −→T^iN _R(N)

kompoz´ıci´ot, amely egy R-line´aris lek´epez´es a T_R(N) R-algebr´aba. A tenzoralgebr´ak univerz´alis tulajdons´aga alapj´an l´etezik egy egy´ertelm˝uen meghat´arozott

φe: T_R(M)−→T_R(N)

homog´en R-algebra-homomorfizmus, amely φ◦i_N kiterjeszt´ese.

A φ|e_M^⊗i-re vonaktoz´o k´epletet mindk´et oldal R-linearit´asa miatt ism´et csak el´eg fel-bonthat´o tenzorokra ellen˝orizni: tetsz˝oleges i≥1 ´esm₁, . . . , m_i ∈M eset´en

φ(me ₁⊗ · · · ⊗m_i) = φ(me ₁)· · · · ·φ(me _i)

= φ(m₁)⊗ · · · ⊗φ(m_i)

= (φ⊗ · · · ⊗φ)(m₁⊗ · · · ⊗m_i) , amint azt ´all´ıtottuk.

2.103. Megjegyz´es (A tenzoralgebra funktorialit´asa) Legyenek φ : M → N, ψ : N →P R-modulusok k¨ozti homomorfizmusok. Ekkor az 2.101. All´ıt´´ as miatt

T_R(id_M) = id_TR(M)

T_R(ψ◦φ) =T_R(ψ)◦T_R(φ) .

Ezzel bel´attuk, hogy T_R egy kovari´ans funktort l´etes´ıt az R-modulusok kateg´ori´aj´ab´ol az R-algebr´ak kateg´ori´aj´aba.

2.33 Feladat Legyen φ:M →N egyR-modulusok k¨ozti homomorfizmus. A homomor-fizmusok tenzorszorzat´ara vonatkoz´o ´all´ıt´asok seg´ıts´eg´evel igazoljuk az al´abbiakat.

1. Ha φ sz¨urjekt´ıv, akkor T_R(φ) is az.

2. Ha φ izomorfizmus, akkor T_R(φ) hasonl´ok´eppen.

3. Amennyiben φ az M modulust N egy direkt ¨osszeadand´oj´ara k´epzi le, akkor az anal´og ´all´ıt´as teljes¨ul a tenzoralgebr´akra is.

4. Ha R egy test, φ injekt´ıv, akkor TR(φ) is az.

2.34 Feladat Igazoljuk, hogy a tenzoralgebra k´epz´ese felcser´elhet˝o a skal´arkiterjeszt´es m˝uvelet´evel.

2.104. ´All´ıt´as Tetsz˝oleges M,N R-modulusok eset´en l´etezik egy T_R(M ⊕N)−→T_R(M)⊗_RT_R(N) kanonikus homog´en R-homomorfizmus, amely sz¨urjekt´ıv.

Bizony´ıt´as. Tekints¨uk a

φ: M ⊕N −→ T_R(M)⊗_RT_R(N) (m, n) 7→ m⊗1 + 1⊗n

hozz´arendel´est, ez

φ(r·(m, n)) =φ(rm, rn) = (rm)⊗1 + 1⊗(rn) =r(m⊗1 + 1⊗n) =r·φ(m, n)

´ es

φ(m₁+m₂, n₁+n₂) = (m₁+m₂)⊗1 + 1⊗(n₁ +n₂)

= (m₁⊗1 + 1⊗n₁) + (m₂ ⊗1 + 1⊗n_n)

= φ(m1, n1) +φ(m2, n2)

miatt homog´enR-line´aris, ez´ert l´etezik egyφe: T_R(M⊗N)→T_R(M)⊗_RT_R(N) homog´en R-algebra kiterjeszt´ese, ez lesz a keresett homomorfizmus. Mivelφ k´epe tartalmazza az

¨

osszes 1-rang´u tenzort, vagyis egy gener´atorrendszert, ez´ert φesz¨urjekt´ıv.

2.105. Megjegyz´es Az im´ent konstru´alt homomorfizmus az esetek d¨ont˝o t¨obbs´eg´eben nem injekt´ıv. Konkr´et p´eld´anak vizsg´aljuk meg az R=K test, M =N =R esetet.

2.35 Feladat LegyenekM ´esN tetsz˝olegesR-modulusok,AegyR-algebra,µ:T_R(M)→ A´esν :T_R(N)→A R-algebra-homomorfizmusok. Mutassuk meg, hogyT_R(M)´esT_R(N) term´eszetes m´odon be´agyazhat´ok T_R(M⊕N)-be mint R-r´eszalgebr´ak, tov´abb´a, hogy a µ

´

es ν homomorfizmusoknak l´etezik k¨oz¨os T_R(M ⊕N)→A kiterjeszt´ese.

2.106. Defin´ıci´o (Foksz´amozott du´alis) LegyenA_• =⊕^∞_d=0A_dfoksz´amozott R-algeb-ra, amely ¨osszef¨ugg˝o (azaz A₀ = R) ´es lok´alisan v´eges (vagyis rank_RA_d < ∞ minden d ∈N eset´en). Ekkor A• foksz´amozott du´alisa

(A•)^∗def=⊕^∞_d=0A^∗_d ,

amely szint´en egy ¨osszef¨ugg˝o ´es lok´alisan v´eges foksz´amozott R-algebra.

2.107. Megjegyz´es (A foksz´amozott du´alis multiplikat´ıv strukt´ur´aja) Megmutat-juk, hogy a foksz´amozott du´alis modulus bizonyos (el´eg er˝os felt´etelek mellett) ell´athat´o term´eszetes m´odon egy R-algebra-struktu´ur´aval. Ehhez legyen A• = ⊕^∞_d=0Ad egy fok-sz´amozott R-algebra. A szorz´as egy µ: A• ⊗A• → A• homog´en R-line´aris lek´epez´es, amelyre

µ: Ad⊗Ae −→Ad+e

minden d, e term´eszetes sz´am eset´en.

Feltessz¨uk, hogy mindend, e∈N eset´en a µ: Ad⊗Ae →Ad+e szorz´as izomorfizmus.

Az (A_•)^∗-beli szorz´ast az al´abbi m´odon sz´armaztatjuk: a foksz´amozott strukt´ura miatt el´eg a

((A•)^∗)_d×((A•)^∗)_e ^µ

∗ //

=

((A•)^∗)_d+e

=

A^∗_d×A^∗_e ^µ

∗ //A^∗_d+e

biline´aris lek´epez´eseket, vagyis a

((A•)^∗)_d⊗((A•)^∗)_e ^µ

∗ //

=

((A•)^∗)_d+e

=

A^∗_d⊗A^∗_e ^µ

∗ //A^∗_d+e

R-line´aris lek´epez´eseket megadni (itt az egyszer˝us´eg kedv´e´ert k´et k¨ul¨on lek´epez´est isµ^∗-gal jel¨olt¨unk, b´ızunk abban, hogy ez nem fog f´elre´ert´est okozni).

Ez ut´obbi az al´abbi diagram alapj´an t¨ort´enik:

µ^∗: A^∗_d⊗A^∗_e ^{∼ //}(A_d⊗A_e)^{∗ eµ //}A^∗_d+e ,

ahol az els˝o lek´epez´es a tenzorszorzat ´es a du´alis k´epz´es´enek felcser´elhet˝os´eg´eb˝ol, a m´ a-sodik, eµ-vel jel¨olt pedig a µ: A_d⊗A_e→A_d+e R-line´aris lek´epez´esb˝ol a visszah´uz´as seg´ıt-s´eg´evel induk´alt izomorfizmus inverze.

Ezalatt az al´abbit ´ertj¨uk: a µ: A_d⊗A_e →A_d+e lek´epez´es az al´abbi diagram alapj´an A_d⊗A_d ^{µ //}

φ◦µ %%

A_d+e

φ

R egy

Hom_R(A_d+e, R) −→ Hom_R(A_d⊗A_e, R) φ 7→ φ◦µ

R-line´aris lek´epez´est induk´al, φ ´un. visszah´uzottj´at. Amennyiben µ izomorfizmus volt, akkor a visszh´uz´as is, ennek az inverz´et jel¨olj¨uk µ-vel.e

2.108. Megjegyz´es Az illusztr´aci´o kedv´e´ert vegy¨uk szemre, hogy mi t¨ort´enik a tenzor-szorzat eset´eben. El˝osz¨or is fontos ´eszrev´etel, hogy

(M^d)⊗(M^e)−→M^{∼ d+e}

(m₁⊗ · · · ⊗m_d)⊗(n₁⊗ · · · ⊗n_e) 7→ m₁⊗ · · · ⊗m_d⊗n₁⊗ · · · ⊗n_e

izomorfizmus, teh´at teljes¨ulnek a fenti Megjegyz´es felt´etelei.

Ennek megfelel˝oen a szorz´ast a

(M^⊗d)^∗⊗(M^⊗e)^∗ −→(M^⊗d⊗M^⊗e)^∗ −→(M^⊗(d+e))^∗ kompoz´ıci´oval ´ertelmezz¨uk.

Tetsz˝oleges φ ∈(M^⊗d)^∗, ψ ∈(M^⊗e)^∗, ´es m₁, . . . , m_d, n₁, . . . , n_e∈M elemek eset´en a φ·ψ^def=µ^∗(φ, ψ)

szorzatot ki´ert´ekelve azt kapjuk, hogy

µ^∗(φ·ψ)(m₁, . . . , m_d, n₁, . . . , n_e) =φ(m₁⊗ · · · ⊗m_d)·ψ(n₁⊗ · · · ⊗n_e) .

2.109. Megjegyz´es AmennyibenA• ¨osszef¨ugg˝o, akkorR^∗ =Rmiatt(A•)^∗ is az lesz; ha A• lok´alisan v´eges, akkor a foksz´amozott du´alisa is. Tetsz˝oleges M eset´en T_R(M) ¨ ossze-f¨ugg˝o, hiszen az ¨ures halmaz mint indexhalmaz felett vett tenzorszorzatR-rel izomorf. A T_R(M) R-algebra pontosan akkor lesz lok´alisan v´eges, ha M v´eges rang´u R-modulus.

2.110. ´All´ıt´as Legyen M tetsz˝oleges R-modulus. Ekkor l´etezik egy term´eszetes T_R(M^∗)−→T_R(M)^∗

R-line´aris lek´epez´es. Ha M v´eges rang´u szabad modulus, akkor a term´eszetes lek´epez´es izomorfizmus.

Bizony´ıt´as. A foksz´amozott du´alis defin´ıci´oja szerint (T_R(M))^∗ homog´en line´aris r´esze pontosan M^∗. Amennyiben φ₁, . . . , φ_d∈ M^∗ = (T_R(M))^∗₁, akkor a foksz´amozott du´ alis-beli szorzat nem m´as, mint az

m₁⊗ · · · ⊗m_d 7→φ₁(m₁)· · · · ·φ_d(m_d) funkcion´al, azaz a φ₁⊗ · · · ⊗φ_d line´aris funkcion´al k´epe a

(M^∗)^⊗d−→(M^⊗d)^∗

term´eszetes lek´epez´esn´el. A tenzoralgebra mint foksz´amozott gy˝ur˝u univerz´alis tulaj-dons´aga alapj´an a

M^∗ ,→(T_R(M))^∗ be´agyaz´as egy egy´ertelm˝uen meghat´arozott

α: TR(M^∗)−→(TR(M))^∗

R-algebra-homomorfizmuss´a terjed ki, amelyre teljes¨ul, hogy minden d ∈Neset´en α(φ₁⊗ · · · ⊗φ_d) =α(φ₁)· · · · ·α(φ_d) =φ₁·. . . φ_d ,

vagyis a homog´en r´eszekenαmegegyezik a (M^∗)^⊗d−→(M^⊗d)^∗term´eszetes lek´epez´essel.

Kor´abban l´attuk, hogy amennyiben M szabad R-modulus, akkor a term´eszetes lek´ e-pez´es bijekt´ıv.

A k¨ovetkez˝o p´elda alapvet˝o fontoss´ag´u a fizika szempontj´ab´ol.

2.111. P´elda (Vegyes tenzorok) Legyen R tetsz˝oleges gy˝ur˝u, M egy R-modulus. A fizikai alkalmaz´asokban legt¨obbsz¨or R = R vagy R = C, ´es M egy v´eges dimenzi´os vektort´er. Az M modulus vegyes tenzoralgebr´aj´at az al´abbi m´odon defini´aljuk:

T_R(M^∗, M)^def=T_R(M^∗)⊗_RT_R(M) ,

ahol a jobb oldalon az ´un. foksz´amozott tenzorszorzat ´all (ld. 2.112. Megjegyz´es). A tenzorszorzatb´ol ¨or¨ok¨olt foksz´amozott strukt´ur´ara

TR(M^∗, M)d= M

m+k=d

T_R^m,k(M) minden d≥0 eset´en , ahol

T_R^m,k(M)^def=((M^∗)^⊗m)⊗(M^⊗k)

az ´un. m-szeresen kontravari´ans ´esk-szorosan kovari´ans tenzorok, m´ask´eppen az (m, k)-t´ıpus´u tenzorok R-modulusa.

2.112. Megjegyz´es (Foksz´amozott tenzorszorzat) Legyenek A• ´es B• foksz´ amo-zott R-algebr´ak. Megmutatjuk, hogyan lehet az A• ⊗ B• R-algebr´an egy foksz´amozott R-algebra-strukt´ur´at defini´alni. Minden d, e∈N eset´en

µ_A: A_d⊗A_e −→A_d+e

´ es

µB:Bd⊗Be −→Bd+e ,

tov´abb´a tetsz˝oleges a₁ ∈A_d1,a₂ ∈A_d2 ´es b₁ ∈B_e1, b₂ ∈B_e2 homog´en elemekre (a⊗b)·(a⁰⊗b⁰) = (aa⁰)⊗(bb⁰)∈A_d1+d2 ⊗B_e1+e2

´ıgy a

(A•⊗_RB•)_d^def= M

m+k=d

A_m⊗_RB_k

defin´ıci´o egy foksz´amoz´ast val´os´ıt meg. Az A_• ´es B_• foksz´amozott algebr´ak foksz´amozott tenzorszorzat´an az A•⊗B• algebr´at ´ertj¨uk a most ismertetett foksz´amoz´assal.

2.113. Megjegyz´es (Vegyes tenzorok koordin´at´akban) LegyenM egyn-rang´u sza-bad R-modulus e₁, . . . , e_n b´azissal. Ekkor M^∗ szint´en n-rang´u szabad R-modulus lesz az e^∗₁, . . . , e^∗_n du´alis b´azissal, amelyekre

e^∗_i(e_j) =δ_ij minden 1≤i, j ≤n eset´en.

A fizikus szakirodalomban az e^∗_i b´aziselem helyett eⁱ-t ´ırnak, mivel line´aris algebr´ar´ol van sz´o, a f´elre´ert´es elker¨ulhet˝o. Az alkalmaz´asokkal val´o konformit´as ´erdek´eben lok´alisan

´atvessz¨uk ezt a konvenci´ot.

Ekkor minden m ∈M elem egy´ertel˝uen fel´ırhat´o

n

X

i=1

αⁱe_i

alakba, ahol αⁱ ∈R. Ism´et csak a fizikai konvenci´ot k¨ovetve, kovari´ans tenzorok (vagyis M^⊗d elemei valamely d≥0 eset´en) koordin´at´ait fels˝o indexekkel l´atjuk el.

Anal´og m´odon minden φ ∈M^∗ egy´ertelm˝uen ´ırhat´o

n

X

j=1

α_je^j

alakba (kontravari´ans tenzorok egy¨utthat´oinak als´o indexe van).

Tekints¨unk most tetsz˝oleges p, q ∈ N eset´en egy x ∈ T_R^p,q(M) vegyes tenzort, ez

form´aba ´ırjuk, felt´eve, hogy ismert a kiindul´asi b´azis.

2.114. Megjegyz´es (Vegyes tenzorok koordin´atatranszform´aci´oi ) Ism´et csak a fizika szempontj´ab´ol igen hasznos vegyes tenzorok koordin´at´aira vonatkoz´o b´ azistranszfor-m´aci´ok ismerete. Tov´abbra is az el˝oz˝o Megjegyz´es jel¨ol´eseivel dolgozva legyen f₁, . . . , f_n az M modulus egy m´asik b´azisa, a megfelel˝o du´alis b´azis elemeit jel¨oljef¹, . . . , fⁿ. Az e_i

´

es f_i b´azisok k¨ozti transzform´aci´ok legyenek e_k=

Ekkor a du´alis b´azisok k¨ozti transzform´aci´okra azt kapjuk, hogy

eⁱ=

n

X

r=1

γ_rⁱf^r

´ es

f^r=

n

X

i=1

β_i^reⁱ

az indexek minden lehets´eges ´ert´ek´ere. Az x ∈ T_R^p,q(M) tenzort az f₁, . . . , f_n b´azisban fel´ırva azt kapjuk, hogy

x= X

1≤s₁,...,sq≤n,1≤r₁,...,rp≤n

^s_r¹₁^,...,s_,...,rp^qf^r1 ⊗ · · · ⊗f^rp⊗f_s1 ⊗ · · · ⊗f_sq ,

ahonnan behelyettes´ıt´essel ^s_r¹_1,...,r^,...,sq_p= X

1≤i1,...,iq≤n,1≤j1,...,jp≤n

α_jⁱ¹₁^,...,i_,...,j^q_p·γ_r^j1₁ ·. . .·γ_r^j_p^p·β_i^s₁¹ ·. . .·β_i^s_q^q .

II. r´ esz

Homologikus algebra ´ es algebrai

In document Multiline ´a ris ´e shomologikusalgebraalkalmaz ´a sokkal (Pldal 53-67)