Definíció
Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.
DirectedAcyclicGraph Alkalmazásai például:
Teend ˝ok ütemezése =⇒PERT Várakozási gráfok =⇒adatbázisok
Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.
Irányított körmentes gráfok
Definíció
Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.
DirectedAcyclicGraph
Alkalmazásai például:
Teend ˝ok ütemezése =⇒PERT Várakozási gráfok =⇒adatbázisok
Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.
Irányított körmentes gráfok
Definíció
Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.
DirectedAcyclicGraph Alkalmazásai például:
Teend ˝ok ütemezése
=⇒PERT Várakozási gráfok =⇒adatbázisok
Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.
Irányított körmentes gráfok
Definíció
Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.
DirectedAcyclicGraph Alkalmazásai például:
Teend ˝ok ütemezése =⇒PERT
Várakozási gráfok =⇒adatbázisok
Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.
Irányított körmentes gráfok
Definíció
Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.
DirectedAcyclicGraph Alkalmazásai például:
Teend ˝ok ütemezése =⇒PERT Várakozási gráfok
=⇒adatbázisok
Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.
Irányított körmentes gráfok
Definíció
Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.
DirectedAcyclicGraph Alkalmazásai például:
Teend ˝ok ütemezése =⇒PERT Várakozási gráfok =⇒adatbázisok
Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.
Irányított körmentes gráfok
Definíció
Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.
DirectedAcyclicGraph Alkalmazásai például:
Teend ˝ok ütemezése =⇒PERT Várakozási gráfok =⇒adatbázisok
Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG
=⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör:
vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél,
deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
;(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
visszaél
Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányí-tott kört, azaz nem DAG.
Tétel
Legyen G= (V,E)egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva er ˝osebb igaz:ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.
Bizonyítás.
=⇒ √
⇐= Indirekt bizonyítunk: Tegyük fel, hogy nincs visszaél, deGnem DAG =⇒van benne irányított kör: vegyük ennek a legkisebb mélységi számúv csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyenu.
=⇒mszám[v]<mszám[u] =⇒uv vissza- vagy keresztél, deu elérhet ˝ov-b ˝ol irányított úton, ahol a mélységi számok mindegyike
≥mszm[v];(részfa lemma) =⇒uav leszármazottja =⇒uv visszaél.
Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 10. el ˝oadás 16 / 20