Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
el ˝oreél,visszaél ⇐⇒ visszaél keresztél: nem létezik
Irányítatlan gráfok mélységi bejárása
Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
el ˝oreél,visszaél ⇐⇒ visszaél keresztél: nem létezik
Irányítatlan gráfok mélységi bejárása
Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
el ˝oreél,visszaél ⇐⇒ visszaél keresztél: nem létezik
Irányítatlan gráfok mélységi bejárása
Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
el ˝oreél,visszaél ⇐⇒ visszaél keresztél: nem létezik
Irányítatlan gráfok mélységi bejárása
Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
el ˝oreél,visszaél ⇐⇒ visszaél keresztél: nem létezik
Irányítatlan gráfok mélységi bejárása
Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
el ˝oreél,visszaél ⇐⇒ visszaél keresztél: nem létezik
Irányítatlan gráfok mélységi bejárása
Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
8 5 10
4 3 2
1
6 7
9
vissza´el ilyen nincs
faél ⇐⇒ faél
keresztél: nem létezik
Irányítatlan gráfok mélységi bejárása
Mélységi keresés ugyanígy.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o komponensei: összefügg ˝o komponensek.
fa´el
el ˝oreél,visszaél ⇐⇒ visszaél keresztél: nem létezik
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
LegyenT aG= (V,E)irányított gráf egy feszít ˝oerdeje. Legyenx ∈V egy tetsz ˝oleges csúcs, és jelöljeTx a feszít ˝oerd ˝ox gyöker ˝u
részfájának a csúcshalmazát.
van olyanG-belix y irányított út, amelyen a csúcsok mélységi száma legalább mszám[x]
.
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
LegyenT aG= (V,E)irányított gráf egy feszít ˝oerdeje. Legyenx ∈V egy tetsz ˝oleges csúcs, és jelöljeTx a feszít ˝oerd ˝ox gyöker ˝u
részfájának a csúcshalmazát. Legyen
Sx =
y ∈V
van olyanG-belix y irányított út, amelyen a csúcsok mélységi száma legalább mszám[x]
.
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
LegyenT aG= (V,E)irányított gráf egy feszít ˝oerdeje. Legyenx ∈V egy tetsz ˝oleges csúcs, és jelöljeTx a feszít ˝oerd ˝ox gyöker ˝u
részfájának a csúcshalmazát. Legyen
Sx =
y ∈V
van olyanG-belix y irányított út, amelyen a csúcsok mélységi száma legalább mszám[x]
.
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám
=⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx.
Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x].
Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx
=⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Lemma (részfa lemma)
Tetsz ˝oleges x ∈V csúcs esetén érvényes aTx =Sx egyenl ˝oség.
Bizonyítás.
Tx éppen azokból a pontokból áll, amelyekx-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. Faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒Tx ⊆Sx. Fordított irány indirekt:
tegyük fel, hogy létezik egyy ∈Sx\Tx
Legyenx y egy azSx meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝ottiv pontjaTx-ben van.
Azy ∈Sx feltétel szerint mszám[y]>mszám[x]. Ezy 6∈Tx miatt azt jelenti, hogyy-t valamikor aTx pontjai után látogatjuk meg.
=⇒(v,y)faél vagy el ˝ore él =⇒y ∈Tx =⇒Sx ⊆Tx. √
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Következmény
Tegyük fel, hogy a G= (V,E)gráf x csúcsából minden pont elérhet ˝o irányított úton. Tegyük fel továbbá, hogy a G mélységi bejárását x -szel kezdjük. Ekkor a mélységi feszít ˝oerd ˝o egyetlen fából áll.
Bizonyítás.
mszám[x] =1 =⇒Sx =V =⇒Tx =V
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Következmény
Tegyük fel, hogy a G= (V,E)gráf x csúcsából minden pont elérhet ˝o irányított úton. Tegyük fel továbbá, hogy a G mélységi bejárását x -szel kezdjük. Ekkor a mélységi feszít ˝oerd ˝o egyetlen fából áll.
Bizonyítás.
mszám[x] =1 =⇒Sx =V
=⇒Tx =V
Mélységi feszít ˝oerd ˝o
Következmény
Tegyük fel, hogy a G= (V,E)gráf x csúcsából minden pont elérhet ˝o irányított úton. Tegyük fel továbbá, hogy a G mélységi bejárását x -szel kezdjük. Ekkor a mélységi feszít ˝oerd ˝o egyetlen fából áll.
Bizonyítás.
mszám[x] =1 =⇒Sx =V =⇒Tx =V