Integráló, „I” szabályozás

Az előző fejezetben megismertük az arányos „P” szabályozót és a vele megvalósítható P szabályozást.

Amint azt beláttuk, a P szabályozás stabilis szabályozás, a folyamat viselkedése gyorsítható. Ezen igen fontos előnyök mellett azonban a hátránya az, hogy maradó eltéréssel dolgozik. Ez a maradó eltérés bizonyos esetekben elhanyagolható, de bizonyos esetekben, jellemzően stabilitási okok miatt, jelentős.

Ilyenkor más megoldáshoz kell folyamodni, ezért a maradó eltérés megszüntetésére egy más szabályozó típust alkalmazunk: az I vagy integráló szabályozót.

Az I szabályozó tulajdonképpen egy integráló tag, melyet a 10.6 fejezetben megismertünk, és szabályozó kombinációkban történő viselkedését már a 11. fejezetben megismertünk. Nézzük, hogy milyen tulajdonságokat visz a szabályozásba az I szabályozó.

Amint azt beláttuk, az I szabályozó viselkedését az alábbi egyenlet írja le:

 

^{ IC}



^T

 

^

r t A E t dt

x

0

ˆ ˆ , (12.30)

illetve átviteli függvénye:

   

s A s E

s

G_IC  X^r  ^IC , (12.31)

ami azt jelenti, hogy az I szabályozó egészen addig változtatja a kimenőjelét,



xr

 

t



amíg a maradó eltérés, azaz az alap- és ellenőrző jel különbsége, a hibajel

 

E

 

t meg nem szűnik, nulla nem lesz, vagyis a szabályozott jellemző be nem áll az alapjelre.

Ez egy látszólag ideális viselkedés, de nézzük, milyen hátrányokkal jár mindez! Ezt a holtidős tag és az integráló tag szabályozásának példáján tanulmányozhatjuk.

12.3.1. „I” szabályozás bemutatása a holtidős tag szabályozásán

A 12.2.2 fejezetben már tárgyaltuk a holtidős tag szabályozásának esetét P szabályozóval. Ha I szabályozóval végezzük ugyanezt a szabályozást, akkor a szabályozónak is lesz időbeli viselkedése, melyet egy állandó 90^o-os fáziskésés jellemez.

A stabilitás határán a felnyitott szabályozókör frekvenciafüggvénye:



j₀



G



j₀



G



j₀



G



j₀



1

G_{F BE C TA} , (9.13)

azaz az amplitúdóviszonya 1 lesz:



j₀



 G



j₀



G



j₀



 G



j₀



1

G_{F BE C TA}

, (12.32)

a fáziskésések összege pedig 180^o:

o TA

C BE

F    180

 _. (12.33)

Az ₀ jelenti a kritikus frekvenciát, melynél a rendszer a stabilitás határán lesz, azaz ezzel a frekvenciával fog a rendszer állandó amplitúdóval lengeni.

Ha feltételezzük, hogy a távadó és a beavatkozó egyaránt arányos elem, és átviteli függvényük:

 

s 1

G_TA , (12.34)

illetve

 

s 1

G_BE , (12.35)

akkor a stabilitási vizsgálatainkat csak a folyamat, holtidős tag, és a szabályozó, integráló tag viselkedése befolyásolja. Így, ha ezt az egyszerűsítési lehetőséget figyelembe vesszük, akkor



j₀



1G



j₀



11

G_{F C} (12.36)

egyenletet kell vizsgálnunk.

Az arányos szabályozóhoz hasonlóan itt is ki tudjuk számolni a kritikus frekvenciát illetve a kritikus lengésidőt. Mivel az integráló szabályozó fáziskésés állandó 90 , ezért csak a folyamat, ^o holtidős tag viselkedését kell nyomon követnünk (ebben az esetben is feltételezzük, hogy a folyamat

átviteli, illetve frekvenciafüggvénye mind a zavarásra mind a módosított jellemzőre nézve ugyanaz). A kritikus 180^O-nál most figyelembe kell venni a szabályozó 90^o-os fázistolását, így a folyamat fáziskésése a stabilitás határán TH  2



90^o



lesz. Az ehhez tartozó frekvencia lesz a kritikus frekvencia

 

₀

Mivel a  TH  2



90^o



értékhez tartozó frekvencia lesz a kritikus frekvencia

 

₀ , tehát amikor a stabilis szabályozókör csillapodó lengésekkel beáll az új stacionárius értékre, így kiszámíthatjuk az ehhez a frekvenciához tartozó kritikus lengésidőt:

TH

2

0

  , (12.37)

H

H T

T T      4

2 2 2

0

0 





 . (12.38)

Mivel fél, illetve negyed amplitúdós csillapítás esetén az új stacionárius érték gyakorlatilag három lengés alatt áll be, így a szabályozási idő:

H

SZ T T

T 3 ₀12 (12.39)

A (12.39)-et a (12.24)-gyel összevetve megállapíthatjuk, hogy az integráló szabályozó bár megszünteti a maradó eltérést, de lassúbb dinamikus viselkedésű a P szabályozóval történő szabályozáshoz képest.

12.3.2. Integráló szakasz I szabályozóval

Az I szabályozóval megvalósítható I szabályozás tulajdonságainak egy fontos jellegzetességét ismerhetjük meg, ha I szakaszt szabályozunk I szabályozóval. A szabályozás blokkvázlata a 12.8.

ábra. A folyamat átviteli függvénye a módosított jellemzőre:

 

s s K

G_F  ^I . (10.110)

A szabályozó átviteli függvénye

 

s

s A

G_C  ^IC . (12.31)

12.8. ábra. Integráló szakasz szabályozása I szabályozóval

Tegyük fel, hogy a távadó és a beavatkozó arányos elem, átviteli tényezőjük 1, valamint, hogy a folyamat átviteli függvénye a zavarásra és a módosított jellemzőre nézve azonos, és a már korábban bemutatott 10.110 egyenlet írja le.

A szabályozókör eredő átviteli függvénye a zavarásra nézve:

 

a znagyságú ugrászavarást feltételezve

   

a szabályozott jellemző Laplace-transzformáltja:

 

^{2 . . 2}



I IC



²

Inverz transzformálva megkapjuk a szabályozott jellemző időfüggvényének változását:

  

^{K A t}



határeset a két előbbi között, úgy nevezzük, hogy a stabilitás határán van.

A stabilitás határán levő szabályozás gyakorlatilag nem alkalmas egy paraméter konstans értéken való tartására. Olyan tényezők, amelyeket a levezetés során figyelmen kívül hagytunk, például az átviteli függvények nem abszolút pontosan írják le az elemeket, a tökéletlen keveredés, vezetékek holt ideje, súrlódás stb. azt eredményezik, hogy a valóságban létrejövő szabályozás instabil lehet.

Ez a stabilitási probléma komoly hátrány, és ez az oka, hogy I szakaszt I szabályozóval nem szabályozunk, sőt az I szabályozót egyedül sosem alkalmazzuk, csak mindig P szabályozóval kombinálva, PI vagy PID szabályozóként (11.2, 11.3).

12.3.3. Elsőrendű arányos tag szabályozása I szabályozóval A példa bemutatja, hogy az I szabályozó milyen

módon szünteti meg a maradó eltérést. A szabályozás blokkvázlata a 12.9. ábra.

A korábbi példákhoz hasonlóan tegyük fel, hogy a távadó és a beavatkozó arányos elem, átviteli tényezőjük 1, valamint, hogy a folyamat átviteli függvénye a zavarásra és a módosított jellemzőre nézve azonos.

12.9. ábra. Elsőrendű arányos tag szabályozása I szabályozóval

Az átviteli függvények

A zavarásra vonatkozó eredő átviteli függvény:

 

anagyságú ugrászavarást feltételezve a szabályozott jellemző Laplace-transzformáltja:

 

A végérték tételt alkalmazva megkapjuk a szabályozott jellemző időfüggvényének változását:

 

lim

 

0

A szabályozott jellemző végeltérése tehát nulla, vagyis az I szabályozó visszaállítja a szabályozott jellemzőt az alapjelre, azaz megszünteti a maradó eltérést.

A szabályozott jellemző időfüggvénye a konstansok egymáshoz viszonyított értékétől függ.

1. Ha

A szabályozott jellemző időfüggvénye egy periodikus függvény, aminek az amplitúdója a negatív exponenciális szorzó miatt csökken és nullához tart.

2. Ha

Ez esetben, más írásmóddal, a már ismertetett másodrendű elem súlyfüggvényével azonos függvényekről van szó. Az 1. eset a ξ<1 esetnek felel meg; a 2. eset a ξ=l-nek, a 3. eset a ξ>l esetnek felel meg.

In document FOLYAMATIRÁNYÍTÁSI RENDSZEREK (Pldal 88-93)