( 3.9 ) Folytonos időben
1.2. Impulzusokra bontott bemenőjel hatásának összegzése
Először a diszkrét idejű rendszereket vizsgáljuk, majd ezt kiterjesztjük folytonos idejű rendszerekre. A továbbiakban általában a bemenőjel egy ún. belépő függvény. Ez azt jelenti, hogy létezik egy olyan K, illetve érték, amelyre , illetve . Az egyszerűség kedvéért azt feltételezzük, hogy ha egyéb megjegyzést nem teszünk, akkor , illetve . A legtöbb esetben mindez formálisan csak annyit jelent, hogy az időre vonatkozó összegzésben és integrálok számításában a helyett a 0 az alsó határ. A kauzalitás miatt a rendszer válasza is csak a bekapcsolás után indulhat, de az állapotváltozó jellegű változóknak lehet nullától eltérő kezdeti értéke. Ebben a 3.1.2 pontban matematikai szempontból nincs szükség a belépő jelekre tett kikötésre, de a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban (Laplace-transzformált jelek esetén, ld. 3.2.4, 3.2.6, 3.2.7, 3.2.8 pontok) élnünk kell ezzel a feltételezéssel.
Diszkrét időben
A 2.1.11. fejezetben leírt (2.98) alakú ARMA rendszerekkel foglalkozunk.
(3.19)
A (2.98) jobb oldalán az összegzés r-ig tart. (i=r+1, …, n) bevezetésével egyszerűbbé tehetjük a későbbi tárgyalást, megjegyezzük, hogy a i<r sorszámú együtthatók között is lehet nulla. Ha első n számú (
) és r számú ( ) értéke ismert, akkor (3.19) segítségével a további kimenőjel kiszámítható.
A lépésről lépésre számítás helyett kiszámoljuk, hogy a rendszer miként reagál egyetlen bemenőjelre, vagyis egyetlen „ütésre”. Amikor a diszkrét idejű rendszerek bemenőjele egy diszkrét idejű egységimpulzus, akkor a kimenőjelet súlyfüggvénynek vagy impulzusválasznak nevezzük (az irodalomban mindkét elnevezés elterjedt) és -val jelöljük (ld. 3-5. ábra) (megjegyezzük, hogy az irodalomban használják még a jelölést is).
3.5. ábra - Diszkrét idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)
Tegyük fel, hogy és ismert. Kihasználjuk azt, hogy
(3.20)
Ez azt jelenti, hogy egy adott i –edik időpontban egy nagyságú és i lépéssel eltolt impulzussal gerjesztjük a rendszert. E bemenőjelre a rendszer válasza egy arányosan megnövelt és időben eltolt súlyfüggvény: (ld. 3-6. ábra).
3.6. ábra - A kimenőjel meghatározása diszkrét idejű konvolúcióval
Bármely k-adik időlépésben az időinvarianciát és a szuperpozíció elvét kihasználva időeltolással összegezzük ezeket a hatásokat
(3.21)
A (3.21) úgy is értelmezhető, hogy a kimenőjel értéke egy k-adik időpillanatban a rendszerre az összes múltbeli időpontban ható bemenőjel súlyozott átlaga, innen a súlyfüggvény elnevezés. A (3.21) kifejezésben nincsenek állapotváltozók, így kezdeti értékek sem adhatók meg, csak a rendszer tulajdonsága és az bemenőjel határozza meg az kimenőjelet. Itt az összegzés csak az tartományra szorítkozik, de nincs elvi akadálya, hogy akár -ből induljon.
Az impulzusnak véges energiája van, így egy valós fizikai rendszernél a kauzalitás miatt csak belépő függvény lehet (a bemenő jel csak a jövőre hathat), a linearitás miatt nem lehet irreverzibilis változás, minden valós rendszer működése közben van valamilyen energiaveszteség, így valós rendszer esetén biztosan lecsengő, értékei nullához tartanak.
Ha létezik olyan K időpont,amelyre igaz az, hogy , akkor a rendszert „véges impulzus válaszú” rendszernek nevezzük, és ezekre a rendszerekre az angol név alapján a FIR (Finite Impulse Response) rövidítést használjuk. Értelemszerűen definiálhatjuk az IIR végtelen impulzusválaszú (Infinite Impulse Response) rendszereket is.
Folytonos időben
(2.107) alakú differenciálegyenlettel leírható rendszerekkel foglalkozunk. A (2.107) egyenletben alkalmazott jelölésekkel n=r ( (i=r+1, …, n)) és
(3.22)
A (3.22) megoldása tetszőleges mellett meglehetősen nehézkes. Ehelyett az jelet a diszkrét idejű rendszereknél alkalmazott eljáráshoz hasonlóan komponensekre (impulzusok sorozatára) bontjuk, majd a szuperpozíció elvét kihasználva a komponensek hatását összegezzük. A diszkrét idejű rendszerhez hasonlóan bevezethetjük a súlyfüggvényt (impulzusválaszt) ld. 3-7. ábra. (Az irodalomban használatos még a jelölés is)
3.7. ábra - Folytonos idejű súlyfüggvény (impulzusválasz)
Valós fizikai rendszer esetén w(t) lecsengő belépő időfüggvény (ezt a tulajdonságát később kihasználjuk)
Tegyük fel, hogy w(t) ismert (például mérés alapján). Formálisan (3.21) összegzést kell átírni folytonos időbe, k helyére t kerül és az összegzés helyett integrált kell írnunk, továbbá tekintettel kell lenni arra, hogy akár Dirac-impulzus is lehet, így az összegzésben, illetve integrálszámításban a t=0 pontot is figyelembe kell venni, ahol nem folytonos és az értékét csak az integrálja határozza meg. Ebből következik, hogy az integrál alsó határának a 0 bal oldali közelítését kell választani, ezt jelöljük 0-val.
(3.23)
A (3.23) úgy is értelmezhető, hogy az u(t) bemenőjel értelmezési tartományát nagyságú időintervallumokra osztjuk, minden időintervallumot egy impulzusnak tekintjük, amelynek a nagysága . Ezt az impulzust egy, az impulzussal megegyező nagyságú Dirac-impulzussal helyettesítjük. Ennek megfelelően a τ időpillanatban a rendszer bemenőjele lesz. Erre a -val eltolt és nagyságú impulzusra a válasz egy eltolt és arányosan lecsökkentett súlyfüggvény (ld. 3-8. ábra). Meg kell jegyezni,
hogy ha tart nullához, akkor a nagyságú impulzus is tart nullához, így a rendszer válasza végtelen sok végtelenül kicsi impulzus hatásából adódik össze.
3.8. ábra - A kimenőjel meghatározása folytonos idejű konvolúcióval
3.9. ábra - idejű átmeneti függvény
(3.24)
Az u(t) bemenőjelet nem csak függőlegesen, hanem vízszintesen is feloszthatjuk, ekkor elemi ugrásfüggvényeket kapunk. A rendszer válaszát az egységugrás bemenőjelre átmeneti függvénynek nevezzük és
-vel jelöljük (ld. 3-10. ábra). Valós fizikai rendszerek esetén .
3.10. ábra - Folytonos idejű átmeneti függvény
Formálisan, ha a bemenőjelet integráljuk, akkor a kimenő jelet is integrálni kell, így az egységugrás bemenőjelre adott válasz a súlyfüggvény integrálja lesz.
(3.25)
Természetesen a (3.25) átfogalmazható úgy, hogy az átmeneti függvény időszerinti deriváltja a súlyfüggvény. A kimenőjel az átmeneti függvény és a bemenőjel ismeretében is meghatározható. A időpillanatban a bemenőjel
mértékben változik meg. Ezt a változást nagyságú ugrásfüggvénnyel, vagyis
bemenőjellel modellezzük. E bemenőjelre a rendszer válasza egy olyan átmeneti függvény, amelynek a nagysága meg van szorozva -val és az időben el van tolva -val. Ennek az átmeneti függvénynek az értéke egy adott T időpontban . Ezeket az elemi átmeneti függvényeket kell összegezni, de figyelembe kell venni, hogy u(t)-nek lehetett egy kezdeti ugrása is a t=0 időpontban. Az összegzés eredménye:
(3.26)
3.11. ábra - Folytonos idejű átmeneti (ugrásválasz)
Összefoglalásul megállapíthatjuk, hogy folytonos idejű modell esetén az u(t) bemenőjel az időtartományban felbontható impulzusok vagy ugrások sorozatára, továbbá definiálhatók a rendszer működését általánosan leíró időfüggvények (súly- és átmeneti függvény). Az időtartományban a bemenőjel felbontásával és az
időtartománybeli rendszerfüggvények segítségével egy konvolúciós integrállal ((3.23), illetve (3.26)) a rendszer kimenőjele kiszámítható. A probléma az, hogy a konvolúciós integrál számítása folytonos időben továbbra is bonyolult, ez a matematikai művelet lényegesen leegyszerűsödik a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományban, és részben ez az oka (de nem az egyetlen), hogy folytonos idejű rendszerek esetén áttérünk a frekvencia-, illetve Laplace-operátoros tartományra.
3 - 1 feladat Diszkrét idejű konvolúció
Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű impulzusválasza (súlyfüggvénye) legyen
, , és , ha
• Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a bemenőjel diszkrét idejű egységugrás.
• Mekkora a rendszer erősítése?
Megoldás
A diszkrét idejű az egységugrásra úgy tekintünk mint diszkrét idejű az egységimpulzusok sorozatára. Jelölje az egységugrás -edik időpillanatbeli értékére adott impulzusválasz függvényének -adik időlépésbeli értékét. Írjuk be egy táblázatba és első öt értékét.
k
0 1 1
1 3 1 4
2 2 3 1 6
3 0 2 3 1 6
4 0 0 2 3 1 6
Látható, hogy túllendülés nélkül a lépésben beáll az állandósult értékre. Így a táblázatból kiolvasható, hogy a rendszer erősítése 6.
3 - 2 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)
Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű impulzusválasza (súlyfüggvénye) legyen
, , , , , , , ,
, , , , , és , ha
• Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a bemenőjel diszkrét idejű egységugrás.
• Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a diszkrét idejű bemenőjel a következő:
, , , , , , , ,
, , , , , és , ha
• Mekkora a rendszer erősítése?
3 - 3 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)
Egy diszkrétidejű rendszer diszkrétidejű ugrásválasza (átmenetifüggvénye) legyen
, , és , ha
• Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a diszkrét idejű bemenőjel a következő:
•
és , ha
• Mekkora a rendszer erősítése?
3 - 4 feladat (Házi feladat, megoldását nem közöljük)
Egy diszkrét idejű rendszer diszkrét idejű ugrásválasza (átmeneti függvénye) legyen
, , , , , , , ,
, , , , , és , ha
• Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a bemenőjel diszkrét idejű egységugrás.
• Számítsa ki a rendszer válaszát, ha a diszkrét idejű bemenőjel a következő:
, , , , , , , ,
, , , , , és , ha
• Mekkora a rendszer erősítése?