Fourier-sorfejtés

Az olyan periodikus függvényeket (ld. 3-14. ábra) lehet Fourier-sorba fejteni, amelyek abszolút integrálja egy hosszúságú periódusra véges (A gyakorlatban előforduló esetekben ezzel egyenértékű feltétel, hogy (3.32) szerinti normája legyen véges).

3.14. ábra - Egy periodikus függvény

(3.33)

Ismertnek tekintjük a Fourier-sorok első szokásos, inkább csak matematikusok által használt alakját

(3.34)

Ha folytonos és véges sok differenciálható darabból áll, akkor (3.34) rekonstruálja az eredeti függvényt.

Olyan eseteket is megengedünk, amikor szakaszosan folytonos ( -nek véges számú ugrása van, (példaként ld. 3-14. ábra)), ilyen függvények esetén (3.34) a szakadás helyén a kétoldali határérték számtani közepét adja vissza. Ez a megjegyzés a matematikai korrektség miatt fontos, de a mérnöki gyakorlatban nincs jelentősége, mert valós fizikai folyamatot leíró jelnek akkor van ugrása, ha rövid tranziensű jelenségeket elhanyagolva idealizáljuk a rendszer működését. Ez a tulajdonság öröklődik a később tárgyalandó inverz Fourier és Laplace-transzformáltakra is.

Megjegyezzük, hogy az ún. alapharmonikus körfrekvenciája, az alapharmonikus frekvenciája értelem szerűen adódik: .

(3.34) könnyen átírható arra az alakra, amely a mérnöki gyakorlatban a legelterjedtebb.

(3.35)

A későbbiek szempontjából fontos kitérni a (3.35) fizikai értelmezésére. Egy periodikus függvény, amely kielégíti a (3.33) feltételt előállítható úgy, hogy először vesszük a függvény átlagát, majd ehhez hozzáadjuk amplitúdójú és körfrekvenciájú koszinuszos alapharmonikust a fáziseltolással, majd sorra a koszinuszos felharmonikusokat amplitúdóval, felharmonikus körfrekvenciával és fáziseltolással. Így a periodikus jelet megszámlálhatóan végtelen koszinuszos függvényből állítjuk elő. Hogy az alap- és felharmonikusok a jelben jelen vannak, azt onnan is láthatjuk, hogy ezek megfelelő szűrővel kinyerhetők a jelből, rezonanciára hajlamos rendszereknél rezonanciát okozhatnak. Villamos áramkörök esetén az értéket egyenáramú összetevőnek is szokás nevezni. A (3.35)-ból kiolvasható, hogy egy periodikus jelben az alapharmonikus és a felharmonikusok milyen amplitúdóval és fázisszöggel szerepelnek. Az amplitúdóértékeket szokás a frekvencia (esetenként a körfrekvencia) függvényében ábrázolni. A 3-15. ábra példaként egy négyszögjel alap- és felharmonikusainak az amplitúdóit ábrázoljuk (A periódusidő 10s, a négyszögjel nagysága 1, a számítás részleteit ld. 3-5 mintafeladatban)

3.15. ábra - Egy négyszögjel alapharmonikusának és felharmonikusainak amplitúdói

Bár a fizikai tartalmat (3.35) mutatja a legjobban, az általánosításhoz át kell térni a Fourier-sorok komplex alakjához. Abból indulunk ki, hogy

(3.36)

A (3.36) segítségével (kihasználva, hogy =1) (3.35) a következő komplex alakra írható

(3.37)

ahol az komplex együtthatók és a amplitúdók összefüggése a következő

(3.38)

Látható, hogy egy valós függvényt komplex függvények összegével állítunk elő, így a komplex komponensek fizikailag önmagukban nehezen értelmezhetők, különösen a negatív előjellel szereplő körfrekvenciát nem tudjuk megmagyarázni, de az azonos abszolút értékű pozitív és negatív sorszámú komponensek egymástól függetlenül nem léteznek, egymástól függetlenül nem változnak, az információt együtt hordozzák. A (3.38)-ből kitűnik, hogy és egymásnak komplex konjugáltja,az komplex együtthatók abszolút értéke és fázisszöge szoros kapcsolatban van az adott komponens amplitúdójával és fáziseltolásával. Hangsúlyozzuk, nincs negatív körfrekvencia, csak a (3.36) felbontás miatt a mindig pozitív értékű körfrekvencia negatív előjellel is szerepel a függvény komplex felbontásában.A negatív frekvenciáknak az Euler forma miatt matematikailag van jelentőségük. A (3.37) előnye az, hogy formális hasonlóságot mutat a (3.28) kifejezéssel.

Így már kimondhatjuk: az függvényosztálynak az komplex függvények (ahol és ) ortonormált bázisát alkotják, ha ezen osztályba tartozó két függvény (jelölje ezeket és ) skaláris szorzatát a következő módon definiáljuk:

(3.39)

Az együttható azért kell, hogy a bázis ne csak ortogonális legyen, hanem normált is.

(3.40)

Az ortogonalitás azt jelenti:

(3.41)

(3.29) általánosításaként (3.39) alapján az komplex együtthatók közvetlenül számíthatók

(3.42)

A későbbiek miatt hangsúlyozzuk ki, hogy az komplex együttható függvénye -nak.

Ha az függvényosztályról beszélünk, akkor (3.36) szigorúan véve csak a intervallumra vonatkozik,

(3.43)

Természetesen (3.43) ezen az intervallumon kívül is visszaadja a periodikus függvényt.

A (3.27) és (3.30) általánosítása is fontos szerepet játszik a mérnöki gyakorlatban. A fizikai összefüggések feltárásához alkalmazzuk a (3.35) alakot

(3.44)

Periodikus jelek leginkább a villamosmérnöki gyakorlatban fordulnak elő. A (3.44) fizikai tartalmára egy nagyon egyszerű villamos áramköri példán keresztül világítunk rá. A példa megértéséhez elegendő az Ohm törvényt ismerni és azt tudni, hogy a feszültség és áram szorzata a teljesítmény. Legyen és az

ellenállás feszültsége, árama és pillanatnyi teljesítménye. Ismert:

(3.45)

Tegyük fel, hogy az ellenállást fűtésre használjuk. A feszültség és az áram időfüggvényét egyetlen számmal (normával) szeretnénk jelölni. A szoba hőmérsékletére az átlagteljesítménynek van hatása, így célszerű olyan normát választani, hogy abból az átlagteljesítmény könnyen számítható legyen, ezt a normát a villamos mérnökök effektív értéknek hívják. A (3.45) helyébe a következő egyszerűsített formát szeretnénk felírni:

(3.46)

A (3.45) és (3.46)-ból az következik, hogy a feszültség és áram esetén az effektív értéket a következőképpen kell definiálni:

(3.47)

ahol lehet vagy . Azt feltételezzük, hogy és periodikus, a periódusidő . Vegyük észre, ha a skaláris szorzás definíciója (3.39) alakú, akkor a villamos jeleknél bevezetett effektív érték

megegyezik a jel normájával. Az effektív értéket az átlagteljesítményből származtattuk, így egy villamos jel átlagteljesítménye normájának négyzetével arányos (kiemeljük, hogy ez nem jelent egyenlőséget). (3.44)-ből következik, hogy egy villamos jel effektív értékének négyzete megegyezik az összetevők effektív értékének négyzetösszegével, vagyis (3.44) üzenete az, hogy a jel átlagteljesítménye a komponensek átlagteljesítményének összege. Szokás a jelösszetevők amplitúdónégyzetét is ábrázolni a frekvencia függvényében, ezt szokás teljesítményspektrumnak is nevezni (ismét hangsúlyozzuk, bizonyos jelek esetén ez csupán arányosságra utal, bizonyos jeleknél ez fizikailag nem értelmezhető), periodikus függvényeknek az amplitúdóérték spektrumához hasonlóan a teljesítményérték-spektrumuk is vonalas.

A (3.35) alakú felbontásban a koszinuszos komponensek ortogonálisak, de nem normáltak, ezért kell az ½ szorzó a összegzésénél. Ezzel szemben a (3.43) felbontás ortonormált, így

(3.48)