12. Dinamikus rendszerek általános összefüggései
12.6. Általánosított derivált
A továbbiakban a (2.107) alakú differenciálegyenletekkel leírható rendszerekkel fogunk foglalkozni. Ha r-szeres differenciálhatóságát szigorúan vesszük, és nem akarjuk a rendszereinket túlzottan elbonyolítani, akkor olyan egyszerű működést sem tudunk vizsgálni, hogy valamit be- és kikapcsolunk, vagy a valós fizikai rendszerben valamire kalapáccsal ráütünk. Egy pontosabb modellel ezek a problémák elvileg megoldhatók, figyelembe vehetjük, hogy egy motor bekapcsolásakor a tekercsben az áram hullámként kb. fél fénysebességgel terjed, a kalapács és megütött anyag az ütéskor egy kicsit deformálódik és valójában nem pillanatszerűen csökken a kalapács sebessége nullára. Ha a rendszert nem akarjuk szükségtelenül elbonyolítani, de az alapvető működések vizsgálatáról sem akarunk lemondani, akkor a matematikához kell fordulnunk. Ahhoz, hogy egy nem folytonos függvényt deriválni tudjunk, a függvény fogalmát ki kell terjeszteni. A kiterjesztett értelmű függvény neve disztribúció, amely a hagyományos függvényfogalommal szemben szingularitásokat is megenged (pontos definíciót ld. később).
Definíció
Ha majdnem mindenütt folytonos, akkor az általános értelmű deriváltja az az disztribúció, amely kielégíti a (2.108) egyenletet.
( 2.108 )
ahol az integrálás alsó határánál a azt fejezi ki, hogy az integrálást úgy kell elvégezni, hogy esetleges szakadását a időpillanatban figyelembe tudjuk venni. Ez egyben azt is jelenti, hogy meg kell különböztetni a kezdeti érték jobb és baloldali határértékét.
Értelmezés
Tegyük fel, hogy az időfüggvény folytonos, az idő szerint differenciálható és felírható a következő alakban
( 2.109 )
Ha folytonos és függvény kezdeti értéke a T0 időpillanatban az ismert érték (a múltbeli változások összesített hatása), akkor (2.108) megoldása a (2.108) alakot ölti. és az a cél, hogy (2.108) akkor is megoldása legyen a (2.108) differenciálegyenletnek, ha sem sem folytonosságát nem írjuk elő. Ha megengedjük, hogy az időfüggvénynek szakadása legyen, akkor ez a szakadás a T0 időpillanatban is lehet.
Ez azt jelenti, hogy a kezdeti érték fogalmát is pontosítanunk kell.
Definíció
Az nem folytonos függvény T0 időpillanatbeli kezdeti értékén az függvény T0 időpillanatbeli baloldali határértékét értjük.
Értelmezés
Mérnöki terminológiával ez bekapcsolás előtti értéke. Megjegyezzük, hogy minden olyan függvény, amely bármely véges szakaszon integrálható, értelmezhető disztribúcióként, és akkor deriválható is, mint disztribúció.
Akkor van gond, ha nem integrálható, mert pl. minden pontjában szakadása van. Természetesen a valóságban ilyen nem fordulhat elő, de egy amúgy jól használható egyszerűsített rendszer produkálhat ilyet.
Ebben az esetben ismét két út áll előttünk, vagy a valósághoz közelítve elbonyolítjuk a rendszert, hogy egy ilyen eset ne következhessen be, vagy újabb matematikai eszközöket keresünk, hogy ezt a furcsa esetet is kezelni tudjuk. Mindkét útnak megvan a maga előnye és hátránya. Ezzel a problémakörrel később foglalkozunk, most maradjon itt az a konklúzió, hogy vannak olyan függvények, amelyek a disztribúciók körében sem deriválhatók, és a mérnöki gyakorlatban is találunk olyan rendszereket, amelyeknél (2.108) sem vezet eredményre. Az általános értelmű deriváltra is használjuk a szokásos jelölést (ld. (2.109)). Egy disztribúció is deriválható, és a disztribúció deriváltja is disztribúció. A disztribúcióelmélet túlmutat e tananyag keretein. Bizonyítás nélkül fogadjuk el, hogy e tananyagban a disztribúciókkal elvégzett műveletek hasonló eredményt adnak, mintha az adott műveletet hagyományos függvényeken végeznénk el. Az esetleges eltérésekre mindig külön megjegyzést teszünk.
12.6.1. A disztribúció elmélet alapjai
(elsősöknek nem ajánlott)
A disztribúció pontos definíciójához be kell vezetni a próbafüggvényt, amelynek értéke csak egy véges intervallumon különbözik nullától és létezik tetszőleges számú hagyományos értelmű deriváltja (ebből következik, hogy folytonos és korlátos, de még a negatív végtelentől a pozitív végtelenig vett integrálja is véges).
Egy tipikus próbafüggvény
( 2.110 )
Fogalmazhatunk úgy, hogy matematikai értelemben nagyon jól viselkedő függvény (a szokásos függvény műveletet nehézség nélkül el tudjuk végezni függvényen). Az disztribúció, mint általánosított értelmű (ezért matematikailag nehezen kezelhető) függvény definícióját és számunkra legfontosabb tulajdonságait ehhez a matematikailag jól kezelhető függvényhez kötjük. Az disztribúciót a következő integrál segítségével definiáljuk
( 2.111 )
ahol egy tetszőleges disztribúció segítségével a függvényhez hozzárendelünk egy konkrét számértéket. (Megjegyezzük, hogy azt a matematikai műveletet, amikor egy függvényhez egy számértéket rendelünk, funkcionálnak nevezzük.) Bizonyos esetekben bármely t időponthoz hozzárendelhetünk egy konkrét értéket, ezt nevezzük reguláris disztribúciónak. Pl. ha bármely függvényhez hozzárendeljük egy adott intervallumon vett határozott integráljának értékét (hangsúlyozottan egy konkrét számértéket)
( 2.112 )
akkor könnyen beláthatjuk, hogy
( 2.113 )
Ezzel szemben léteznek olyan disztribúciók, amelyeknél bizonyos t időpontokhoz nem rendelhetünk egy konkrét értéket, ezeket nevezzük szinguláris disztribúciónak. Igazán csak ez utóbbiak miatt van értelme bevezetni a disztribúció fogalmát. Legyen erre példa a következő
( 2.114 )
Azt beláthatjuk, hogy (2.114) esetén , ha , de nem tudjuk egy konkrét számmal megadni értékét. A (2.114) által definiált disztribúció fontos szerepet tölt be a rendszertechnikában, ezzel a 3.1.1 pontban fogunk foglalkozni.
A definíció után térjünk vissza a deriváláshoz. Ha (2.111) mindkét oldalát deriváljuk, akkor a jobb oldal nulla, így
( 2.115 )
(2.115) legfontosabb üzenete: Ha egy lehetséges próbafüggvény, akkor is az, ezért ha (2.111) leír egy disztribúciót, akkor (2.115) annak deriváltját írja le. Konklúzióként megállapíthatjuk, hogy minden
olyan függvény, amely bármely véges szakaszon integrálható, értelmezhető disztribúcióként, és akkor deriválható is, mint disztribúció. A fenti definíció és konklúzió birtokában már közvetlenül is megadhatjuk egy függvény általánosított deriváltját.
2 - 4 feladat Disztribúció deriváltjának meghatározása
Határozza meg a (2.112) segítségével definiált (2.113) disztribúció deriváltjára vonatkozó összefüggést.
Megoldás
( 2.116 )
Látható, hogy a keresett disztribúció szinguláris. Ennél fontosabb megállapítás: Az egység-ugrás függvény általánosított deriváltja alkalmas mintavételezésre.
2 - 5 feladat Egységugrás jel deriváltjának meghatározása
Határozza meg az egységugrásnak, mint disztribúciónak a deriváltját. Kiindulva a disztribúció definíciójából
( 2.117 )
Megjegyezzük, hogy a próbafüggvényre tett kikötésünk miatt garantáltan egy véges számérték. A disztribúció deriváltjára vonatkozó (2.115) összefüggés alapján és figyelembe véve, hogy a próbafüggvény definíciója értelmében
( 2.118 )