Gerjeszt´ esi t¨ orv´ eny anyag jelenl´ et´ eben

A gerjeszt´esi t¨orv´eny az ´aramok ´es a m´agneses er˝ot´er kapcsolat´at r¨ogz´ıti, ez´ert ebben figyelembe kell venni a mikroszkopikus ´aramok er˝oter´et is.

Ez form´alisan amikroszkopikus ´aramoknak a t¨orv´enybe t¨ort´en˝o be´ır´as´at jelenti:

I

L

Bdr=µ₀(I +I_mikro). (5.3)

(Itt I illetveI_mikro a z´art hurok ´altal k¨or¨ulvett fel¨uleten ´atmen˝o val´odi illetve mikroszko-pikus ´aramok el˝ojeles ¨osszeg´et jelenti.)

K´erd´es: adott k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott mennyi a z´art hurokra illesztett fel¨uletet ´atmetsz˝o mikroszkopikus ´aram?

A mikroszkopikus ´aramokat egy egyszer˝us´ıtett modellel sz´am´ıtjuk ki. A modellben az elemi m´agneses dip´olusokat kis k¨or´aramoknak tekintj¨uk, ´es minden dip´olust azonosnak t´etelez¨unk fel.

Mivel a mikroszkopikus ´aramokat makroszkopikus mennyis´egekkel akarjuk megadni, c´elszer˝u a m´agnesez´est makroszkopikusan jellemezni.

Az anyagban jelenl´ev˝o atomi ´aramokat elemi m´agneses dip´olmomentumokkal adjuk meg. Ha az egyes m´agneses dip´olmomentumokat d_mi-vel jel¨olj¨uk, akkor az eg´esz test m´agnesezetts´eg´et a dip´olmomentumok ¨osszeg´evel jellemezhetj¨uk:

d^teljes_m =X

i

d_mi. (5.4)

Lok´alis jellemz˝ok´ent itt is (ahogy az elektromos polariz´aci´on´al) bevezetj¨uk a m´ agne-ses dip´olmomentumok t´erfogati s˝ur˝us´eg´et (sz´am´ert´ekileg a t´erfogategys´eg dip´ olmomen-tuma):

P_m = ∆d^teljes_m

∆V = ∆ (P

id_mi)

∆V . (5.5)

Ez a m´agnesezetts´eg vektora (n´eha M-mel jel¨olik).

N´ezz¨uk meg, hogy a gerjeszt´esi t¨orv´enyben az ¨osszegz´eshez felvett z´art hurok egy kis szakasza ment´en mennyi lesz a z´art hurok ´altal k¨or¨ulz´art fel¨uletetegyszer´atmetsz˝o ´ aram-hurkok sz´ama. A m´agneses dip´olusokat azonosaknak t´etelezz¨uk feld_mi=I_mA_mu_N dip´ ol-momentummal. (Itt I_m az elemi modell-dip´olust alkot´o k¨or´aram er˝oss´ege, A_m a k¨or´aram fel¨ulete,u_N a norm´alis egys´egvektor, amelynek ir´anya az ´aramir´anyhoz a jobbk´ez-szab´aly szerint illeszkedik.)

5.3. ´abra. A mikroszk´opikus ´aramok figyelembev´etele a gerjeszt´esi t¨orv´enyben

A dl szakasz ment´en azok a k¨or´aramok adnak egyetlen metsz´est a z´art hurok ´altal hat´arolt fel¨uleten (5.3. ´abra), amelyeknek centruma benne van az ´abr´an szaggatott vo-nallal jelzett dV = dlAm|cos(α)| t´erfogatban. Ha a dip´olusok t´erfogati darabs˝ur˝us´ege n = ^dN_dV (darab/t´erfogat), akkor az ilyen dip´olusok sz´ama

dN =ndV =ndlA_m|cos(α)|, (5.6)

az ebb˝ol sz´armaz´o – a gerjeszt´esi t¨orv´enyben j´arul´ekot ad´o – ´aramok ¨osszege pedig (ez esetben pozit´ıv):

dI_mikro =I_m dN

dV dlA_mcos(α), (5.7)

A kifejez´es el˝ojelhelyesen adja az ´aramot.

Mivelα a dip´olmomentum-vektor ´es az elmozdul´as ir´any´aba mutat´ou_T egys´egvektor k¨oz¨otti sz¨og, az ´aram vektorokkal is kifejezhet˝o:

dI_mikro= dN

dV d_mdlu_T =P_mdr. (5.8)

Itt bevezett¨uk a dr = dlu_T elmozdul´as-vektort.

eredm´enyt kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a m´agnesezetts´eg vektora ´altal´aban nem ¨orv´ eny-mentes vektorteret alkot.

A mikroszkopikus ´aramok fenti kifejez´es´evel a gerjeszt´esi t¨orv´eny:

I

ahol az integr´al´as (¨osszegz´es) mindk´et esetben ugyanazon L g¨orbe ment´en t¨ort´enik. Ezt felhaszn´alva, az ¨osszef¨ugg´es ´atrendezhet˝o a

I

L

(B−µ₀P_m) dr =µ₀I (5.11)

alakba. Ez azt jelenti, hogy anyag jelenl´et´eben a B− µ0Pm vektormennyis´eg a mak-roszkopikus ´aramokkal ugyanolyan kapcsolatban van, mint v´akuumban aB. Az egyenlet tov´abbi egyszer˝us´ıt´ese ´erdek´eben m´eg egy ´atalak´ıt´ast szok´as v´egrehajtani:

I

Az egyenlet bal oldal´an a z´ar´ojelben szerepl˝o mennyis´eget ´uj fizikai jellemz˝ok´ent szok-t´ak bevezetni, ´es m´agneses t´erer˝oss´egnek (H) nevezik:

H= B

µ₀ −P_m. (5.13)

Haszn´alata nem n´elk¨ul¨ozhetetlen, de a gyakorlatban megszokott, ´es n´eha hasznos is.

Ezzel a gerjeszt´esi-t¨orv´eny ´ıgy alakul:

I

L

Hdr=I, (5.14)

vagy differenci´alis alakban:

rotH=j (5.15)

A gerjeszt´esi t¨orv´enynek ez az alakja azt mutatja, hogy aH¨orv´enyer˝oss´eg´et a val´odi, makroszkopikus ´aramok hat´arozz´ak meg.

A fenti ¨osszef¨ugg´es ´atrendez´es´evel a t´ermennyis´egek kapcsolata a

B=µ₀(H+P_m) (5.16)

alakba is ´ırhat´o.

V´akuumban P_m = 0, ez´ert B=µ₀H, ´es a t¨orv´eny a kor´abbi (v´akuumban ´erv´enyes) alakba megy ´at:

I

L

Bdr=µ₀I. (5.17)

5.1.4. M´ agneses er˝ ot´ er homog´ en, izotr´ op, line´ aris anyagokban

Altal´´ anos ¨osszef¨ugg´es:

B=µ₀(H+P_m). (5.18)

K¨ul¨onb¨oz˝o anyagok eset´en k¨ul¨onb¨oz˝o a P_m ´es a m´agneses er˝ot´er kapcsolata.

Homog´en, izotr´op anyagokban, kis terekn´el legt¨obbsz¨or ´erv´enyes, hogyPm ∼H, ezek az anyagok a line´aris m´agneses anyagok. Az ar´anyoss´agot a P_m =χ_mH alakban szok´as fel´ırni, ahol χ_m az anyag m´agneses szuszceptibilit´asa, amely az anyagi min˝os´egt˝ol f¨ugg.

Megjegyezz¨uk, hogy az anyagok m´agneses tulajdons´againak le´ır´as´an´al t¨ort´enelmi okokb´ol szok´as a m´agneses t´erer˝oss´egvektort f¨uggetlen v´altoz´ok´ent tekinteni.

A tapasztalat szerint a homog´en, izotr´op, line´aris anyagok a m´agneses t´errel kapcso-latos viselked´es¨uk alapj´an k´et nagy csoportba oszthat´ok:

• Az anyagok t¨obbs´eg´en´el a szuszceptibilit´as kis pozit´ıv sz´am: χ_m > 0, nagys´aga 10⁻³−10⁻⁶ k¨oz¨otti ´ert´ek. Ezek a param´agneses anyagok, amelyekben teh´at a m´ ag-neses dip´olusok ered˝oje (a m´agnesezetts´eg vektora) a t´er ir´any´aba mutat. Nev¨uket onnan kapt´ak, hogy a bel˝ol¨uk k´esz¨ult hossz´u, v´ekony r´ud a m´agneses t´errel p´ arhu-zamosan igyekszik be´allni.

• Az anyagok egy m´asik csoportj´an´al a szuszceptibilit´as kis negat´ıv sz´am: χ_m < 0, nagys´aga 10⁻⁶ k¨or¨uli ´ert´ek. Ezek adiam´agneses anyagok, amelyekben a m´agneses dip´olusok ered˝oje (a m´agnesezetts´eg vektora) a t´er ir´any´aval ellent´etes ir´anyba mu-tat. Nev¨uket onnan kapt´ak, hogy a bel˝ol¨uk k´esz¨ult hossz´u, v´ekony r´ud a m´agneses t´erre mer˝olegesen (diametr´alisan) igyekszik be´allni.

A k´et csoport k¨oz¨os jellemz˝oje, hogy m´agneses szuszceptibilit´asuk nagys´aga alig k¨ u-l¨onb¨ozik null´at´ol.

A line´aris viselked´es miatt a t´ermennyis´egek kapcsolata egyszer˝us´ıthet˝o:

B =µ₀(H+P_m) =µ₀H+µ₀χ_mH=µ₀(1 +χ_m)H=µ₀µ_rH=µH. (5.19) Itt µ_r = 1 +χ_m az anyag relat´ıv permeabilit´asa, a µ=µ₀µ_r mennyis´eg az anyag ab-szol´ut permeabilit´asa. Param´agneses anyagokn´al µr>1, diam´agneses anyagokn´al pedig µ_r <1, de mindk´et esetben a relat´ıv permeabilit´as j´o k¨ozel´ıt´essel 1. V´akuumban nincs m´agnesez´es, ez´ert χ_m = 0, ´es µ_r = 1.

Homog´en, izotr´op, ´es m´agneses szempontb´ol line´aris anyagokban a gerjeszt´esi t¨orv´eny egyszer˝ubb alakba ´ırhat´o:

Emiattazonos makroszkopikus ´aramok eset´en minden v´akuumban ´erv´enyes ¨osszef¨ ug-g´esben, ahol szerepel a µ₀, az anyagban ´erv´enyes alakot a µ₀ ⇒ µ₀µ_r cser´evel kapjuk meg.

´Igy ´ırhat´o ´at pl. az egyenes vezet˝o vagy a tekercs m´agneses tere B = µrµ0I

2πr =µ_rB_v, (5.22)

B = µ_rµ₀IN

l =µ_rB_v. (5.23)

Ugyanezekn´el az ´aramokn´al a m´agneses t´erer˝oss´eg H = B szempontb´ol aHaz elektromos t´er jellemz´es´ere bevezetettD-vel anal´og (az csak a val´odi t¨olt´esekt˝ol f¨ugg).

K´et homog´en izotr´op, line´aris anyag hat´ar´an a t´ermennyis´egek vektorai ´altal´aban t¨or´est szenvednek (5.4. ´abra).

A t´erer˝oss´eg-viszonyok sz´am´ıt´asa az elektromos t´erhez hasonl´o m´odon t¨ort´enik: a fel¨uletre simul´o z´art g¨orbe (t´eglalap) ment´en

I

L

Hdr=−H_2T dl+H_1T dl =I. (5.26)

5.4. ´abra. A m´agneses t´erer˝oss´eg ´es az indukci´o t¨or´ese k´et homog´en, izotr´op, line´aris anyag hat´ar´an

Ha a fel¨uletn´el nincsenek makroszkopikus ´aramok, akkor H_1T = H_2T, ´es ilyenkor a m´agneses t´erer˝oss´eg ´erint˝oleges komponense nem v´altozik az ´atmenetn´el (a fel¨uletre mer˝oleges vonaldarabok hossz´aval null´ahoz tartunk, ez´ert nem szerepelnek a vonalinteg-r´alban).

A m´agneses indukci´o vektor v´altoz´as´ar´ol a hat´arfel¨uletre simul´o z´art fel¨uletre sz´ am´ı-tott fluxus ad felvil´agos´ıt´ast:

I

A

BdA=−B_1NdA+B_2NdA= 0, (5.27)

vagyis B_2N =B_1N, teh´at az indukci´o vektor norm´alis komponense v´altozatlan az ´ atme-netn´el.

Ha a hat´arfel¨uleten nincsenek makroszkopikus ´aramok, akkorB,H´esP_m egym´assal p´arhuzamosak maradnak (a fenti ´abra ezt az esetet mutatja).

A t´erer˝oss´eg-vektor t¨or´es´enek t¨orv´eny´et a fenti ´abra ´es a fenti egyenletek alapj´an kaphatjuk meg.

tg(α) = B_1T

B_1N, tg(β) = B_2T

B_2N (5.28)

tg(α)

tg(β) = B_1TB_2N

B_2TB_1N = B_1T

B_2T = µ₁H_1T µ₂H_2T = µ₁

µ₂. (5.29)

5.1.5. A m´ agneses indukci´ o vektor ´ es a t´ erer˝ oss´ eg m´ er´ esi utas´ı-t´ asa az SI-rendszerben

Hat´arfel¨uleten a t´erer˝oss´egvektor tangenci´alis-, az indukci´ovektor norm´alis kompo-nense megy ´at v´altozatlanul, ez´ert egy anyagban a t´erer˝oss´eget elvileg egy a t´erer˝oss´eg ir´any´aban elny´ujtott cs˝o alak´u kiv´ag´asban, az indukci´ovektort pedig a t´erer˝oss´egre me-r˝oleges lapos korong alak´u kiv´ag´asban lehet megm´erni.

Az SI-rendszerben a m´agneses indukci´ovektor elvi m´er´esi utas´ıt´asa egy kism´eret˝u,A fel¨ulet˝u,I_m ´arammal ´atj´art dr´othurokra, vagyis egy m´agneses dip´olusra hat´o forgat´ onyo-mat´ek m´er´es´en alapul.

A dr´othurkot a k´erd´eses helyen ´ugy f¨uggeszt¨unk fel, hogy egy pont k¨or¨ul foroghat.

Az ´aramhurok a m´agneses er˝ot´er hat´as´ara be´all egy meghat´arozott helyzetbe: a hurok s´ıkja ekkor mer˝oleges a B m´agneses indukci´ovektorra (5.5. ´abra), vagyis a hurok s´ıkj´ara mer˝oleges u_N egys´egvektor (´es a m´agneses dip´olmomentum) p´arhuzamos az indukci´ o-vektorral.

Az indukci´ovektor nagys´ag´at ´ugy hat´arozzuk meg, hogy a hurkot, illetve az uN vek-torral p´arhuzamos dip´olmomentum vektortαsz¨oggel kit´er´ıtj¨uk az egyens´ulyi helyzet´eb˝ol,

´

es megm´erj¨uk az ehhez sz¨uks´eges M=d_m×B =AIu_N ×B forgat´onyomat´ekot. Ebb˝ol az indukci´ovektor nagys´ag´at a B = _AI ^M

msin(α) ¨osszef¨ugg´essel sz´am´ıtjuk ki.

5.5. ´abra. A m´agneses indukci´ovektor elvi m´er´esi utas´ıt´asa

Am´agneses t´erer˝oss´eg elvi m´er´esi utas´ıt´asa kompenz´aci´os m´odszer alkalmaz´as´an ala-pul.

A k´erd´eses helyre elhelyez¨unk egy pont k¨or¨ul forgathat´o ir´anyt˝ut. Ha ott m´agneses er˝ot´er van, akkor az ir´anyt˝u be´all egy meghat´arozott ir´anyba (ld. 5.6. (a) ´abra).

Az ir´anyt˝ut k¨or¨ulvessz¨uk egy N menet˝u, l hossz´us´ag´u tekerccsel, amelyben ´aram folyik. Ekkor az ir´anyt˝u ´uj egyens´ulyi helyzetet vesz fel. Ezut´an a tekercs I_m ´aram´at v´ al-toztatjuk, ´es a tekercset forgatjuk, eg´eszen addig, am´ıg az ir´anyt˝u b´armilyen helyzetben

5.6. ´abra. A m´agneses t´erer˝oss´eg vektor elvi m´er´esi utas´ıt´asa

megmarad (5.6. (b) ´abra). Ez azt jelenti, hogy nincs m´agneses er˝ot´er, vagyis az eredeti er˝oteret a tekercs m´agneses er˝otere kompenz´alta.

Ekkor az eredeti m´agneses t´erer˝oss´eg (H) ir´anya a tekercs t´erer˝oss´eg´evel (H_tekercs) el-lent´etes ir´any´u, nagys´aga pedig a tekercs m´agneses t´erer˝oss´eg´evel azonos:H =H_tekercs =

ImN l .

In document K ´ı s ´e rletifizika2. (Pldal 166-173)