A m´ agneses k¨ olcs¨ onhat´ as
4.5. Elektromos ´ aram m´ agneses er˝ otere
A m´agneses er˝ot´erben fell´ep˝o er˝ohat´asok sz´am´ıt´as´an´al mindig felt´etelezt¨uk, hogy a t´er minden pontj´aban ismerj¨uk a B m´agneses indukci´ovektort. Felmer¨ul a k´erd´es, hogy hogyan lehet kisz´am´ıtani egy m´agneses er˝oteret l´etrehoz´o konkr´et t´argy k¨or¨ul kialakult er˝ot´erben a m´agneses indukci´ovektort. A t´argy elvileg lehet egy ´aramvezet˝o vagy egy m´agnes, de az ut´obbi esettel – bonyolults´aga miatt – itt nem foglalkozunk. ´Igy a feladat tulajdonk´eppen egy elektromos ´aram m´agneses er˝oter´enek kisz´am´ıt´asa.
4.5.1. A Biot-Savart-t¨ orv´ eny
A m´agneses er˝ot´er sz´am´ıt´as´anak egy m´odszer´et saj´at m´er´esi eredm´enyeikre t´ amasz-kodva J.B. Biot ´es F. Savart5 adt´ak meg. A m´er´esek alapj´an arra a k¨ovetkeztet´esre jutottak, hogy egy ´aram dl hossz´us´ag´u, elemi szakasza ´altal egy P pontban l´etrehozott dB indukci´ovektor-j´arul´ek nagys´aga az al´abbi kifejez´essel adhat´o meg (4.9. ´abra):
dB ∼ Idl
r2 sin(α). (4.27)
Ittα az ´aram ir´anya ´es a dl ´aramelemt˝ol a vizsg´alt ponthoz (P) h´uzott egyenes ´altal bez´art sz¨og. Ha az ar´anyoss´agi t´enyez˝ot Km-mel jel¨olj¨uk, akkor azt kapjuk, hogy
dB =KmIdl
r2 sin(α). (4.28)
4.9. ´abra. ´Arammal ´atj´art infinitezim´alis vezet˝o szakasz ´altal gerjesztett m´agneses t´er Ha bevezetj¨uk az ´aram ir´any´aba mutat´ouT, ´es az ´aramelemt˝ol aP ponthoz mutat´our egys´egvektorokat (4.9. ´abra), akkor a dB j´arul´ekot vektori alakban is fel´ırhatjuk. Az in-dukci´ovektorra vonatkoz´o m´er´esekb˝ol ugyanis kider¨ult, hogy a m´agneses indukci´
ovektor-5Jean-Baptiste Biot (1774 -1862), F´elix Savart (1791-1841) francia fizikusok
j´arul´ek ( dB) mindk´et egys´egvektorra mer˝oleges, ´es az ´abr´an l´athat´o esetben a rajz s´ıkj´ vo-natkoz´o Biot-Savart-t¨orv´eny (egyes – f˝oleg angol nyelv˝u – k¨onyvekbenAmp` ere-Laplace-t¨orv´enyk´ent szerepel).
Mivel a sztatikus m´agneses er˝oteret egy adott helyen (P) mindig egy z´art ´ aramhu-rok hozza l´etre, a m´agneses indukci´ovektor sz´am´ıt´as´an´al a teljes L ´aramhurok ment´en k¨orbej´arva ¨osszegezni (integr´alni) kell az egyes ´aramelemek j´arul´ekait:
B(P) =KmI I
L
uT ×ur
r2 dl. (4.30)
Ez a teljes ´aramk¨orre vonatkoz´oBiot-Savart-t¨orv´eny. K´ıs´erletileg ezt a t¨orv´enyt lehet ellen˝orizni, az ´aramelemre vonatkoz´o t¨orv´eny csak k¨ozvetve igazolhat´o (a bel˝ole kapott teljes ´aramk¨orre vonatkoz´o fenti t¨orv´eny helyess´ege igazolja).
Formai okokb´ol aKmar´anyoss´agi t´enyez˝ot egy m´asik ´alland´oval szok´as helyettes´ıteni, amit µ0 -lal jel¨olnek, ´es amelynek defin´ıci´oj´at a Km = µ4π0 ¨osszef¨ugg´es adja. Ezzel a e-k´et a fenti ¨osszef¨ugg´es elvileg egy´ertelm˝uen defini´alja. Az SI-egys´egrendszerben azonban el˝osz¨or µ0 ´ert´ek´et defini´alt´ak, ´es csak ezut´an az ´aramer˝oss´eg´et (l´asd 4.7.2 fejezet). A defini´alt ´ert´ek: µ0 = 4π·10−7Vs/(Am).
A Biot-Savart-t¨orv´eny seg´ıts´eg´evel elvileg tetsz˝oleges ´aram ´altal l´etrehozott m´agneses er˝ot´er tetsz˝oleges pontj´aban meghat´arozhat´o a m´agneses indukci´ovektor, de szab´alytalan alak´u ´aramvezet˝o eset´en a sz´am´ıt´as komoly neh´ezs´egeket okozhat, t¨obbnyire csak k¨ozel´ıt˝o m´odszerekkel hajthat´o v´egre.
4.5.2. A Biot-Savart-t¨ orv´ eny alkalmaz´ asai
Itt p´eldak´ent k´et egyszer˝u esetet t´argyalunk: el˝osz¨or kisz´am´ıtjuk a m´agneses induk-ci´ovektort egy k¨or alak´u vezet˝o eset´en a k¨or k¨oz´eppontj´aban, majd ¨osszefoglaljuk, hogy hogyan lehet meghat´arozni egy hossz´u egyenes vezet˝oben foly´o ´aram m´agneses er˝oter´et.
M´agneses indukci´ovektor k¨orvezet˝o k¨or´enek k¨oz´eppontj´aban
Itt a m´agneses indukci´ovektor nagys´ag´at a Biot-Savart-t¨orv´eny alkalmaz´as´aval, az L vezet˝ohurok (k¨or) ment´en t¨ort´en˝o ¨osszegz´essel kapjuk meg (4.10. ´abra). Felhaszn´alva, hogy azuT ´esur egys´egvektorok mer˝olegesek egym´asra (|uT×ur|= 1), tov´abb´a a vezet˝o minden pontja ugyanolyan t´avols´agra (R) van a P pontt´ol, azt kapjuk, hogy
B(P) = µ0
4πI I
L
|uT ×ur|
R2 dl = µ0
4πI I
L
1
R2 dl= µ0
4πR2I I
L
dl. (4.32)
4.10. ´abra. M´agneses indukci´ovektor k¨orvezet˝o k¨oz´eppontj´aban
A dl szakaszok ¨osszege a k¨or ment´en viszont ´eppen a k¨or ker¨ulet´evel egyenl˝o, ez´ert a keresett indukci´ovektor nagys´aga
B(P) = µ0
4πR2I2Rπ = µ0I
2R. (4.33)
Az indukci´ovektor ir´any´at a uT ×ur vektorszorzat ir´anya adja meg, vagyis az ´abra szerinti elrendez´esben az indukci´ovektor a k¨or s´ıkj´ara mer˝olegesen felfel´e mutat.
Vonalszer˝u, egyenes vezet˝o m´agneses er˝otere
Kicsit hosszabb sz´amol´assal, de k¨ul¨on¨osebb bonyodalmak n´elk¨ul kisz´am´ıthat´o az in-dukci´ovektor egy nagyon v´ekony, nagyon hossz´u (elvileg v´egtelen) egyenes vezet˝o k¨or¨ul kialakul´o m´agneses er˝ot´erben. Az indukci´ovektor – a Biot-Savart-t¨orv´ennyel, ´es a tapasz-talattal ¨osszhangban – mer˝oleges az ´aram ir´any´ara, nagys´aga pedig a sz´amol´as szerint az ´aramvezet˝ot˝ol m´ert R t´avols´aggal cs¨okken, a
B = µ0I
2πR (4.34)
4.11. ´abra. V´egtelen egyenes vezet˝o m´agneses ter´enek sz´am´ıt´asa a Biot-Savart-t¨orv´eny seg´ıts´eg´evel
¨osszef¨ugg´es szerint.
A sz´amol´ast a4.11. ´abra seg´ıts´eg´evel v´egezhetj¨uk el, amelyen l´athat´o az ´aram egy ele-mi dl szakasza, amelynek indukci´o-j´arul´ek´at a Biot-Savart-t¨orv´eny seg´ıts´eg´evel ´ırhatjuk fel:
dB(P) = µ0
4πIuT ×ur
r2 dl. (4.35)
Ebb˝ol l´atszik, hogy az indukci´ovektor mer˝oleges az ´aram ir´any´ara ´es azRszakaszra, ´es az ´abr´an berajzolt k¨or ´erint˝oje ir´any´aba mutat. Az indukci´ovektor nagys´aga aP pontban
dB(P) = µ0
4πI|uT ×ur|
r2 dl= µ0
4πIsin (π−ϑ)
r2 dl = µ0 4πIsinϑ
r2 dl. (4.36) Mivel
dlsinϑ
r = dlcosα r = ds
r = dα, (4.37)
tov´abb´a
r= R
cosα, (4.38)
´ıgy
dB(P) = µ0 4πIsinϑ
r2 dl = µ0I
4πRcos(α) dα. (4.39)
Az egyenes vezet˝o ´altal okozott indukci´ovektor teljes nagys´ag´at a dl szakaszok j´ a-rul´ekainak ¨osszegz´es´evel, azaz integr´al´assal kapjuk meg (minden szakasz j´arul´eka azonos
ir´any´u):