Elektromos ´ aram
3.1. Az elektromos ´ aram le´ır´ asa
3.1.1. Az ´ aramer˝ oss´ eg
fel´e (teh´at a
”hivatalos” ´aramir´annyal szemben) mozognak, ´es ugyanezt eredm´enyezik, vagyis a kondenz´ator kis¨ul.
Term´eszetesen, ha k´ıv´ancsiak vagyunk az ´aramvezet´es mechanizmus´ara ´es az anyag vezet´esi tulajdons´agaira, akkor meg kell vizsg´alni, hogy a val´os´agban milyen t¨olt´ eshor-doz´ok, milyen m´odon mozognak.
3.1.1. Az ´ aramer˝ oss´ eg
Az ´aram k¨ozel´ıt˝o jellemz´es´ere haszn´alhatjuk a vezet˝o keresztmetszet´en egy ir´anyban
´atfolyt t¨olt´es (∆Q) ´es az ´atfoly´asi id˝o (∆t) h´anyados´at:
I ≈ ∆Q
∆t . (3.1)
Az ´ıgy defini´altI mennyis´eg a ∆tid˝otartamra vonatkoz´o ´atlagoselektromos ´aramer˝oss´eg.
Ha az ´aramer˝oss´eget egy adott id˝opillanatban akarjuk megadni, akkor az I = lim
∆t→0
∆Q
∆t = dQ
dt , (3.2)
mennyis´eget haszn´alhatjuk, amit pillanatnyi elektromos ´aramer˝oss´egnek nevez¨unk. Ha az ´aramer˝oss´eg id˝oben nem v´altozik, akkor az elektromos ´aramot id˝oben ´alland´o-, ide-gen sz´ovalstacion´arius ´aramnak nevezik. A defin´ıci´o alapj´an az ´aramer˝oss´eg SI-egys´ege:
1 C/s = 1 amper = 1 A1.
Az ´aramer˝oss´eg a keresztmetszetre vonatkoz´o ´atlagos mennyis´eg (a keresztmetszet k¨ul¨onb¨oz˝o r´eszein k¨ul¨onb¨oz˝o lehet a t¨olt´es´araml´as ¨uteme). A keresztmetszeten bel¨uli lok´alis t¨olt´es´araml´as jellemz´es´ere vezett´ek be az ´arams˝ur˝us´eget, amelynek nagys´ag´at k¨ o-zel´ıt˝oleg egy az ´araml´as ir´any´ara mer˝oleges ∆A⊥ nagys´ag´u elemi fel¨uletelemen ´atfoly´o
∆I ´aram ´es a fel¨ulet h´anyadosa adja meg (3.4. (a) ´abra):
j ≈ ∆I
∆A⊥
. (3.3)
1Andr´e-Marie Amp`ere 1775–1836 francia fizikus tisztelet´ere
A fel¨ulet egy pontj´aban az ´arams˝ur˝us´eg pontos ´ert´ek´et a m´ar ismert m´odon kapjuk:
j = lim
∆A⊥→0
∆I
∆A⊥
= dI dA⊥
(3.4) (az ´arams˝ur˝us´eg sz´am´ert´eke: egys´egnyi fel¨uleten egys´egnyi id˝o alatt ´athaladt t¨olt´es). Az
´
arams˝ur˝us´eg SI-egys´ege: 1 A/m2.
3.4. ´abra. Az ´aramer˝oss´eg ´es az ´arams˝ur˝us´eg viszonya az ut´obbira mer˝oleges (a) illetve nem mer˝oleges (b) fel¨ulet eset´en
Ha az ´arams˝ur˝us´eggel egy´uttal az ´aram ir´any´at is jellemezni akarjuk, akkor olyan vektork´ent defini´alhatjuk, amelynek ir´anya az ´araml´as ir´any´aval egyezik meg (3.4. (a)
´ abra):
j=juI = dI dA⊥
uI, (3.5)
ahol uI az ´aram ir´any´aba – vagyis a pozit´ıv t¨olt´esek mozg´asir´any´aba – mutat´o egys´ eg-vektor.
Az a t´eny, hogy annak idej´en az ´aram ir´any´at a t´erer˝oss´eggel azonos ir´anyban mozg´o t¨olt´esek – vagyis a pozit´ıv t¨olt´esek – mozg´asi ir´anyak´ent defini´alt´ak, azzal a k¨ ovetkez-m´ennyel j´ar, hogy ha a t¨olt´eshordoz´ok negat´ıv t¨olt´es˝uek (ez a helyzet pl. a f´emekben), akkor az ´aram ir´anya ellent´etes a t¨olt´eshordoz´ok t´enyleges mozg´asi ir´any´aval.
Ha a fel¨uletelem nem mer˝oleges az ´araml´as ir´any´ara (3.4. (b) ´abra), akkor ∆A⊥ =
∆Acosα miatt
j ≈ ∆I
∆Acosα, illetve j = dI
dAcosα. (3.6)
Ugyanez vektori alakban
j= dI
dAcosαuI. (3.7)
Ennek alapj´an egy ∆A fel¨uletelemen ´atfoly´o ∆I ´aram kifejezhet˝o az ´arams˝ur˝us´eg nagy-s´ag´aval is:
∆I =j∆Acosα. (3.8)
Ezzel egy v´eges fel¨uleten ´atfoly´o teljes ´aram is megadhat´o, ha az egyes fel¨uletelemeken
´
atfoly´o ∆I ´aramokat ¨osszeadjuk:
I ≈X
i
ji∆Aicosαi (3.9)
Ha bevezetj¨uk a fel¨uletelemre mer˝oleges ∆A = ∆AuN fel¨uletvektort (3.5. ´abra), akkor l´athat´o, hogy azαsz¨og ´eppen a fel¨uletvektor ´es az ´arams˝ur˝us´eg-vektor ´altal bez´art sz¨og. Ez´ert az elemi fel¨uleten ´atfoly´o ´aram e k´et vektor skal´aris szorzatak´ent is fel´ırhat´o:
∆I =j∆A. (3.10)
3.5. ´abra. Az ´aramer˝oss´eg sz´am´ıt´asa egy kis fel¨uletelem eset´en
3.6. ´abra. Az ´aramer˝oss´eg sz´am´ıt´asa egy v´eges fel¨ulet eset´en V´eges A fel¨uleten ´atfoly´o teljes ´aram ennek alapj´an (3.6. ´abra):
I = lim
∆Ai→0
X
i
ji∆Ai = Z
A
jdA. (3.11)
A fenti integr´alt egy z´art fel¨uletre kisz´amolva megkapjuk a fel¨ulet ´altal k¨orbez´art t´erfogatb´ol egys´egnyi id˝o alatt ki´araml´o t¨olt´es mennyis´eg´et. (Az 1. fejezetben a Gauss-t¨orv´eny t´argyal´as´an´al megismert konvenci´o szerint z´art fel¨ulet eset´en az elemi fel¨ ulet-vektorok kifel´e mutatnak, ´ıgy a kifel´e foly´o ´aram pozit´ıv, a befel´e foly´o pedig negat´ıv el˝ojellel szerepel az integr´alban.) Ezzel fel´ırhatjuk az adott fel¨ulet ´altal k¨orbez´art t¨olt´es id˝obeli v´altoz´as´at:
A fenti egyenlet a t¨olt´esmegmarad´as alapvet˝o t¨orv´eny´et fejezi ki: elektromos t¨ ol-t´est kelteni ´es elt¨untetni a tapasztalat szerint nem lehet, egy adott t´erfogatban a t¨olt´es mennyis´ege csak az abba befoly´o ´es kifoly´o ´aramok k¨ovetkezt´eben v´altozhat. Megjegy-zend˝o, hogy ez az egyenlet speci´alis esete egy ´altal´anos t¨orv´enynek, amely valamilyen mennyis´eg (pl. t¨omeg, t¨olt´es, energia, stb.) egyik helyr˝ol a m´asikra ´aramlik. Az anyag-mennyis´eg megmarad´as´at kifejez˝o egyenletet ´altal´anos esetben kontinuit´asi egyenletnek nevezik. A kontinuit´asi egyenlet ´araml´astani alkalmaz´as´aval m´ar a K´ıs´erleti Fizika I.
t´argyban tal´alkoztunk.
Az adott t´erfogatban l´ev˝o t¨olt´es ´ert´ek´et helyettes´ıthetj¨uk a t¨olt´ess˝ur˝us´eg t´erfogatra vett integr´alj´aval. ´Igy a k¨ovetkez˝ot kapjuk:
Z
Az egyenlet jobb oldal´at a Gauss–Osztrogradszkij integr´alt´etel (ld. Matematikai ¨ ossze-foglal´o,??. fejezet) seg´ıts´eg´evel szint´en t´erfogati integr´all´a alak´ıthatjuk:
Z
E k´et t´erfogati integr´al ´ert´eke akkor ´es csak akkor lehet mindenV t´erfogatra egyenl˝o, ha az integrandusok is megegyeznek, azaz:
dρ
dt =−divj. (3.15)
Ez az egyenlet a t¨olt´esmegmarad´as t¨orv´eny´et fejezi ki differenci´alis form´aban: az
´
araml´asi t´er minden pontj´aban a t¨olt´ess˝ur˝us´eg id˝oegys´eg alatt bek¨ovetkezett megv´ alto-z´asa megegyezik az elektromos ´aram forr´ass˝ur˝us´eg´enek m´ınusz egyszeres´evel.