Folyadékok nyomása, hidrosztatika

A hidrosztatika a nyugvó folyékony közegekben fellépő nyomások és az azokból származó erőhatások számításával foglalkozik. Egyes folyékony közegekben nyugalmi állapotban nyírófeszültség nem lép fel, ezek a newtoni folyadékok, melyeket ideálisan viszkózus folyadékoknak is neveznek. Ebből következően a folyékony közeget határoló felületelemre csak a felületi normális irányában ható erők működnek. A nem newtoni (pl.

többkomponensű) folyadékokra az előbbiek nem érvényesek.

Vegyünk fel nyugvó folyadékban egy zárt felületet (lásd 3.3 ábra) és annak egy felületelemét, illetve az azt jellemző F felületelem-vektort, amely merőleges a felületelemre, abszolút értéke arányos a felületelem nagyságával és a zárt felületből kifelé mutat. A F felületelemre ható erőt jelöljük K-val [7].

3.3 ábra: A nyomásból származó erők 1.

Forrás: [7]

Nyugvó valóságos (súrlódásos) folyadékban nem tartható fenn nyírófeszültség, ezért K-nak merőlegesnek kell lennie a felületre. Ugyanez érvényes súrlódásmentes közegben is, függetlenül attól, hogy nyugszik-e vagy áramlik. Ezekben az esetekben a nyomás értéke megegyezik az egységnyi felületre ható erő abszolút értékével, lásd korábban. A nyomás akkor pozitív, ha az erő befelé mutat. A következő ábrán a nyugvó folyadékban gondolatban elhatárolt, háromszög hasáb látható. Mivel a folyadék nyugalomban van, a hasáb felületén ható erők és a hasábra ható súlyerő egyensúlyban van [7].

3.4 ábra: A nyomásból származó erők 2.

Forrás: [7]

Ha a hasábot egy pontra zsugorítjuk, a hasábra ható térerősség (pl. súlyerő) a felületi erőkhöz képest eltűnik, miután az a jellemző méret köbével, míg a felületi erő annak négyzetével arányosan csökken. Az egy pontra zsugorított hasáb esetén tehát a felületen ható, nyomásból származó erők vannak egyensúlyban. Ezt az erőt a következő ábrán bemutatott a felületi erők záródó vektorháromszöge fejezi ki, amelynek oldalai merőlegesek a hasáb oldalaira. Következésképp a vektorháromszög hasonló a hasáb háromszög alakú keresztmetszetéhez.

3.5 ábra: A nyomásból származó erők 3.

Forrás: [7]

Ebből következik, hogy a p nyomás az erők és a felületek arányossága miatt, a hasáb minden oldalán azonos. Tehát a nyomás irányításnélküli, skaláris mennyiség. A nyomás általában a hely és az idő függvénye, tehát p = p(x, y, z, t) négyváltozós függvénnyel (skalártérrel) írható le. Hasonlóan hőmérséklet-eloszláshoz.

Ha egy folyadékkal töltött edény falára lyukat fúrunk, a hidrosztatikai nyomás következményeként a folyadék távozik az edényből. A kiömlő víz energiája (vagyis, hogy milyen messze fog talajt érni az edénytől) függ a nyomástól, a folyadékoszlop

tapasztalható nyomás, amely a hely fölötti gáz illetve folyadék súlyából származik. A nyomás tulajdonképpen területegységre eső erő, az erő itt pedig a nehézségi erő. A nyomás minden irányban hat, mivel szabadon terjed a közegben. Ennek köszönhetően alakul ki az egyensúlyi állapot, vagyis a fellépő erők ellenére a közeg részecskéi nem mozdulnak el. Különböző mélységekben azonban különböző a nyomás, hiszen eltérő az egyes helyek fölötti folyadékoszlop magassága, így az ebből eredő nyomás.

Egy adott helyen a nyomást kifejezhetjük a következő képlettel:

F gz Azg F

Vg F

mg F G F

P _ K _{  }  _  _  (3.9)

ahol p a nyomás, K a nyomóerő, F a felület, G a súlyerő, m a folyadék tömege, g a gravitációs gyorsulás,  a folyadék sűrűsége, V a folyadék térfogata, h a zA folyadék-oszlop magassága).

3.6 ábra: A nyugvó folyadékbeli nyomás mérése U-csöves manométerrel Forrás: [8]

A (3.9) egyenlet és a fenti ábra alapján értelmezhetjük, hogy a folyadékban a növekvő mélységgel, nő a nyomás is. Ezt a manométereknél bekövetkező folyadékszint-változás szemlélteti.

KÍSÉRLET:

Egy nem túl vékony, szájával felfelé, függőlegesen tartott U alakú csőbe folyadékot töltve, a folyadékszint mindkét oldalon ugyanolyan magasra áll be (3.7 ábra). Ugyanez az eredmény akkor is, ha több egymással összekötött („egymással közlekedő”) függőleges csőben vizsgáljuk a kialakult szinteket. Az egyes csövek alakjától függetlenül minden csőben ugyanolyan magas a folyadék szintje.

3.7 ábra: Folyadékoszlop magassága Forrás: [9]

A közlekedőedény minden ágában ugyanolyan magasan áll a víz. Ennek az oka, hogy a folyadékoszlop hidrosztatikai nyomása nem függ a folyadékoszlop alakjától. Vegyünk ugyanolyan alapterületű különböző alakú edényeket! Az aljukat vágjuk ki! A nyomóerő függ a nyomott felület nagyságától. Mivel minden edény alapterülete ugyanakkora, ezért ha ugyanakkora a nyomás az aljuknál, akkor a nyomóerő is ugyanakkora. Ez egy kis karos mérleggel megmutatható. Mindegyik edényben ugyanolyan magasan áll a víz, amikor lenyomja a kart és elkezd kifolyni [9].

3.8 ábra: Folyadékok súlymérése, hidrosztatikai paradoxon Forrás: [10]

Miután a folyadék súlyerejét a (3.9) összefüggéssel meghatározzuk, és az edény alakjá-tól függően a folyadéktérfogatok értéke más és más, látjuk, hogy a tartály aljára ható erő nem feltétlenül egyenlő a benne lévő folyadék súlyerejével, hanem annál nagyobb is vagy kisebb is lehet. Ezt a jelenséget hidrosztatikai paradoxonnak nevezzük [10].

A hidrosztatikai paradoxonban rejlő látszólagos ellentmondás természetesen feloldható, hiszen, ha az edény oldalfaláról a folyadékra átadódó erőket is figyelembe vesszük, a folyadékra ható erők eredője zérusra adódik. Az edény oldalfalára ható, a folyadéknyomásból származó erők meghatározása azonban még egyszerű formájú edény esetében is összetett feladat, mert a nyomás a felületen nem állandó, hanem a

megoszló erőrendszer, amelynek intenzitása a mélységgel egyenesen arányosan változik.

Természetesen az ilyenkor szokásos elvet követve, vagyis a felületet olyan elemekre osztva, amelyeken belül a nyomás állandónak vehető, az ezen felületelemekre ható erők meghatározhatók, és összegzésükkel az edény oldalfalára ható erő nagysága általában kiszámítható. Az így adódó erő tehát az a koncentrált erő, amellyel a folyadéknyomásból származó erőrendszer helyettesíthető, azaz a megoszló erőrendszer eredője.

3.2.4 A súlyos folyadék és szilárd test egyensúlya: Arkhimédész