5. A dielektromos állandó mérésének elméleti alapjai
5.2 A dielektromos állandó számítása a tápvonalban mért paraméterek matematikai összefüggései alapján
Az irodalom szerint kétféle dielektromos állandó létezik. Az egyik, amely megadja, hogy a dielektrikum milyen mértékben képes polarizálódni az adott frekvenciával változó vagy éppen stacionárius tér hatására, azaz milyen kölcsönhatás lép fel az anyag és az elektromágneses tér között. Ez másképpen kapacitás dielektrikumként alkalmazva, a töltéstárolási képesség megváltozását jelenti. Ezt a dielektromos állandót ε’-vel jelöljük. A másik fajta dielektromos állandó a dielektrikumnak az a képessége, hogy milyen mértékben képes az adott frekvenciával változó térből energiát adszorbeálni, felvenni. Ez a képesség statikus tér esetén nem létezik. Ezt a dielektromos állandót ε’’-vel jelöljük. A két dielektromos állandót szokás komplex alakban is felírni, ekkor ε’ a valós-, ε’’ a képzetes részt jelenti.
ε ε
ε = ′− j ′′ (5.11)
Ismeretes továbbá a két dielektromos állandó hányadosaként definiálni az úgy nevezett veszteségi tényezőt, mely a veszteségi szög tangense.
'
'' ε δ = ε
tg (5.12)
Egy tápvonal karakterisztikus impedanciája vagy más néven, hullámellenállása Z0, ennek reciproka a karakterisztikus admittancia vagy hullámadmittancia Y0, a következő egyenlet alapján adható meg:
1
A fenti összefüggések szerint definiálhatjuk a komplex terjedési tényezőt:
β α ω
ω
γ = (R1+ j L1)(G1 + j C1) = + j (5.14) A komplex terjedési tényező kifejezésében szereplő α a csillapítási tényező, β a fázistényező.
A β fázistényező jelentését a következő képen érthetjük meg. Legyen a tápvonalon mért hullámhossz λ, akkor az időt változatlannak tekintve, a fázis a tápvonal hosszában 2π változást mutat két egymás után következő azonos fázisú pont között, tehát x és x + λ helyeken, vagyis 2π szerint periódikus. Tehát:
π
Tehát a β fázistényező a tápvonal hosszában kialakuló hullám fázishelyzetére jellemző. A hullámhosszon belüli koordináta, vagy eltolódás értékével megszorozva a fázisszöget adja radiánban.
Az α csillapítási tényező a következő alakban is felírható:
d αd a dielektromos veszteség. Nagyfrekvenciás tápvonalaknál az egyszerű átvezetés hatása elhanyagolható, a veszteség teljes részben a dielektrikumból ered, melynek rendszerint a veszteségi szögét ismerjük. αd kifejezését ennek megfelelően át kell alakítanunk.
Egy C1 kondenzátor veszteségi szöge megadható a kondenzátor és a vele párhuzamosan kapcsolt ellenállás impedanciájával, az alábbi ismert összefüggéssel:
ebből az egyenértékű átvezetés:
δ ω C tg
G1 = ⋅ 1⋅ (5.19)
Ezt behelyettesítve αd (5.17) szerinti kifejezésébe kapjuk, hogy ω δ
ahol, a (5.13) összefüggésből veszteségmentes tápvonalra
1
ahol λ1 a dielektrikumban mért hullámhossz.
A tápvonal x helyén dx hosszúságban a feszültség megváltozását megkapjuk, ha az áramot a dx hosszúságú tápvonal soros impedanciájával megszorozzuk:
dx Z I
dU =− ⋅ 1⋅ (5.23)
Hasonlóképpen kapjuk meg az áramváltozást dx szakaszra, ha a feszültséget a dx hosszúságú tápvonal sönt-admittanciájával szorozzuk:
dx Y U
dI =− ⋅ 1⋅ (5.24)
A fenti két egyenletet átrendezve kaphatjuk, hogy
Z1
A (5.25) egyenletet deriválva és (5.26) egyenletbe behelyettesítve, valamint (5.26) kifeljezést deriválva és (5.25)-be behelyettesítve az alábbi differenciálegyenleteket kapjuk:
ahol a következő helyettesítést alkalmaztuk:
2
A (5.27) és (5.28) összefüggést távíró egyenleteknek is szokták nevezni, mivel először hosszú távírókábelek számításához használták őket.
A vonal mentén a feszültséget a távíróegyenletek általános megoldása adja:
x
x B e
e A
U = ⋅ −γ⋅ + ⋅ γ⋅ (5.30)
Az áramot úgy kapjuk meg, hogy a fenti egyenletet differenciáljuk és (5.25)-vel egyenlővé tesszük. Ebből,
)
Ha a tápvonal hosszát a lezárástól számítjuk, akkor a lezárástól mért vonalhossz l = -x. Ezt (5.30) és (5.31) kifejezésbe helyettesítve kapjuk, hogy
l
l B e
e A
U1 = ⋅ γ + ⋅ −γ (5.32)
l
A tápvonalban haladó és reflektált hullám a következő összefüggésekkel adható meg: állandókat kiszámíthatjuk. Ha (5.32), (5.33) –ban l=0 helyettesítést alkalmazunk akkor Ul=Uz és Il=Iz lesz. Ebből,
B A
Uz = + , Z0 ⋅Iz = A−B (5.36) A fenti két egyenletet összeadva és egymásból kivonva adódik:
z
Az A és B mennyiségek komplex vektorok, és igaz, hogy B
A ≥ (5.39)
mivel a reflektált hullám amplitúdója nem lehet nagyobb a haladó hullám amplitúdójánál. A (5.35) összefüggés megadja, hogy hogyan számítható ki a tápvonal tetszőleges l helyén a feszültség. A visszavert hullám és a haladó hullám arányát reflexiós tényezőnek nevezzük. A feszültségreflexiós tényező a következő kifejezéssel adható meg:
l
A fenti összefüggés alapján láthatjuk, hogy a reflexiós tényező értéke függ a helytől, tehát a tápvonal mentén változik. A reflexiós tényező értéke a lezárás helyén, vagyis l=0 helyen:
0
A haladó és visszavert hullámok a tápvonalban haladva interferálnak, azaz összegződnek illetve kivonódnak egymásból. Egyszerűen belátható, hogy a tápvonalban kialakuló legnagyobb hullám-amplitúdó a két hullám összegződésekor jön létre, a legkisebb amplitúdó pedig, a haladó és visszavert hullámok kivonódásakor. Az, hogy ezek hol következnek be, a haladó és visszavert hullámok fázishelyzetétől függ. A tápvonalban kialakuló feszültség maximum és minimum értékei:
B A
Umax = + Umin = A− B (5.42)
Definíció szerint, azt a viszonyszámot, mely megadja, hogy Umax értéke hányszorosa Umin értékének feszültség állóhullám-aránynak nevezzük. Jele r.
0
Az állóhullám-arány összefüggésének bevezetése azért szükséges, mert ez az a mennyiség, amit közvetlenül mérni tudunk a tápvonalban. Az állóhullám-arány ismeretében a reflexiós tényező könnyen kiszámítható.
1
A fentiek ismeretében megadhatók azok az összefüggések, amelyek a mikrohullámú tápvonalban a dielektrikum minta behelyezése előtti és utáni állapotokra vonatkoztatva, megadják a minta dielektromos állandójának értékét.
Az ε’ számításához tudjuk, hogy a behelyezett minta megváltoztatja a tápvonalban a hullám terjedését. A terjedési tényező két részből áll a csillapítási tényezőből és a fázistényezőből.
( )
⎟⎟ A dielektromos állandó tehát, arányos a terjedési tényezővel:⎟⎟⎠
ahol
b: a tápvonal magassága
Keps: együttható, mely a minta és az elektromos tér intenzításának viszonylagos értékétől függ
h: a minta magassága
ΔX: a rövidzár eltolásának értéke
λT: a tápvonalban terjedő elektromágneses hullám hullámhossza Keps1 = Keps appl * Keps minta
b viszony 1 értékű, mivel a minta magassága megegyezik a tápvonal magasságával. Az előzőeket és a mérések tapasztalatit figyelembe véve tehát a dielektromos állandó számítási összefüggése:
)
A dielektromos veszteségi tényező számításához hasonló összefüggés vezet:
r
A dielektromos veszteség arányos a minta által a tápvonalban elnyelt energia nagyságával, tehát arányos a tápvonalban kialakuló állóhullám-aránnyal. Az állóhullám-arány értéke a tápvonal megfelelő pontjaiban mért térerősségek hányadosa.