Denavit–Hartenberg-transzformáció

Írjuk fel a fenti mátrixegyenletet az alábbi alakban:

 előző-ekben felírt mátrixegyenlettel, az utolsó egyenlete pedig az 1 = 1 azonosság, így a két mátrixegyenlet ekvivalens. A fentiek alapján az

x

vektor homogén koordinátás alakjának az 1 értékű negyedik koordinátával kiegészített

x

vektort nevezzük.

5.2.4. Denavit–Hartenberg-transzformáció

A robotkarok csuklóval való kapcsolódása általános kialakítást tekint-ve az 5.7. ábra szerinti kinematikai láncot adja. Az ábrán így általánosan

be-mutatható a karokhoz rögzített koordinátarendszerek egymáshoz viszonyított helyzete, illetve egymásba való transzformációja. Tekintsük a két egymást

a_i

követő koordináta rendszert az 5.8. ábrán megadott jellemzőkkel adottnak.

Az x₂ y₂ z₂ koordinátarendszer tengelyei 2 és 2 szöggel való elforgatás után x1 y1 z1 koordinátarendszer irányával azonosak lesznek, ezt a transzfor-mációt a

forgatómátrix hajtja végre. Ahhoz, hogy a két koordinátarendszer



2

2

2 x y

z 2

2

2

x1 z1

y1 s

2

a₂

P

x 1P

x2P

y1P

y2P

z1P z2P

5.8. ábra

teljesen fedje egymást még az x₂ y₂ z₂ koordinátarendszer kezdő pontját























2 2 2

2 2

s sin a

cos a

p (5.13)

mértékkel el kell tolni. Az (5.12) mátrix bővíthető az (5.13) vektorral. Ho-mogén koordinátákat alkalmazva az x1 és z1 tengely körüli forgatást és az x1, y1 és z1 tengely menti eltolást együttesen értelmező ún. Denavit–Hartenberg-mátrixhoz jutunk;

 Az 1 és 2 koordinátarendszer közötti transzformáció

x₁ = DH₁₂ x₂ (5.15) mátrixegyenlettel írható le, ahol

x₁

illetve

 A fenti elvek egyenesbe vezetéses kinematikai lánc esetén is alkalmaz-hatók – 5.9. ábra.

5.9. ábra

Több robotkar egymáshoz kapcsolásával létrejövő esetben is értelmez-hető az (5.15) illetve az (5.18) alatti feladat. Ez esetben egyes koordináta-rendszerek transzformációját megvalósító DH mátrixok összeszorzódnak és az (5.15) egyenlet

x₁ = DH_1n · x_n (5.19) egyenletté alakul át.

A robotirányítás gyakorlatában a Denavit–Hartenberg-transzformációnak nem az (5.19) összefüggéssel meghatározott formáját alkalmazzák. Az esetek nagy többségében nem adott forgatási szög és az eltolási mértékhez kell va-lamelyik koordinátát meghatározni, hanem a koordináták és az eltolási mér-ték ismeretében kell előállítani a forgatási szögeket. A koordinátarendszerek célszerű felvételével a forgatási szögek megegyeznek a robot csukló koordi-nátáit megvalósító szögelfordulásokkal.

Alkalmazzuk a fenti elvet az 5.10. ábrán lévő robotra.

a_i

si

xi - 1

yi - 1

zi - 1

x

i

yi

z i

i

Kar i +1 Kar i

Kar i -1 Csukló i - 1

Csúszka i

Csukló i + 1



_i

i+1

= const

P(x;y;z) = TCP

A robotkarok geometriai méretei alapján az eltolási mértékek:

.

Ennek megfelelően az egyes DH-mátrixok:

A három mátrix összeszorzásából kapjuk,

D H_{1 4}  D H_{1 2} D H_{2 3} D H_{3 4}

mátrixot, amellyel végrehajtható P = TCP pont x₄ y₄ z₄ koordináta-rendszerből x1 y1 z1 illetve xyz világkoordináta-rendszerbe való transzfor-málása. Ha jobban szemügyre vesszük az 5.10. ábrát, megállapíthatjuk, hogy a P = TCP az x₄ y₄ z₄ koordinátarendszer kezdőpontjában van, így az

homogén koordinátákkal jellemezhető. A transzformációhoz (5.19) alapján

x₁  D H_{1 4} x₄ (5.24.) mátrixegyenlet felhasználásával jutunk, amelyet részletezve

x való megoldásából

4

összefüggések adódnak, amely minden összetartó x; y; z értékhez - az 5.10.

ábra koordinátarendszer elhelyezése alapján - kiszámítható. Ha x = x (t), y = y (t) és z = z(t) időfüggvények, akkor _i  _i( )t is időfüggvény lesz.

Példaként határozzuk meg a Denavit–Hartenberg-mátrixok segítségével az 5.11. ábrán látható robotkar P pontjának helyzetét ₂30^-os szög-elfordulás megtétele után az x₁, y₁, z₁ koordinátarendszerben. Az ábrán vázolt helyzet a ₂ 0^o, ₃ 0^o szöghelyzetnek felel meg.

z1

x1

y1 x

2 x

3 z2

a3 s 3

s2

2

3

P = O

x ( t ) 1 y ( t )

1

z ( t ) 1

2= - 90

O2

y2

z3

y3 3

5.11. ábra

A robotkaron három koordinátarendszert helyeztünk el. Látható, hogy a P pont a 3 koordinátarendszer 0₃ kezdőpontjával egyezik meg. Az egyes koordinátarendszerek eltolásának és elforgatásának mértékét is az ábra mu-tatja.

- Transzformáció az 1-2 koordinátarendszer esetén;

 

^mm ^.

500 s

, 90

, 0

, mm 0 a

2 2

2 2



















(5.14) felhasználásával az 1-2 koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító Denavit–Hartenberg-mátrix általánosan és a kiszámított értékei-vel



- Transzformáció a 2-3 koordinátarendszer esetén;

 

A transzformációs mátrixok (5.14) felhasználásával:

, illetve a kiszámított értékek:

.

Az 1 és a 3 koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító mátrix:

D H_{1 3}  D H_{1 2} D H_{2 3} , (5.31) illetve a számértékeivel

D H_{1 3}

A P pont helyzetét leíró vektor a 3 koordinátarendszerben homogén koordi-nátákkal megadva:

x₃

Az 1 koordinátarendszerbe áttranszformált P pont az

x₁  D H_{1 3} x₃ (5.34) mátrix szorzás végrehajtásával

x₁ (5.29) mátrixok értékei módosulnak.

- Az 1-2 koordinátarendszer közötti transzformáció adatai;

amelyeket (5.27)-be helyettesítve



mátrixot kapjuk. A szögekkel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a koordináta transzformációban a pozitív forgatási irány a jobbsodrású koordináta rend-szer forgási iránya. Ez ₃ és ₄ esetén ellentétes irányú a 4. fejezetben po-zitív irányként értelmezett _{3 2} és _{4 3} irányokkal.

- A 2-3 koordinátarendszer közötti transzformáció jellemző adatai:

 

A fenti adatokat (5.29)-be behelyettesítve a transzformációs mátrix



(5.36) és (5.37) mátrixok (5.31) szerinti összeszorzásából

D H₁₃

0 4 3 3 0 7 5 0 5 1 5 9 8 0 8 0 2 5 0 4 3 3 0 8 6 6 3 2 3 2 0 5 0 8 6 6 0 5 0 1 0 2 0 0 0

0 0 0 1



























, , , ,

, , , ,

, , , . (5.38)

(5.34) és (5.38) felhasználásával a P pont transzformált homogén koordiná-tái az 1 koordinátarendszerben

x₁

1 5 9 8 0 8 3 2 3 2 0 5 1 0 2 0 0 0

1





















 , ,

, , (5.39)

amelyből x₁  1 5 9 8 0 8, , y₁  3 2 3 2 0 5, , z₁  1 0 2 0 0 0, m m.

Nézzük meg az előző feladat megoldását abban az esetben, ha a koor-dinátarendszereket az 5.12. ábra szerint helyezzük el, azaz a 2 és a 3 koordi-nátarendszer fedésben van.

- Transzformáció 1-2 koordinátarendszer esetén;

 

mm . 500 s

, 90

, 0

, mm 0 a

2 2

2 2



















Az eltolási mértékek azonossága alapján az 1-2 koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító mátrix megegyezik (5.28)-cal.

z1

- Transzformáció 2-3 koordinátarendszer között;

 

tehát a 2 és 3 koordinátarendszer fedésben van. Ennek megfelelően a transz-formációs mátrix



(5.28) és (5.40) mátrixok (5.31) szerinti összeszorzásából koordináta-rendszerben most

x₃ el-végezzük;

- 1-2 koordinátarendszer közötti transzformációs adatok:

 

amelyekkel DH₁₂ megegyezik (5.36)-tal.

- 2-3 koordinátarendszer közötti transzformációs adatok:

.

A fenti adatokkal (5.29)-ből



mátrix adódik. (5.36) és (5.44) mátrixok (5.31) szerinti szorzásából az 1 és 3 koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító mátrixra adódik.

D H₁₃

A P pont helyzete a 3 koordinátarendszerben itt is (5.42)-vel írható le. (5.45) (5.42)-vel való szorzásából a P pont helyzetét az 1 koordináta-rendszerben leíró vektorra

x₁

adódik, amely azonos (5.39)-cel. A példából látható, hogy a transzformáció független a koordinátarendszer helyzetétől, ha a P pont helyzetét az utolsó koordinátarendszerben helyesen adjuk meg.

Abban az esetben, ha a robot több tagból épül fel újabb transz-formációs mátrixot képezhetünk. Erre mutat példát az 5.13. ábra.

5.13. ábra

Példaként itt is határozzuk meg az 5.13. ábrán lévő robot P pontjának helyzetét az ábrán vázolt ₂0^o, ₃0^, ₄0^ és ₂0^, ₃60^, ₄30^ esetén.

A koordinátarendszerek elhelyezése legyen az ábra szerinti. Ennek megfele-lően az eltolási mértékek a robotkarok méreteivel jellemezhetők;

- Transzformáció 1-2 koordinátarendszer esetén;

 

mm . 500 s

, 90

, 0

, mm 0 a

2

O 2

O 2 2















Az adatokból látható, hogy megegyeznek az 5.11. ábra transzformáció-jánál lévő adatokkal, így a transzformációs mátrix is megegyezik (5.28)-cal.

z1

x1 y1

x2

z2

a3 s 3

s2

2 21=

3

P = O

( t )

x ( t ) 1 y ( t )

1

z ( t ) 1

2= - 90

O2

y2

x3

z3

4

y3 x

4 z4

y4 a4 O3

s4 4

2=

-2= +

.

- Transzformáció 2-3 koordinátarendszer esetén

 

A transzformációs mátrix (5.14) felhasználásával, (5.29) alapján kiszámítha-tó értékekkel;

D H_{2 3}

- Transzformáció 3-4 koordinátarendszer között;

(5.14) felhasználásával;

,

illetve a kiszámított értéke

.

(5.23) szerinti szorzással (5.47), (5.48) és (5.50)-ből a

D H_{1 4} koordináta-rendszerben homogén koordinátákkal leíró vektor;

x₄

A P pont helyzetét az 1 koordinátarendszerben leíró vektort (5.51) és (5.52) szorzásával kapjuk

x₁

A továbbiakban az 5.14. ábrán vázolt robothelyzethez határozzuk meg a P pont koordinátáit. Az ábrán vázolt helyzetet ₂0^, ₃60^, ₄30^

jellemzi, a szögek irányára itt is az előzőekben leírtak érvényesek;

- Transzformációt 1-2 koordinátarendszer között; meg-egyezik (5.47)-tel.

-Transzformáció 2-3 koordinátarendszer között;

 

A transzformációs mátrix (5.14) illetve (5.29) felhasználásával;

- Transzformáció 3-4 koordinátarendszer között;

 

A fenti adatokkal a transzformációs mátrix

D H_{3 4}

(5.47), (5.54) és (5.55) mátrixok (5.23) szerinti szorzásából az 1-4 koordi-nátarendszerek közötti transzformációt megvalósító

D H₁₄

mátrixot kapjuk. A P pont helyzetét a 4 koordinátarendszerben itt is

x₄

homogén koordinátákkal megadott vektor írja le. (5.56) mátrix (5.57) vektor-ral való szorzásából adódik a P pont helyzetét az 1 koordinátarendszerben leíró vektor

x₁

819 615 400 1320

1

















 ,

, (5.58)

amelyből a koordinátákra x₁  8 1 9 6 1 5, , y₁  4 0 0, z₁  1 3 2 0 m m érté-keket kapunk. A robotnak ezt az új helyzetét az 5.14. ábra mutatja.

In document Robottechnika II. (Pldal 11-32)