Bizonytalanság kezelése hálótervezési technikák segítségével különböző

Gyakran előfordul, hogy egy logisztikai feladat során nemcsak arra vagyunk kíváncsiak, hogy az adott feladat várhatóan mikor hajtható végre, milyen költséggel jár, hanem arra is, hogy egy termelés során ezt az előírt időt, költséget milyen valószínűséggel fogjuk tudni ténylegesen betartani. [224]

Sztochasztikus folyamatok jellemzése – stacioner folyamatok:

A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb alosztályát a stacionárius folyamatok képezik. A stacionaritás a statisztikai jellemzők időfüggetlenségével (időbeli eltolásra való invarianciájával) van kapcsolatban. Pl. ha valaki egy adott időpillanatban ismeri a folyamat egydimenziós projekciójának az eloszlását, akkor vajon milyen hosszú ideig marad

"érvényes" ez az ismeret? Időben ugyanaz marad-e, vagy megváltozik a folyamat viselkedését meghatározó "véletlen sorsolási mechanizmus"? Egy stacioner folyamatnál érvényes, hogy amit statisztikailag ismerünk a folyamatról egy adott időpillanatban, az igaz lesz bármilyen jövőbeli időpillanatban. (Pl. egy kockadobás eredménye mindig egyenletes eloszlást követ, függetlenül attól, hogy vasárnap 5 órakor vagy szerdán 10 órakor végezzük el a kísérletet, feltehető továbbá, hogy a tevékenységek lefutási ideje is minden esetben β-eolszlást követ, melyet a későbbiekben tárgyalunk.) [48, 72, 92]

A stacionaritás fogalma attól is függ, hogy a folyamatot milyen mélységig jellemző statisztikai jellemzőre teljesül az időbeli eltolással szembeni invariancia. Ebben két szintet különböztetünk meg:

- gyenge stacionaritás, amikor csak a várható érték és a korrelációs függvény időeltolással szembeni invarianciája teljesül;

- erős stacionaritás, amikor az összes véges dimenziós projekció valószínűségeloszlás-függvénye invariáns az időbeli eltolásra.

Az erősen stacionáris folyamatokon belül fontos alosztályt képeznek az ergodikus folyamatok. Egy folyamat statisztikájának a felderítéshez valaki megfigyeléseket végezhet az idő folyamán (különböző időpillanatokban mintavételezvén a folyamatot), majd ezen minták alapján időbeli átlagokkal próbálja közelíteni a folyamat statisztikai jellemzőit. Pl. az egydimenziós projekció alapján a várható értékét úgy próbálja megállapítani, hogy a folyamat tíz különböző időpillanatban megfigyelt értékét átlagolja. Ez az eljárás a következő fundamentális kérdést veti fel: mennyire megbízhatók az időátlagolással kapott becslései a folyamat valódi statisztikájának? A kérdés hasonló ahhoz a kísérlethez, amikor valaki egyszerre dob fel tízezer kétforintost, vagy időben egymásután tízezerszer dob fel egy darab kétforintost azért, hogy empirikusan határozza meg a fej vagy írás valószínűségi változó várható értékét (vagy bármilyen más statisztikai jellemzőjét, pl. eloszlását). Van-e bármilyen különbség a két kísérlet között? (Azt leszámítva, hogy az első kísérlethez jóval nagyobb

"tőkeberuházás" kell, mint a másodikhoz.) A választ az ergodicitás fogalma adja meg. Egy sztochasztikus folyamat ergodikus, ha szinte bármilyen g függvényre (pontosabban bármilyen g Borel-mérhető függvényre) az időbeli és statisztikai átlagok azonosak, azaz:

( )

A tevékenységek lefutási idejének további statisztikai vizsgálatának szempontjából a g függvénynek két konkrét választása érdekes. Mikor g az identitásfüggvény, az maga után vonja, hogy

Mikor g a négyzetes függvény, az maga után vonja, hogy

( ) ( )

²

Ez annyit jelent, hogy a folyamat első- és másodrendű statisztikája időben egymásutáni megfigyelésekből és átlagolásokkal rekonstruálható. [72, 92]

Ezeket a tulajdonságokat feltesszük a tevékenységek lefutásainak, költségeinek, erőforrásszükségleteinek becslésekor. (Lásd 2.8.1. fejezet) (Tehát a továbbiakban a vizsgált valószínűségi változókról feltesszük, hogy ergodikus folyamatok.)

1.3.7.1 Bizonytalanság

A méréstechnikában az ISO GUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY IN MEASUREMENT 1993 – as ajánlásában 3 bizonytalansági fogalmat különböztet meg. Ezek a következők:

• Standard bizonytalanság (standard uncertainty)

• Összetett bizonytalanság (combined standard uncertainty)

• Kiterjesztett bizonytalanság (expanded uncertainty) [397]

1.3.7.2 Standard bizonytalanság

A standard bizonytalanság meghatározásához először fel kell állítanunk egy modellfüggvényt.

Y=f(X1,X2,..,XN) (1.3.7.2-1)

Y a modellfüggvényünk kimenete, X1,X2,..,XN a függvényünk paraméterei. Legyen y Y becslése (általában tekinthető y Yi mért értékek átlagának:

∑

=

A várható érték standard bizonytalanságát úgy számíthatjuk, hogy a várható értéktől való átlagos négyzetes eltérések összegét osztjuk a szabadságfokkal, és ebből négyzetgyököt vonunk. Képlettel:

A képletben u az ún. standard bizonytalanság. M db paramétert (itt az utak költségét) kell becsülnünk. xi,j i. paraméter j. becslése (pl. egy adott út költsége). Ha az adott paraméter közvetlenül megfigyelhető (itt a költség közvetlenül megmérhető), akkor xi,j=Xi,j, vagyis i.

paraméter j. becslése megegyezik i. paraméter j. mérésével. Eˆ

( )

X_i az i. paraméter várható értékének becslése. A várható érték becslésére választhatunk egyszerű átlagot, mozgó átlagot, exponenciális illesztést stb. Az egyszerű átlag sokszor azért nem jó becslési módszer, mert valamennyi mérést ugyanannyi súllyal veszi figyelembe, ezzel a módszerrel pl. nagyon nehéz

a költségnövekedéseket (pl. infláció) megfelelően figyelembe venni. Ezért célszerűbb egyéb más módszerrel becsülni a várható értéket, amely a régebbi méréseket csökkentett súllyal veszi figyelembe. A standard bizonytalanságunk akkor lesz minimális, ha a várható érték becslésére az egyszerű átlagot választottuk. Ez egyrészt az egyszerű átlag becslési tulajdonságaiból adódik, másrészt a standard bizonytalanság a várható értéktől történő eltérést ugyanolyan súllyal kezeli. Ezért ha figyelembe akarjuk venni a súlyokat is, akkor a bizonytalanság kiszámításánál a tapasztalati szórás helyett súlyozott tapasztalati szórást alkalmazhatunk. [397]

Ekkor a standard bizonytalanság helyett súlyozott standard bizonytalanságot (uw) számítunk. Ha a bizonytalanságokat össze akarjuk hasonlítani, akkor a relatív standard bizonytalanságokat kell meghatározni (∆u, ∆uw). Ezeket úgy számíthatjuk ki, hogy az adott (súlyozott) standard bizonytalanságot elosztjuk a várható érték becslésével. [397]

1.3.7.3 Összetett bizonytalanság

Az összetett bizonytalanság a következőképpen számítható ki általános esetben:

( ) ( )

kovariancia. A képlet korrelációkkal is felírható, amely a következőképpen módosul: [397]

( ) _∑ ( ) _{∑ ∑}

⁻

( ) ( ) ( )

Az összetett bizonytalanság kiszámításánál nem feledkezhetünk meg a korrelációról, mely megmutatja a különböző paraméterek közötti kapcsolatok erősségét. [3, 397]

1.3.7.4 Kiterjesztett bizonytalanság

A (súlyozott) kiterjesztett bizonytalanságot a következőképpen írhatjuk fel:

( )

y ku

( )

y

U = _c (1.3.7.4-1)

( )

y ku

( )

y

U_w = _c,w (1.3.7.4-2)

Itt U az ún. kiterjesztett bizonytalanság, Uw pedig a súlyozott kiterjesztett bizonytalanság. k az ún. átfedési tényező (coverage factor). Ez az érték egy eloszlásfüggő paraméter (pl. itt ν=N-1=9 szabadságfokú egyoldalú t-eloszlás esetén k=2,26). A központi határeloszlás tétele miatt N→∞ esetén t-eloszlás helyett használhatunk normális eloszlást is.

A mintaelemek számának növelésével (legalább 50, 100) ezt a közelítést megtehetjük, anélkül hogy számottevő hibát elkövetnénk. [397]

Az ISO által bevezetett ajánlott mérési kiértékelési módszereket már számos területen különböző méréseknél széles körben alkalmazzák. Ez a módszer azonban alkalmazható különböző logisztikai problémák megoldására, tervezésre, előrejelzésre is. [397]

In document Optimális erőforrás-tervezés (Pldal 38-42)