A számítási eljárás vizsgálata

( )

å å

=

= ⋅

= _n

i i

n

i i i

x d x

0 2

0 ln

1

τ . (3.3.1.12)

A 3.3.1/2. ábrán látható rossz minőségű átmeneti függvény esetén a két illesztés közötti eltérés (2,595-2,576=0,019) kisebb egy százaléknál. Ennél nagyságrenddel nagyobb eltérések adódhatnak pl. az autoregressziós együtthatók és az idősor mintavételezési idejének megválasztásából.

1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00

0.01 0.1 1 10 100

Frekvencia [Hz]

nAPSD

3.3.1/3. ábra. Egy τ=0,5 sec időállandójú rendszer kimenetén mért normált teljesítménysűrűség-spektrum (nAPSD) logaritmikus ábrázolásban, ha a bemenő jel fehérzaj

Az autoregressziós együtthatók kiszámításához szükséges C(t) autokorrelációs függvény a teljesítmény-sűrűség-spektrum inverz F^-1 Fourier-transzformáltjaként is előállítható. Azaz

( )

^t _{ω τ} ^e_ω^ω_τ ^dω

C

t

ò

i

∞

∞

−

−

= +

÷ø ç ö

è æ

= ¹ + _{2 2 2 2}

1 1

F 1 . (3.3.1.14a)

Szimmetrikus, kétoldalú teljesítménysűrűség-spektrumok esetén a transzformáció egyoldalú alakkal is közelíthető (lásd [61]), amely alapján az autokorrelációs függvény a következő alakú lesz:

( ) ( ) _ω

τ ω

ω^t _d t

C ⁼

ò

^∞₀1₊ ^{2 2}

2 cos . (3.3.1.14b)

A numerikus kísérletekhez a korrelációs függvényben a korrelációs időközt – a mérési gyakorlathoz igazodva – a mintavételi idővel azonosnak választjuk. A számításokban az f frekvencia és a ∆t minta-vételi idő közötti kapcsolatot az alábbi összefüggések adják meg:

2 max

1 1

f t f

m

=

=

∆ , (3.3.1.15)

ahol f_m a mintavételi frekvenciának, f_max pedig a spektrum legnagyobb frekvenciavonalának az értéke.

A frekvenciaspektrum ∆f felbontása t

n n f f

∆

= ⋅

=

∆ 2

max 1 , ahol n a frekvenciavonalak száma. (3.3.1.16)

A számítási eljárás vizsgálatához a fenti (3.3.1.14-16) összefüggések felhasználásával különböző τ időállandókhoz tartozó autokorrelációs függvények készíthetők. A próbához a kiindulási teljesítmény-sűrűség-spektrumokat a zajdiagnosztikai gyakorlatban megszokott n=512 frekvenciavonalat tartalmazó spektrumokként állítjuk elő, amelyben ∆f az első spektrumvonal frekvenciája.

Az időállandó függése az adatsor mintavételi idejétől

A számítás ellenőrzéséhez ismert időállandókhoz tartozó, különféle mintavételi frekvenciával készített korrelációs függvények sorát készítettük el. A korrelációs függvényeken az időállandó számítását elvé-gezve a 3.3.1/4. ábrán bemutatott görbéket kaptuk. A számítás az AIC kritérium által visszaadott optimá-lis modellrenddel történt. Ez minden esetben háromnak adódott. Az inverz Fourier-transzformáció alapját a [60]-ban közölt eljárások képezték.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1 1 10 100 1000

Mintavételi idő [ms]

Időállandó [sec]

T=0,90 sec T=0,70 sec T=0,50 sec T=0,30 sec T=0,10 sec T=0,05 sec

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 50 100 150 200 250 300

Mintavételi idő [ms]

Időállandó [sec]

T=0,90 sec T=0,70 sec T=0,50 sec T=0,30 sec T=0,10 sec T=0,05 sec

3.3.1/4. ábra. Modellezett időállandók számított értékei a mintavételi idő függvényében, az AIC szerinti optimális (3-as) modellrenddel számítva, logaritmikus és lineáris időtengely mentén

Az ábrán jól látható, hogy a számítás pontosságát a mintavételi frekvencia befolyásolja. A grafikonról leolvasható, hogy az ábrázolt görbéknél a vizsgált időállandóhoz tartozó optimális mintavételi frekvencia fél nagyságrendű eltérése kb. 10% eltérést okoz a számított időállandóban. Megfigyelhető, hogy a görbesereg a grafikon origója felé halad, azaz egyre kisebb és kisebb mintavételi időt használva – ha a számítás az időállandóhoz képest egyre rövidebb korrelációs hosszon történik – a számított időállandó is egyre kisebb lesz. Ennek egyszerű magyarázata az, hogy a mintavételi idő csökkenésével (rögzített spektrumszélesség, spektrumvonalszám esetén) a normált korrelációs függvények alakja – dimenzió nélkül összerajzolva – egyformává válik (lásd 3.3.1/5.ábra).

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-200 -100 0 100 200

együttható sorszám

Fmax=10KHz; st=0.1ms Fmax= 1KHz; st=0.5ms Fmax=500Hz; st=1.00ms Fmax=250Hz; st=2.00ms Fmax=150Hz; st=3.33ms Fmax= 80Hz; st=6.25ms Fmax= 40Hz; st=12.5ms Fmax= 20Hz; st=25.0ms Fmax= 1Hz; st=500ms

3.3.1/5.ábra. τ =0,3 sec időállandóhoz tartozó, különböző ∆t mintavételi idővel numerikusan készített normált korrelációs függvények alakja az együtthatók sorszáma szerint ábrázolva. (Az ábrázolt görbék a feltüntetett görbeelnevezések sorrendjének megfelelően – egymás alatt – helyezkednek el.) Az autoregresszión alapuló számítás csak a korrelációs görbe alakját veszi figyelembe, és a számított időállandó a mintavételi-, illetve a korrelációs idő lineáris függvénye. Ennek következménye, hogy egy meghatározott értéknél kisebb mintavételi időkre – amikor a korrelációs függvény alakja már elhanya-golható mértékben változik – a számított időállandó közel lineárisan csökken a mintavételi idővel. (Valós méréseknél a spektrum csak a mérőrendszer alapzajáig csökkenhet, azaz itt az időállandó számított csök-kenése a háttérzaj frekvenciamenetétől függően meg is állhat, sőt emelkedésbe válthat át.) A korrelációs függvények alakjának egymásba esése a következők alapján könnyen belátható. Ha ωτ >>1^{, akkor a} szűrő frekvenciaspektruma

( )² _{2 2 2}¹ ₂ 1

1

τ ω τ

ω ω ≅

= +

H (3.3.1.17)

alakba megy át (ez a 3.3.1/3. ábrán is megfigyelhető, ha gondolatban a vízszintes tengely kezdőpontját 1 Hz-ig eltoljuk). Ennek az inverz Fourier-transzformáltja (3.3.1.14b) alapján a következő:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ïþ ïý ü ïî

ïí

ì ú

û ê ù

ë

é −

+ ⋅

− ⋅

⋅ úû −

êë ù

= é−

=

∆ ∆

∆

ò

max max max

! ...

5 5 2

! 3 3 2 2

2 2 cos 2

1 4

2 2 cos

5 3

2 2 2

2 2

f

f f

f f

f

ft ft ft

f t df ft

f t ft

C π π π π π

τ π τ

π π . (3.3.1.18)

Az integrálást elvégezve és a (3.3.1.15-16) összefüggéseket behelyettesítve a következőt kapjuk:

( ) ( )

( ) ( )

ïï þ ïïý ü ïï

î ïïí ì

−

⋅

−

÷ø ç ö è æ

∆

− ⋅

÷ø ç ö è æ

− ∆

⋅

−

∆

÷ø ç ö è æ

− ∆

∆

⋅

÷ø ç ö è æ

∆

= ⋅

å

^∞₌

−

−

+ 1

1 2 1

2

1 2

2 2 1 2 1 2 1!

cos cos

2 1

k

k k

k

k k

t n

t t

t t

t t t

t n

t n

t t

C

π π

π π π π

π τ

π . (3.3.1.19)

A korrelációs függvényt ^t=ⁱ⋅∆^{t, i}=

[

^1...n

]

lépésközönként számítjuk ki:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ïï þ ïïý ü ïï

î ïïí ì

−

⋅

−

÷ø ç ö è

−æ

−

⋅

∆

⋅

⋅ −

−∆

÷ø ç ö è

⋅ æ

∆

⋅

=

∆

⋅

å

^∞₌

− −

+ 1

1 2 1

2 1 2

2 cos cos 2 1 2 1 2 1!

2 1

k

k k

k

k k

n i i

t i i

n t t i

n t

i C

π π π π

π π

π τ

π . (3.3.1.20)

A fenti összefüggésben a ∆t mintavételezési idő kiemelhető, azaz a korrelációs együtthatók a ∆t minta-vételi időtől lineárisan függenek. Ez egyben azt is jelenti, hogy az r_k normalizált autokorrelációs függ-vényben a ∆t mintavételezési idővel egyszerűsíteni lehet. Azaz az

( )

[ ]

[

^{( )}

]

max1.. c i t t k r c

n i i

k

k ⋅∆

∆

= ⋅

∈

(3.3.1.21) adatsor minden mintavételezési időre azonos értéket vesz fel. Diszkrét inverz Fourier-transzformációt használva a nulla időponthoz tartozó értéket is visszakapjuk, a fenti számítás azonban a t=0 időre (illetve i=0-ra) nem érvényes. Ezt az értéket csak határérték-számítással kaphatnánk meg. Ettől eltekintve a korreláció hasonlóságát bizonyítottnak tekintjük.

A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha egyre nagyobb mintavételi idővel (azaz egyre kisebb mintavételi frekvenciával) végezzük az adatgyűjtést. A mintavételi idő növekedésével a frekven-ciaspektrum balra tolódik, azaz a spektrum konstans értékhez kezd közelíteni, aminek következtében a szűrő frekvencialetörési sávja fokozatosan eltűnik a spektrumból. (Ilyet láthatunk, ha a 3.3.1/3. ábra frekvenciaspektrumának felső határfrekvenciáját 0,1 Hz alá visszük.). A jelenséget frekvenciatérben vizsgálva fejtsük Taylor-sorba a szűrő (3.3.1.13) frekvenciaspektrumát.

( ) ^{1 0 0 ...}

1

1 _{2 2 3 4 4}

2 2

2 = + ⋅ − + ⋅ + +

= + ω ω τ ω ω τ

τ ω ω

H . (3.3.1.22)

Ha olyan frekvenciasávot választunk, amelyben ωτ <<1, akkor a spektrum ebben a frekvenciasávban egyhez közeli értéket vesz fel, azaz a spektrum „kifehéredik”. Ennek az a következménye, hogy az autokorrelációs függvény a nulla pozíció (r₀ =1 érték) után rögtön igen kis (vagy abszolút értékben kicsi) negatív értékeket vesz fel (lásd 3.3.1/5. ábra), tehát a korreláció jellemzői is a fehérzajhoz közelí-tenek. (A fehérzajra számított időállandó nulla.) Az időállandó számítása ilyen korrelációs értékekre in-stabillá válik, mert az átmeneti függvényekben oszcilláció jelentkezik és/vagy a függvények divergenssé válnak. A negatív egységugrás átmeneti függvénye negatív tartományba is átmegy, ami már a logaritmus

kiszámításában is problémát okoz. Kisebb mértékű oszcillációk szükségmegoldásként esetleg pontelha-gyással kezelhetők.

Az optimális mintavételi idő meghatározásához a tényleges időállandó és a mintavételi frekvencia ará-nyának függvényében ábrázoltuk a számított időállandók relatív hibáját (lásd 3.3.1/6. ábra).

0 10 20 30 40 50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Időállandó / Mintavételi idő

Relatív hiba [%]

T=0,90 sec T=0,70 sec T=0,50 sec T=0,30 sec T=0,10 sec T=0,05 sec

3.3.1/6. ábra. Modellezett időállandók számított értékeinek relatív hibája a tényleges időállandó és a mintavételi idő arányának függvényében

Az ábráról leolvasható, hogy a modellezési feltételek mellett az optimális mintavételi idő minden idő-állandónál az időállandó tizennyolcad része, azaz az adott feltételek mellett azonos.

Az időállandó függése a modell rendjétől

A modellrend növekedésével az autoregresszió egyre pontosabban írja le a vizsgált rendszer tulajdonsá-gait. Minél magasabb modellrenddel készítjük el például a jel autospektrumát, annál finomabb részletek jelennek meg benne, azaz az autoregressziós spektrum az FFT spektrumot egyre jobban kezdi megköze-líteni. Az időállandó számításához nem szükséges, sőt zavaró a jel minél pontosabb modellezése, ehelyett elegendő a jel alaptulajdonságainak a leírása. A modellrend megválasztásának hatását az időállandó szá-mításának eredményére a 3.3.1./7. ábrán mutatjuk be.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0 5 10 15 20 25

Modellrend

Időállandó [sec]

T=0,90s; ST=50,0ms T=0,70s; ST=35,7ms T=0,50s; ST=27,8ms T=0,30s; ST=16,7ms T=0,10s; ST=5,56ms T=0,05s; ST=2,50ms

3.3.1/7.ábra. Optimális mintavételezési idővel számított időállandók a modellrend függvényében Az ábrán látható, hogy a számítás szempontjából ideális tulajdonságú adatsoroknál – a modellrend feltüntetett tartományában – a számított időállandó a jelmagyarázatban feltüntetett pontos érték 15%-os környezetében váltakozik. Az időállandó hármas modellrendnél közelíti meg legjobban a pontos értéket, ez egybeesik az AIC-vel kapott optimális modellrenddel. Valós adatsoroknál probléma lehet, hogy az AIC által visszaadott adatsor a minimumhely körül ellaposodik, emiatt nehezebben határozható meg az optimális modellrend. Felvetődik az is, hogy olyan mért idősorok esetén, melyekben más folyamatok

hatásai (és időállandói) is jelen vannak, az AIC-vel meghatározott optimális modellrend nem feltétlenül optimális az időállandó meghatározására.

Az időállandó számításának ellenőrzése mért adatsorokon

A módszer gyakorlati teszteléséhez egy 0,6 sec időállandójú rendszeren (RC körön) fehérzajt vezettünk át. A kijövő jelet különböző mintavételi időkkel digitalizáltuk. Az adatgyűjtést 0,01 Hz-es felüláteresztő szűrő közbeiktatásával készítettük. A vizsgálatot az alacsonyabb mintavételi idejű méréseknél a szűrő kiiktatásával is végrehajtottuk. A számításokat az idősorokból készített autokorrelációs függvényeken végeztük el. Ezek eredményét a 3.3.1/9. ábra mutatja be.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0 20 40 60 80 100

Mintavételi idő [ms]

Időállandó [sec]

T=0,6 sec; HP=0,01 Hz T=0,6 sec; HP sz. nélkül

3.3.1/9. ábra. Mért adatsorokból számított időállandók a mintavételi idő függvényében

Az ábrán jól látható, hogy a görbe fő vonulata jelentős mértékű egyenetlensége ellenére hasonló a nume-rikus szimulációval kapott görbékhez. A feldolgozás tapasztalatai szerint a görbe egyenetlensége elsősor-ban az AIC alapján számított optimális modellrendből származik. (A modellrend választásának függvé-nyében 10-15%-os eltérések adódtak.) Másodsorban az okozza, hogy a mérőrendszer aluláteresztő szűrője csak meghatározott értékekre állítható, és a beállított érték nem mindig esik egybe a mintavételi frekvencia által megkövetelt értékkel. Az ábra jól demonstrálja, hogy ha a felüláteresztő szűrő levágási sávja eléri a spektrum első vonalait, akkor a számított időállandókra kisebb értékek adódnak. Ez figyel-hető meg 25 ms-tól, ahol a görbék elágaznak.

In document Atomerőművi zajdiagnosztikai mérések jeleinek vizsgálata és kombinált minősítése (Pldal 75-80)