5. Környezeti áramlások
5.2. A légkörben ható erők
A légkörben ható erők számbavételekor figyelembe kell vennünk, hogy a Föld forog saját tengelye körül, és a légkör mozgását ehhez a forgó rendszerhez viszonyítva írjuk le. A for-gó koordinátarendszer nem inerciarendszer, ezért a valódi (kölcsönhatási) erők mellett a tehetetlenségi erőket is figyelembe kell venni.
A légkör és a tengerek mozgását befolyásoló kölcsönhatási erők a következők:
a Föld tömegvonzásából származó gravitációs erő,
a nyomáskülönbségekből származó, úgynevezett nyomási gradiens erő (röviden gradiens erő)
a viszkózus folyadékok mozgásakor fellépő, nyírási típusú súrlódási erő.
Ebben az áttekintésben elhanyagoljuk a Nap és a Hold tömegvonzásából származó, az ár-apályt megszabó tömegvonzási erőket.
A tehetetlenségi erők:
a Földön lévő minden testre ható centrifugális erő,
a Földhöz képest mozgó tömegekre ható Coriolis-erő.
A fenti erőhatások közül a tömegvonzási erő és a tehetetlenségi erők a választott lég-rész minden elemére ható, úgynevezett térfogati erők, a gradiens erő és a súrlódási erő pe-dig a légrész határfelületén ébredő felületi erő.
A fenti erőket a légköri mozgásegyenletben a vizsgált mozgási skála szerint különböző egyszerűsítő feltételekkel vesszük figyelembe. A következőkben részletesen foglalkozunk az egyes erő fajtákkal.
5.2.1. A nyomási gradiens erő
A nyomási gradiens erő felületi erő. Megértéséhez válasszuk a vizsgált térfogatelemet (ma-teriális térfogatelem) téglatest alakúnak. Ha a nyomás a térfogatelem minden oldallapja mentén ugyanakkora lenne, akkor a nyomásból származó erők eredője zérus lenne a vá-lasztott légelemre vonatkozóan. A nyomás miatt tehát csak akkor léphet fel erőhatás, ha a nyomáseloszlás inhomogén. Az inhomogén nyomáseloszlás következtében a térfogatelem szemközti oldallapjaira ható nyomóerő nem ugyanakkora (5.1. ábra). A nyomóerők vektori összege adja a vizsgált V térfogatú légelemre ható erőt.
Vizsgáljuk meg a kicsiny, téglatest alakú térfogatelem x, y, z hosszúságú élei mentén ható erőket
x y zV
. Válasszunk olyan koordinátarendszert, amelynek ten-gelyei párhuzamosak a téglatest-térfogatelem éleivel, és téglatest egyik csúcsa legyen a koordinátarendszer origója. Tegyük fel, hogy a nyomás a koordinátatengelyek mentén nö-vekszik. Mivel a vizsgált légelem kicsiny, a nyomásnak a koordinátatengelyek menti vál-tozását tekintsük lineárisnak, és a tengelyek mentén egységnyi hosszra jutó nyomásválto-zást jelöljük rendre gradxp,gradyp,gradzp -vel. Ekkor az 5.1. ábra alapján a légelemre aerő hat. Ennek alapján már könnyen felírhatók az egységnyi tömegű légelemre ható nyo-mási gradiens erő (Fp(r,t)) komponensei is, amelynek jelölésére gyakran az alábbi szim-bólumot használjuk:
5.1. ábra: A nyomási gradiens erő szemléltetése
5.2.2. A gravitációs erő
Az általános tömegvonzási törvény értelmében a Föld középpontjától r távolságra lévő m tömegű légrészre ható F (r)
ga gravitációs erő:
( ) F
g 2
M m
= - = m
r r
r
F r g,
ahol MF=5,971024kg a Föld tömege, =6,6681011Nm2kg2 a gravitációs állandó.
Mivel a légköri egyenleteket általában egységnyi tömegű levegőre vonatkozóan írjuk fel, gravitációs erőként kissé pongyola, de általánosan elfogadott szóhasználattal a g gravitá-ciós gyorsulást használjuk.
A gravitációs gyorsulás nagysága a magassággal változik. Értéke ennek megfelelően a Föld felszínén is kismértékben változhat, mivel a Föld nem pontosan gömb alakú. (A kér-désre a tehetetlenségi erők tárgyalása után még visszatérünk.)
Az általunk vizsgált környezeti áramlások a troposzférában, és a tengerekben zajlanak.
A troposzféra vastagsága és a tengerek mélysége is 10km nagyságrendű. Így mind a tenge-rek, mind a légkör sekély réteget képez a 6370km sugarú földfelszínen. Emiatt a gravitá-ciós gyorsulás magassággal való változásától a geofizikai áramlások vizsgálatakor elte-kinthetünk.
5.2.3. A súrlódási erő
A folyadékok és gázok alapvető tulajdonsága, hogy nyugalmi állapotban nem lépnek fel bennük nyíróerők. Nyíróerők csak az egymás mellett eltérő sebességgel haladó rétegekben keletkeznek. A nyíróerő többnyire a Newton-féle viszkozitási törvénnyel írható le. A víz-szintesen x irányban mozgó egymás felett elcsúszó A felületű rétegek között fellépő erő:
s
F A v z
, ahol v
z
a mozgásra merőleges z irányban egységnyi hosszra eső sebességváltozás, pedig az áramló közeg belső súrlódási együtthatója, vagy viszkozitása (5.2. ábra).
5.2. ábra: Viszkózus erő
A légköri mozgásokban a szilárd felületekkel érintkező levegőrészek sebességét zérus-nak tekintjük. A felszínhez közeli rétegben tehát a levegő sebessége a magassággal növe-kedve éri el szabad légköri sebességét. A tapasztalat szerint ez a réteg, amelyben a súrlódá-si erő hatása erős, viszonylag keskeny. Így a légkör mozgásegyenleteinek felírásakor több-nyire a súrlódási erőtől is eltekinthetünk.
A viszkozitás hatását azokban a tartományokban kell figyelembe venni, ahol az Re ul
,
Reynolds-szám 103 nagyságrendű, vagy az alatti. A Reynolds számban u a karakterisztikus sebesség, l a karakterisztikus méret, itt a felszín feletti magasság.
5.2.4. A forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők
A tehetetlenségi erők általános leírásából adódik, hogy a Föld Ω szögsebességgel forgó koordinátarendszerében két tehetetlenségi erőt, a centrifugális és a Coriolis-erőt kell figye-lembe venni.
A Coriolis-erő
A Földhöz képest vrsebességgel mozgó m tömegű testre ható Coriolis-erő az
2 2
Cor m r m r
F Ω v v Ω,
összefüggéssel adható meg. Az összefüggés mutatja, hogy a Coriolis-erő mindig merőleges a test sebességére, így fontos tulajdonsága, hogy munkát nem végez.
A légköri mozgásokban a mozgásegyenleteket egységnyi tömegű légelemre írjuk fel, ezért Coriolis-erőn, ismét csak kissé pongyolán, az
2 2
Cor r r
F Ω v v Ω
„erőt” értjük.
További fontos egyszerűsítés, hogy a nagy skálájú légköri mozgások függőleges irányban gyorsulásmentesek és igen lassúak, ezért többnyire csak a horizontális mozgás-egyenletek fontosak számunkra. Emiatt a Föld szögsebességét érdemes az adott földrajzi szélességnek megfelelő vertikális (sin) és horizontális (cos) összetevőre bontani.
(5.3. ábra).
5.3. ábra: A Föld szögsebességének felbontása
A Coriolis-erőnek a sebesség horizontális komponensét változtató része a szögsebes-ség vertikális komponenséből adódik. Így, bevezetve az f 2 sin Coriolis-paramétert, a Coriolis-erő horizontális komponense az
Cor hf
F v k
alakot ölti, ahol vh a horizontális szélsebesség, k pedig az adott helyhez tartozó vertikális irányú egységvektor. A definíciós összefüggésből azonnal látható, hogy a Coriolis-erőnek ez a komponense a sarkokon a legnagyobb, és az Egyenlítő felé haladva a földrajzi széles-séggel csökken, és az Egyenlítőn zérussá válik.
Ez az erő az északi féltekén az elmozduló légrészt jobbra, a déli féltekén balra téríti el.
A későbbiekben megmutatjuk, hogy a Coriolis-erő alakítja ki a mérsékelt szélességek mozgásrendszereit, a ciklonok és az anticiklonok áramlási képét, illetve az izobárokkal párhuzamosan fújó geosztrofikus szelet.
A centrifugális erő
Az m tömegű testre ható centrifugális erő nagysága
2 cf mrt
F Ω ,
ahol rt a mozgó pontnak a forgástengelytől mért távolsága, iránya pedig a tengelytől kifelé mutat – 5.4. ábra a). A Föld felszínén Rcos, a földrajzi szélesség függvényében változik. Azaz a centrifugális erő az Egyenlítőtől a sarkok felé csökken. A légköri egyenle-tek felírásakor ezt a erőt is az egységnyi tömegre vonatkoztatott értékével, azaz a centrifu-gális gyorsulással helyettesítjük.
5.2.5. A nehézségi erő és a gravitációs erő
A gravitációs erő és a centrifugális erő erdőjét nehézségi erőnek nevezzük. A forgó Földön lényegében ez az erő gyorsítja a szabadon eső testeket. A nehézségi erő pontos megértésé-hez vizsgáljuk meg a Föld felszínén nyugvó testre ható erőket. Tegyük fel, hogy a Föld M tömegű, homogén tömegeloszlású, R sugarú gömb. A centrifugális és a gravitációs erő eredője ebben az esetben nem merőleges a Föld felszínére, van horizontális komponense is.
A centrifugális erő azonban sokkal kisebb, mint a gravitációs erő, ezért a nehézségi erő iránya alig tér el gravitációs erőétől – 5.4. ábra b).
5.4. ábra: a) A centrifugális erő. b) A centrifugális, gravitációs és a nehézségi erő
A nehézségi erő nagyságát emiatt úgy közelíthetjük, hogy a gravitációs erő nagyságából kivonjuk a centrifugális erőnek a gravitációs erő irányába eső vetületét. Mivel mindkét erő tömegerő, érdemes csak az egységnyi tömegű testre ható erő értékét kifejezni, ami meg-egyezik a nehézségi gyorsulással. A formulában a gravitációs gyorsulás a sarkokon mért nehézségi gyorsulással is kifejezhető, így:
2 2 2
90 2
( ) cos (983, 2 3, 4 cos ) cm
o s
g g R ,
ahol a földrajzi szélesség. Pontos mérések szerint a nehézségi gyorsulás a valóságban a
2
, s . A lapultság a Föld forgása miatt alakult ki, a centrifu-gális erő következtében a Föld az Egyenlítőnél „kihasasodott”. A Föld nem gömb alakú, lapultsága azonban csekély, egyenlítői sugara (Re 6378km) és sarki sugara (Rp 6357km) alig tér el egymástól.
5.2.6. A Föld lapultságának következményei
A gömb alakú Földön a gravitációs erő a Föld középpontja felé mutat, a nehézségi gyorsu-lás azonban, mint már mondottuk, kissé eltér ettől az iránytól. A Föld lapultsága azonban éppen úgy alakult ki, hogy a felszín a nehézségi erő irányára merőleges legyen, hiszen egyébként a felszínen nyugvó testeket a nehézségi erő horizontális összetevője elmozgatná.
Ez a hatás különösen a tengerek felszíne esetén nyilvánvaló, mert a folyadékokban nyu-galmi állapotban nem keletkezhetnek nyíróerők. Adott helyen tehát a nehézségi erő iránya szabja meg a függőleges irányt. Ennek megfelelően az azonos helyzeti energiájú felülete-ket (ekvipotenciális felületek) a nehézségi erő irányra merőleges felületek jelölik ki.
Amennyiben a Föld pontosan gömb alakú lenne, akkor az Egyenlítő környékén az óceá-noknak a centrifugális erő következtében sokkal mélyebbeknek kellene lenniök, mint a sarkokon. Ez azonban nincs így, mert a vízhez hasonlóan a föld szilárd anyagú felszíne is a nehézségi erőre merőlegesen állt be.
A dinamikai számításokban horizontális síkon mindenütt a Föld adott helyen vett érin-tősíkját értjük, és a gravitációs gyorsulás helyett a nehézségi gyorsulással számolunk, azaz a centrifugális erőt és a gravitációs erőt összevontan kezeljük. Ugyanakkor azonban az ekvipotenciális felületeteket minden geometriai számításban gömbbel közelítjük. Így a számítások egyszerűek maradnak, és a kicsiny geometriai hiba árán nagy dinamikai nehé-zségeket okozó hatástól szabadulhatunk meg!