Állóhullámok és sajátfrekvenciák

A visszaverődéssel foglalkozó alfejezetben már megemlítettük, hogy a kifeszí-tett gumikötélen az egyik végétől elindított zavar a végpontokon fellépő vissza-verődések miatt a két végpont között oda-vissza halad a pontsoron. Ha a hullámvonulat hossza elegendően nagy a pontsor hosszához viszonyítva, akkor könnyen előállhat olyan helyzet, hogy a hullámvonulat bizonyos része össze-találkozik a végpontról már visszaverődött hullámvonulattal. Ekkor a kettő között interferencia lép fel. A beeső és a visszavert hullám frekvenciája, terjedési sebes-sége pontosan azonos, hiszen a két hullám azonos közegben halad. Továbbá, ha a visszaverő képesség elég közel van egyhez, akkor az amplitúdóik is közel azonosak.

Ettől azonban eltérhet a fázisaik viselkedése: visszaverődéskor a végpont típusától függően valamilyen fázisugrás léphet fel.

Kezdetben ne foglalkozzunk a pontsor hosszának végességével! Egyszerűen vizsgáljuk meg, hogy milyen hullámjelenség jön létre akkor, amikor az x pontsoron egymással szemben halad két pontosan egyező ω körfrekvenciájú, c terjedési sebességű és A amplitúdójú monokromatikus hullám és érvényes a zavartalan szuperpozíció elve. A pontsoran pozitív irányba (azaz jobbra) terjedő mono-kromatikus hullám (6) egyenlettel adható meg, azaz a

Ψ,  =  sin[ −  ⁄  + ] (17) összefüggéssel. Az említett tulajdonságú, negatív irányba terjedő monokromatikus hullámot pedig a

Ψ,  =  sin[ +  ⁄  + ] (18) reláció írja le. Mint látható, a két hullám fázisállandóit eltérőnek tételeztük fel, a többi fizikai jellemző – terjedési iránytól eltekintve – megegyezik. A szuperpozíció elve szerint az eredő hullámot a

Ψ,  = Ψ,  + Ψ,  (19) kifejezés írja le. Ezt az összeget könnyen kiszámíthatjuk a

sin  + sin  = 2 cos − 

2 sin +  2

nevezetes trigonometrikus azonosság segítségével! Ha a (17) és a (18) képleteket behelyettesítjük a (19) formulába, és felhasználjuk az említett azonosságot, akkor a pontsoron kialakuló hullámra a

7. ábra. Az x pontsoron kialakuló állóhullám szemléltetése. Az állóhullám 4 csomópontját x1, x2, x3 és x4 jelöli. A csomópontok ellentétes fázisban mozgó pontokat választanak szét, melyett a fel és lefelé mutató nyilak jelölnek.

Ψ,  = 2 ∙ cos  +^_ ^ ∙ sin  +^_ ^ (20) összefüggést kapjuk, ahol  =  ⁄ = 2 ⁄ a körhullámszám. Az első dolog, amely rögtön feltűnik a (20) függésben, hogy nem szerepel benne a haladó hullámokra jellemző  ∓  ⁄ argumentum (lásd a (17) és a (18) haladó hullámokat megadó képleteket). Látható, hogy (20) kifejezésben az x térváltozó és a t időváltozótól való függés szorzat alakban elkülönül! Ennek következtében a pontsor minden pontja olyan harmonikus rezgést végez, amelynek az a amplitú-dóját az időfüggő tényező előtti szorzó faktorok abszolút értéke az

 = 2 ∙ cos  +^_ ^

formula határoz meg. Ebből könnyen belátható, hogy a pontsoron vannak olyan – egyenközűen, egymástól  2⁄ tá-volságra elhelyezkedő – pontok, ahol ez a rezgési amplitúdó zérus! Ezekben az ún. csomópontokban a mozgás meg-szűnik, azaz a pontsor ezen pontjai

nyugalomban vannak! A csomópontokban az előző formulában lévő abszolút értéken belüli mennyiség éppen előjelet vált, továbbá két szomszédos csomópont között már előjeltartó, pozitív vagy negatív. Az időfüggő tényező előtti koszinuszos szorzófaktor negatív előjele a harmonikus rezgés fázisállandójában egy π fázis-állandó változást jelent. Így két szomszédos csomópont közötti pontok azonos fázisban mozognak, míg a csomópontok ellentétes fázisban rezgő tartományokat választanak szét. A rezgési amplitúdó éppen a csomópontok közötti részben középen maximális, melynek értéke 2A. Ezeket a helyeket duzzadóhelyeknek nevezzük. Két szomszédos duzzadóhely között szintén  2⁄ távolság van. A pon-tsor itt ismertetett, a (20) egyenlettel leírt mozgásait állóhullámoknak nevezzük.

Állóhullámoknál a pontsor minden pontja azonos frekvenciájú harmonikus rezgést végez, azonos vagy ellentétes fázisban. Ez pontosan megegyezik a pontsor ún.

sajátrezgéseinek definíciójával. Ezért az állóhullámokhoz tartozó frekvenciákat sajátfrekvenciáknak szokás nevezni. Az állóhullámoknak fontos szerepük van, mert az elméleti úton megmutatható, hogy a pontsor általános mozgása az állóhullámainak a szuperpozíciójaként áll elő.

A pontsor hosszának végessége korlátozza azt, hogy milyen frekvenciájú és hullámhosszúságú állóhullámok alakulhatnak ki rajta. A tárgyalásnál figyelembe

kell venni azt is, hogy a pontsor vége, hogyan viselkedik. Ezek az ún. határ-, vagy peremfeltételek. A legtöbb gyakorlati szempontból érdekes esetben a pontsor vége rögzített, vagy szabadon mozoghat. Kísérletekkel és elméleti vizsgálattal is kideríthető, hogy szabad végpontról a hullámok a beesővel azonos, míg rögzített végpontról a beesővel ellentétes fázisban (azaz π fázisugrással) verődnek vissza. A probléma elméleti vizsgálata nem egyszerű, ezért itt csak egy rövid és szemléletes áttekintést adhatunk. Annak a feltétele, hogy véges hosszúságú pontsoron álló-hullám jöjjön létre, vagyis a pontsor mozgása során a térben állandó helyzetű pontokban, a csomópontokban a rezgési amplitúdó zérus legyen, továbbá közöt-tük minden pont azonos frekvenciájú és fázisú harmonikusan rezgést végezzen úgy, hogy a csomópontok ellentétes fázisban rezgő részeket választanak szét, a következő: A bal végpontról elinduló rezgési fázis végig haladva a pontsoron, majd a jobb végpontról visszaverődve, majd visszafelé ismét végig haladva a bal végpontig és arról ismét visszaverődve, éppen meg kell hogy egyezzen az ekkor a

bal végpontnál éppen elinduló elsődleges rezgési fázissal. Rövidebben fogalmazva:

egy körbejárást követően a visszavert hullám fázisának meg kell egyeznie a primer hullám fázisával. Ez a feltétel már nagyon egyszerű relációkat szolgáltat a kialakuló állóhullámok hullámhosszára. A hullámhosszból a terjedési sebesség ismeretében a sajátfrekvenciák már egyszerűen kiszámíthatók. Most ezeket ismerjük meg.

Mindkét végén rögzített, vagy mindkét végén szabad l hosszúságú pontsoron, akkor alakulhat ki állóhullám, ha a pontsor hossza egész számú többszöröse a λ hullámhossz felének, azaz

 =   2⁄ = 2  4⁄ , (21) ahol m pozitív egész szám. Látható, hogy a feltétel a hullámhossz negyedével is kifejezhető: a pontsor hosszának a hullámhossz negyedének páros számú többszöröse kell legyen. Amennyiben az egyik végpont (mondjuk a baloldali)

8. ábra. Véges hosszúságú pontsoron kialakuló állóhullámok szemléltetése.

szabad, a másik rögzített, akkor az állóhullám kialakulásához a pontsor hosszának a hullámhossz negyedének páratlan számú többszöröse kell lennie, azaz az

 = 2 − 1  4⁄ , (22)

feltételnek kell teljesülnie, ahol m pozitív egész szám. Ezekből a feltétekből és a jól ismert (10) összefüggésből a sajátfrekvenciák már egyszerűen adódnak. Ennek megfelelően a mindkét végén rögzített vagy szabad l hosszúságú pontsoron létrejövő állóhullámok frekvenciáját a

= _^ (23)

összefüggésből számolhatjuk ki, ahol c a hullám terjedési sebessége és m pozitív egész szám. Az egyik végén szabad, a másik végén rögzített pontsor esetén pedig

= 2 − 1_^ (24)

reláció adja meg a sajátfrekvenciákat, ahol c és m az előző esettel azonos jelentésű.

Az elméleti leírásból ismert, itt nem részletezett módon megmutatható, hogy egy F erővel megfeszített q keresztmetszetű és  sűrűségű húron, vagy gumikötélen a transzverzális hullámok terjedési sebessége

 = _^ . (25)

Ugyan csak részletezés és indoklás nélkül, egy vékony  sűrűségű és E Young modulusú rúdban terjedő longitudinális hullám terjedési sebessége

 =  ⁄ . (26)

Hasonló formula adja meg folyadékokban is a hangsebességet, csak az E Young modulus helyébe a K kompresszió modulust kell helyettesíteni.

Az itt ismertetett állóhullámok hullámhosszára és a sajátfrekvenciákra vonatkozó formulák vékony lég- és gázoszlopokra is jól használhatók, persze olyan kitétellel, hogy ekkor c az gázban a hangsebességet jelöli. Megmutatható, hogy ideális gázban a hangsebességet

 =   ⁄ . (27)

formula szolgáltatja, ahol p a termodinamikai egyensúlyhoz tartozó nyomás,  a gáz sűrűsége és  = ⁄ az adiabatikus tényező, az állandó nyomású és az állandó térfogatú állapotváltozásokhoz tartozó fajhők hányadosa. Az ideális gázokra vonatkozó általános állapotegyenletet felhasználva megmutatható, hogy ideális gázban a hangsebesség a

 =  =  ⁄  . (28) relációval leírt módon függ a T (Kelvin fokban mért) termodinamikai hőmér-séklettől, ahol c0 egy adott T0 termodinamikai hőmérsékleten a hangsebesség.

Állóhullámok két- és háromdimenziós hullámok esetén is kialakulnak és a szerepük az egydimenziós esethez hasonlóan nagyon fontos. Az egydimenziós esettől eltérően a csomópontok általában nem izoláltan helyezkednek el, hanem a kétdimenziós hullámoknál csomóvonalakat, a háromdimenziós hullámoknál pedig csomófelületeket alkotnak. Két szomszédos csomóvonal, vagy csomófelület között lévő helyeken azonos frekvenciával és fázisban történik a harmonikus rezgés, és a csomóvonalak, vagy csomófelületek ellentétes fázisban rezgő tartományokat választanak szét.

A 9. ábrán hegedűvonóval rezgésbe hozott vékony négyzetalakú fémlemezen kialakuló három állóhullám csomóvonalai láthatók. A kísérlet során a lemezre kevés búzadarát szórtunk, majd hegedűvonóval egy állóhullámot gerjesztettünk a lemezen. A könnyű búzadara a lemez rezgése során összegyűlik azokon a helyein, ahol az nem mozog. Ezzel kirajzolódnak az adott állóhullámhoz tartozó csomó-vonalak. Jól látható, hogy arról a helyről, ahol a lemezt kézzel megfogjuk (a lemez jobb oldalán), csomóvonalak indulnak ki. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a hely a rögzítés miatt nem mozoghat. Hasonlóan csomóvonalak futnak ki a lemez köze-pén csavarral rögzített helyről is.