1. Elemi feladatok 1. FELADAT

1. Elemi feladatok

1. FELADAT O

LDATOK KONCENTRÁCIÓJA

(

KEVERÉSI FELADATOK

)

 Mennyi oldandó anyag és mennyi oldószer szükséges 8 kg 30%-os oldat elkészítéséhez?

 Ha 15 kg oldat 8 kg oldott anyagot tartalmaz, mennyi a koncentrációja?

 6 kg sóhoz mennyi vizet adjunk, ha 25%-os sóoldatot akarunk készíteni?

 700 g vízben mennyi sót oldjunk, hogy 15%-os sóoldatot kapjunk?

 1,5 kg 90%-os alkoholt mennyi vízzel hígíthatunk 50%-osra?

 4,5 kg 20%-os sóoldatot só hozzáadásával 30%-osra töményítünk. Mennyi lesz a kapott oldat tömege?

 Összekeverünk 3 kg 40%-os és 5 kg 12%-os oldatot. Mi lesz a kapott oldat koncentrációja?

 Van 2,5 kg 5%-os oldatunk. Mennyi 20%-os oldatot kell hozzáadnunk, hogy 12%-osat kapjunk?

 Mennyi 10%-os és 25%-os oldatot kell összekevernünk, hogy 2 kg 20%-os oldatot kapjunk?

 Mennyi 10%-os és 25%-os oldatot kell összekevernünk, hogy 3,5 kg 35%-os oldatot kapjunk?

 Van 650 g 12%-os oldatunk. A raktárkészletünkben 5%, 10%, 20%, 25% és 50%

koncentrációjú oldatok állnak rendelkezésre. Melyikből mennyit keverjünk hozzá (a 12%- oshoz), hogy 17,5%-osat kapjunk? Hányféleképp (és hogy) oldhatjuk meg? (Csak egy megoldást kell kiszámítani!)

 Milyen arányban keverjünk 15%-os és 45%-os oldatokat, hogy 32%-osat kapjunk?

2. FELADAT E

GYENES EGYENLETE

–

LINEÁRIS

(

ELSŐFOKÚ

)

FÜGGVÉNYEK

 Adja meg az adott (x₁,y₁) ponton a meredekséggel áthaladó egyenes egyenletét, és határozza meg az x- és y-tengelymetszeteit, majd ábrázolja az egyenest (és a feladatban szereplő pontokat is):

a) (x₁,y₁)=(0,0) és a = 2 b) (x₁,y₁)=(0,1) és a = –2 c) (x₁,y₁)=(–3,2) és a = -½ d) (x1,y1)=(10,0) és a = –3 e) (x1,y1)=(1,1) és a = –1 f) (x1,y1)=(–3,–2) és a =

¾

 Határozza meg a két adott ponton átmenő egyenes egyenletét és tengelymetszeteit, majd készítsen ábrát:

a) (0,0) és (–3,–2) b) (0,10) és (10,0) c) (–1,-1) és (2,3) d) (3,4) és (4,3) e) (–2,2) és (10,2) f) (–1,–1) és (–1,3)

 Határozza meg annak az (1,1) ponton átmenő egyenesnek az egyenletét és tengelymetszeteit (és készítsen ábrát is), amely

a) x0 = 5-ben metszi az x-tengelyt b) b = –3-ban metszi az y-tengelyt

c) párhuzamos a 3x–2y = 4 egyenessel d) merőleges az x+2y = 4 egyenesre

 Keresse meg a két egyenes metszéspontjának a koordinátáit és készítsen ábrát:

a) 3x–2y = 4 és x+2y = 4 b) x+y = 2 és x–y = –1 c) 2x+y = 0 és 4x+2y = –1

3. FELADAT P

ARABOLA EGYENLETE

–

KVADRATIKUS

(

MÁSODFOKÚ

)

FÜGGVÉNYEK

 Határozza meg az alábbi parabola csúcsponti egyenletét és – ha létezik – gyöktényezős egyenletét, és a nevezetes pontjait (x- és y-tengelymetszet, csúcspont koordinátái), és készítsen ábrát!

a) y = –x² – 5 b) y = 10x² – 50x c) y = x² – 4x + 3 d) y = 2x² – 4x + 2 e) y = 2x²– 10 f) y = –x² + x – 1 g) y = –0,5x² + x – 2 h) y = –2x² + 7,5x + 2 Megjegyzés: ábra készítése mindig kötelező! Az ábrának mindig tartalmaznia kell a feladatban szereplő összes geometriai objektumot (pont, egyenes, parabola), valamint függvénygrafikon esetén annak nevezetes pontjait (x- és y-tengelymetszetek, parabola estén még a csúcspont is). A koordinátarendszer x- és y-tengelyén meg kell adni a skálabeosztást olyan részletességgel (általában egész koordinátákat), amely lefedi az ábrázolt pontokat.

4. FELADAT E

GYÉB

:

ABSZOLÚT ÉRTÉK

(|

X

|),

ELŐJEL

(

SIGNUM

)

ÉS RECIPROK

(

HIPERBOLA

)

FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA

–x, ha x<0 –1, ha x<0

a) y = |x| ≡ 0, ha x=0 b) y = sgn x ≡ 0, ha x=0 c) y = 1/x x, ha x>0 1, ha x>0

5. FELADAT G

RAFIKUS FELADATOK

Melyik görbe (találjon meg ilyen szakaszokat!) függvénygrafikon, illetve kölcsönösen egyértelmű függvény grafikonja?

2. Elemi függvénytan

1. FELADAT R

ELÁCIÓ

,

INVERZ RELÁCIÓ

Adja meg az alábbi reláció inverzét és ábrázolja mindkettő grafikonját:

a) x ~ y : x ≥ y b) x ~ y : x = y c) x ~ y : y = x²

d) x ~ y : y = x² és x ≤ 0 e) x ~ y : y ≥ x² és x ≥ 0 f) x ~ y : x² + y² =1 és x ≥ 0

2. FELADAT F

ÜGGVÉNYRELÁCIÓ

,

FÜGGŐLEGES EGYENESEK PRÓBÁJA Az 1. feladat relációi közül melyik függvény?

3. FELADAT I

NVERZ FÜGGVÉNY

,

VÍZSZINTES EGYENESEK PRÓBÁJA

Az alábbi függvények közül melyik invertálható? Ábrázolja a függvényt és inverzét!

a) y = x² b) y = x³ c) y = x^-2 d) y ^2x e) y^3x

4. FELADAT I

NVERZ FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA Határozza meg az alábbi függvény inverzének képletét:

a) 3 2

1 ) 2

( 

 

 x

x x f

y b) y f(x)2x³ 1 c) y  f(x)³ x4

d) e)

5 3

1 ) 1

(  



x x f

y f)

3

3 1

) (

x x x

f

y  

5. FELADAT R

ÉSZLEGES INVERZ FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA

Mely részintervallumon invertálható az alábbi függvény? Határozza meg a részleges inverz függvény képletét és ábrázolja:

a) y f(x)1x² b) y f(x)2x² 5x c) y f(x) x² 2x3

6. FELADAT G

RAFIKUS FELADATOK Válassza ki az f(x) inverzét:

) 1

( ₃

3

 

 x

x x f y

f x_ : x x 1;

-6 -4 -2 2 4 -4-3

-2-1 12 34

-2 2 4

-4-3 -2-1 12 34

-4 -2 2 4

-4 -3 -2 -1 12 3

f x_ : ³ x 2 1;

7. FELADAT G

RAFIKUS FELADATOK

Határozza meg az f(x) inverzének értékét az y1 és y2 helyeken:

-2 -1 1 2 3 4 -1.5-2-1

-0.5 0.51 1.52

-2 2 4 6 -2-1

12 34 56

-4 -2 2 4 -2-1

12 34 56

f x_ : x x 3;

2 4 6

-5 -4-3 -2 -1 1 2 3

-4 -2 2 4 6 -2

2 4 6 8

-4 -2 2 4 6 -2

2 4 6 8 10

f x_ : ³ x 1 2;

-4 -2 2

-4 -3 -2 -1 1 2

-2-1 1 2

-5-4 -3-2 -1 12 3

-4-3-2-1 1

-4 -3 -2 -1 1 2

f x_ : x 1² 2;

1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5-1

0.51 1.52 2.53

1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5-1

0.51 1.52 2.53

1 2 3 4 5 6 -0.5-1

0.51 1.52 2.53

f x_ : x 3 ² 2;

-5 -4 -3 -2 -1

-5 -4 -3 -2 -1

-5 -4 -3 -2 -1

-5 -4 -3 -2 -1

-5 -4 -3 -2 -1

-5 -4 -3 -2 -1

f x_ : x 1² 2;

1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5-1

0.51 1.52 2.53

1 2 3 4 5 6 7 8 -0.5-1

0.51 1.52 2.53

1 2 3 4 5 6 -0.5-1

0.51 1.52 2.53

8. FELADAT Ö

SSZETETT FÜGGVÉNY

 Képezze az f(g(x)) összetett függvényt a megadott külső és belső függvénnyel:

a) f(x) = x sin x, g(x) = 2x³ – 1 b) f(x) = 2x²–x+3, g(x) = 2^x c) f(x) = x+lg x , g(x) = x^-1

 Adjon meg nemtriviális külső és belső függvényt az alábbi összetett függvényhez:

a) f(g(x)) = (1+ cos x)² b) f(g(x)) = x³ + lg x³ c) f(g(x)) = x⁴ tg x²

1 2 3 4 5 6

0.5 1 1.5

2

y₁ 1; y₂ 1.5;

2 4 6 8

0.5 1 1.5

2

y₁ 0.5; y₂ 1.5;

2 4 6 8

0.5 1 1.5

y₁ 0.5; y₂ 1;

1 2 3 4 5 6

0.5 1 1.5 2

y₁ 0.5; y₂ 1;

9. FELADAT E

LEMI FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA

 Vázolja az alábbi hatványfüggvény grafikonját és adja meg értelmezési tartományát és értékkészletét! Mindig jelölje be a –1, 0, 1 helyeken felvett értékeket (ha értelmezett).

a) y = x² b) y = x³ c) y = x^-1 d) y = x^-2 e) y = x^-3 f) y = x^1/2 g) y = x^1/3 h) y = x^2/3 i) y = x^-1/2 j) y = x^-2/3 k) y = x^3/2 l) y = x^π

 Vázolja az alábbi exponenciális függvénynek és inverzének (logaritmusfüggvény) a grafikonját és adja meg értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Mindig jelölje be a –1, 0, 1 helyeken felvett értékeket (ha értelmezett).

a) y 2^x b) ^{y }

 

₂^{1 x} c) y3^x d) ^y

 

¹₃ ^x e) ye^x

 Vázolja az alábbi trigonometrikus függvény grafikonját és adja meg értelmezési tartományát és értékkészletét! Mindig jelölje be a –π/2, 0, π/2, π, 3π/2, 2π helyeken felvett értékeket.

a) y = sin x b) y = cos x c) y = tg x d) y = ctg x

3. Függvénytranszformációk

1. FELADAT E

LEMI FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

,

A FÜGGŐ VÁLTOZÓ TRANSZFORMÁCIÓI Ábrázoljuk a megadott függvényt a megfelelő elemi függvény transzformálásával! Függvény (függő változó) lineáris transzformációi (függőleges transzformációk). Ezeknél a függő változóval együtt az értékkészlet is transzformálódik, az értelmezési tartomány nem változik.

y = f(x) → y = f(x) + d transzformáció: függőleges eltolás (d>0: fölfelé, d<0: lefelé):

a) y = x²+2 b) y = x³–3 c) y = 0,5+sin x d) y = tg x –1 e) y = 2^x+0,25 f)

2

 x y

y = f(x) → y = c f(x) , c>0 transzformáció: függőleges nyújtás (c>1) vagy zsugorítás (c<1):

a) y = 0,25x² b) y = 3x³ c) y = 0,5sin x d) y = 2 ctg x e) y = 2·0,5^x f) y 2 x y = f(x) → y = –f(x) transzformáció: tükrözés az x-tengelyre:

a) y = –x² b) y = –x³ c) y = –cos x d) y = –tg x e) y = –e^x f) y ³ x

2. FELADAT E

LEMI FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

,

A FÜGGETLEN VÁLTOZÓ TRANSZFORMÁCIÓI

Ezeknél a független változóval együtt az értelmezési tartomány is transzformálódik, az értékkészlet nem változik.

y = f(x) → y = f(x+b) transzformáció: vízszintes eltolás (b>0: balra, b<0: jobbra):

a) y = (x–1,5)² b) y = (x+3)³ c) ycos(x^₄) d) y = 2^x–1 e) y  x2

y = f(x) → y = f(ax) , a>0 transzformáció: vízszintes nyújtás (a<1) vagy zsugorítás (a>1):

a) y = (0,5x)² b) y cos(¹₂x) c) y = sin 2x d) ytg₂^x e) y 3x y = f(x) → y = f(–x) transzformáció: tükrözés az y-tengelyre:

a) y = (–x)² b) y = sin(–x) c) y = e^–x d) y = log

2(–x) e) y  x

3. FELADAT Ö

SSZETETT LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK

A megfelelő alapfüggvényből kiindulva elemi transzformációs lépések segítségével ábrázoljuk az alábbi függvényeket:

a) y = –2(x+1)²+4 b) y = 0,5(x–1)³–2 c) y = 1–2^x+1 d) y = 4+4^–x/2 e) y = 2 ln(–x) –3

f) y = log

½(2x) + 1 g) y 2sin(₂¹x) h) y = 2cos 2x+1 i) y = 2 tg x-1 j) 1

1 2³  

 x y

4. FELADAT T

ÖRTLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Alakítsa át a törtlineáris függvényt és ábrázolja az 1/x alapfüggvényből kiindulva elemi transzformációs lépések segítségével:

a) x

y x 2

1

 b)

1

 x

y x c)

1 2

1 2



  x

y x d)

3 3 1



  x y x

5. FELADAT Á

BRÁZOLJA AZ ALÁBBI FÜGGVÉNYEKET

6. FELADAT Á

BRÁZOLJA A G

(

X

)

FÜGGVÉNYEKET

,

HA F

(

X

)

AZ ALÁBBI GRAFIKONOKKAL ADOTT g(x)=2f(x-1)-2; g(x)=-f(x+1)-2; g(x)=f(x-2)+1;

g(x)=f(2x); g(x)=-f(x/3)-2; g(x)=f(x-2)+1;

f x_ : 3 x 2 ³ 1; g x_ : x 1 3; h x_ : log₁

2

x 1 2;

f x_ : log₃ x ; g x_ : x; h x_ : 2^3x; f x_ : 1 2^2x; g x_ : 3 2 ^x; h x_ : 3 ^x 1;

f x_ : 2 1 4 ^x ; g x_ : 3 2^x 2 ; h x_ : 2 1 2

x

1 ;

f x_ : x 1

x 2; g x_ : x 3

1 x ; h x_ : x 1 1 2x ;

1 2 3 4 5 6

0.5 1 1.5

2

2 4 6 8

0.5 1 1.5 2

2 4 6 8

0.5 1 1.5

1 2 3 4 5 6

0.5 1 1.5 2

2 1 1 2

x

1 0.5

0.5 1

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 0.5

1 1.5

2 y

0.5 1 1.5 2 2.5 3x 0.5

1 1.5

2y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-1 -0.5 0.5 1 y

2 1 1 2x

1 2 3 4y

-1 -0.5 0.5 1 x

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y

4. Logaritmikus és általános transzformációk

4.1. Logaritmus-transzformáció, logaritmikus ábrázolás

1. FELADAT

Ábrázolja az alábbi pontokat logaritmikus, kettős logaritmikus, loglineáris koordinátarendszerben, amennyiben lehetséges:

{0,2},{0.5,0.2},{0.5,1.5},{2.2,10},{3.5,15}, {1,1.5},{0,0.5},{0.6,5.5},{1.5,10},{3,1}, {0.1,1},{0.5,0.2},{0.5,3},{1.2,12},{3,24}

{0,2},{0.5,0.2},{0.5,1.5},{2.2,10},{3.5,15}

{1,1.5},{0,0.5},{0.6,5.5},{1.5,10},{3,1}, {0.1,1},{0.5,0.2},{0.5,3},{1.2,12},{3,24}.

2. FELADAT

A függő és/vagy a független változó logaritmus-transzformációja segítségével „egyenesítse ki” alábbi függvényt és ábrázolja a megfelelő logaritmikus skála felhasználásával!

a) y = 3^2x–1 b) y = e^–2x+2 c) y = 0,5·4^x d) y = 3 – 3·lg x e) y= 0,5·x^2,5

3. FELADAT

Ábrázolja függő változó logaritmus-transzformációja segítségével az alábbi függvényt félig logaritmikus skála felhasználásával!

a) y = 3^x²–1 b) y = 2^{sin x+1} c) y = 10^{1–cos x} d) y = exp (2^x–1) e) y = e^{–ctg x}

4. FELADAT

A függő és/vagy a független változó logaritmus-transzformációja segítségével „egyenesítse ki” alábbi függvényt és ábrázolja a megfelelő logaritmikus skála felhasználásával!

a) y = 3^2x–1 b) y = e^–2x+2 c) y = 0,5·4^x d) y = 3 – 3·lg x e) y = 0,5·x^2,5

5. FELADAT

Ábrázolja függő változó logaritmus-transzformációja segítségével az alábbi függvényt félig logaritmikus skála felhasználásával!

a) y = 3^x²–1 b) y = 2^{sin x+1} c) y = 10^{1–cos x} d) y = exp (2^x–1) e) y = e^{–ctg x}

6. FELADAT

A függő és/vagy a független változó logaritmus-transzformációja segítségével „egyenesítse ki” alábbi függvényt és ábrázolja a megfelelő logaritmikus koordinátarendszer

felhasználásával! Ugyanabban a logaritmikus koordinátarendszerben ábrázolja a megadott (x;y) pontokat is!

a) y = 2^–0,5x–2, (x;y): (0;1), (1;0,25), (2;2), (1;4), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;0,4) b) y = 10^x–3, (x;y): (0;1), (1;0,1), (2;2), (2;100), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) c) y = 3^2x–1, (x;y): (0;1), (1;0,1), (2;2), (2;100), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) d) y = e^–2x+2, (x;y): (0;1), (1;0,3), (2;e), (2;1/e²), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) e) y = 3 – 3·lg x, (x;y): (0;1), (1;0,1), (2;2), (2;100), (3, e), (0;0), (1;3), (4;4) f) y = log₂ x³, (x;y): (0;1), (1;0,1), (2;2), (2;100), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) g) y = 0,5·x^2,5, (x;y): (0;1), (1;0,5), (2;2), (2;100), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) h) y = ₂

x

e , (x;y): (0;1), (1;0,2), (2;e), (2;1/e²), (3, e), (0;0), (1;3), (4;4)

7. FELADAT

Ábrázolja függő változó logaritmus-transzformációja segítségével az alábbi függvényt!

Ugyanabban a logaritmikus koordinátarendszerben ábrázolja a megadott (x;y) pontokat is!

a) y = 3^x²–1, (x;y): (0;1), (1;0,01), (2;2), (2;100), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) b) y = 2^{sin x+1}, (x;y): (0;1), (1;0,5), (2;2), (2;100), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) c) y = 10^{1–cos x}, (x;y): (0;1), (1;0,01), (2;2), (2;100), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4) d) y = exp (2^x–1), (x;y): (0;1), (1;0,01), (2;e), (2;1/e²), (3, 10), (0;0), (1;3), (4;4)

8. FELADAT

Határozza meg az alábbi függvények képletét!

0 1 2 3 4 5

0.1 1 10 100

0 1 2 3 4 5

0.1 1 10 100

0 1 2 3 4 5

0.01 0.1 1 10 100

0.0001 0.01 1 100

0.01 0.1 1 10 100

4.2. Általános nemlineáris transzformációk

1. FELADAT

Vázolja az alábbi függvények grafikonját:

f(x_):=(x-1) (x-2)

2. FELADAT

Vázolja az alábbi függvények abszolút értékét:

g(x_):=(x+2) (x-1) (x-3);

g(x_):=sin(x);

g(x_):=tan(x);

3. FELADAT

Vázolja az alábbi grafikonokkal megadott függvények abszolút értékét:

0.00001 0.001 0.1 10

1 2 3 4 5 6

g x_ : log₂ x ;

g x_ : x 1 x 2;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1 -0.5 0.5 1

4. FELADAT

Vázolja az alábbi függvény grafikonját:

5. FELADAT

Vázolja az alábbi függvények reciprokát:

6. FELADAT

Vázolja az alábbi függvények grafikonját:

f(x_):=tan(x); g(x_):=cos(3 x);

7. FELADAT

Ábrázolja az f(|x|), f(1/x) és f(x)² függvények grafikonját, ha f(x) grafikonja :

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4 -2 2 4

f x_ : 1

x 1 x 2² x 3

f x_ : x

³

1; g x_ : log

₁

2

x ;

f x_ : 2

^{x 1}

; g x_ : 1 x

²

x 2 ;

f x_ : x²cos x ; g x_ : sin x ;

f x_ : sin 1 x ;

f x_ : cos 1

x ; g x_ : x³ 1;

f x_ : x 3; g x_ : ³ x 1; f x_ : log₃ x ; g x_ : log₃ x ;

f x_ : 2

^x

; g x_ : 2

^x

;

2 1 1 2 x

1 0.5

0.5 1 y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-1 -0.5 0.5 1 y

-1 -0.5 0.5 1 x

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y

-6 -4 -2 2 4 6

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-6 -4 -2 2 4 6

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-4 -2 2 4 6

0.20.4 0.60.81 1.2

5. Derivált fogalma, grafikus jelentése

f(x) f’(x)

1. FELADAT

Ábrázolja az alábbi függvények deriváltját!

-1 -0.5 0.5 1

-1 -0.5 0.5 1

-1 -0.5 0.5 1 -2

2 4 6

-1 -0.5 0.5 1

-0.3-0.2 -0.1 0.10.2 0.3

-1 -0.5 0.5 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -0.6-0.4

-0.2 0.20.4 0.6

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -0.4

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -0.4

-0.2 0.2 0.4

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-6 -4 -2 2 4 6

-4 -2 2 4

-3 -2 -1 1 2 3

-4 -2 2 4

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-15 -10 -5 5 2.5

5 7.5 10 12.5 15

-15 -10 -5 5

-10 10 20

2 4 6 8

-2 -1.5-1 -0.5 0.51

2 4 6 8

-6 -4 -2 2 4

2. FELADAT

Az első ábra az f függvény grafikonja. Válassza ki a többi közül a derivált grafikonját:

-3 -2 -1 1 2 3

-0.75-0.5 -0.25 0.250.5

0.75 -3 -2 -1 1 2 3

-2 -1 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-2 -1 1 2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

0.5 1 1.5 2

-2-1 1 2 3 -15

-10 -5

5 -2 2 4 6

-120-100-80-60-40-20

-2-1 1 2 3 -10-5

105 1520

-2-1-4-2 1 2 3 24

68

-3-2-1 1 2 -15

-10 -5 5

-3-2-1 1 2 -20-15

-10-5 105

-3-2-1-5 1 2 5

10 15

-3-2-1 1 2 -2.5-5

2.55 7.510

3. FELADAT

Írja fel az érintő egyenletét az adott helyen. Vázolja az érintő grafikonját is.

-2 -1 1 2 3 -15

-10 -5

5 -2 2 4 6

-120 -100-80-60-40-20

-2 -1 1 2 3 -10-5

105 1520

-2-1-4-2 1 2 3 24

68

-3-2-1 1 2 -15

-10 -5 5

-3-2-1 1 2 -20-15

-10-5 105

-3-2-1-5 1 2 5

10 15

-3-2-1 1 2 -2.5-5

2.55 7.510

f x_ : x³ x² 1; x₀ 2;

-2.5 -2 -1.5 -1

-30 -20 -10

f x_ : x⁴ 2x² x 1; x₀ 1;

-2 -1.5 -1 -0.5

-2 -1.5 -1 -0.5

f x_ :

x⁴ x² 2x x 1

; x₀ 3;

4. FELADAT

Mekkora szöget zár be a két függvény grafikonja egymással metszéspontjaikban.

5. FELADAT

Közelítse az alábbi függvények x1-beli értékét az x0-ban húzott érintő értékével. Ábrázolja a függvényt és az érintőt.

2 3 4 5

-150 -100 -50

f x_ : 0.5 x²; g x_ : 4 0.5 x²;

f x_ : x² 4; g x_ : x 2 ²;

f x_ : x² 4; g x_ : x² 4x;

f x_ : x ; g x_ : x³ 8

;

f x_ : x² 3x ; x₀ 1; x₁ 0.97;

-2 -1.5 -1 -0.5

0.5 1 1.5

2 2.5

3

f x_ : 5x x² ; x₀ 1; x₁ 0.95;

0.5 1 1.5 2

0.5 1 1.5 2 2.5

f x_ : x³ x

2 ; x₀ 2; x₁ 2.01;

1.5 2 2.5 3

2 3 4 5

f x_ : sin x ; x0 0; x1 0.1;

-1 -0.5 0.5 1

-1 -0.5 0.5 1

f x_ : sin x ; x₀

3 ; x₁

3 0.05;

0.5 1 1.5 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f x_ : log x ; x0 1; x1 1.1;

0.5 1 1.5 2

-6 -4 -2

f x_ : 2^x; x₀ 0; x₁ 0.5;

6. FELADAT

Határozza meg az f(x) függvény x₀ helyen vett érintőjének egyenletét! A + jelzésű feladatokban ábrázolja is a függvényt és az érintőt. Számítsa ki a függvény értékének közelítését az érintő segítségével, az x=x₀+0,1 vagy az x=x₀–0,1 helyen (tetszés szerint).

a+) f(x) x1, x₀ 3 b+) 3 4, 1 ) 2

( ₀

2   



 x x x

x f

c+) , 0

2 5 ) 2

( ₀ 



  x

x x x

f c+) f(x)1cos2x, x₀  ^₄ e) f(x)ln(x² 2x2), x₀ 1 f) f(x)2xe^x11, x₀ 1

-1 -0.5 0.5 1

0.5 1 1.5 2

f x_ : x³ 1 ;x₀ 2;x₁ 2.1;

1.5 2 2.5 3

2 3 4 5

f x_ : 5x² x⁴ ;x₀ 1;x₁ 0.9;

0.5 1 1.5 2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

6. Formális differenciálási szabályok



Elemi függvények deriváltjai

Hatványfüggvény (x^)'x^1, R

 

 _¹^{ 1} _^11



 x x x , R,0

Exponenciális függvény (a^x)a^xlna, a0,a1

x

x e

e ) (

Logaritmusfüggvény , 0, 0

ln ) 1

(log  x a

a x x

a

x x log_e

ln  ; _{(ln )}_¹_, x_0 x x

Trigonometrikus függvények

x x) cos (sin 

x x) sin (cos 

1 cos tg

) 1 tg

(  ₂  ²x x x

1 sin ctg

) 1

(ctg  ₂  ²x x x



Általános szabályok

Függvény konstans-szorosának deriváltja: (cf(x))cf(x)

Összeg differenciál-hányadosa: (f(x)g(x)) f(x)g(x) Különbség differenciál-hányadosa: (f(x)g(x)) f(x)g(x)

Szorzat differenciál-hányadosa: (f(x)g(x)) f(x)g(x) f(x)g(x)

Hányados differenciál-hányadosa: ₂

)) ( (

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

x g

x g x f x g x f x

g x

f   





 





Összetett függvény deriváltja (láncszabály): (f(g(x)) f(g(x))g(x)

Speciális esetek , ha ( ) 0 )

( ) ) (

) (

(ln  

 g x

x g

x x g

g

) ( ))

( ( ) )) (

((g x ^  g x ^1g x ) ( ) ln ( )

(a^g(x)  a^g(x) a g x ) ( )

(e^g(x) e^g(x)g x Logaritmikus differenciálás: f(x) f(x)(ln f(x))

A logaritmus segítségével szorzatot összegre, hányadost különbségre, hatványt szorzatra vezethetünk vissza; pl.:

2 11

2

1 1 ln

) ln

( ) ( ) ln ( ) ( ln

) ( ) ( )

(

1 1

x x x x

x x x f x x x f x x f x f x

x x

f ^{x x x}      _x ^x  







 





 ^{  }



Példák



^{(1 )21}



2^{(1 2) 21 ( 2 )} 2 1

x x

x    

 ^ ;

  

^{x x}



cos2_x

tg 1

tg 2 ln2

2   ;

 

^{ex ex(1)ex}

10 ln cos ) sin ) (cos

(lg 

 

 x

x x ;

x x x

e e e

 

  ) 1 ) 1 (

(ln ;

x x

x 1

)) (ln cos ) ) (ln

(sin   ; (cos(x²1))sin(x²1))2x

) tg ( cos

1 ) tg

) tg ( tg

( ₂

2

x

x  x ;



^ctg



^{x }

 

^{sin2}



^{x1 }





Alapfeladatok

1. FELADAT

Differenciálja az alábbi függvényeket az alapműveletekre vonatkozó szabályok felhasználásával!

a) 1 2 6

3

2 x

xx 

 b) 3sinxtgx2² c) 2^x( 2x3³ x) d) x x x2 lg tg

3 ₃



 



  e)

x

x ²

2 cos

sin  f) 2006

2005

x x e^x 

g)

x x

x x

cos sin

cos sin



 h)

x x x

x

x ^e

9

2 ^{5 3}

2 2 4









i) 2

ln ctg 

 x x

x

x j)

x e x ^x

5 ,

log0

) 1

( 

2. FELADAT

Differenciálja az alábbi függvényeket az összetett függvényre vonatkozó láncszabály alapján!

a) log₂(x) b) e^2x c) cos₂^x d) 4x e) (e^x x^e)^2,71828 f)

e

^{cosxsinx} g) sin2xcos2x h) ²⁰⁰⁵x²⁰⁰⁶x i) cos(cosx)

j) exp(¹₂x²) k) exp(e^x) l) exp(₂¹ x²) m) 1 1 x

n) x

x



 1

ln 1 o) ^1log_{2 2}^x p)

100

1 100



 

  x

q) sin(cos(^x)) r) tg(ctg(x^))

3. FELADAT

Differenciálja az alábbi függvényeket a megfelelő differenciálási szabályok alkalmazásával!

a) ₂¹e^4x₃¹4^3x1 b) x³(tg3xctg2x) c) _{x x}

x x

e e

e e

2 2

2 2

ln _





 d) 3^xlog₃(1x³)

e) 2 2

1

2 2 3







 x

x x

x f) (1x²) 1x² g)

x x x

x

2

2 sin

2 cos cos

2

sin  h) e^xsin2x

i) x^eln(1e^x)ex^2 j) (2ctgxlgx)^2 k)

x x x

4 tg

4 4  4

l) ₂

2

2 cos

cos x

x x

m) e^sinxln(sinx) n) ctg(tgx)tg(ctgx) o*) ³

2 ln

tg 3

x

x x

p*)

1 sin ) 2 1 (

2 2

2





 x e

x x

x q*) (cosx)^tgx r*) x^x^x 2

s*)



^sinxcosx



^{sinxcosx t*) x x}



Értelmezés, differenciálhatóság, derivált

4. FELADAT

Hol értelmezett ill. hol differenciálható az alábbi függvény? Határozzuk meg a derivált függvényt! (+-feladat: ábrázolja is az eredeti függvényt és adja meg az értékkészletét.) a+) ³ x1 b) log₂(1cos² x) c+) e^{2ln(1x)} d) ctg x

e) sinx f+) cosx11 g)

x x



 2

1 h)

2 3 1

2  x

x

i) 2^xx^2 j) ln(tgx) k+)

x x







 1

1 l+) ^lnx x

7. Teljes függvényvizsgálat



Az f (x) függvény teljes függvényvizsgálatának lépései:

 f (x) közvetlen vizsgálata:

(1) Értelmezési tartomány (ÉT), folytonosság, szakadási helyek megállapítása (2) Speciális tulajdonságok (párosság, páratlanság, periodikusság) megállapítása

(3) Tengelymetszetek: y-tengely: x=0  y=f(0); x-tengely: y=0  x: f(x)=0 megoldása (ha lehet)

(4) (Féloldali) határértékek meghatározása az ÉT határainál (pl. szakadási helyek, esetleg  ill. +)

 f  (x) vizsgálata  f (x) monotonitása, helyi szélsőértékei

(5) f(x) meghatározása (deriválás), hol értelmezett (azaz f(x) hol differenciálható)

(6) Kritikus pontok–I: töréspontok keresése (ahol f(x) értelmezett, de nem differenciálható)

(7) Kritikus pontok–II: stacionárius pontok: az f(x)=0 egyenlet megoldásai

(8) Táblázat készítése: osztópontok a kritikus pontok és a szakadási helyek. A köztes szakaszokon f(x) előjele nem változik és meghatározza f(x) növő / csökkenő tulajdonságát és ezáltal, hogy melyik osztópont lokális szélsőértékek-hely.

Utóbbiakat behelyettesítve f(x)-be, megkapjuk a függvény helyi szélsőértékeit (kiszámítandók).

 f  (x) vizsgálata  f (x) konvexitása, inflexiós (a leggyorsabb növekedés) pontjai

(9) Lehetséges inflexiós pontok: az f(x)=0 egyenlet megoldásai

(10) Táblázat készítése: osztópontok a lehetséges inflexiós pontok és a szakadási helyek. A köztes szakaszokon f(x) előjele nem változik és meghatározza f(x) konvex / konkáv tulajdonságát és ezáltal, hogy melyik osztópont inflexiós hely.

Utóbbiakat behelyettesítve f(x)-be, megkapjuk az inflexiós pontok y-koordinátáit is (kiszámítandók, ha nem túl komplikált).

(11) A b) táblázat helyett készíthetünk olyan bővített táblázatot, amely egyszerre tartalmazza az 1)d) táblázatot f(x) előjelére és a 2)b) táblázatot f(x) előjelére, de így két könnyebben áttekinthető táblázat helyett egy nehezebben áttekinthetőhöz jutunk, viszont ebből egyből elkészíthető f(x) ábrája. A két egyszerűbb táblázat

megállapításainak egyesítése az ábrakészítés folyamán is figyelembe vehető, ily módon nincsen szükség a bonyolultabb 2)c) táblázat elkészítésére.

 Ábra készítése (függvénygrafikon szabadkézi vázlata)

(12) Megjelölendő pontok: tengelymetszetek, lokális szélsőértékek és inflexiós pontok;

esetleg az f(x) függvény egy-két könnyen kiszámítható pontja (pl. x=1, stb.).

(13) E pontok összekötése görbe vonallal a köztes szakaszokra megállapított növő / csökkenő ill. konvex / konkáv tulajdonságok, valamint az osztópontok szélsőérték- ill. inflexiós tulajdonságai figyelembe vételével; majd a görbe meghosszabbítása a végeknél a határértékek alapján.

(14) Az f(x) függvény értékkészletének (ÉK) megállapítása a kiszámított határértékek, lokális vagy globális szélsőértékek, és a függvény grafikonja alapján.



Feladatok

1. FELADAT

Az 6. sz. gyakorló feladatsorban található grafikonokra végezzen teljes függvényvizsgálatot.

2. FELADAT

Végezzen teljes függvényvizsgálatot a megadott függvényre:

a) 2x²3x2 b) x³ 3x c) 2x³9x²12x d) x⁴4x³4x² e) (x1)²(x² x8) f)

x1x g)

x1x h) 2x²  x i) ₂

1 1

x j) ln(4xx²) k) xlnx² l) _x e

x

m) x e^x

n) xe^x o) xe^x2 p) xlnx

3. FELADAT

Vizsgálja meg az alábbi függvényekkel leírt folyamatok tulajdonságait:

a) Logisztikus változások: _x

x

Be A

e





 ; 1 , , 0

 _ A B  Be

A ^x

b) Egyszerű kiürülés, telítődés: Ae^x; A(1e^x) A,0 c) Normális eloszlás: ²

2 2

) (

; ^D

m x

x Ae

e

 



d) Áramlás, telítődés-kiürülés:

0 ,

0

;

3 ;

2  ^{ }  ^{ }  ^    

 e e ^ e ^ Ae ^ Be ^ A B  

e ^{x x x x x x}