Anal´ızis I.

Anal´ ızis I.

8. el˝ oad´ as

2005. november 09.

Konvergenciakrit´ eriumok sorokra

Nemnegat´ıv val´os sz´amsorokra vonatkozik az al´abbi Weierstrasst´ol sz´armaz´o krit´erium.

1. T´etel. ( ¨Osszehasonl´ıt´o krit´erium.) Legyenek P

x_n ´es P

y_n olyan nemnegat´ıv tag´u sorok, hogy x_n ≤ y_n minden n ∈ N-re. Ekkor

(i) P

x_n konvergens, ha P

y_n konvergens;

(ii) P

y_n divergens, ha P

x_n divergens.

B i z o n y ´ı t ´a s. Legyen (S_n), illetve (σ_n) aP

x_n, illetve P

y_n sor r´eszlet¨osszegeinek sorozata. Ekkor x_n ≤ y_n miatt S_n ≤ σ_n minden n ∈ N-re. Tov´abb´a (S_n) ´es (σ_n) monoton n¨ovekv˝o sorozatok a sorok tagjainak nemnegativit´asa miatt.

Ha (σ_n), konvergens, akkor korl´atos ´es ´ıgy (S_n) is korl´atos. A monotonit´as miatt ´ıgy konvergens is.

Megford´ıtva, ha (S_n) nem konvergens, akkor nem korl´atos. Teh´at (σ_n) sem lehet

korl´atos sorozat. ´Igy (σ_n) nem konvergens.

K¨ovetkezm´eny 1. (Weierstrass-f´ele major´ans krit´erium.) Legyen Px_n egy komplex tag´u sor ´es P

y_n egy nemnegat´ıv tag´u sor.

(i) Ha |x_n| ≤ y_n minden n ∈ N-re ´es P

y_n konvergens, akkor P

x_n abszol´ut konvergens;

(ii) Ha |x_n| ≥ y_n minden n ∈ N-re ´es P

y_n divergens, akkor P

x_n nem abszol´ut konvergens.

P´eld´ak:

• 1

n² + 2 < 1

n² (∀n ∈ N),

∞

P

n=1

1

n² konvergens, teh´at az ¨osszehasonl´ıt´o krit´erium alapj´an a

∞

P

n=1

1

n² + 2 sor is konvergens.

• lnn

n ≥ 1

n (∀n ∈ N),

∞

P

n=1

1

n divergens, sor, teh´at az ¨osszehasonl´ıt´o krit´erium alapj´an a

∞

P

n=1

lnn

n sor is divergens.

Alapvet˝o fontoss´ag´u a k¨ovetkez´o t´etel.

2. T´etel. (Cauchy-f´ele gy¨okkrit´erium.) Legyen P

x_n egy komplex tag´u sor.

(i) Ha lim

n→∞

pn

|x_n| < 1, akkor a P

x_n sor abszol´ut konvergens;

(ii) Ha lim

n→∞

pn

|x_n| > 1, akkor a P

x_n sor divergens.

B i z o n y ´ı t ´a s. Ha lim

n→∞

pn

|x_n| < 1, akkor van olyan q < 1 sz´am, hogy

n→∞lim pn

|x_n| < q. Ez az egyenl˝otlens´eg azt jelenti, hogy legfeljebb v´eges sok n kiv´etel´evel

pn

|x_n| < q, azaz l´etezik olyan n₀, hogy

|x_n| < qⁿ, ha n > n₀. A P

qⁿ nemnegat´ıv tag´u sor konvergens, ´es tagjai az n₀ indext˝ol kezdve major´alj´ak a P

|x_n| sor tagjait. Ez a v´eges sok tag a sor konvergenci´aj´at nem befoly´asolja, ´ıgy a P

|x_n| sor konvergens, azaz P

x_n abszol´ut konvergens.

Ha lim

n→∞

pn

|x_n| > 1, akkor v´egtelen sok n indexre |x_n| > 1. Teh´at (x_n) nem tarthat null´ahoz. ´Igy a P

x_n sor nem lehet konvergens.

P´eld´ak:

•

∞

P

n=1

n²(2 + (−1)ⁿ)ⁿ 5ⁿ

limpⁿ

|a_n| = 3

5 < 1, teh´at a sor a Cauchy-f´ele gy¨okkrit´erium szerint konvergens.

•

∞

P

n=1

aⁿn (a ∈ R) limpⁿ

|a_n| = |a|, ´ıgy a Cauchy-f´ele gy¨okkrit´erium szerint a sor konvergens, ha

|a| < 1, ´es |a| > 1 eset´en divergens. Nyilv´anval´o, hogy a sor |a| = 1 eset´en is divergens.

•

∞

P

n=2

eⁿ n limpⁿ

|a_n| = lim

n→∞

n

reⁿ

n = e > 1, teh´at a

∞

P

n=2

eⁿ

n sor divergens.

A Cauchy-f´ele gy¨okkrit´eriumn´al gyeng´ebb, de sokszor egyszer˝ubben alkalmazhat´o az al´abbi krit´erium.

3. T´etel. (D’Alambert-f´ele h´anyadoskrit´erium.) Legyen P

x_n egy olyan komplex tag´u sor, amelynek minden tagja null´at´ol k¨ul¨onb¨oz˝o.

(i) Ha lim

n→∞

|x_n+1|

|x_n| < 1, akkor a P

x_n sor abszol´ut konvergens;

(ii) Ha lim

n→∞

|x_n+1|

|x_n| > 1, akkor a P

x_n sor divergens.

B i z o n y ´ı t ´a s. Az el˝oz˝o t´etel alapj´an elegend˝o megmutatnunk, hogy

n→∞lim pn

|x_n| ≤ lim

n→∞

|x_n+1|

|x_n| ´es lim

n→∞

|x_n+1|

|x_n| ≤ lim

n→∞

pn

|x_n|.

Az els˝o egyenl˝otlens´eg igazol´as´ahoz legyenq tetsz˝oleges a lim

n→∞

|x_n+1|

|x_n| < q egyenl˝otlen- s´eget teljes´ıt˝o sz´am. Ekkor tal´alhat´o olyan n₀, hogy k ≥ n₀ eset´en:

|x_k+1|

|x_k| < q,

A kapott egyenl˝otlens´egeket a k = n₀, . . . , n − 1 ´ert´ekekre v´eve ´es ¨osszeszorozva, kapjuk, hogy

|x_n| < |x_n0|qⁿ⁻ⁿ⁰, ha n > n₀. Teh´at

pn

|x_n| < q · ⁿ s

|x_n0|

qⁿ⁰ , ha n > n₀. Ez´ert

n→∞lim pn

|x_n| ≤ lim

n→∞q · ⁿ s

|x_n0|

qⁿ⁰ = q.

Mivel q tetsz˝oleges a lim

n→∞

|x_n+1|

|x_n| < q egyenl˝otlens´eget teljes´ıt˝o ´ert´ek, ez´ert innen

n→∞lim pn

|x_n| ≤ lim

n→∞

|x_n+1|

|x_n| ad´odik.

A m´asodik egyenl˝otlens´eg igazol´asa teljesen anal´og.

P´eld´ak:

•

∞

P

n=1

(n!)² 2ⁿ²

n→∞lim

a_n+1 a_n

= lim

n→∞

((n + 1)!)²

2⁽ⁿ⁺¹⁾² · 2ⁿ² (n!)²

= lim

n→∞

(n + 1)² 2²ⁿ⁺¹

= 0 < 1, teh´at a sor a D’Alembert-f´ele h´anyadoskrit´erium szerint konvergens.

•

∞

P

n=1

cⁿ

n! (c ∈ R, c 6= 0)

a_n+1 a_n

=

cⁿ⁺¹

(n + 1)! · n!

cⁿ

= |c|

n + 1

n→∞lim

a_n+1 a_n

= lim

n→∞

|c|

n+ 1 = 0 < 1, teh´at a sor a D’Alembert-f´ele h´anyadoskrit´erium szerint konvergens.

•

∞

P

n=1

(n!)cⁿ

nⁿ (c ∈ R⁺)

n→∞lim

a_n+1 a_n

= lim

n→∞

(n + 1)!cⁿ⁺¹

(n + 1)ⁿ⁺¹ · nⁿ (n!)cⁿ

= lim

n→∞

c

1 + 1 n

n = c e Ha c < e, akkor a sor konvergens, mert ekkor c

e < 1.

Ha c > e, akkor pedig divergens a sor.

Megjegyz´es 1. Legyen ha_ni : N → R ´es a_n > 0 minden n ∈ N eset´en. Ekkor lim

a_n+1 a_n

≤ limpⁿ

|a_n| ´es limpⁿ

|a_n| ≤ lim

a_n+1 a_n

.

Azaz ha a

∞

P

n=1

a_n sor konvergenci´aja a D’Alembert-f´ele h´anyadoskrit´erium alapj´an eld¨onthet˝o, akkor a Cauchy-f´ele gy¨okkrit´eriummal is eld¨onthet˝o, tov´abb´a ha a Cauchy-f´ele gy¨okkrit´erium ”hat´astalan”, akkor a D’Alembert- f´ele h´anyadoskrit´erium sem alkalmazhat´o.

P´elda:

Legyen ha_ni : N → R,

a_n :=

3⁻ⁿ, ha n p´aros 5⁻ⁿ, ha n p´aratlan.

Alkalmazzuk a Cauchy-f´ele gy¨okkrit´eriumot!

limpⁿ

|a_n| = 1

3 < 1, teh´at a sor a Cauchy-f´ele gy¨okkrit´erium szerint konvergens.

Alkalmazzuk a D’Alembert-f´ele h´anyadoskrit´eriumot!

a_n+1 a_n

=









 1 5

3 5

n

, ha n p´aros 1

3 5

3 n

, ha n p´aratlan ,

´ıgy

lim

a_n+1 a_n

= +∞ ´es lim

a_n+1 a_n

= 0

teh´at a sor konvergenci´aja a D’Alembert-f´ele h´anyadoskrit´eriummal nem d¨onthet˝o el.

Monoton cs¨okken˝o pozit´ıv tag´u sorok konvergenci´aj´anak sz¨uks´eges ´es elegend˝o felt´etel´et adja az al´abbi t´etel.

4. T´etel. (Cauchy-f´ele kondenz´aci´os vagy ritk´ıt´asi krit´erium.) Legyen P

x_n egy monoton cs¨okken˝o pozit´ıv tag´u sor. Ekkor a P

x_n sor pon- tosan akkor konvergens, ha P

2ⁿx₂ⁿ konvergens.

B i z o n y ´ı t ´a s. Legyen hs_ni,hS_ni : N → R,

s_n := a₁ +a₂ +... +a_n ´es S_n := a₁ + 2a₂ +... + 2ⁿa₂ⁿ. Legyen n, m ∈ N ´es m > 1.

Ha n < 2^m, akkor

s_n ≤ a₁+ (a₂+a₃) +...+ (a₂^m+a₂^m₊₁+...+a₂^m+1₋₁) ≤ a₁+ 2a₂+...+ 2^ma₂^m = S_m, m´ıg n > 2^m eset´en

s_n ≥ a₁ +a₂ + (a₃ +a₄) + ... + (a₂m−1+1 +a₂m−1+2 +... +a₂^m) ≥

≥ a₁

2 +a₂ + 2a₄ + ...+ 2^m−1a₂^m = 1 2S_m.

Teh´at hs_ni ´es hS_ni egyszerre korl´atos vagy nem korl´atos. Mivel mindk´et sorozat monoton n¨ovekv˝o, ez´ert egyszerre konvergensek, illetve divergensek.

Lemma 1. (Abel-f´ele szumm´aci´os formula.) Legyen (x_n) ´es (λ_n) k´et komplex sz´asorozat. Jel¨olje S_n a P

x_n sor n-edik r´eszlet¨osszeg´et. Ekkor

n

X

k=1

λ_kx_k =

n

X

k=1

(λ_k − λ_k+1)S_k +λ_n+1S_n.

B i z o n y ´ı t ´a s. Az ´all´ıt´ast n-szerinti teljes indukci´oval igazoljuk.

Ha n = 1, akkor a jobboldali kifejez´est kisz´am´ıtva

n

X

k=1

(λ_k −λ_k+1)S_k +λ_n+1S_n = (λ₁ −λ₂)S₁ +λ₂S₁ = λ₁S₁ = λ₁x₁. Tegy¨uk fel, hogy az ´all´ıt´as n-re igaz. Ekkor

n+1

X

k=1

λ_kx_k =

n

X

k=1

λ_kx_k +λ_n+1x_n+1 =

n

X

k=1

(λ_k − λ_k+1)S_k +λ_n+1S_n +λ_n+1x_n+1

=

n

X

k=1

(λ_k − λ_k+1)S_k + λ_n+1S_n+1 =

n+1

X

k=1

(λ_k − λ_k+1)S_k +λ_n+2S_n+1.

Teh´at az ´all´ıt´as n + 1-re is ´erv´enyes.

5. T´etel. (Dirichlet-f´ele krit´erium.) Legyen (λ_n) egy val´os sz´amokb´ol ´all´o monoton nullsorozat, tov´abb´a P

x_n egy olyan komplex tag´u sor, amelynek r´eszlet¨osszegei korl´atos sorozatot alkotnak. Ekkor a P

λ_nx_n sor konvergens.

A t´etelt nem bizony´ıtjuk.

K¨ovetkezm´eny 2. (Leibniz-f´ele krit´erium altern´al´o sorokra.) Legyen (λ_n) egy monoton nullsorozat. Ekkor P

(−1)ⁿλ_n konvergens.

B i z o n y ´ı t ´a s. A P

(−1)ⁿ sor r´eszlet¨osszegeinek sorozata korl´atos, ´ıgy az el˝oz˝o

t´etel alkalmaz´as´aval az ´all´ıt´ast kapjuk.

P´elda:

A fenti t´etelb˝ol azonnal ad´odik, hogy P

(−1)ⁿ1

n konvergens sor, tov´abb´a az is l´athat´o, hogy ez a sor nem abszol´ut konvergens.

K¨ovetkezm´eny 3. (Abel-f´ele krit´erium.) Legyen λ_n egy korl´atos mono- ton val´os sz´amsorozat. Legyen tov´abb´a P

x_n egy konvergens komplex tag´u sor. Ekkor P

λ_nx_n konvergens.

B i z o n y ´ı t ´a s. A (λ_n) sorozat konvergens; legyen a hat´ar´ert´eke λ. Ekkor λ_n−λ monoton sorozat. ´Igy a Dirichlet-krit´erium alapj´an a P

(λ_n − λ)x_n sor konvergens.

Ugyanekkor a P

λx_n sor is konvergens, teh´at a k´et sor ¨osszegsora is konvergens. Ez

´eppen a bizony´ıtand´o ´all´ıt´ast jelenti.

P´elda:

∞

P

n=1

5

2ⁿn! = 5

∞

P

n=1

1 n!·

1 2

n

sor konvergens az Abel-f´ele krit´erium szerint, merta_n = 1 n!

monoton cs¨okken˝o nullsorozat, tov´abb´a a

∞

P

n=1

1 2

n

konvergens m´ertani sor.