Afö

A földi plazmaszféra vizsgálata whistlerek segítségével

MTA doktori értekezés

Lihtenberger János

Budapest

2010

dc_79_10

F-nek, aki nélkül ez adolgozatnem jött volna létre.

dc_79_10

Tartalomjegyzék

El®szó 5

1. Történeti áttekintés és elméleti alapok 7

1.1. Whistlerek . . . 7

1.2. A plazmaszféra és szerepe az¶r-id®járási folyamatokban . . . 13

1.3. Elméleti alapok . . . 17

1.3.1. Whistlerekkeletkezése és terjedése . . . 17

1.3.2. A plazmaszféraelektrons¶r¶ség-eloszlásának meghatározása whist- lereksegítségével . . . 24

2. Automatikus whistlerdetektáló eljárás [Lihtenberger et al., 2008℄ 28 2.1. A feladat megfogalmazása . . . 28

2.2. A automatikus detektáló eljárás . . . 31

2.3. A gyakorlati megvalósításkövetelményei . . . 32

2.4. Közepes szélesség¶ algoritmus . . . 32

2.5. Nagyobb- ésnagyszélesség¶ algoritmus . . . 36

2.6. Kisszélesség¶ és m¶holdasalgoritmus . . . 38

2.7. Az automatikus whistlerdetektor hatásfoka . . . 38

2.8. Statisztikai vizsgálatok . . . 40

2.8.1. Közepes szélesség¶ állomás -Tihany . . . 40

2.8.2. Nagyobb szélesség¶ állomás - Dunedin . . . 47

2.8.3. Nagyonnagy whistlergyakoriság az antarktiszi félszigeten . . . 50

3. Új inverziós eljárás [Lihtenberger, 2009℄ 56 3.1. Hullámterjedési modell . . . 59

3.2. Elektrons¶r¶ség-eloszlás modell . . . 61

3.3. Mágneses tér modell . . . 63

3.4. A s¶r¶ségmodellek összehasonlítása . . . 63

3.5. Összehasonlítás más modellekkel. . . 64

4. Többutas terjedés¶ whistlersoport-modell és a virtuális whistlernyom transzformáió [Lihtenberger, 2009℄ 68 4.1. Többutas terjedés¶whistlersoportmodellje . . . 68

4.2. Virtuális whistlernyom-transzformáió . . . 69

4.3. Az MP soportmodellés aVTT alkalmazásavalósadatokra . . . 73

dc_79_10

5. Automatikus whistlerelemz® algoritmus [Lihtenberger et al., 2010℄ 82

5.1. A whistlernyomokautomatikus skálázása . . . 82

5.2. Virtuáliswhistlernyomtranszformáióraépül®automatikuswhistlerelemz®

algoritmus . . . 85

5.2.1. Aspektrogrammokfelbontásánaknöveléseésmegtisztításaazavaró

jelekt®l. . . 85

5.2.2. Az automatikus whistlerelemz®(AWA) eljárás . . . 92

5.2.3. Az automatikus whistlerelemz®algoritmusgyakorlati megvalósítása 98

6. A globális automatikuswhistlerdetektorés elemz® hálózat (AWDANet)

kiépítése [Lihtenberger et al., 2008℄ 100

6.1. AzAWDANet állomások telepítésihelyszíneinek kiválasztásiszempontjai . 100

6.2. AzAWDANet állomások felépítése . . . 109

6.3. AzAWDANet . . . 110

7. Villám-whistler korreláiós vizsgálatok 116

7.1. Tihanyi whistlerekés villámokkorreláiósvizsgálata. . . 117

7.2. Dunediniwhistlerek és villámokkorreláiós vizsgálata . . . 121

7.3. Antarktiszi whistlerekés villámokkorreláiósvizsgálata . . . 124

8. Összefoglalás és kitekintés 129

Köszönetnyilvánítás 131

Irodalomjegyzék 132

dc_79_10

El®szó

A zika történetében valószín¶leg a whistlerek szolgáltatták Maxwell elméletére az

egyik els® (ha nem a legels®) kísérleti bizonyítékot. Heinrih Hertz 1887-ben végezte el

híres kísérletét, amellyel igazolta a Maxwell által megjósolt elektromágneses hullámok

létezését. Az osztrák Fuhs [1938℄ beszámolója szerint az el®z® évben, azaz 1886-ban az

Alpokban lév® Sonnblik obszervatóriumhoz vezet® 22 km-es telefonvezetéken mélyül®

füttyöket észleltek. 1894-ben a Brit Királyi Posta távírdászai észleltek távíróvonalakon

hasonlójelenséget[Preee,1894℄. Összehasonlításképpen Popov 1895-ben, Maroni 1896-

ban végezte els® kísérletéta szikratávíróval.

A leírásokban szerepl® mélyül® füttyökr®l,a whistlerekr®l 1

ma már tudjuk, hogy kö-

zönségesvillámokáltalgerjesztett elektromágneseshullámok.A villámokáltalgerjesztett

szélesspektrumúelektromágneses hullámokközel fénysebességgelszétterjednek aFöldés

azionoszféra általképzetthullámvezet®ben, ésa rádiókészülékekben resenésszer¶ han-

gokkénthallhatók,ezekajeleketnevezzükszferikeknek.Egyrészükáthaladazionoszférán,

és a mágneses er®vonalak mentén húzódó elektrons¶r¶ség-inhomogenitásokban, az úgy-

nevezett vezet®satornákban hullámsomagként terjedve érkezik amásik féltekére. Mivel

a mágnesezettplazmában az elektromágneses hullámok terjedési sebessége er®senfügg a

frekveniától, a kezdetben impulzusszer¶ jel id®ben széthúzódva éri el a másik féltekét,

ahova már sak a nagyon alasony frekveniák érkeznek meg, amelyeket 1-2 másodper-

ig tartó, mélyül® füttyként hallhatunk, ugyanis ez a 3-30kHz-es frekveniatartomány

(amelyet angol rövidítéssel VLF tartománynak nevezünk) egybeesik a hallható hangok

frekveniatartományával,ígyezeketarádiójeleketközvetlenülhallhatjukegyhangszórón.

A XX. század fordulóján még telefon és távíróvezetékeken is észlelhet®ek voltak ezek a

jelek, az egyre növekv® intenzitású mesterséges elektromágneses zajok miatt ma ehhez

már inkább érzékeny szélessávú rádióvev® szükséges.

A fenti észleléseket számos hasonló követte, azonban tudományos magyarázat híján

sokáig hol a Mars-lakóknak, hol a repül® sészealjaknak tulajdonították a füttyöket. A

legmeglep®bb képzettársítások az I. világháború alatt történtek, amikor a tábori tele-

fonokban hallott whistlerekr®l a katonák azt hitték, hogy a feléjük repül® gránátokat

hallják. Ma már eéle szenzáiók helyett tudományos vizsgálatok folynak, amelyek azt

kutatják,hogyanterjednek awhistlerek,milyeninformáiókatszerezhetünk segítségükkel

aplazmaszféráról ésazokathogyan alkalmazhatjukaz ¶r-id®járásivizsgálatokban.

Dolgozatombanel®szörvázolomaplazmaszféra-ésawhistlerkutatástörténetétésfon-

tosabberedményeit, majd áttekintem atovábbi tárgyaláshozszükséges elméletialapokat.

A2.fejezetbenismertetemawhistlerekautomatikusdetektálásárakidolgozotteljárást,

amelyikképesanyersVLFadatokbólautomatikusankiválasztani(detektálni)akülönböz®

1

Sajnos sem a magyarul fütty-öt jelent® whistler szónak, sem az ilyen rádiójeleket kelt® sferi

szónakninsjómagyarmegfelel®je,ezérténisazangolszavakatvagyokkénytelenhasználnidolgozatom-

ban.

dc_79_10

mágneses szélességen terjed® whistlereket. Az eljárás számítógépes algoritmusa a valós

id®nél gyorsabb ésígy képes awhistlerek folyamatosautomatikus detektálására.

A 3. fejezetben részletesen leírom az új whistler-inverziós eljárást, amely a közel-

múltban kidolgozott empirikus er®vonalmenti elektrons¶r¶ség eloszláson és a Maxwell-

egyenletek új whistler-megoldásánalapul.

A4.fejezetbenismertetemaztamodellt,amelyalkalmasatöbbutaswhistlersoportok

terjedésének leírására és azt a matematikai eljárást, amelyet a többutas terjedés¶ valós

whistlernyomokra alkalmazvaa plazmaszféra egyenlít®i elektrons¶r¶ség prol 2 paramé-

tere meghatározható, így a megszokottól eltér®en nem sak az egyes nyomok terjedési

útjai mentén, hanem a plazmaszféra széles radiális tartományában meghatározható az

elektrons¶r¶ség eloszlása.

Az 5.fejezetben leíromavirtuális whistlernyom-transzformáiónalapulóautomatikus

whistlerelemz®eljárástés annak agyakorlatbanisalkalmazhatószámítógépesalgoritmu-

sát.

A6.fejezetbenismertetemazautomatikuswhistlerdetektoréswhistlerelemz®(AWDA)

állomásokbólszéleskör¶nemzetközikooperáióbanlétrehozottglobálishálózatot(AWDA-

Net). A folyamatosan b®vül®észlel®hálózatnak jelenleg 15m¶köd®és 12,a közeljöv®ben

telepítésre kerül® állomásavan.

A 7. fejezetben bemutatomaz AWDANet mérésein alapulóstatisztikai vizsgálatokat,

amelyek élja a kelt® villámok és az észlelt whistlerek közötti kapsolat alapján a ter-

jedési utak (er®vonalak, mágneses hosszúságok) meghatározása, mely adatok alapvet®en

szükségesek, ha a whistlerek segítségével nyert s¶r¶ségadatokat fel akarjuk használni a

plazmaszféra modellezésében.

dc_79_10

1. fejezet

Történeti áttekintés és elméleti alapok

1.1. Whistlerek

Azel®szóban már említettsonnbliki ésangliaiesetet követ® els® beszámolót Barkha-

usen [1919℄adta, amelyben az els® világháborúbanaz ellenséges telefonvonalak lehallga-

tásasoránszámosalkalommalészleltfursa füttyötírle.Barkhausenezeketmeteorológiai

hatásokkal hozta összefüggésbe. Kés®bb Barkhausen [1930℄ ezt revideálta és két lehetsé-

ges magyarázatot is adott. Az egyik magyarázat szerint az ionoszféra-földfelszín közötti

többszörös visszaver®dés, a másik szerint egy diszperzív közegben való terjedés okozza a

jelenséget.

Atovábbikutatásnak10-15évmúlvaazadottlendületet,hogyid®közbenkidolgozták

a homogén, ionizált közegben, küls® mágneses tér jelenlétében történ® elektromágneses

hullámterjedés elméletének alapjait [Appleton, 1932; Hartree, 1931℄ . Ennek felhasználá-

sávalEkersley [1925, 1935℄ Barkhausen eredményeittovábbfejlesztve,ionizáltközegben

terjed®elektromágnesesimpulzusdiszperziójátvizsgálvaels®közelítésbenegymaishelyt-

állóformulát vezetett le a whistlerekfrekveniájának id®beliváltozására:

t(f) = D

√ f ,

^(1.1)

ahol

D

^adiszperzió,

f

^apillanatnyifrekvenia,

t

^pedigapillanatnyifrekveniaterjedési ideje. Képletének helyességét mindössze Burton and Boardman [1933℄ egyetlen, oszillo-

gráal készített whistler-felvétele igazolta, amib®l megszerkesztették az els® kvantitatív

frekvenia-id® görbét.

A modern whistlerkutatás a háború okozta közel 20 éves kihagyás után az 1950-es

években kezd®dött.Storey [1953℄alapvet®fontosságúmunkájábana whistlerekregisztrá-

lásávalegyidej¶leg meggyelte a whistlereketmegel®z® villámokkeletkezésének helyétés

idejét. Az els® fontos eredménye az volt, hogy mérései alapján feltételezte, a whistlerek

villámlásokáltalgerjesztett elektromágneseshullámok,melyekaföldmágneseser®vonalak

menténterjednek.Ezekajelekakártöbbszöriside-odaver®dhetnekaféltekékközött,me-

lyeketezértegy-illetvetöbbugrásúwhistlerekneknevezzük.Storeyrészletesszámításokkal

támasztottaaláelképzeléseit,amelyekbenfeltételezte,hogyazionoszférafelettitartomány

azakkorielképzelésekkelellentétben nemüres,hanemszámottev®mennyiségben töl-

tött részeskéket plazmát tartalmaz, és a whistlerek diszperziója alapján 2 földsugár

geoentrikus távolságban

400 elektron/cm ³

^{-re besülte az} elektrons¶r¶séget. Ezzel fel- fedezte a plazmaszférát, a magnetoszféra bels® tartományát. Tanulmányozta továbbá a

dc_79_10

1.1. ábra. KorabeliwhistlermegjelenítésStorey [1953℄munkájából,amellyelmegalapozta

a modernwhistlerkutatást.

whistlerek megjelenési formáit, napi ésévszakos változásukat,továbbá összefüggésüket a

mágneses tevékenységgel és az F2 réteg kritikus frekveniájával. Mindezt az akkori, ma

már kezdetlegesnek mondható mérésimódszerek segítségével érte el (1.1. ábra).

Storey eredményeiés aküls®ionoszféra-magnetoszférawhistlerekkeltörtén®vizsgála-

tánaklehet®sége kiterjedtkutatásokatindítottmeg.Morgan andAllok [1956℄mágneses

er®vonalakkonjugáltpontjaibanvégzettegyidej¶mérésekkel,HelliwellandGehrels[1958℄

pedig 15.5 kHz-es földirádióadó jeleinekmeggyelésével igazolták azer®vonal menti ter-

jedést. Azionoszférafölöttel®szöraVanguardIIIm¶holdprotonproessziósmagnetomé-

terének tekersén észleltek whistlereket[Cain et al., 1962℄.

Avételisáv10kHzföléterjesztésévelfelfedeztékaz"orr"-whistlereket[Helliwelletal.,

1956℄.Ezeken létezik egyfrekvenia,azúgynevezett"orrfrekvenia",melynekalegkisebb

a terjedési ideje.Az ennél nagyobb illetve kisebb frekveniaösszetev®k terjedési ideje na-

gyobb,ígyazorrwhistlerfrekveniájaazid®kétérték¶függvénye.Awhistlerekelméletének

kidolgozásasoránbebizonyosodott,hogyvoltaképpen mindenwhistler"orr"-whistler.Ré-

gebbenazt gondolták,hogyaközepesésalasony geomágnesesszélességen terjed®whist-

lerekorrfrekveniája azészlelésitartományfölé esik,de azótakiderült,hogy awhistlerjel

20-25 kHz feletti része nem jut keresztül az ionoszférán. Az orrfrekvenia ismeretében a

terjedés er®vonalának szélessége könnyen meghatározható, ami egyúttal lehet®vé teszi a

plazmaszféra elektrons¶r¶ségének megbízhatóbb számítását [Smith, 1960; Smith et al.,

1960℄.

Amagnetoszféra-zikamásik,whistlereksegítségévelelért jelent®sfelfedezéseCarpen-

ter [1963℄ nevéhez f¶z®dik, aki az Antarktiszon regisztrált whistlerek segítségével kimu-

tatta,hogyaplazmaszféraegyenlít®ielektrons¶r¶ségekb.4földsugártávolságbanhirtelen

1-2nagyságrendetesik,felfedezveaplazmaszférahatárát,aplazmapauzát. Tudománytör-

téneti érdekesség, hogy a Lunyik-1 és -2 szovjet Hold-szondákmár 1959-ben mérték ezt:

dc_79_10

1.2. ábra. A Lunyik 2 általmért ions¶r¶ségek (üres körök) és a földi whistlermérésekb®l

származó egyenlít®i elektrons¶r¶ségprol.

am¶holdakion-sapdáit aHoldfelérepülve bekapsolták,amérések egyrésztigazoltáka

Storey által whistlerekkel megjósolt s¶r¶ségeket, másrészt néhány földsugár távolságban

a töltéss¶r¶ség váratlan és nagyarányú sökkenését észlelték [Gringauz et al., 1960℄. Ezt

azonban aSzovjet Tudományos Akadémiakutatói a mérések téves értelmezésének vélték

éssakakkorfogadtákel,amikor1963-banGringauztalálkozottCarpenterrelésazutóbbi

akétfélemérésimódszer eredményeitközösenbenem mutatta(1.2.ábra).Ezvoltazels®

olyaneset, amelyben távérzékelt ésin-situ mérésiadatokatalkalmaztakegymás kölsö-

nösellen®rzéséreaplazmaszférakutatásában.Ezazótabevett gyakorlattávált.Carpenter

[1966℄ további vizsgálatai leírták a plazmapauza napi és mágneses tevékenységt®l függ®

változásait.

Sugárkövetési számításokkal Maeda and Kimura [1956℄, majd Yabro [1960℄ kimu-

tatta, hogy az elektrons¶r¶ség sima változását feltételezve a whistlerek hullámnormálisa

jelent®sen eltér a földmágneses er®vonaltól, így a jel egyrészt nem a konjugált pontba

jut, másrészt a nagy beesési szög miatt visszaver®dik az ionoszféra tetejér®l és nem jut

le a felszínre. A többugrású whistlerek, valamint a diszkrét nyomokból álló whistlerso-

portok viszont sak akkor magyarázhatóak meg, ha a jel az er®vonal mentén terjed. Ez

szükségessé tette az er®vonalak mentén elnyúló,megnövekedett elektrons¶r¶ség¶ vezet®-

dc_79_10

satornák,dut-okfeltételezését.Avezet®satornákbantörtén®terjedéselméletétSmith

[1960℄; Smith et al. [1960℄ dolgozta ki sugároptikai közelítésben. Kés®bb Sarabui and

Smith [1971℄; Walker [1976℄;Laird and Nunn [1975℄ számosegyszer¶sít® feltételezés mel-

lett teljeshullám ésfázisintegrál módszerekkel bizonyítottákaplánparalell éskörkereszt-

metszet¶dutokbanawhistlerterjedéslehet®ségét.Többek(pl.[Strangeways,1977,1982℄)

különféle elektroneloszlású vezet®satornákat feltételez® magnetoszféramodellben végez-

tek sugárkövetési számításokat ésa whistler-mérésekkel jól egyez® eredményre jutottak.

Az1973-banindultNemzetköziMagnetoszféraKutatás(I.M.S.)évekeretébenösszeha-

sonlították az antarktiszi whistlerekb®l számítottmagnetoszféra elektrons¶r¶ség adatait

közel egyenlít®i pályán haladó m¶holdon mért s¶r¶ségadatokkal, és jó egyezést kaptak

[Carpenter et al., 1981℄. Ezzel közvetlenül bizonyították, hogy az Angerami [1970℄ által

az er®vonalmenti elektrons¶r¶ség-eloszlásra felállított diúzív egyensúlyi modell jól írja

le a valóságot. Ezt a modellt széleskörüen alkalmazták, mikor a whistlerek diszperziója

alapján határozták meg az egyenlít®i magasságban az elektrons¶r¶séget. A mérések azt

is igazolták, hogy a vezet®satornák elektrons¶r¶sége nem tért el jelent®sen (az eltérés

mindössze 6-22% között mozog) akörnyez® plazma elektrons¶r¶ségét®l.

A kis- és közepes szélességen terjed® whistlerek kiértékelésében jelent®s el®relépést

tett Tarsai [1975℄, amikor kidolgozta a FIT módszert, mely a mért frekvenia-id® ér-

tékpárokhoz legkisebb négyzetes módszerrel elméleti whistlergörbét illeszt. A legjobban

illeszked® elméleti whistler paramétereib®l számítja a terjedés er®vonalát, az elektrons¶-

r¶séget aFöld felszínét®l 1000 km magasságban és azegyenlít® magasságában, valamint

a uxuss® elektron-tartalmát és ezek hibáit. Vizsgálta továbbá a whistlermodellb®l és

a rögzített alakú plazmaeloszlásból következ® szisztematikus hibákat. A FIT módszert

alkalmazvanagyszámú közepes szélesség¶whistlerre megszerkesztette azL =1.4-3.3tar-

tományban az átlagos egyenlít®i elektrons¶r¶ség prolt, amivel kiegészítette a nagyobb

szélesség¶whistlerekb®lkapotteloszlás-görbét.Ugyanezen adatrendszer segítségévelvizs-

gálta a plazmaszféra napi és er®s mágneses tevékenységet követ® változásait. Kimutatta

továbbá,hogyawhistlerekfutásid®reziduáljaiban,azazamértésalegjobbanilleszked®el-

méletiwhistlergörbekülönbségében szisztematikuseltérésekjelentkeznek,melyetdönt®en

azionokhatásánakamodellbentörtén®elhanyagolásaokoz.Rámutatott,hogypontosabb

frekvenia-id® meghatározással ezek az informáiók kinyerhet®k. Strangeways [1977℄ kü-

lönféle prolú vezet®satornákban számított elméleti futásid®kkel igazolta a whistlerek

reziduálmenetén megjelen®, terjedést®l függ®szisztematikus eltéréseket. A spektrális in-

verziómódszerévelsikerült megoldania whistlerekfutásid®egyenletét azelektrons¶r¶ség

er®vonal menti eloszlására [Tarsaiand Daniell,1978℄.

Anyolvanasévekt®lmegnövekedettérdekl®déstapasztalhatóamagnetoszférábanter-

jed® whistlermódusú hullámok (mind a természetes eredet¶, mind a mesterséges VLF

adók jelei) által gerjesztett részeskekisapódások iránt (pl. Helliwell et al. [1986℄; Car-

penter andLaBelle [1982℄;ChangandInan [1985℄;InanandCarpenter [1987℄;Inanetal.

[1988℄).A plazmaszféra diagnosztikája szempontjábóljelent®s volt a K-Ny-iirányú szta-

tikuselektromosterekmérésére bevezetett eljárás[Carpenter and Stone,1967;Carpenter

et al., 1972℄, ami a vezet®satornák radiális irányú mozgásának követésén alapul. Ant-

arktisziwhistlerekkelvizsgáltákaküls®plazmaszféraáramlásaitésazebb®lszámítottK-

Ny-i irányú elektromostérnagyságátmágneses viharokalkalmával[Carpenter and Seely,

1976℄.A fels® ionoszférazikája megismeréséhez fontosel®relépéstjelentett az ionoszféra

és plazmaszféra közötti satolási uxusok mérése [Park, 1970℄ mely az er®vonalsövek

teljeselektrontartalmánakwhistlerekkeltörtén®mérésénalapul.Eztegészítettekiamág-

dc_79_10

nesesviharokutániuxusok vizsgálata,melyetTarsai [1981℄végzettközepesszélességen

terjedt whistlerekértékelésével.

1969-benazAntarktiszon,azAmerikaiEgyesültÁllamokSiplekutatóállomásánüzembe

helyezték a whistlermódusban terjed® VLF hullámok er®vonalmenti terjedésének tanul-

mányozásáraszolgáló100kW-osrádióadót[Inan etal.,1977℄,amivelkiterjedtkísérleteket

folytattakakonjugáltpontbeliállomás(Roberval,Kanada)ésm¶holdakfelhasználásával

(pl. [Pashaland Helliwell,1984; Pashal, 1984; Carpenter, 1988℄.

Carpenter [1981℄ Antarktiszon észlelt whistlerek elemzésével meghatározta a vezet®-

satornák lehetséges térbeli elhelyezkedését, azaz a plazmaszféra whistlerekkel történ®

vizsgálatánaklehetséges határaités azt tapasztalta,hogynyugodtmágneses tevékenység

esetén a vezet®satorna egyenlít®i magassága elérheti a 9 földsugár távolságot. Helliwell

etal.[1980℄;Dingle andCarpenter [1981℄;Doolitleand Carpenter [1983℄;Carpenter etal.

[1986℄a vezet®satornák meglététvizsgálta aplazmaszférában.

Aránylag hosszú volt a fejl®dés a whistlerek spektrumanalízise terén. Potter [1951℄

els®nek alkalmazott hangspektrográfot whistlerek elemzésére. Ennek tökéletesebb válto-

zatai, a Rayspan és a Sonagraph hosszú ideig egyeduralkodók voltak, és a mai digitális

észleléstehnika mellett is tapasztalható az analóg eljárások digitális, számítástehnikai

formában történ® továbbélése. Az automatikus whistlerdetektor és real-time feldolgozó

rendszer kiépítése eddig sehol nem történt meg.

Bár a whistlerek kutatásának jó néhány kérdése éppen a mért jel spektrumanalízise

pontatlanságának tudható be, a whistlerek és más, id®ben változó frekveniájú jelek

nagypontosságúanalízisenemkapott kell®gyelmet.Történtekugyankísérletekaponto-

sabb dinamikusspektrum meghatározásárade ezek közel sem érték el azt apontosságot,

amire ahhoz lett volna szükség, hogy az elméleti meggondolásokat igazolja vagy éppen

elvesse.

A klasszikusnak számító mozgó id®ablakos vagy mozgó frekveniaablakos spektrum-

elemzéspontosságát Kodera et al.[1976℄ a spektrumfázisinformáiójátis gyelembevéve

növelte meg, ennek továbbfejlesztett változataa súlyozott spektrogramm. Más módon is

növelhet® a pontosság, haa jel frekvenia-id® összefüggésér®l hozzávet®leges, el®zetesin-

formáiónkvan.Dziewonskyet al.[1969℄módszerénektovábbfejlesztésekéntLevshinetal.

[1972℄hatásosalgoritmustdolgozottkifrekveniamoduláltjelekfrekvenia-id®elemzésére,

ami a frekveniatartományban történ® összetett sz¶résen alapul (FTAN módszer). Az

eljárást az el®zetes informáiók alapján optimálisan megválasztott sávszélesség¶ Gauss-

sz¶r®kkel G.A. and Kapustina [1978℄ alkalmazta elektron- és proton-whistlerekre és a

klasszikus módszereknél jóval nagyobb pontosságot ésfelbontást ért el.

EgysormáseljárásalapulGábor [1946℄elméletén,melybenaváltozófrekveniájújelet

id®-ésfrekveniaátfogásbankorlátozottúgynevezettelemijelekösszegekéntértelmezi.Gá-

borelméletét Lerner [1961℄ általánosította.Berthomier [1975℄ kidolgozottegymódszert,

melybenaGábor [1946℄ésVille [1948℄általdeniáltanalitikusjelid®szerintideriváltjából

kapta apillanatnyifrekveniákat. Ezt kórusra, whistlerre ésVLFpulzáiókra alkalmazta

ésgyorsan változó jelek esetén aszokásos módszereknél pontosabb eredményeket kapott.

Gábor [1946℄ elemi jeléhez hasonló módon deniált komplex jelet Mihovilovi and Bra-

ewell [1991, 1992℄ eggyel növelve a szabadsági fokot, mellyel az elemi jel frekvenia-id®

síkban való elfordulásátjellemezték. Az így kapott elemijelet "hirplet"-nek nevezték és

a fázisának deriváltjával pontosabban számították ki olyan jelek dinamikus spektrumát,

melyek a frekvenia-id® síkon átlós jelleg¶ek. Szintetikus whistlerjelekre alkalmazták az

eljárást,afelbontástésapontosságotaklasszikus módszerekhezviszonyítvasaknemegy

dc_79_10

nagyságrenddel megnövelték. A radartehnikában kifejlesztett és alkalmazott illesztett

sz¶réses eljárásnakwhistlerekre történ®adaptálásábandönt®jelent®ség¶voltBèghinand

Siredey [1964℄ és Siredey [1967℄ munkássága. Néhány nem helytálló következtetés és az

akkoriban nagyonnagynak bizonyuló számításigény miatt azonban úgyt¶nt, ez azirány

zsákutába jutott.

AzELTEGeozikaiés–rtudományiTanszékén1981ótafolynakkísérletekazillesztett

sz¶r®nek digitálisanészlelt whistlerekre való alkalmazására. A digitálisészlelés-tehnikát

évekkel megel®zte az elméletiszámítások,modell-számítások sora. Így amikora tehnika

lehet®vétetteadigitálisészlelést, ésrendelkezésreálltakajó min®ség¶digitálisregisztrá-

tumok, akidolgozotteljárásokalkalmazásaawhistlerek eddignem ismerttulajdonságait

mutatta ki.

Hamar [1980, 1993℄ és Hamar and Tarsai [1982℄ kidolgozták a whistlerek illesztett

sz¶résének elméleti alapjait, melyenek segítségével a korábban használatos módszerek-

nél lényegesen pontosabb frekvenia-id® felbontás érhet® el és amelyeknek segítségével a

görbeillesztésselnyertparaméterekpontosságaisnövekszik.Anagypontosságúfrekvenia-

id®felbontáslehet®véteszi azúgynevezett nomszerkezetkimutatásátAntarktiszonmért

whistlerekreHamaretal.[1990,1992℄,azACTIVEm¶holdondigitálisanregisztráltwhist-

lerek(SAS kísérlet, Lihtenberger et al.[1991℄)és kis szélességeken észlelt whistlerekese-

tébenis[Singhetal.,1999,2000,2004℄.Hamar [1993℄bebizonyítja,hogyanomszerkeze-

tetbizonyosesetben két,azillesztettsz¶r®felbontóképességénél közelebblév®komponens

okozhatja. Továbbra is nyitott a kérdés, hogy mi okozza a közeli komponensek megjele-

nését, illetve aköztük lév®id®késés frekveniafügg® változását.

A whistlerek vezet®satornabeli terjedésér®l illetve a vezet®satornák kiterjedésér®l,

elhelyezkedésér®l és mozgásáról, amelyek a whistlerek kiértékeléséb®l nyert informáiók

felhasználásánálfontosak, iránymérésekkelszerezhetünk informáiókat.Amásodik világ-

háborúból jól ismert forgó keretantennás irányméréseket (goniométer) whistlerekre köz-

vetlenül nem lehetett alkalmazni améretek miatt, ezért két, egymásramer®leges mágne-

ses keretantenna jelételektronikusankeverveszintetizáltáka forgókeretantennát[Crary,

1961;Bullough andSagredo,1973;Sagredo andBullough,1973;Ryroftet al.,1974℄.Eza

módszerels®sorban nagytávolságból(kilépésipont>1000km)vízszintesen terjed®whist-

lerek beérkezési irányának meghatározására alkalmas, melyeket függ®legesen polarizált

síkhullámnaktekintenek.Elektromosmonopólussalkiegészítveháromegymásramer®leges

komponens mérésévelpedigf®legazionoszférábóla vev®állomásfelettkilép®elliptikusan

polarizáltwhistlerekbeérkezési irányahatározhatómeg. Emódszerek anégyparaméteres

A ésBmódszer [Cousins,1972℄,apolarizáióshiba-mentes(NPE)módszer[Tsurudaand

Hayashi, 1975℄, a térer®sséganalízis módszer [Okada et al., 1977℄ ésa követ®sz¶r®s mód-

szer [Leavitt, 1975℄. Strangeways [1980℄ és Strangeways and Ryroft [1980℄ kimutatták,

hogy ezek a módszerek valamennyiena goniométeres illetve a 4 paraméteres B módszer

variánsai.Ugyanittazt iskimutatták,hogyhaazionoszférábóltörtén®kilépésután ave-

v®tnem sak adirekt, hanem azionoszféra-földfelszín hullámvezet®ben többször ide-oda

ver®d®jelekiselérik, aziránymeghatározáshibája

±

^{180-otiselérhet.}Lihtenbergeretal.

[1987℄, Lihtenberger [1995℄ és Lihtenberger et al. [1997℄ illesztettsz¶rést és paraméter-

beslést kombináló eljárással (MFPE) sokkal nagyobb iránymeghatározási pontosságot

ért el mind m¶holdas, mind felszínen észlelt whistlerek esetében és méréseken igazolta

Strangeways [1980℄és Strangeways and Ryroft [1980℄modellszámításainakeredményeit,

valamintkimutatta, hogyaföldi whistlerekesetében isalkalmazható azMFPE módszer,

haszélesebb frekveniasávban (

≥ 2kHz

^{) átlagoljuka beérkezési irányokat.}

dc_79_10

Antarktiszi whistlereken a vezet®satornák helyzetét és mozgását és ezen keresztül a

magnetoszferikus (K-Ny-i irányú) sztatikus elektromos terek nagyságát Carpenter et al.

[1972℄;Ryroft [1994℄;Carpenter and Seely [1976℄ésCarpenter et al.[1979℄goniométeres

módszerrel,Lihtenbergeretal.[1997℄pedigazMFPEmódszertalkalmazvavizsgálta.Kis

szélességeken NPEmódszerrelvizsgáltwhistlereketTsuruda andHayashi [1975℄,eredmé-

nyeik szerint a legtöbb whistler majdnem függ®leges irányból érkezik és az irány frek-

veniafüggése kisi a spektrum folytonos szakaszán, ugyanakkor a különböz® szakaszok

különböz® irányból érkeznek. Hayakawa et al. [1981℄ közepes szélesség¶ whistlerekkel a

vezet®satornáknappaliés éjszakaihelyzetváltozásátvizsgálvaazutóbbit jóvalnagyobb-

nakkapta.

Az Antarktiszon regisztrált whistlerek félautomatikus digitális iránymérését és kiol-

vasását Smith et al. [1979℄ dolgozta ki. Szintén goniométeres méréseket használnak, a

beérkezési irányt nem id®, hanem frekveniatartományban a dinamikus spektrum segít-

ségével számolták.

Akelt®villámmintimpulzusszer¶jelmagneto-ionosközegbenvalóterjedésesoránid®-

ben változófrekveniájú jellé,whistlerréalakul. Ennek pusztán aMaxwell-egyenletekb®l

történ® elméletilevezetésére hosszúidejetörténtekpróbálkozások azAppleton-Hartree

megoldás monokromatikus közelítés. Ferenz et al. [2001℄ az inhomogén alapmódusok

módszerével [Ferenz, 1978℄ a Maxwell-egyenletek teljes hullámmegoldását találta meg.

Ez a megoldás nem sak a klasszikus elektron-whistler megoldást tartalmazza, hanem a

proton- és ionwhistler megoldást, a Faraday-rotáiót és a ferde terjedést is, mindegyik

esetben veszteséges plazmában is. A megoldás tetsz®leges alakú gerjeszt®jelre igaz, azaz

nemtételezfel sem monokromatikusjelet,sem monokromatikusjelekb®lösszerakotthul-

lámsomagot és nemsak a diszperziós reláiót, hanem az id®tartománybeli jelet (elekt-

romosvagymágneses térer®sség) is megadja,melyet amonokromatikus megoldásoknem

tartalmaznak.Ferenz [2005℄ kiterjesztette amegoldást inhomogénplazmaeloszlásra,Fe-

renz et al.[2007℄pedig azúj megoldásalkalmazásávalsikeresenmodellezteafelszínenés

m¶holdonészlelt tweeket is.

1.2. A plazmaszféra és szerepe az ¶r-id®járási folyama-

tokban

A Föld légkörének alsó tartományában, a troposzférában lezajló, els®sorban zikai

folyamatokat (földi) id®járásnak nevezzük. Az itt lezajló folyamatok f® mozgatója a kí-

vülr®l,els®sorban a Napból érkez® energia, illetveannak változása.Ez az energiaa Föld

fels®légkörén keresztül éri el az alsó légkört és a felszínt, így a földi id®járás elnevezés

analógiájáraafels®légkörben lezajló folyamatokat¶r-id®járásnak nevezzük. Afels®légkör

határa egybeesik a földi mágneses burok, a magnetoszféra határával, így az ¶r-id®járás

a troposzféra feletti tartományokat, els®sorban az ionoszférát és a magnetoszférát érinti.

Ugyanakkor az ¶r-id®járási hatások nem korlátozódnak e tartományokra, hanem meg-

jelennek a felszínen és a semleges fels® légkörben is, és így közvetlenül vagy közvetve

befolyásolják a bioszférában lezajló eseményeket és atársadalmi-gazdaságiéletet is.

Ezért az utóbbi 10-15 évben az ¶rzika-¶rkutatás egyik f® területévé az ¶r-id®járási

kutatások váltak, ugyanis napjainkra ivilizáiónk ¶rtevékenység-függ®vé vált. Szinte

láthatatlanulmindennapiéletünkrészévéváltakam¶holdakszolgáltatásai:telekommuni-

káióTV,Internet,(mobil)-telefónia;navigáió(GPS,GLONASS,GALILEO);távérzé-

dc_79_10

1.3. ábra. A bels® magnetoszféra szerkezete az egymást átfed® tartományokkal: a plaz-

maszféra ésa sugárzási övek.(Rodger and Clilverd,Nature, 452(6), Marh2009).

kelés (mez®gazdaság, környezetvédelem, természeti katasztrófák monitorozása). Annyira

igaz ez, hogynem is a szolgáltatás létét, hanemesetleges hiányát,zavarát vesszük észre.

A Nap ésa galaktikus kozmikus sugárzás változásainakhatásaa Föld fels®légkörére (¶r-

id®járás) f®leg az ember alkotta eszközöket (m¶holdakat)érinti, a sugárzási övekben ke-

letkez® és onnan kisapódó nagy (sokszor relativisztikus) energiájú töltött részeskék

ionok,elektronokképesekam¶holdakatid®legesenvagyvéglegesenmegbénítaniésezzel

am¶hold seréjének költségéntúlmen®, amidollártíz- vagy százmilliókbanmérhet®!

társadalmi, gazdasági károkat okozni, esetenként emberéleteket veszélyeztetni (pl. mág-

neses viharok alatt mind a mágneses, mind a GPS alapú navigáió megbénulhat, ami a

polgári légiközlekedésben komolyveszélyforrástjelent).

Ahhoz,hogyképeseklegyünkezeketaz¶r-id®járásihatásokatmodelleznivagyel®reje-

lezni,lekellírnunkafels®légkörben,aplazmaszférábanésasugárzásiövekben (1.3.ábra)

végbemen®folyamatokat.Alegújabbkutatásokszerintanagyenergiájúrészeskékhullám-

dc_79_10

1.4.ábra.A plazmaszféraazEUVm¶szer2000.május24-én30.4nm-enkészültképén. A

kép aFöldközéppontjától a6földsugár távolságig terjed®tartományt fedile.A Földeta

fehér körjelöli. (Sandel, B. R., etal.,Spae Si. Rev., 109, 25,2003).

dc_79_10

részeske kölsönhatások során keletkeznek és és sapódnak ki a sugárzási övekben (pl.

Horne et al. [2005℄;Katoh and Omura [2007℄; Bortnik et al. [2008℄). A hu llám-részeske

kölsönhatáspontos leírásáhozismerni kell aközegbeli(jelen esetben a plazmaszférabeli)

hullámterjedést,amilényegébenhideg,ütközésmentesplazmaesetén, amilyenaplazmasz-

féra, két paramétert®l: a girofrekveniától és a plazmafrekveniától függ. Az el®bbi a

mágnesestérer®sséggel,azutóbbiatöltéss¶r¶séggelarányos.Mindkétparamétermérhet®

in-situ, azonban a m¶holdak a zika törvényei miatt sajnos nem lehetnek mindig min-

denütt ott. A földi mágneses teret szerensére elég pontosan le tudjuk írni mágneses tér

modellekkel (entrális dipólus illetve DGRF/IGRF modellek). A töltéss¶r¶ség meghatá-

rozására majdnem hatvan éve létezik egy olsó és hatékony módszer, a villámok által

keltetttermészetesrádióhullámok,awhistlerekhasználata[Storey, 1953℄,melyeksegítsé-

gével meghatározható a terjedési út (mágneses er®vonal) menti elektrons¶r¶ség-eloszlás,

amelykulsfontosságúparamétera plazmaszféraésasugárzási övek modellezésében. Bár

aNemzetköziGeozikaiÉvt®l(1957-58.) avilágszámosobszervatóriumábankezdték ela

whistlerekregisztrálását,éskomolyeredményekszülettek awhistlerekértékelési eljárása-

iraHelliwell[1965℄;Park [1972℄;Tarsai[1975℄,awhistlerekmanuáliskiértékelésieljárásai

rendkívül id®igényesek és fárasztóak. Az eljárások els® lépése a whistlerek detektálása a

nyers adatokban,aklasszikuseljárásaszélessávúVLFjelvégighallgatásavagyújabbana

dinamikusspektrum vizuális vizsgálata.Az el®bbiben aemberifül, azutóbbiban a szem

játssza a detektor szerepét. Mindkét eljárása valósid®nél 10-20-szor lassúbb, egy órányi

regisztrátumvégighallgatása-végignézése3-5óra,egyember1-2órányi anyagnálnem tud

napontatöbbetvégighallgatni, végignézni. Ezért bára tehnika ígéretes, awhistlereket

sohasemalkalmazták aplazmaszféra elektrons¶r¶ségének rutin monitorozására.

Aplazmaszféra részeskéinek f®forrása azionoszféra,amellyelaplazmaszféradinami-

kusegyensúlybanvan.A satolásiuxusokazionoszferikushidegplazmátf®legamágne-

ses er®vonalak mentén továbbítják a plazmaszférába (tölt®dés) illetve a plazmaszférából

azionoszférába (kisülés). Ezeka uxussövek együtt forognak aFölddel. A plazmaszféra

határátaz határozza meg,hogy anapszél általkeltett konvektív elektromos tér holválik

nagyobbá, mint a forgási elektromostér. Ez a tartomány a plazmapauza, melynek helye

és alakjadinamikusan változik.

A plazmaszféra 1953-as felfedezését®l egészen az 1990-es évekig a vizsgálatok f® esz-

közei a whistlerek voltak, amint ezt az 1.1 szakaszban már összefoglaltam. Az elmúlt

húsz évben m¶holdaskísérletek sorasegítettismereteinketin-situ mérésekkel iskiterjesz-

teni.Ezekamérésekkétf®iránybanb®vítették tudásunkat.Passzív whistler-módusúhul-

lámmérésekkel (Plasma Wave Instrument) a Polar m¶holdon [Gurnett and et al., 1995℄

és a Sweep Frequeny Reeiver a CRESS m¶holdon [Sheely et al., 2001℄), illetve aktív

Z-módusú és whistler-módusú hullámmérésekkel (Radio Plasma Instrument az IMAGE

m¶holdon [Reinish et al., 2000, 2001℄) kísérleti adatokat gy¶jtöttek az er®vonalmenti

s¶r¶ségeloszlásokra. A CLUSTER 4 m¶holdas konstelláió hullám és részeskemérései

[Esoubet et al., 1999℄ és az IMAGE Extreme UltraViolet imager nev¶ m¶szere a plaz-

maszféra globális szerkezetét vizsgálta és új, addig nem ismert tartományokat fedezett

fel, illetve feltérképezte a plazmaszféra globális dinamikáját. Az IMAGE EUV m¶szer

a napsugárzás

He ₊

^{ionokon szóródó 30.4nm} hullámhosszúságú komponensét fényképezi nagylátószög¶ kamerával(1.4. ábra). Ezzel akamerával ateljesplazmaszféráról lehet ké-

pet kapni, amelyb®l megfelel® modellek segítségével a sugárút mentén visszaszámolható

a plazmaösszetétel.

A plazmaszférakialakulásáról,szerkezetér®l továbbirészletes informáiótalálhatóLe-

dc_79_10

maire and Gringauz [1998℄-ban, a legújabb kutatási eredmények, beleértve a m¶holdas

eredményeket is pedig megtalálhatóak Darrouzet et al.[2009℄-ben.

Röviden szólni kell még arról, hogy a földi whistlermérések és az in-situ m¶holdas

mérések mellett létezik még egy földi méréstehnika, amelyik szintén képes az plazma

egyenlít®itömegs¶r¶ségénekmérésére.Ezageomágnesespulzáiókmérésén alapulómód-

szer,amelybenazULFtartománybelier®vonalrezonaniákból(FLR,anapszéláltalkeltett

kompressziós MHD hullámok) származtatni lehet az egyenlít®i plazmas¶r¶séget. Ehhez

két közeli állomáson mért FLR-eket elemzik korreláiós módszerrel [Berube et al., 2005;

Vellante et al., 2007℄. Az FLR módszer kiváló komplementer mérése lehet a whistlermé-

réseknek, mert amíg a whistlerek általában este-éjszaka, addig az FLR-ek f®leg nappal

fordulnak el®.

Nyilvánvaló, hogy a kétféle módszer, a földi mérések és a m¶holdas mérések kom-

bináiója adja a legjobb eredményt, mert a m¶holdas mérések képesek a plazmaszféra

egészének egyidej¶ vizsgálatára, illetve in-situ mérések révén a földi mérések kalibráió-

járais.Ugyanakkor am¶holdakapályák elhelyezkedéseésvéges élettartamuk miattnem

képesek egyidej¶ részletes mérésekre, amire a földi mér®hálózatok kiválóan alkalmasak.

Ez utóbbiak képessége viszont behatárolt a mért jelenségek véletlenszer¶ el®fordulásaés

aföldi hálózatokkialakításának földrajzi korlátai miatt.

A téma fontosságát jelzi, hogy mind az Európai –r-ügynökség (ESA), mind az EU

programokat indít az ilyen típusú kutatások el®segítésére. Az ESA 2009-ben indította

a Spae Situational Awarness (SSA) programot, amelynek élja az önálló európai ope-

ratív szolgálatok megteremtése három területen (¶rszemét, földközeli objektumok és ¶r-

id®járás), az EU pedig az FP-7-es keretprogramban (FP7-SPACE-2010-1) külön Work-

programmeban (SPA.2010.2.3-1: Seurity of spae assets from spae weather events) tá-

mogatjaaz ilyen kutatásokat.

1.3. Elméleti alapok

1.3.1. Whistlerek keletkezése és terjedése

A whistlerek keletkezésével és terjedésével kapsolatos alapvet® elméletiés gyakorlati

ismeretekr®l részletes angol [Helliwell, 1965; Ferenz et al.,2001℄ ésmagyar nyelv¶[Tar-

sai,1972℄leírástalálható.Ezértsakadolgozatszempontjábóllegfontosabbtudnivalókat

összegzem.

A villámláskor kb. 0.1 mse alatt keletkez® elektromágneses hullámsomag a Föld

felszíneés azionoszféraközöttkezdi terjedését. Mivelaterjedési sebesség 1 kHzfelettitt

aligfügg afrekveniától, afrekvenia szerintielkülönülés még néhány ezer km megtétele

után sem haladja meg az 1 mse-ot. A különféle hullámmódok szuperpozíiója miatt

azonban el®fordulhat, hogy bonyolult hullámsomag jön létre [Tixier, 1976; Rakov and

Uman, 2003; Ferenz et al., 2007℄,melynek id®tartamatöbb mse is lehet.

Az ionoszféra és magnetoszféra (azaz a plazmaszféra) semleges, és egymás töltését

semlegesít®pozitívésnegatív részeskék statisztikusan homogén keveréke, melyre aföldi

mágneses tér szuperponálódik. Ha a legfeljebb néhány ezer fok h®mérséklet¶ részeskék

h®mozgásától és az ütközésekt®l eltekinthetünk, akkor a hideg, ütközésmentes plazmára

dc_79_10

a Maxwell-egyenleteket akövetkez® formábanírhatjuk fel:

divE = 0, divH = 0

rotE = − 1 c

∂H

∂t

^(1.2)

rotH = 1 c

∂E

∂t + 4π c j

A plazmaáramokatgyelembevev® anyagegyenlet pedig

D = E + 4πi

ω j

^(1.3)

A Maxwell-egyenletek monokromatikus whistler-megoldása

Keressük a Maxwell-egyenletek síkhullám-megoldásátaz

E(r, t) = E 0 e ^{i(ωt −kr )}

^(1.4)

alakban. Itt

k

^{a terjedési vagy} hullámnormális vektor, mely a síkhullám állandó fá- zisú felületeire mer®leges irányba mutat. Ekkor a két utolsó Maxwell-egyenletb®l (1.2)-t

gyelembe véve azalábbi hullámegyenletetkapjuk:

k) × (k × E) + ω ²

c ² KE = 0

^(1.5)

ahol a

K

dielektromos tenzoraz alábbialakban írható [Stix, 1962℄:





S − iD 0

iD S 0

0 0 P





itt

S = ¹ ₂ (R + L), D = ¹ ₂ (R − L)

^és

P = 1 − X

j

ω ² _{p j} ω ² R = 1 + X

j

ω _p ² _j

ω(ω − c j ω H j )

^(1.6)

L = 1 − X

j

ω _p ² _j ω(ω − c j ω H j ) ω H = eB ₀

mc ω p =

r 4πne ² m

ahol az összegzést az összes ionfajtára és az elektronokra kell elvégezni,

ω p j

^és

ω H j

^a

részeskék plazma- illetvegiro- (vagy iklotron)frekveniája,

c _j

^arészeskefajták el®jele,

B

^aföldmágneses tér er®ssége,

m

^{azelektron tömege,}

e

^atöltése,

n

^azelektrons¶r¶ség,

c

pedig a fénysebesség.

dc_79_10

Haa

B 0

^{földimágneses téra ztengelyirányábamutat és}

k

^-val

θ

^{szögetzárbe,akkor,}

hafeltételezzük,hogy

k

^{azxzsíkbanfekszik,a}törésmutatóraazalábbiegyenletetkapjuk:

Aµ ⁴ − Bµ ² + C = 0

^(1.7)

ahol

A = R + L

2 sin ² θ + P cos ² θ B = RL sin ² θ + P (R + L)

2 (1 + cos ² θ)

^(1.8)

C = P RL

Aszigorúan longitudinális(

θ = 0

^{)esetben az1.7másodfokúegyenletmegoldásapozi-}

tível®jel¶négyzetgyökkel

µ ² = R

^,melyazúgynevezettion-iklotronhullámterjedésének felelmeg. Segítségével értelmezhet®k azionoszféra felettkering® m¶holdakonészlelt ion-

iklotronwhistlerek. A gyök negatív el®jelénél amegoldás:

µ ² = 1 + X

j

ω _p ² _j

ω(ω H j + c j ω)

^(1.9)

amelyazúgynevezett extraordinárius,vagy whistlermódusú terjedéstírja le.Haelhanya-

goljuk azionok hatását, és a

µ ² >> 1

^{miatt, ami az} ionoszférában és a plazmaszférában igaz, az1 tagot elhagyva a whistlerek terjedését leíró szokásos közelítéstkapjuk [Helli-

well, 1965℄:

µ ² = X

j

ω _p ²

ω(ω _H − ω)

^(1.10)

Bár Tarsai [1981℄ mért whistlerekátlagos futásid®-reziduáljainakszisztematikus jel-

legéb®lkimutatta,hogyezek azelhanyagolásoknem teljesen megalapozottak,de haszná-

latukkezelhet® kifejezéseket eredményez.

A whistlereknem monokromatikusjelek, ezért a soport törésmutató:

µ g = d(µω)

(dω)

^(1.11)

amib®l a

v _g

^közelít®soportsebesség:

v g = c µ g

∼ = 2c ω ^1/2 (ω _H − ω) ^3/2 ω p ω H

(1.12)

A fentiösszefüggésb®llátszik, hogyterjedéssaka

0 < ω < ω H

frekveniákra lehet- séges,és létezikegy frekvenia,melynek terjedési sebességea legnagyobb, azaz futásideje

a legkisebb. Ez a frekvenia az orrfrekvenia, és homogén közegben

ω _H /4

^{-gyel egyenl®.}

Azis látszik, hogya terjedési útmentén a legkisebbgirofrekvenia a terjedésiút mentén

a legkisebb térer®sségnél (dipólus modellt feltételezve a geomágneses egyenlít® síkjában)

elvilegisa terjedés maximálisfrekveniáját határozza meg.

Vezetett terjedésesetén azionoszférábajutó hullámközel függ®legesenkezdi meg ter-

jedését, majd a mágneses er®vonalakhoz törve 300 és 2500 km között valahol befogódik

dc_79_10

a vezet®satornába. Ebb®l a konjugált ionoszférába lép ki, azon áthaladva a földfelszín-

ionoszférahullámvezet®beésezenkeresztülavev®berendezéshez jut. Ahullám energiájá-

nakegy része azalsóionoszférábólvisszaver®dve visszajuthat ugyanabba avezet®sator-

nába ésújra befuthatja a magnetoszférabeliutat (többugrásúwhistlerek).

A visszaver®déskor a hullám más vezet®satornába, vagy egyszerre több, egymástól

néhány száz km-re elhelyezked® vezet®satornába is befogódhat. A meggyelések szerint

avisszavert jelegymástólakár1500km-relev®satornákbaisbekerülhet.Ígyjönneklétre

atöbbugrásúwhistlerek,melyekasatornákilyen kölsönhatásamiattsokszordiszperzek

(plCarpenter et al. [1986℄;Carpenter [1988℄).

A vezet®satornák feltételezése nélkül a whistlerek tulajdonságai közül sok nehezen

lenne magyarázható. A vezet®satornák létezése mellett indirekt bizonyítékot szolgáltat-

nak a m¶holdas mérések is (pl. Angerami [1970℄; Smith and Angerami [1968℄; Dowden

[1977℄; Carpenter [1988℄). A m¶holdas mérések igazolták azt a feltevést is, hogy a veze-

t®satornák elektrons¶r¶sége a környezetükt®l 6-22 %-kal tér el [Carpenter et al., 1981;

Carpenter, 1988℄). A vezet®satornákban a terjedés jó közelítéssel az 1.9 egyenlet sze-

rintisebességgeltörténik.A hullámvezet®ben kígyózómozgássalhaladósugárugyanis hol

kisebb, holnagyobb sebességgel halad annál, mintha szigorúan longitudinális terjedéssel

a satorna középvonalában haladna.Smith [1960℄; Strangeways [1977℄; Tarsai [1981℄ és

Ramlall [1992℄ számításaiszerint ezen közelítéshibája mindössze néhány százalék.

Smith [1960℄ és Smith et al. [1960℄ azt találták, hogy a satornák sak az

ω H /2

^-nél

kisebbfrekveniájújeletképesekvezetni,azazaterjedésiútmentilegkisebbgirofrekvenia

felénéllevágásnakkellmutatkozni.Eztamérésekisigazolták(pl.Carpenter [1968,1988℄).

A Compass-2 m¶hold,fedélzetén az ELTE Geozikaiés –rtudományi Tanszék –rku-

tató Csoportjának SAS2 m¶szerével,vezetett módusbanterjedt whistlertészlelt [Ferenz

et al., 2009℄. Ez az észlelés további er®s közvetett bizonyítéka a vezet®satornák létének

(aközvetlen bizonyíték ahullám-és s¶r¶ségmérés együttesen lenne).

A Maxwell-egyenletek teljes hullámalakú whistler-megoldása

Az el®z®szakaszbantárgyaltmonokromatikusmegoldásszámosközelít® feltevést tar-

talmaz, amelyeknek általánosan érvényes voltát nem lehet minden esetben elfogadni. A

monokromatikus síkhullám közelítésa villám általkeltett impulzusra biztosan nem igaz,

ez a jel egy id®ben véges hosszúságú és széles frekveniatartományt fog át. Monokroma-

tikus elektromágneses jelek inhomogén közegben történ® terjedésének hagyományos hul-

lámterjedésimodelljei példáulaz eikonál-egyenlet,a W.K.B.módszer,az általánosított

terjedésivektor stb. közös ésalapvet® pontatlanságot hordoznak magukbanajel zikai

szerkezetének konepióját illet®en. Ezekben a megközelítésekben a megoldást az el®re

haladó és a reektált jelrészek összegeként írják fel, ahol ezek a jel-részek önmagukban,

külön-külön is megoldásai a Maxwell-egyenleteknek. A valóságban azonban sak a teljes

energia,azaz azel®rehaladóésareektáltjelegyüttese elégítikiaMaxwell-egyenleteket.

Tehát a valódi, teljes megoldásnak mindig tartalmaznia kell az összes fellép® hullámmó-

dust. Egy lineáris diereniálegyenlet-rendszer megoldásainak összege szintén megoldása

az egyenletrendszernek. Azonban ez nem jelenti azt, hogy egy, az egyenletrendszert ki-

elégít® megoldásnak részei önmagukban automatikusan kielégítenék az eredeti egyenle-

teket. Mivel inhomogenitások jelenlétében mindig fellép a reexió jelensége, a Maxwell-

egyenleteketsakés kizárólagaterjed® ésareektáltjelrész összege elégítiki,e jelrészek

külön-különnem.

dc_79_10

1.5. ábra. A Maxwell-egyenletek teljes hullámalak-megoldásábanalkalmazottmodell.

Az általános alakú nem-monokromatikus jellel (impulzussal) gerjesztett síkhullámok

anizotrópel®mágnesezettplazmábantörtén®terjedésénekmegoldásaazInhomogénAlap-

módusokMódszerét[Ferenz,1978℄ésatöbbdimenziósLaplae-transzformáióthasználja

fel,közvetlenül aMaxwell-egyenletekb®l kiindulva.A teljeslevezetésFerenz et al.[2001℄

található meg, itt sak a f® lépéseket vázolom és az eredményt mutatom be Erhardtné

Ferenz and Ferenz [2004℄alapján.

A vizsgált közeg lineáris, a gerjeszt® jel id®ben és a terjedés irányában tetsz®leges

alakú síkhullám. Amint az a hálózat-elméletb®l is ismert, egy lineáris rendszer Dira-

gerjesztésre adott válasza a hálózat átviteli függvénye. Más gerjesztések hatása így az

átviteli függvény és a gerjesztés konvolúiójával meghatározható. A legfontosabb tehát

meghatároznia Dira-impulzusraadott választ akülönböz® közegekben.

A terjedés a modellben az el®mágnesez® térrel párhuzamos. A plazma egykompo-

nens¶ (elektron), illetve többkomponens¶ (elektron és egy vagy több fajta pozitív ion),

temperált, hideg és id®invariáns. A gerjesztés a plazmán kívül, vákuumként gyelembe

vett rétegben lép fel, a két réteget a modellben határfelület választja el egymástól (1.5.

ábra). A megoldás során a Maxwell-egyenletekb®l és a jelközeg kölsönhatási egyenlet-

b®l indulunk ki, teljesen általános jelalakot feltételezve. A hely és id® szerinti Laplae-

transzformálássorán adiereniálegyenletekbeautomatikusanbekerülnek akezdeti érté-

kek,melyekismeretlenmennyiségek.AzInhomogénAlapmódusokMódszerétalkalmazva,

és a Heaviside-disztribúióval kapuzva a modell egyes tér-szegmenseiben fellép® térer®s-

dc_79_10

ségeket, a Maxwell-egyenletek automatikusan két soportra esnek szét. Az egyik so-

port az egyes szegmenseken belül érvényes megoldásokat (alapmódusok) adja meg, míg

amásiksoporta szegmenseket elválasztóhatárfelületeken érvényes úgynevezett satoló-

egyenletek rendszere. Itt válik dönt®en fontossá akezdeti értékek gyelembevétele, mivel

ezeketakezdetiértékeketéppen asatoló-egyenletekkielégítésévelkapjukmeg,ígynyerve

amegoldásteljeséspontos,zártalakját.Nyilvánvaló,hogytérbenésid®bentranziensjelek

eseténsohanemhagyhatóakgyelmenkívülezekakezdetiértékek.Bizonyosmodellekben

ugyan nulla érték¶nek vehet®k, ám ez sak speiális feltételek fennállása esetén igaz. A

gerjesztés spektrumátaz alábbialakban kapjuk meg:

I x0 (ω) = Z ^∞

−∞

Z x 0

0

J 0

ξ, t − x 0 − ξ c

e ^{− jωt} dt

^(1.13)

Az elektronplazmábanfellép®elektromosés mágneses térer®sségek pedig akövetkez®k:

E z (x, t) = − 1 4π

Z ^∞

−∞

I x0 (ω) k 0 (ω)

k 0 (ω) + k 1 (ω) e ^{[ωt − k 1 (ω)(x − x 0 )]} dω H y (x, t) = − 1

4π Z ^∞

−∞

I x0 (ω) k 1 (ω)

k 0 (ω) + k 1 (ω) e ^{[ωt − k 1 (ω)(x − x 0 )]} dω

^(1.14)

ahol

k ₁ (ω) = ω c

s

1 + ω _p ²

ω(ω H − ω)

^(1.15)

Többkomponens¶ plazmában atérer®sség-komponensek aalábbiak lesznek:

E ze (x, t) = − 1 4π

Z ω max

− ω max

I x0 (ω) k 0 (ω)

k ₀ (ω) + k ₁ (ω) e ^{[ωt − k 1 (ω)(x − x 0 )]} dω E zi (x, t) = − 1

4π

Z ω max

− ω max

I x0 (ω) k 0 (ω)

k ₀ (ω) + k ₃ (ω) e ^{[ωt − k 3 (ω)(x − x 0 )]} dω

^(1.16)

ahol

k 1 = 1 c

v u u t

− ω ² (ω _pe ² + ω _He ² − ω ² ) + ωω _pe ² ω _He ω _He ² − ω ² + ω ²

n

X

i=1

ω _pi ²

ω _Hi ² − ω ² − ω

n

X

i=1

ω _pi ² ω _Hi ω _Hi ² − ω ²

k ₃ = 1 c

v u u t

ω ² (ω _pe ² + ω _He ² − ω ² ) − ωω _pe ² ω He

ω _He ² − ω ² + ω ²

n

X

i=1

ω _pi ²

ω ² _Hi − ω ² + ω

n

X

i=1

ω _pi ² ω Hi

ω _Hi ² − ω ²

^(1.17)

és

0 < ω < ω Himax

Az 1.6 ábra jobboldalán egy Antraktiszon észlelt whistler, a bal oldalon az (1.14)

egyenlet alapján számoltjelalak spektrogrammjalátható.A modella gerjeszt®jel alakjá-

nakváltoztatásávalnagyon pontosanilleszthet® amért jelre,ígyagerjeszt® jelis megha-

tározható. Dira-impulzusgerjesztésesetén az(1.14)megoldásnagypontossággalvissza-

adja(1 mse-onbelülifutási id®eltérésekkel) az(1.9) monokromatikus megoldást.Az új

modellellentétbenakorábbielméletekkel,amelyekszerintazion-whistlerekazelektron-

whistlerekb®l keletkeznek polarizáiófordulással az (1.16) egyenlet szerint független jel

(1.7.ábra).Ateljeshullámalakmegoldásnemsakazalasonyfrekveniástartományban,

hanemanagyfrekveniástartománybanisadmegoldást,aholismétvanterjed®jel.Ezeka

megawhistlerekvagyTiPP-ek.Amegoldáskiterjeszthet® veszteségesközegreis[Ferenz

et al., 2001℄.

dc_79_10

1.6. ábra. Az Antarktiszonmért és számítottwhistlerid®függvénye ésspektrogrammja.

1.7. ábra. Az Antarktiszonmért és számítottwhistlerid®függvénye ésspektrogrammja.

dc_79_10

1.3.2. A plazmaszféra elektrons¶r¶ség-eloszlásának meghatáro-

zása whistlerek segítségével

Amonokromatikusmegoldásegyszer¶sítettsoport-törésmutatójából(1.10)azelektron-

whistler

f

frekveniájú összetev®jének teljes terjedésiideje:

t(f) = 1 2c

Z

s

f p (s)f H (s)

f ^1/2 (f H (s) − f) ^3/2 ) ds + T wg1 + T i1 (f ) + T m + T i2 (f ) + T wg2

^(1.18)

ahol

T ( i1, 2)

^{az1000km alatti}ionoszférában,

T wg1,2

^{azionoszféra alattiterjedés ideje,}

ds

^{azer®vonal menti útelem, és az integrált a mágneses er®vonal 1000 km felettirészére}

kellszámítani.Szigorúan vévetermészetesen

T _wg1,2

^isfrekveniafügg®,azonban afrekven- iafüggés els® közelítésben elhanyagolható.

Az ionoszférabeli terjedés ideje közepes és nagymágneses szélességben terjed® whist-

lereknél ateljes terjedési id®néhány százaléka, és jólkorrekióba vehet® [Park,1972℄:

T _i = 0.7 · f ₀ F 2f ^{− 1/2}

^(1.19)

ahol

f 0 F 2

^{azF2rétegkritikus}frekveniája,mivellegtöbbszörsakavev®állomásmágne- ses hosszúsága ismert, ez akritikus frekveniák konjugált er®vonalvégeknél vett átlaga.

Aplazmafrekvenia,azazazelektronoks¶r¶sége,valamintagirofrekveniaazer®vonal

mentén pontrólpontraváltozik.A földmágneses teret általábanegy entrikus dipólus te-

rével közelítik, ez abels® magnetoszférábaner®s mágneses viharokid®szakátóleltekintve

jó közelítés. A terjedés er®vonalát az egyenlít®i magasságnak a föld középpontjától föld-

sugár egységében mért távolságával adják meg,

L = cos ^{− 2} φ

^az úgynevezett M'Ilwain paraméter,

φ

^a dipól-szélesség. A földi mágneses tér dipólus közelítésével a Föld körüli térségben az elektronok girofrekveniája így írható:

f H = F H 0 eq

R 0

r 3

(1 + 3 sin ² φ) ^1/2

^(1.20)

ahol

f H 0 eq = 873.6

^kHzaföldfelszínigirofrekveniaageomágnesesegyenlít®n,

R 0 = 6370

km a földsugár,

r

^a geoentrikus távolság. Az (1.18) futásid®-integrálban ismernünk kell azer®vonal ívhosszát azintegrálás egykiegyenesített er®vonal mentén történik:

s = 1 2 √

3 R 0

cos ² φ

ln( √

3 sin φ + q

1 + 3 sin ² φ) + √

3 sin φ + q

1 + 3 sin ² φ

(1.21)

Park [1972℄ szerint az (1.18) futásid®-integrál értékének közel 80%-a az er®vonal egyen-

lít® körüli

20 − 30 ^o

^-os tartományából adódik, mivel az

f H

^{értéke a Föld} középpontjától mérttávolsággalgyorsansökken.Eztagyorssökkenéstnemtudjaellensúlyozniaplazma

elektrons¶r¶ségének

r

^{-relvalósökkenése.Ezatulajdonságteszia}whistlereketkülönösen alkalmassá az egyenlít®i elektrons¶r¶ségek meghatározására. Az elektrons¶r¶ségek meg-

határozására, azaz a whistlerek inverziójára mindeddig a Park [1972℄ által kidolgozott

módszerbizonyultalegjobbnak.Az (1.18)egyenletáltalleírthullámterjedésiésadipólus

teret használómágneses tér modellmellett aplazmaszférábana diúzívegyensúlyi (DE)

er®vonalmenti elektrons¶r¶ség-eloszlás modellt használja. Diúzív egyensúlyban a több-

komponens¶magnetoszférabeliplazmahidrosztatikusegyensúlybanoszlikelarészeskék

nyomásgradiensévelegyensúlyttartónehézségier®ésazelektrosztatikuspolarizáióser®k

dc_79_10

hatására. Az egyensúly a mágneses er®vonalak mentén érvényes, mertmagneto-ionos kö-

zegben azeloszlásamágneses tér általmeghatározott diúzióvaljön létre.Ha feltesszük,

hogy a részeskeh®mérséklet a magassággal nem változik, akkor az elektrons¶r¶ség így

írhatóle [Angerami,1966; Angerami and Thomas,1964℄:

n e = n 1



 X

i

ξ i1 e

−

z H i





1/2

z = r 1 − r ² ₁ r − Ω ²

2g 1

r ² cos ² φ − r ² ₁ cos ² φ 1

(1.22)

H _i = kT m i g 1

aholaz1 index az1000km-es refereniamagasságonvett értékeket jelöli,

ξ i

^azionfajták

százalékos s¶r¶sége,

Ω

^{a Föld forgásának} szögsebessége

m i

^{az ionok tömege,}

g

^{a gravi-}

táiós állandó,

k

^{a Boltzmann állandó,}

φ

^a dipól-szélesség és

T

^a h®mérséklet, amelyik azonos az elektronokra és az ionokra és a magassággal nem változik.

λ(φ)

^{az er®vonal-}

mentielektrons¶r¶ség-eloszlásfüggvénye,esetünkben az(1.22)egyenlet.Azionokh®mér-

sékletére ésösszetételére a DE modellben több variáió létezik, a tapasztalatok szerint a

legjobbnak a DE-1 modellbizonyult. Ebben

T = 1600K ^o

^{,az 1000 km-es} magasságbana

%-os ionösszetétel

O ⁺ : 90%, H ⁺ : 8%, He ⁺ : 2%

^.

Az1m

2

keresztmetszet¶ er®vonals®elektrontartalma,amelyikfontosmér®számaaz

ionoszféra-plazmaszférasatolásnak:

N T = n eq R 0 L(1 + 3 sin ² φ 1 ) ^1/2 cos ⁶ φ ₁

Z φ ¹ 0

λ(φ) cos ⁷ φdφ

^(1.23)

Park [1972℄az(1.18)hullámterjedésimodellt,az(1.22)s¶r¶ségeloszlásimodellt(DE-1)

adipólusmágnesestérmodelltfelhasználvaL=2-8közöttazL-értékeketegyesévelnövelve

modell whistlereket számolt és azt találta, hogy L=2.5 és 7 között a whistler geometria

(látható) paramétereit, az

f n

orrfrekveniát és a

t n

^orr-id®t kvázi-állandók kapsolják össze a zikaiparaméterekkel, az er®vonal mentén mért

f Heq

^egyenlít®i girofrekveniával ésaz

n eq

^egyenlít®i elektrons¶r¶séggel:

f Heq = Kf n

^(1.24)

L =

8.736 · 10 ⁵ f Heq

1/3

(1.25)

n _eq = K _eq f n t ² _n

L ⁵

^(1.26)

n 1 = K 1

f n t ² _n

L ⁵

^(1.27)

N T = K T

f n t ² _n

L

^(1.28)

ahola

K, K eq , K 1

^és

K T

kvázi-állandókatmásodrend¶polinommalközelítveamodellwhist- lerek eredeti és az inverzióval kapott paraméterei között az eltérés 2.5%-nál mindenhol

kisebb az L=2.5-7 tartományban. Büttner [1977℄ megismételte Park számításait a DE-1

modellre,majdkiterjesztetteazokatkisszélességenterjed®whistlerekre(

1.4 < L < 2.0

^).

dc_79_10

Számításai során hatodfokú polinomokkalközelítette a megfelel® együtthatókat, melyek

hibái 1%-nálkisebbnek bizonyultak.

Park [1972℄eredményeittáblázatosformábanésnomogrammokbanisel®állította.Egy

whistlerinverziójáhozel®szöraorrfrekveniátésazorr-id®tkellleolvasniawhistlerspekt-

rogrammjáról, majd a kvázi-állandók segítségével (1.24-1.28) számolhatók a plazma- és

terjedési paraméterek. A módszer kritikus lépése a

t n

^orr-id® azonosítása, ehhez ugyanis ismernikell akelt® szferik idejét.

A fentleírtmódszernemalkalmazhatóközepes éskisszélességeken mértwhistlerekre,

mertittazorrfrekveniaazészlelési tartományonkívülreesik.Ezekre azesetekre dolgoz-

tákki awhistlergörbediszperziójánalapulóorrfrekveniameghatározást. Bernard [1973℄

közelít® formulájában (1.18) futásid®-integrált

Λ = f /f Heq

^{hatványai szerint Taylor-}

sorba fejtette, a sorfejtést az els® tagnál sonkította és a maradék tagot mértani sor

összegeként írtafel:

D(f ) = D 0

f Heq − AF

f _Heq − f

^(1.29)

D ) = lim

f → 0 D(f ) A = 3Λ n − 1 Λ n (1 + Λ n

ahol

D 0

^azEkersley-féle diszperzió.

A fenti közelít® formula érvényességét úgy vizsgálták, hogy különféle n(s) er®vonal-

menti s¶r¶ségeloszlásokat feltételeztek. Ezután különböz® frekveniákra számították az

elméletifutásid®ket, ésezt összehasonlították az(1.18)-bólkapottfutásid®kkel. Aszámí-

tások azt igazolták, hogy a diszperziós formula igen jól leírja a whistler-görbét, azaz a

whistlerek frekvenia-id® összefüggését (pl. Tarsai [1981℄). El®nye ennek a közelítésnek

továbbá az, hogy mindössze három paraméter:

D 0 , f Heq

^és

f n

felhasználásával írja le a whistlereket.

A70-esévekigolyanwhistler-értékelésieljárásokathasználtak,amelyekvagyaz

f _n − t _n

értékpár(azazorrfrekveniaésannakterjedésiideje)vagylegalábbakelt®villámidejének

ismeretét tételezték fel. Ezek a feltételek közepes szélességen terjed® whistlerek esetén

nemállnakfenn, ugyanis a whistlerekorrfrekveniája azészlelésitartományonkívül esik,

a kelt® villám pedig megbízhatatlanul,vagy egyáltalán nem azonosítható.

A kelt® villámid®pontjánakpróbálgatássaltörtén® meghatározásával(pl.Ryroft and

Mathur [1973℄;Smithetal.[1975℄;Coru [1977℄)vagyhárom

f i − t i

értékpárbólaz(1.XX) diszperziósformulátalkalmazvaHoandBernard [1973℄;Parketal.[1978℄meghatározható

az

f _n − t _n

^{értékpár, majd ezekb®l a terjedés és a plazma} paraméterei. Ezek az eljárások azonban különböz® torzításokat eredményeznek, érzékenyek a mérési pontatlanságra és

nem nyújtanak informáióta meghatározott paraméterek megbízhatóságárólsem.

Dönt®változásthozottawhistlerekértékelésében Tarsai [1975,1981℄)FIT módszere,

amiafutásid®kb®lkiindulvanemsakaterjedéser®vonalátésaplazmaelektrons¶r¶ségét,

hanem ezek hibáit ismeghatározza. A FIT módszerrel kell®en pontosfrekvenia-id® ér-

tékpárokeseténawhistlerbármelyszakaszábólmeghatározhatók akeresettparaméterek.

Ez a legkisebb négyzetes beslésen alapuló eljárás a kelt® villám id®pontját is meghatá-

rozza, és egységesen kezeli a kis, közepes és nagy szélességeken terjed® whistlereket. Az

eljárásban a

f i

^{frekvenián mért}

t ^∗ _i

^relatív futásid®ket 4 paraméter írja le:

D 0 , f Heq , dt

és

A

^{-n keresztül az}

f n

^.

dt

^{a kelt® szferik és} adatrendszer kezdete közötti id®intervallum

dc_79_10

hossza. Az alkalmazott DE-1 modell esetén

f Heq

^értéke meghatározza

f n

^{értékét, így a}

meghatározandó paraméterek száma háromra sökken. A kiolvasott és a keresett három

paraméter általmeghatározott

f i − t i

^{értékpárok} különbségéb®l generáltreziduálvektort Tarsai alegkisebb négyzetek módszerével minimalizálta..

dc_79_10