A felhalmozási hányad és az időhorizont

A FELHALMOZÁSI HÁNYAD És AZ IDÖHO'RIZONT *

VIRÁG ILDIKÓ

Sz. Sztrumz'lz'n Az optimális arányok problémája című, a Statisztikai A'S'z'emlében1 megjelent cikkében az optimális népgazdasági arányok meghatá.—

rozásaval foglalkozik. A cikk ismertet egy modellt a fogyasztás és a felhalmozás; , ' "

arányának meghatározására, úgy, hogy egy meghatározott időszak alatti

összfogyasztas a modell feltételei mellett optimális legyen.

Az alábbiakban matematikailag megfogalmazzuk a modellt, mivel

82. Sztrumilz'n csak egy speciális példán, konkrét adatokkal mutatja be. A

matematikai megfogalmazas során modelljén csak annyit változtatunk, hogy

az időt folytonos változónak tekintjük, ami a levonható következtetéseket

nem érinti.

Meg fogjuk mutatni, hogy a matematikai vizsgálat segítségével általáno—

sabb és részben eltérő következtetésekre jutunk, azonos feltevésekből kiin—

dulva. Becsléseket adunk az optimalis aranyra, végül megvizsgáljuk a megoldás

horizontidőtől való függését, és ennek kapcsán bíráló megjegyzéseket teszünk.

Megmutatjuk, hogy semmiképpen sem általános érvényű Sz. Sztrumílin következő megállapítása ,,. .. a felhalmozási és a fogyasztási alap közötti

optimális arány kialakítására vonatkozó feladatnak létezik egy teljesen hatá—

rozott megoldasa. Ezt az optimumot éppen annal a változatnal érjük el amelynél a nemzeti jövedelemnek az alapokkal való ellátottságából és a munka.

termelékenységének emelkedéséből szarmazó szaporulatat egyenlő arányban fordítjuk fogyasztásra és felhalmozásra."2 Latni fogjuk, hogy ez az arány kizárólag a 40 éves időhorizont mellett optimális, más időhorizont mellett egészen más az optimalis arany.

A MODELL MATEMATIKAI MEGFOGALMAZÁSA

A modell feltételeit Sz. Sztrumz'lz'n a következőképpen írja le:

,,Tételezzük fel, hogy az orszag munkaképes korú jelenlevő népessége minden 100 egységnyi munkájával évi 100 egységnyi nemzeti jövedelmet állít elő (értékben), továbbá azt, hogy a nemzeti jövedelem terjedelme, 9 munkának

1 1962. évi 12. sz. 1191—1205. old.

? I. m. 1199. old.

VIRÁG: A FELHALMOZASI HÁN'YAD 1121

alapokkal való jobb ellátottsága következtében, évente 8 százalékkal növek—

szik az állóalapok minden lOO'egysége után. Ezeknek az alapoknak az összege a bázisévben, tegyük fel, a nemzeti jövedelem értékének kb. háromszorosa, s az alapok hatékonyságának emelkedésével kapcsolatos évi 8 százalékos mennyiségi növekedésüket pedig az alapokkal való jobb ellátottság és munka-' termelékenység emelkedésének mértékeként teldnthetjük."3

Matematikailag a következőképpen fogalmazhatjuk meg a feltételeket:—

]. A t : 0 időpillanatban Ko mennyiségű alapok állnak a népgazdaság rendelkezésére.

2. A nemzeti jövedelem —— Y (t) — két részből tevődik össze:

a) L-ből, amely élő munkából származik: évről évre ugyanannyi egység nemzeti jövedelem előállításához ugyanannyi egység élő munkára van szükség,

azaz L nem független t—től.

b) Y1(t)'ből, amely az alapokból származik.4

3. A nemzeti jövedelem alapokból származó része arányos az alapokkal

YIU) ; GKU), Ill

ahol 0 konstans, ti. a cikkben (: : 0,08, az időtől függetlenül.

4. A nemzeti jövedelem alapokból származó részének állandó hányadát

fordítjuk beruházásokra, azaz

J(t) : enm, ahol o s .; 51 /2/

Sz. Sztrumz'lz'n azt írja: ,,. .. szabad elosztás tárgyát a folyó tervezés során a nemzeti jövedelemnek csak az a szaporulata alkotja, amely a ter- melőeszközök bővülésének, a munka energiaellátottsága és termelékenysége növekedésének következménye. Ezek az alapok társadalmi vagyont alkotnak, és teljesítményükre senki sem tarthat igényt, .. ."5 Ebből olvasható ki az a feltétel, hogy a nemzeti jövedelemnek csak az alapokból származó részéből

fordíthatunk bizonyos részt beruházásra.

Az a feltétel, hogy a nemzeti jövedelem e részének állandó hányadát for—

dítjuk beruházásra, a cikkben közölt 2. táblából látszik. Az ott közölt három számítás mindegyikében állandó ez a hányad; az első változatban az alapokból '

származó nemzeti jövedelem negyedét, a másodikban felét, a harmadikban pedig a teljes alapokból származó nemzeti jövedelmet ruházzák be.6

5. Feltesszük még, hogy az alapok állományának növekedése időben egybeesik a beruházással:

K'U) : Ja). ha]

[lül—ből és /2/-ből adódik, hogy

, Ju) : scK(t), 14]

[3] és [4/—ből pedig a —

K'(t) : scK(t)

3 I. m. 1196. old.

* E második feltétel vitatható lenne abból a szempontból, hogy jogos-e a nemzeti jövedelem származásának a feltételben szereplő értelmet tulajdonítani, jogos—e azt mondani, hogy a nem—

zeti jövedelem bizonyos része munkából, bizonyos része alapokból származik. E kérdés részle- teivel azonban e dolgozat keretein belül nem foglalkozunk. A továbbiakból pedig látni fogjuk.

hogy a L érték amúgy sem játszik semmiféle szerepet az ,,optimáli§ arány" értékében.

11. m. 1196. old.

,, Uo.

5 Statisztikai Szemle

1122 ! , ( _ Gmm _;

differenciálegyenlet, amelynek megoldása

x Kit) : Koesct,

"ahol felhasználtuk a K (0) : Ko kezdeti feltételt.

A T idő alatti összfogyasztást a következőképpen határozhatjuk meg.

Természetesen fogyasztásra kerül egyrészt a T idő alatt felgyülemlett nemzeti jövedelem munkából származó része, az L T, másrészt pedig -— minthogy

beruházásra minden időegység alatt scK(t)-t fordítunk —— az alapokból származó nemzeti jövedelem ezen felüli része is a fogyasztási alapba kerül;

ami időegységenként a(l-s) K(t). T idő alatt az alapokból származó összfo—

gyasztást az

T

I c(1 —s) K(t) dt

0

[adja. Következésképpen a T idő alatti összes fogyasztás?

§ ; T V

I" : LT4-fc(1—3)K(t)dt.

0

A feltételekből kaptuk, hogy K (t) : K0 es". Ezt behelyettesítve a T idő alatti

mezes fogyasztás képletébe, kapjuk, hogy

a'

F : LT—i—Kocn —a)fesc' dt.

0

Az integrálást elvégezve adódik, hogy 4

' LT—l—KocT, ha a : ()

FsíLT—l-K0(—1——1)(eSCT—l),haG(sfsl [5]

8

Mivel

* ? lim F(s) : LT—f—KocT,

.! —-0 0

tehát az F(3) függvény határértéke az s : 0 pontban megegyezik a függvény—

értékkel, azaz az F(s) függvény az s : 0 pontban folytonos.

Az [5/ kifejezésből láthatjuk, hogy a T idő alatti összes fogyasztás függ—

.yénye s-nek vagyis annak az aránynak, amely megmutatja, hogy a nemzeti jövedelem alapokból származó részének mekkora hányadát fordítjuk beruhá-

zásokra. Sz. Sztrumz'lin ezt az arányt kívánja optimalizálni, vagyis pontosabban:

megkeresni azt az 3 értéket, amely mellett az F(s) függvény felveszi a maxi-

mumát a 05351 intervallumban.

E célból elég az

8

cT, haszo

fm :ít—L—l)(eSCT—l), ha 0485 l'

" Vitatható az is, hogy mennyire használható egy olyan modell, ahol a későbbi és a korábbi—

togyasztás között nem teszünk különbséget, azaz nincs időpreferencia, de minthogy —a modellt más szempontból kívánjuk bírálni, ezzel a kérdéssel e megjegyzésen túl nem kívánunk foglalkozni.

A FELHAIMOZASI HANYAD 1 123

függvénnyel foglalkoznunk, hiszen F(s) nyilvánvalóan ott veszi fel a maxi- mumát s-ben, ahol f(s).

AZ f(s) FÚGGVÉNY VIZSGÁLATA ,

A továbbiakban cT—t jelöljük a—val. Mint azt már feljebb láttuk:

f(O) : lim f(s) : cT : a

8—0

Keressük meg a derivált határértékét is:

1 — eas -l— aseas 1 -- eas 4- (18603

___—] : lim ( _ aeas) Jr lim _—

s—o 3—0 82

Hm f(x) : lim [—ae"3—F 2

8—0 8—0 8

A második tagban a llHospital-szabályt alkalmazva kapjuk, hogy:

. , . —ae"S—i-aeas-l-a82eas _ az az

lunf(a) : —a— hm —————————————————— : ——a-l— lim —— cas: -—a—1— ———-——

3—0 a—rO 28 , 8—0 2 2

A következökben meg fogjuk mutatni, hogy az f((8) függvény a (O,1) inter—

vallumban pontosan egy helyen veszi fel a maximumát, mégpedig ha a :2, akkor az s : 0 pontban, ha a :2, akkor a (0,1) intervallum valamely belső pontjaban

Ha a:2, akkor lim f (s) :0, tehat az f(s) az s : O környezetében növekvő.

8—00

Ha a 52, akkor lim f (s)SO, tehát az f(s) : O környezetében nem nő-

a—oO

vekszik.

Mivel f(O) : a, f(l) : 0, továbbá az a:2 esetben f(s) az s : O környe——

zetében növekvő és a (O,l) intervallumban folytonos, az a: 2 esetben f(s) az intervallum belsejében veszi fel a maximumát. Ez azt jelenti, hogy (O,1) intervallum belsejében levő valamely so pontban f (80):— 0.

A továbbiakban belátjuk, hogy ha a: 2 akkor egy és csak egy 0:so: 1 létezik, amelyre f (30): 0. Ha viszont a: 2, akkor nincs ilyen 80, tehát akkor f(s) a (O,l) intervallumban monoton csökkenő. ,

Nézzük meg először az a: 2— esetet:

l as—asz—l

' ...-___. ___as

f(6)-—82—l— 82 e

akkor és csak akkor lehet zérus a 0 : s : l intervallumban, ha as2 —as 4- 1 :e-"í;

Mivel

[za—as] : [asz—as—i—l]8:o : 1 _

8—0

és az

[(e—UMLGO] :[(asz—aa4—1)];z0: -—a,

továbbá

[(e—am, 01 : az és [(asLaHl); o] : 20

és mivel a:2 esetén a2:2 a, láthatjuk, hogy az s: 0 kornyezeteben az e'"

függvény van az asz—as—l— 1 felett. Az s : 1 helyen pedig már az usa—as—l- 1 van felül, hiszen

[e—as 521: e—" : l,,ha a : 0 és [eszi-as—FILSI: 1.

5*

11124 _ ' emma;

Közben a két függvény folytonossag'a miatt nyilván legalább egy helyen

egyenlék, azaz az f(s) valamely 043041 pontban valóban 0. ,

Tegyük fel, hogy I((5)—nek a (0, l) intervallumban több 0 helye is van Ez azt jelenti, hogy (O,1) intervallumban B*"Alk-nek és asZ—as—i—l nek legalabb két közös pontja van Jelöljük ezeket 81 és sz——vel és tegyük fel, hogy 0:81 (32 Mivel még az s—_ 0 pont is közös pont, három pontban, 0- ban, 81ben ea sg—ben e'"-— as2—as4—1

A Cauchyféle középértéktétel szerint van a 0 és az 31 pont között egy olyan 5, pont, amelyben az (e"aSY egyenlő az (as2—a34— 1Y -vel

Ugyanígy az 31 és 82 között van egy Ez, melyre ugyanez igaz. Fent láttuk, hogy a 0 ban a két függgvény deriváltjaiIS megegyeznek Alkalmazva ismét a Cauchyféle középértéktételt, most mar a derivált függvényekre és a 0 51, E, pontokra kapjuk, hogy létezik két különböző 771, 772 érték 057114 51 és 51:

172: Ez, amely pontokban az

(e"asY' és (a.sL—as—Fl)"

eygyenlő

Ez lehetetlen, hiszen (ra-**)" egy exponenciális függvény, a(asa—as—l— 1) pedig konstans, és egy exponenciális függvény legfeljebb egy helyen lehet egyenlő egy konstanssal

Ezzel belat tuk hogy a ) 2 esetén az i (s) : O egyenletnek pontosan egy megoldasa van : (0, 1) intervallumban.

Bizonyítanió a továbbiakban, hogy aSZ esetén nincs olyan 048041, melyre f(s) : G.

Tegyük fel ugyanis, hogy létezik D:.SI: 1 pont—, melyre teljesül az evang : así—asl—l—l egyenlőség. Alkalmazva a (auchy középértéktételt azt állít-

hatjuk, hogy van olyan 0 : §(81, amelyre fennall, hogy '

[(e—as'DszEn : [((18a ——a8—l—1)I]8:€

Ezenkívül a két függvény deriváltja az s : 0—banIS megegyezik. Tehát az (as2—as—l— 1)' Lgyenes a () és a 5 pontokban metszi az (e—GSY exponencialis függvényt. E; az01 ban lehetetlen, ugyanis az (e"as) függvény mindig az s : 0 pontban húzott érintő alatt van. Az ebben a pontban húzott érintő iránytan—

gense (12, az (asz—as—l— lY egyenes iránytangense 2a, és az: 2a, ha a s 2, ezen—

kívül a két egyenes az s : 0 helyen metszi egymast, következésképpen a (O,1) intervallumban (asz—as—I— lY egyenes az (13—08), O—beli érintője felett van, vagy a : 2 esetén megegyezik vele, ezért a (O,l)-ben az (éz—"SY—t nem metsz—

heti.

Mivel a: 2 esetén f(s) függvény az s : 0 környezetében nem növekvő, és a (O,1) intervallumban f(s) sehol sem lehet zérus, ebből következik, hogy az f(s) függvény monoton csökkennő, tehát a (0,1) intervallumban az s : 0 pontban veszi fel a maximumát. ,

A cT:2 esetén az optimalis arány meghatarozasa ennek a 0 helynek a megkeresését jelenti Mielőtt megadnánk egy közelítő módszert, amelynek segítségével minden fix (1hoz meghatarozhatjuk f(s) gyökhelyét, úgy gon- doljuk, használható lesz az alabbi, gyökhelyre vonatkozó becslés, amely elég nagy a esetén megfelelően pontos. A becslés a következő:

(1—2 a— 2

(80:

a 0—1

A FELHRLMOZASI HANYAD , '1'12'5

A becslést a következőkben bizonyítjuk.

(J,—2

Először lássuk be azt, hogy so ( 1 . A fenti egyenlőtlenség akkor telje—

a_—

sül, ha az __ 1 helyen már az Was van az asz—as-l— 1 függvény alatt, mivel

a—

a gyökhelynél kisebb helyekne'l még az 0 05 van felül, tehat a fenti egyen—

lőtlenség akkor teljesül, ha teljesül az

egyenlőtlenség.

Átalakítás után adódik, hogy

a—2

(a— 1)2 ( e—aa—l ,

ha a -— 2, akkor egyenlőség van

Ha két függvény egy intervallum kezdőpontjaban egyenlő és azt akarjuk belátni, hogy az intervallumban az egyik mindig nagyobb, mint a masik, akkor elég belátnunk, hogy az egyik deriváltja nagyobb a másikénal.

Ha a feltétel a deríváltakra is teljesül, akkor elég belatni, az egyenlőtlen—

séget a második deriváltakra, majd pedig esetleg folytatva az eljárást, valamely magasabb deríváltakra.

A mi esetünkben háromszori derivalas' után célhoz érünk. Az első két

derivált a : 2-nél egyenlő. A harmadik derivált tehat

_a" 1 3 6 9 6 1

046 a—l *a—lz—a—13la—1*—a—15*a—1'

Az egyenlőtlenség a 2 esetén mindig teljesül, ugyanis kis átalakítás után

a_ a 3 e 3 6 6 1

048 a—l H—a — 4- a— — $ ),

ahol elég belátni, hogy

3 6 3 6 6 1

1—1— — %— Jr — % )0

a——12 (1—13 cas—14 a—14 11—15 a— 16

Ez pedig teljesül, mivel

Lássuk most be, hogy 30(

1126 , ' f ,. * ;'. - , vvmáamnmo

A fenti egyenlőtlenség akkor teljesül, ha az (1—2 helyen [még azt B*"

függvény van felül, azaz fennáll az

a—2 ! (1—2 _aa—2

a —-a 4—1 (6 a

a

egyenlőtlenség.

Az előző eset bizonyításának gondolatmenetével a következő egyenlőt—

lenséghez jutunk: 04a(a——2)e2—a, amira)2 esetén nyilvánvalóan fennáll.

A becslés segítségével látható, hogy ha aaa—; akkor so——1.Sőt, belátható

az is, hogy 30 mint a függvénye, szigorúan monoton növekvő, ha a) 2. Az állítás

azt jelenti, hogy ha valamely a és S,, -ra

e'm'a : afa—asa—l—l, /6/

akkor a helyett (a % h)-t (h ) O) helyettesítve a következő egyenlőtlenség tel—

jesül.

(a'—("**Ima s. (a-l-h) sá—(a—l—h'Ha—l-I,

17,

vagyis nagyobb a—ra ugyanazon s-nél még az exponenciális függvény van felül, azaz nagyobb a-ra nagyobb s- nél van agyök.

Bizonyítjuk, hogy az egyenlőtleifiséggvalóban teljesül [6] felhasználásával [7l--ből az

(W Wa ,a Wa-l—hst—hsa

egyenlőtlenséget kapjuk, s bizonyítandó, hogy

hsa —- hs2 , e ""a _. Gyüli—7084, _ e—aaau _ f'hay

Mivel tudlukhogy

. * (i'—had ) l—haa,

ezért azt is tudjuk, hogy ,

' l—e'iimd ( Iwa. ! , , [8]

Ha tehát ,

ksd—haz :- e—asa had, ; [9]

akkor [8/ miatt ,

ha,, 5th :- efmd hsa ) e—a'űu —e""'a),

ahonnan

1 -—8a ) e—"Ma.

6/-ot felhasználva 14a(1 ——sa), hava a fent rögzített érték és ad a hozzá tartozó gyök. Ha belátjuk, hogy

1 1 (5—1

mcl—sa, azaz aa41———: ,

a .. a a

készen vagyunk. Tudjuk, hogy

0—2 a—l

A FELHALMOZASI- HANYAD — — 11—27

azt pedig már beláttuk, hogy

a—2

:: ( .

a (1—1

Az előzőkben becsléseket adtunk az f(s) gyökhelyeire. A gyakorlatban

azonban ezeknél a becsléseknél nagyobb pontossággal kell ismernünk az adott a-hoz tartozó gyökhelyet. Ennek meghatározására az ismert numerikus mód—

szert, az iterációs módszert ajánljuk, mivel egyenletünk esetén ez a módszer elég gyorsan konvergál és számításainkhoz elég jó pontosságú.

Az asz—as-l— 1 : (fas egyenletből s-et kifejezve az

log asz—as-l-l

8 :: -— ___—___..—

a

alakot kapjuk, melyből az iterációs módszer legszokásosabb alakjával kiszá- míthatjuk a fix a—hoz tartozó gyököt.

MEGJEGYZÉSEK A MODELLEL KAPCSOLATBAN

Sz. Sztrumz'lz'n nem fogalmazta meg matematikailag a modellt, ezért cikkéből nem tűnik ki, hogy az ún. optimális arány nagysága függ a felvett időhorizonttól (T) és az alapok fajlagos hatékonyságától (c)—től. Ez a mate—

matikailag megfogalmazott modellből kimutatható, hiszen az so—ra vonatkozó

80 ( oil—í felső becslés szerint cT—től függően 80 a O-hoz,

c _

CT _"2 * . . n ; I .

80 ) —— alsó becslés szerint pedig 30 az s : 1 ertekhez akarmilyen

cT

közel eső értéket is felvehet.

Más cT értékhez más so tartozik, sőt azt is beláttuk, hogy 30 monoton növekvő függvénye cT—nek.

_ Ezzel bebizonyítottuk, hogy'Sz. Sztrumilz'nnalc a bevezetésben idézett következtetése kizárólag a 40 éves időhorizont mellett érvényes. Ha más idő—

horizontot veszünk fel, más értéket kapunk az optimális arányra.

Akármilyen időhorizont esetén nem is határozható meg közgazdaságilag

értelmes "optimalis arány", hiszen —— amint azt a korábbiakból tudjuk ——

ha a : cTS 2, akkor az összfogyasztás függvénye F(s) az s : 0 helyen veszi

fel a maximumát.

A Sztrumz'lz'n által használt 0 : 0,08—dal számolva és 25 évnél rövidebb

idejű tervezésnél minden esetben az a közgazdaságilag értelmetlen eredmény

adódik, hogy az összfogyasztás optimumát akkor érjük el, ha egyáltalán semmit sem fordítunk felhalmozásra. Természetesen, ha a :. 0,08 helyett más értéket használunk, a T : 25 éves időhorizont-korlát helyett a cTSZ—ből egyértelműen meghatározható időhorizont-korlát érvényes.

Sz. Sztrumz'lin a 40 éves időhorinzontot a következőképpen indokolja:

,,I—la eltekintünk a katonai, politikai és az összes egyéb, nem közgazdasági

meggondolásoktól és a jelenlegi nemzedék részéről nemcsak a napjainkban,

hanem a jövőben, munkaképességük egész időszakában jelentkező igényeket is figyelembe vesszük, akkor ezek az érdekek abban állnak, hogy az említett,

mi 231 _ _ vaG: nemesseg—r' Mm

azaz kb. 40 év alatt, ne akármilyen termelés lehetséges maximumát, Hanem, mindenekelőtt a fogyasztási alapökmaximumát állítsuk elő. Ez meghatározza !

a szükséges termelőeszközök évenként előállítandó mennyiségét és az ország

állóalapjainak az adott időszak alatti növekedését. A távolabbi időkről való gondoskodást a dolgozók következő nemzedékére is rábízhatjuk.'Ez egyúttal megadja azt az ismérvet, amelynek alapján a tervgazdaság a fogyasztás és a

felhalmozás által tervezett aránynak optimális voltáról, dönthet." (1196. old.) Egy ilyen fix időhorizonttal való számolás ellentmondásokhoz vezet.

Ugyanis különböző korú embereknek más és más a munkaképességük hátralevő időszaka, tehát számukra más-más arány az optimális, sőt ugyanazon kor—

osztály számára is más arány optimális ma, mint egy későbbi időpontban. A további (40 év utáni) időkről való gondoskodást sem bízzuk teljesen a követ- kező nemzedékre, hiszen nem vagyunk közömbösek iránta. Úgy gondoljuk, nem indokolt a 40 éves időhorizontnak ilyen szerepet tulajdonítani.

Részben indokolható lenne egy önkényesen felvett időhorizónttal szá,—

molni akkor, ha az so(T) függvény olyan lenne, hogy amíg T közgazdaságilag értelmes határok között változik, addig az ,,optimális arányok" a számítás pontossági igényeihez képest elhanyagolhatóan kicsit változnak. _

Ez a feltétel azonban jelen esetben nem teljesül, hiszen ilyen nagy táVú tervezés esetén — úgy gondoljuk — nem túlzott követelmény, hogy a 40 évre számított arány (O,49) legalább az első tizedes jegyben megegyezzen25 év és 50 év között bármilyen távra számította]. Ez azonban nincs így, hiszen míg

T 25 és 30 év között változik, 0 : 0,08 hatékonysággal számolva a megfelelő—

arány 0 és O,6 között minden értéket felvesz. Sőt nemcsak, hogy a 40 év nem ilyen tulajdonságú, hanem nem is létezik olyan időhorizont, amely a fent ismertetett szempontból megfelelő lenne, hiszen s,,(T) monoton növekedő, G(sos 1 értékeket pontosan egyszer felvevő függvény. *

PEBIOME

Hpenmerom nacroamero ouepxainanzercn maremarmecxoe nocrpoenne megen", npn—

Benennoü a name C. CmpyMu/zuna () Bonpocax onmmanbnmx nponopum'i (cm. ,,C'ra'mcm—

uecrcoe Oösopenne", Ne 12 sa 1962 ma, em. 1191 — 1205). Monenb C'rpvmnnnna cnymm' 11515!

onpeuenenun 'raxux nponopunü memny norpeönennem n Haxonnenuem, Koropue oöecnelm- sam,_ uroöu Ha npommenun ycranosnennoro nepnona ace norpeönenne senimocs omn—

mamam.

Aerop cnauana maremamuecm (popmvnupve'r none—m,, a norma nouaabmae'r, lrro ncxozm ne romuecreennux npeunocsmox npn nonemu marema'muecxoro nccnenosannn momno nonv- 'Wl'l'b öonee oöume " uacrwmo pasnnunue BbIBOJIbl; As'rop naer ouenxn on'mmanbnux npo—

nopuuü " B saxmoliemae paccmarpnaaer SHBKCHMOCTI': pememm OT HpOllOJIWHTeHbHOCTM FOpI—i- SOHTH Bpemeun.

SUMMARY

The paper is concerned with the mathematical formulation of. the method pub—

lished in S. Strumilin's article on the problem of the optimum proportions (see ,,Sta- tistical Review", No. 12, 1962, 1191—1205 pp.). Strumilin's model serves as a basis to shape the proportions of the consumption and accumulation so as to reach the opti—

mum level of the total consumption (effected during a certain period of time).

First the author formulates her model mathematically then she Shaws that starting from identical assumptions more general and partly different conclusions can be drawn by means of mathemetical investigations. She gives estimates for the optim'um

*proportion and studies how the solution depends upon the length 01 thehmzmi time-;