Adatbázisok elmélete 16. el ˝ oadás

Adatbázisok elmélete 16. el ˝ oadás

Csima Judit

Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz.

I. B. 136/b

csima@cs.bme.hu

2003. Április 8.

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

H ˝ uséges felbontás két részre

Hogyan biztosíthatjaF, hogy a felbontás h ˝uséges legyen?

Tétel. Az RF

sémaρ R₁R₂

felbontása h ˝uséges vagy (a) F

R1

R2

R1 R2, vagy (b) F

R₁ R₂ R₂ R₁.

Példa: R(TNÉV, TERMEL ˝O, ÁR, CÍM) F

TERMEL ˝O CÍM;TNÉV, TERMEL ˝O ÁR ρ TERMEL ˝O, CÍM ;TNÉV, TERMEL ˝O, ÁR

R₁ R₂

TERMEL ˝O

R₁ R₂

CÍM

R₂ R₁

TNÉV, ÁR

TERMEL ˝O

F

TERMEL ˝O, CÍM R1 R2

h ˝uséges

ρ TNÉV, TERMEL ˝O;TNÉV, CÍM, ÁR

R₁ R₂

TNÉV

R₁ R₂

TERMEL ˝O

R₂ R₁

CÍM, ÁR

TNÉV

F

nem tartalmazza egyiket sem nem h ˝uséges

1

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

Bizonyítás: Tegyük fel, hogyF

R1

R2

R1 R2, belátjuk, hogy a felbontás h ˝uséges.

(Ha a másik igaz, ugyanígy.)

Legyen regy tetsz ˝oleges reláció,s m_ρr

. Elég belátni, hogys r, hiszenr s mindig igaz. Azaz, lássuk be, hogy hatsoras-nek, akkorr-nek is.

Hatsoras-nek, akkor u1u2sorair-nek, hogyt

R1

u1

R1

ést

R2

u2

R2

.

u1

R1

R2

t

R1

R2

u2

R1

R2

de ha két sor megegyezik a metszeten, akkor a feltétel miattR1 R2-n is egyeznek az egészR₁-en u₂éstegyeznekR₁-en.

t u₂, hiszenR₁-en a fenti miatt,R₂-n a feltevés miatt egyeznek.

Másik irány: Belátjuk, hogy haR₁ R₂

R₁ R₂

F

ésR₂ R₁

R₁ R₂

F

, akkor ρnem h ˝uséges.

2

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

Legyenra következ ˝o reláció:

r R₁

R2

R1

R2

F

R1

R2

t₁ 0 0 0 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 1 t₂ 1 1 1 1 1 1 . . . 1 1 1 0 0 0 A feltétel miatt a két széls ˝o rész nem üres, ott nem egyezik meg a két sor.

r-ben igazakFfügg ˝oségei (mint a teljességi tételnél).

Viszontm_ρ r

r, hiszenm_ρ r

-ben a csupa1sor is benne van.

3

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

H ˝ uségesség ellen ˝ orzése általában

Adott RF

ésρ R₁ R_k

, aholR A₁ A_n.

Hogyan tudjuk eldönteni, hogy h ˝uséges-e a felbontás?

Készítünk egyk n-es táblázatot:

A₁ A_j A_j A_n

R₁ ...

R_i a_j b_{i j} ...

R_k

Kezdetben az ij

helyreaj-t írunk, haAj

Riésbi j-t, haAj

Ri.

4

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

Veszünk egy tetsz ˝olegesX Y Ffüggést.

Ha két sor megegyezikX-en, akkor egyenl ˝ové tesszükY-on is az alábbi módon:

– Ha valahola_jésb_{i j}van, akkor ab_{i j}-ta_j-ra cseréljük.

– Hab_{k j}ésb_{l j}van, akkor az egyiket átírjuk a másikra.

Ezt minden függésre megcsináljuk tetsz ˝oleges sorrendben, szükség esetén többször is.

Tétel.ρpontosan akkor h ˝uséges ha a végén lesz csupaasor.

Nem bizonyítjuk.

5

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

Példa a táblázatos tesztre

R ABCD

F

A C; C B; B D

ρ ABBCACD

A B C D

R₁ a₁ a₂ b₁₃ a₃

b₁₄

R₂ b₂₁ a₂ a₃ b₂₄

R3 a1 b32

a2

a3 a4

A Cmiatt

C Bmiatt

Lett csupaasor h ˝uséges felbontás

6

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

H ˝ uséges felbontás

Tétel. Adott RF

,ρ R₁ R_k

az R h ˝uséges felbontása ésσ S₁ S_m

az R₁ h ˝uséges felbontása (azazR₁-et tovább bontjuk). Ekkorτ S₁ S_mR₂ R_k

h ˝uséges felbontásaR-nek.

Bizonyítás: Legyenregy R-re illeszked ˝o reláció és ennekR1-re es ˝o vetülete legyen r1. Tovább bontvar1-etσszerint kapjuk azs1s2 smvetületeket. Mivelσh ˝uséges, ezérts1 s2 sm m_σr1

r1. Mivel ρ is h ˝uséges, ezért r m_ρr

r1 r2 rk Ebbe beírva r1 helyére a σ h ˝uségességéb ˝ol kapott egyenl ˝oséget, kapjuk, hogyr s₁ s₂ s_m r₂ r_k m_τr

, azazτis h ˝uséges. Itt persze használtuk asszociativitását.

Tétel. Haρh ˝uséges ésσ ρ(σ-ban több komponens van), akkorσis h ˝uséges.

Bizonyítás: r mσr

mρr

r

A középs ˝o tartalmazás azért igaz, mert a keresztszorzatból szigorúbb feltételek szerint válogatunk.

r m_σ r

7

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

Normálformák

Definíció. EgyX Yfüggés triviális, haY X. (Mert ezek a függések nem hordoznak sok infót, mindg igazak.)

Definíció(Boyce–Codd normálforma). Az RF

relációs séma BCNF-ben van, ha tetsz ˝oleges nemtriviálisX A F

függés eseténXszuperkulcs.

Azaz csak olyan függések vannak, hogy a szuperkulcs mindent meghatároz.

Tétel. Az RF

BCNF-ben van pontosan akkor ha tetsz ˝oleges A R-re és X R kulcsra igaz, hogy nincs olyanY R, amire X Y F

; Y X ; Y A F

és A

Y. (Nincs tranzitív függés kulcstól.)

Bizonyítás: Ha nincs BCNF-ben a séma, akkor van egyY Afüggés, aholY nem szuperkulcs ésA

Y. Ekkor, tetsz ˝olegesXkulccsal:X YY

XY A, deA

Y,

ami épp egy kulcstól való tramzitív függés.

Másrészt, ha van tranzitív függés kulcstól, azazX olyan kulcs, amivelX YY

8

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

XY A, deA

Y, akkorY Aegy olyan függés, ami sérti a BCNF tulajdonságot, mertYnem lehet szuperkulcs, haY X.

Miért jó a BCNF séma?

HaC B; B Ateljesülne, deB Cnem, akkor ugyanaz aBérték többC érték mellett is el ˝ofordulhatna, de minden példánynál ugyanazt azA értéket is tároljuk

redundancia.

Állítás. 2attribútumos reláció mindig BCNF.

Bizonyítás: HaA B Akulcs. HaB A Bkulcs.

MivelF

-ra követeljük meg a feltételt, nehéz ellen ˝orizni.

DE:

Tétel. Ha RF

nem BCNF, akkor van olyanX Y F, amely jobboldalának valamely AattribútumáraX Anemtriviális ésXnem szuperkulcs. (Az ilyenX A F

.) Bizonyítás: Ha RF

nem BCNF, akkor vanU B F

, hogyUnem szuperkulcs és B

U. B U

F

U U

F

9

ADATBÁZISOK ELMÉLETE16.EL ˝OADÁS

Az algoritmus, amiU

F

-et számolja, el tud indulni V W F, melyreV U W

U V Wjó leszX Y-nak.

UgyanisVnem szuperkulcs, hiszenV UésUnem szuperkulcs.

W

U A W U W V, ígyV Wnem triviális.

Ez jelent ˝osen könnyíti az ellen ˝orzést, csakFfügg ˝oségeit kell végignézni, nemF

-ét.

10