Adatbázisok elmélete 12. el ˝ oadás

(1)

Adatbázisok elmélete 12. el ˝ oadás

Katona Gyula Y.

Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz.

I. B. 137/b

kiskat@cs.bme.hu

http://www.cs.bme.hu/˜kiskat

2005

ADATBÁZISOK ELMÉLETE12.EL ˝OADÁS 1/19

Relációs sémák tervezése

Van elméleti alap =⇒érv a relációs technika mellett (Objektumosnak nincs ilyen.)

Kérdés:

• Mik a jó relációk?

• Milyen relációkat érdemes tárolni?

• Hogyan alakíthatunk tetsz ˝oleges relációkat jókká?

Cél:El akarunk kerülni kellemetlen jelenségeket,anomáliákat:

• Módosítási anomália:pl. ha aTermék(Termel ˝o, Cím, Terméknév, Ár)reláció esetén egy termel ˝o címe több sorban is el ˝ofordul, változáskor mindenhol át kell írni. Hiba esetén inkonzisztencia.

• Beszúrási anomália:Nem tudunk beszúrni adatot, ha az egyik attribútum hiányzik,mert nem ismerjük (és nem lehet NULL).

• Törlési anomália:Csak egész sorok törölhet ˝ok, így elveszhetnek hasznos adatok.Pl. ha egy termel ˝o épp nem termel semmit, kitöröljük a címét is.

Relációs sémák tervezése

A relációk, tárolás jósága attól függ, hogy milyen megkötések vannak az adatokon.

Megszorítások két osztálya:

• Értékfügg ˝o:Pl. ÁR≥0, ÉLETKOR egész≤1000, NÉV karaktersor, CÍM,NULL, (típusleírások)

• Értékfüggetlen:TERMÉKNÉV, TERMEL ˝O kulcs;∀TERMEL ˝O-nek egy címe van, egy TERMEL ˝O azonos nev ˝u termékéb ˝ol csak egy árú van

Utóbbi:az attribútumok mennyire függenek egymástól =⇒funkcionális függ ˝oség

Funkcionális függ ˝ oségek

Jelölés:R( A1, . . . ,An)reláció,Xattribútum halmaz =⇒X⊆R X={A_i1,A_i2, . . . ,A_ik}helyettX=A_i1A_i2. . .A_ik

Definíció.Y⊆Rfunkcionálisan függX⊆R-t ˝ol, (jelölés: X→Y),haRbármely két sorára igaz, hogy ha ˝ok megegyeznekX-en, akkorY-on is megegyeznek.

Pl.X=TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV;Y=ÁR =⇒X→Y Megjegyzések:

• Azok az érdekes összefüggések, amikmindenilyen attribútumokkal rendelkez ˝o táblában fenn kell, hogy álljanak:axiómaszer ˝u feltételek, az adatbázis bármely változása esetén is fennállnak =⇒érdemi függés

Azok, amik csak véletlenül, csakegy pillanatbanállnak fenn =⇒eseti függés (ezek nem érdekelnek, például lehetséges hogy egy adott pillanatban minden ár csak egyszer szerepel és ekkor úgy t ˝unik, minthaÁr→Termékérvényes függés lenne)

• Tehát az érdemi függések megadása modellezési kérdés:a séma megadásakor döntjük el, hogy milyen függéseket akarunk fenntartani mindenáron.

Ezentúl a relációs sémának része lesz a függ ˝oségek halmazaFis =⇒(R,F) Vagyis megadjuk, hogy mik a séma attribútumai és mik az érdemi függései.

(2)

Funkcionális függ ˝ oségek

R(TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV, ÁR, CÍM)

TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV→TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV, ÁR, CÍM TERMEL ˝O→CÍM

S(NÉV, CÍM, VÁROS, IRÁNYÍTÓSZ, TELEFON) CÍM, VÁROS→IRÁNYÍTÓSZ

IRÁNYÍTÓSZ→VÁROS NÉV, CÍM, VÁROS→TELEFON

• Egy adott reláció adott állapotából nem következik semmilyen érdemi függés.

Viszont látszódhat olyan, hogy mi nem függhet mit ˝ol.

• X→Yteljesülhet úgy is, hogy az adott relációban nincs is két olyan sor, amikX-en megegyeznek.

• X-nek ésY-nak nem kell diszjunktaknak lenniük

A séma megadása csak a keretet jelenti, beleértve a függeseket is, ha ezt feltöltjük adatokkal, akkor kapunk egy a sémára illeszked ˝o relációt.Arreláció akkor illeszkedik az(R,F)sémára ha az attribútumai azR-ben adottak és teljesülnek benne azFfüggések.

Logikai következmény

Kérdés:ha adott egyFfüggéshalmaz és egy reláció, amibenFfüggései igazak, akkor milyen további függések lesznek még biztosan igazak?

Például:haHALLGATÓ, TÁRGY→GYAKORLATésGYAKORLAT→GYAKVEZ, akkor HALLGATÓ, TÁRGY→GYAKVEZ.

Azaz általánosabban:haXY→ZésZ→W, akkor attól függetlenül, hogy mi a reláció és X,Y,Z,W, igaz lesz, hogyXY→W.

Definíció.Adott(R,F). AzX→Yfüggéslogikai következménye(szemantikai következménye)F-nek, ha azX→Yminden olyanrrelációban teljesül, aholFfüggései mind teljesülnek.

Jelölése:F|=X→Y

Azaz ez a fogalom azt adja meg, hogy mely függéseknek kell szükségszer ˝uen teljesülniük minden olyan sémában/relációban, aholFfüggései fennállnak.

Hogyan lehetne ezeket meghatározni, illetve eldönteni, hogy egy függés ilyen-e?

Logikai következmény

Felveszünk axiómákat, és azok segítségével próbáljuk levezetni. Persze ehhez az kell, hogy pontosan azokat lehessen levezetniF-b ˝ol, amik logikai következményei neki.

Levezethet ˝oség jele:F`X→Y

Tehát bevezetünk axiómákat, levezethet ˝oséget és belátjuk, hogy |= ⇐⇒ `. (Pl. logikában így van.)

|=⇒ `: Teljességi tétel,ami igaz az levezethet ˝o.

` ⇒ |=: Igazság tétel,csak igaz dolgok vezethet ˝ok le.

Definíció.EgyX→Yfügg ˝oség akkor vezethet ˝o le egy adottFfügg ˝oséghalmazból, ha az axiómák ismételt alkalmazásávalF-b ˝ol megkapjukX→Y-t.Jele:F`X→Y.

Armstrong-axiómák

1. Reflexivitás:HaX,Y⊆RésY⊆X, akkorX→Y.

2. Kiegészítési tulajdonság:HaX,Y⊆RésX→Y, akkorXW→YWigaz tetsz ˝oleges W⊆R-re.

3. Tranzitivitás:HaX,Y,Z⊆R,X→YésY→Z, akkorX→Z.

Igazságtétel bizonyítása

Bizonyítás: (Igazság tétel)

Azt kell belátni, hogy ha egy függés(esetleg több lépésben)levezethet ˝oF-b ˝ol a három axióma segítségével,akkor ez a függés logikai következménye isF-nek,azaz minden olyan relációban, aholFminden függése teljesül, ott teljesül a levezetett függés is.Ehhez elég azt belátni, hogy külön-külön, az egyes axiómák egyszeri használata ilyen függést ad.

1. Reflexivitás:Azt kell belátni, hogy mindenrrelációban, mindenY⊆X⊆R

attribútumhalmaz eseténX→Yigaz, azaz harbármely két adott sora megegyezikX-en, akkor megegyeznekY-on is. De mivelY⊆X, ezért nyilván megegyeznekY-on, haX-en megegyeztek.

√

2. Kiegészítési tulajdonság:Az kell, hogy ha egyR-re illeszked ˝orrelációbanX→Yigaz, akkorXW→YWis igaz lesz. Vegyünk két sortr-ben, ami megegyezikXW-n. Ekkor ezek megegyeznekX-en ésW-n is, külön-külön. MivelX→Y, így megegyeznekY-n is, tehát YW-n is.

√

3. Tranzitivitás:Az kell, hogy ha egyR-re illeszked ˝orrelációbanX→YésY→Zigaz, akkorX→Zis igaz lesz. Vegyünk két sort, ami megegyezikX-en. MivelX→Y, megegyeznekY-n is. De mivelY→Z, megegyeznekZ-n is.

√

(3)

Példa

Állítás.HaR(Város,Utca,Irányítószám)ésF={VU→I,I→V}, akkorF`IU→V IU (és mivel

√

`⇒|=-t már láttuk, ezértF|=IU→V IU).

Bizonyítás:

i) I→V: ezF-beli

ii) IU→VU: kiegészítveU-val iii) IU→IVU: kiegészítveI-vel

Levezethet ˝ o szabályok

Néhány további szabály, ami levezethet ˝o az axiómákból (és az igazságtétel miatt igazak is).

Állítás(Unió szabály).{X→Y, X→Z} `X→Y Z Bizonyítás:

i) X→Y: ezF-beli

ii) XZ→Y Z: kiegészítveZ-val iii) X→Z: ezF-beli

iv) X→XZ: kiegészítveX-vel v) X→Y Z: iv) és ii) + tranzitivitás

Levezethet ˝ o szabályok

Állítás(Áltranzitiv szabály).{X→Y, YW →Z} `XW→Z Bizonyítás:

i) X→Y: ezF-beli

ii) XW→YW: kiegészítveW-val iii) YW→Z: ezF-beli

iv) XW→Z: ii) és iii) + tranzitivitás

Állítás(Felbontási szabály).Tegyük fel, hogyZ⊆Y, ekkor{X→Y} `X→Z Bizonyítás:

i) X→Y: ezF-beli ii) Y→Z: reflexivitás

iii) X→Z: i) és ii) + tranzitivitás

Lezárás

Definíció.HaFegy függéshalamaz, akkor alezártjaF⁺azF-b ˝ol levezethet ˝o összes függés:

F⁺={X→Y|F`X→Y}

Jó:mert ha majd belátjuk|=⇐⇒ `-t, akkor kiderül, hogy ez éppen azF-b ˝ol szükségszer ˝uen következ ˝o összes függést adja meg.

Gond:nagyon nagy lehet

Pl.R( A1, . . . ,An,B1, . . .Bn)ésF={Ai→Bj|1≤i,j≤n}, akkor ezn²db függés F⁺-ban benne van mindenA_i1. . .A_ik→B_j1. . .B_jl, azaz(2ⁿ−1) (2ⁿ−1)≈2²ⁿeleme van.

Ezért ehelyett valami mást nézünk, amit könnyebb lesz meghatározni és jól közelítiF⁺-t:

Definíció.HaXegy attribútum halmaz(R,F)-ben, akkorlezártja X⁺(F)={A∈R|F`X→ A}, azaz azon attribútumok, amik függnekX-t ˝ol.

(4)

Attribútumhalmaz lezárása

Állítás.X⊆X⁺(F)⊆R

Lemma.(Fontos!!!)F`X→Y⇐⇒Y⊆X⁺(F)

Bizonyítás: =⇒: Tegyük fel, hogyF`X→Yés legyenA∈Y.

F`X→A, hiszen vegyükX→Ylevezetését és alkalmazzuk a felbontási szabályt a végén.

Definíció szerint ekkorA∈X⁺(F). Ez mindenA∈Y-ra igaz.

√

⇐=: LegyenY=A₁. . .A_k⊆X⁺(F).

Így definíció szerint∀A_i∈Y-raF`X→ A_i.

EkkorX→Ylevezetése: vesszük azA_i-k levezetését és a végén alkalmazzuk az uniós szabálytk−1-szer.

√

Következménye:Ha minden X-re ismerjük/ki tudjuk számítaniX⁺(F)-et, akkor tetsz ˝oleges X→Yfüggésr ˝ol eldönthet ˝o, hogyF⁺-beli-e vagy sem,mertX→Y∈F⁺pontosan akkor teljesül (definíció szerint), haF`X→Y, de ez meg az el ˝obbi lemma szerint pontosan akkor van, haY⊆X⁺(F)

Megjegyzés:Majd látjuk, hogyX⁺(F)kiszámolására lesz gyors algoritmus.

Teljességi tétel

Tétel(Teljességi tétel).HaF|=X→Y, akkorF`X→Y.

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy van olyanX→Yfüggés ésFfüggéshalmaz, hogy X→Ynem vezethet ˝o leF-b ˝ol (F0X→Y), noha logikai következménye neki (F|=X→Y).

Ez utóbbi azt jelenti, hogy minden olyan relációban, amibenFfügg ˝oségei teljesülnek, ha X-en megegyezik két sor, akkor azok megegyeznekY-on is.

Úgy jutunk ellentmondásra, hogy konstruálunk egy olyanrrelációt, aholFfügg ˝oségei teljesülnek, deX6→Y, ami ellentmondF|=X→Y-nak.

Bizonyítás (folyt.)

r X⁺(F)

z }| { X

A₁ . . . .

z }| {

. . . A_n t₁ 1 1 1 1 1 1 1. . . .1 1 1 1 1 1 1 t₂ 0 0 0 1 1 1 1. . . .1 1 1 1 0 0 0

Tehátrkét soros reláció,X⁺(F)-en megegyezik a két sor, a többin különbözik.

Állítás.r-ben teljesülnekFfüggései.

Bizonyítás: LegyenU→V∈F.

HaU*X⁺(F) =⇒U→Vigaz, hiszen nincs olyan két sor, amiU-n megegyezik.

HaU⊆X⁺(F), akkor lemma miattF`X→U.

Tranzitivitás miattF`X→V. Lemma =⇒V⊆X⁺(F),V-n megegyezik a két sor.

√

Állítás.r-ben nem igazX→Y.

Bizonyítás: MivelF0X→Y, ezért a fontos lemma miattY*X⁺(F), azazYkilógX⁺(F)-b ˝ol, abból a részb ˝ol, ahol a két sor egyenl ˝o.

Vagyis a két sor egyenl ˝oX-en, de nem egyenl ˝oY-on, ígyX→Ynem igazr-ben.

Tehátrtényleg olyan, hogy benneFminden függése fennáll, deX→Ynem, ami bizonyítja, hogyF6|=X→Y.

Következmény.`és|=felcserélhet ˝o.

Kulcs

Definíció.X⊆Rszuperkulcsaaz(R,F)sémának, haF`X→R. Másképpen, ha R=X⁺(F).

X⊆Rkulcsaaz(R,F)sémának, ha szuperkulcs és nincs olyan valódi részhalmaza, ami szuperkulcs.

Példa:

F={TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV→ÁR;TERMEL ˝O→CÍM} X=TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV

=⇒ X⁺(F)=TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV, ÁR, CÍM TERMEL ˝O⁺(F)=TERMEL ˝O, CÍM

TERMÉKNÉV⁺(F)=TERMÉKNÉV

=⇒ Xkulcs

(5)

X

⁺

(F) kiszámítása

Algoritmus:

X₀=X, .. . Xi=. . . ,

Xi+1=Xi∪ {A∈R|van olyanU→V∈F, hogyU⊆Xiés A∈V}, ..

.

X⁺(F)=Xutolsó,(amikor már nem n ˝o)