Adatbázisok elmélete 12. el ˝ oadás

(1)

Adatbázisok elmélete 12. el ˝ oadás

Katona Gyula Y.

Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz.

I. B. 137/b

kiskat@cs.bme.hu

http://www.cs.bme.hu/˜kiskat

2004

ADATBÁZISOK ELMÉLETE12.EL ˝OADÁS 1/15

Emlékeztet ˝ o

Definíció.Adott(R,F). AzX→Yfüggéslogikai következménye(szemantikai következménye)F-nek, ha azX→Yminden olyanrrelációban teljesül, aholFfüggései mind teljesülnek.

Jelölése:F|=X→Y

Definíció.EgyX→Yfügg ˝oség akkor vezethet ˝o le egy adottFfügg ˝oséghalmazból, ha az axiómák ismételt alkalmazásávalF-b ˝ol megkapjukX→Y-t.Jele:F`X→Y.

|=⇒ `: Teljességi tétel,ami igaz az levezethet ˝o.(Ma lesz.)

` ⇒ |=: Igazság tétel,csak igaz dolgok vezethet ˝ok le.

√ Armstrong-axiómák

1. Reflexivitás:HaX,Y⊆RésY⊆X, akkorX→Y.

2. Kiegészítési tulajdonság:HaX,Y⊆RésX→Y, akkorXW→YWigaz tetsz ˝oleges W⊆R-re.

3. Tranzitivitás:HaX,Y,Z⊆R,X→YésY→Z, akkorX→Z.

Levezethet ˝ o szabályok

Néhány további szabály, ami levezethet ˝o az axiómákból (és az igazságtétel miatt igazak is).

Állítás(Unió szabály).{X→Y, X→Z} `X→Y Z Bizonyítás:

i) X→Y: ezF-beli

ii) XZ→Y Z: kiegészítveZ-val iii) X→Z: ezF-beli

iv) X→XZ: kiegészítveX-vel v) X→Y Z: iv) és ii) + tranzitivitás

Levezethet ˝ o szabályok

Állítás(Áltranzitiv szabály).{X→Y, YW →Z} `XW→Z Bizonyítás:

i) X→Y: ezF-beli

ii) XW→YW: kiegészítveW-val iii) YW→Z: ezF-beli

iv) XW→Z: ii) és iii) + tranzitivitás

Állítás(Felbontási szabály).Tegyük fel, hogyZ⊆Y, ekkor{X→Y} `X→Z Bizonyítás:

i) X→Y: ezF-beli ii) Y→Z: reflexivitás

iii) X→Z: i) és ii) + tranzitivitás

(2)

Lezárás

Definíció.HaFegy függéshalamaz, akkor alezártjaF⁺azF-b ˝ol levezethet ˝o összes függés:

F⁺={X→Y|F`X→Y}

Jó:mert ha majd belátjuk|=⇐⇒ `-t, akkor kiderül, hogy ez éppen azF-b ˝ol szükségszer ˝uen következ ˝o összes függést adja meg.

Gond:nagyon nagy lehet

Pl.R( A₁, . . . ,A_n,B₁, . . .B_n)ésF={A_i→B_j|1≤i,j≤n}, akkor ezn²db függés F⁺-ban benne van mindenA_i1. . .A_ik→B_j1. . .B_jl, azaz(2ⁿ−1) (2ⁿ−1)≈2²ⁿeleme van.

Ezért ehelyett valami mást nézünk, amit könnyebb lesz meghatározni és jól közelítiF⁺-t:

Definíció.HaXegy attribútum halmaz(R,F)-ben, akkorlezártja X⁺(F)={A∈R|F`X→ A}, azaz azon attribútumok, amik függnekX-t ˝ol.

Attribútumhalmaz lezárása

Állítás.X⊆X⁺(F)⊆R

Lemma.(Fontos!!!)F`X→Y⇐⇒Y⊆X⁺(F)

Bizonyítás: =⇒: Tegyük fel, hogyF`X→Yés legyenA∈Y.

F`X→A, hiszen vegyükX→Ylevezetését és alkalmazzuk a felbontási szabályt a végén.

Definíció szerint ekkorA∈X⁺(F). Ez mindenA∈Y-ra igaz.

√

⇐=: LegyenY=A₁. . .A_k⊆X⁺(F).

Így definíció szerint∀Ai∈Y-raF`X→ Ai.

EkkorX→Ylevezetése: vesszük azAi-k levezetését és a végén alkalmazzuk az uniós szabálytk−1-szer.

√

Következménye:Ha minden X-re ismerjük/ki tudjuk számítaniX⁺(F)-et, akkor tetsz ˝oleges X→Yfüggésr ˝ol eldönthet ˝o, hogyF⁺-beli-e vagy sem,mertX→Y∈F⁺pontosan akkor teljesül (definíció szerint), haF`X→Y, de ez meg az el ˝obbi lemma szerint pontosan akkor van, haY⊆X⁺(F)

Megjegyzés:Majd látjuk, hogyX⁺(F)kiszámolására lesz gyors algoritmus.

Teljességi tétel

Tétel(Teljességi tétel).HaF|=X→Y, akkorF`X→Y.

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy van olyanX→Yfüggés ésFfüggéshalmaz, hogy X→Ynem vezethet ˝o leF-b ˝ol (F0X→Y), noha logikai következménye neki (F|=X→Y).

Ez utóbbi azt jelenti, hogy minden olyan relációban, amibenFfügg ˝oségei teljesülnek, ha X-en megegyezik két sor, akkor azok megegyeznekY-on is.

Úgy jutunk ellentmondásra, hogy konstruálunk egy olyanrrelációt, aholFfügg ˝oségei teljesülnek, deX6→Y, ami ellentmondF|=X→Y-nak.

Bizonyítás (folyt.)

r X⁺(F)

z }| { X

A1 . . . .

z }| {

. . . An

t₁ 1 1 1 1 1 1 1. . . .1 1 1 1 1 1 1 t₂ 0 0 0 1 1 1 1. . . .1 1 1 1 0 0 0

Tehátrkét soros reláció,X⁺(F)-en megegyezik a két sor, a többin különbözik.

Állítás.r-ben teljesülnekFfüggései.

Bizonyítás: LegyenU→V∈F.

HaU*X⁺(F) =⇒U→Vigaz, hiszen nincs olyan két sor, amiU-n megegyezik.

HaU⊆X⁺(F), akkor lemma miattF`X→U.

Tranzitivitás miattF`X→V. Lemma =⇒V⊆X⁺(F),V-n megegyezik a két sor.

√

Állítás.r-ben nem igazX→Y.

Bizonyítás: MivelF0X→Y, ezért a fontos lemma miattY*X⁺(F), azazYkilógX⁺(F)-b ˝ol, abból a részb ˝ol, ahol a két sor egyenl ˝o.

Vagyis a két sor egyenl ˝oX-en, de nem egyenl ˝oY-on, ígyX→Ynem igazr-ben.

Tehátrtényleg olyan, hogy benneFminden függése fennáll, deX→Ynem, ami bizonyítja, hogyF6|=X→Y.

Következmény.`és|=felcserélhet ˝o.

(3)

Kulcs

Definíció.X⊆Rszuperkulcsaaz(R,F)sémának, haF`X→R. Másképpen, ha R=X⁺(F).

X⊆Rkulcsaaz(R,F)sémának, ha szuperkulcs és nincs olyan valódi részhalmaza, ami szuperkulcs.

Példa:

F={TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV→ÁR;TERMEL ˝O→CÍM} X=TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV

=⇒ X⁺(F)=TERMEL ˝O, TERMÉKNÉV, ÁR, CÍM TERMEL ˝O⁺(F)=TERMEL ˝O, CÍM

TERMÉKNÉV⁺(F)=TERMÉKNÉV

=⇒ Xkulcs

X

⁺

(F) kiszámítása

Algoritmus:

X0=X, ... Xi=. . . ,

Xi+1=Xi∪ {A∈R|van olyanU→V∈F, hogyU⊆Xiés A∈V}, ...

X⁺(F)=Xutolsó,(amikor már nem n ˝o)

Állítás.Xutolsó⊆X⁺(F)( azaz, a fontos lemma miattF`X→Xutolsó)

Bizonyítás: Indukcióvali-re belátjuk, hogyF`X→X_i, innen már következik az állítás.

Bizonyítás (folyt.)

i=0:F`X→X₀=X, reflexivitás.

i i+1

1. U→V∈F, U⊆X_i, A∈V 2. X_i→U, reflexivitás

3. X→U, tranzitivitás + indukciós felt.F`X→X_i+ (2. sor) 4. X→V, tranzitivitás (1. és3. sor)

5. V→ A, reflexivitás, (1. sor) 6. X→ A, tranzitivitás, (4. és5. sor) 7. F`X→ A, mindenA∈X_i+1

8. F`X→X_i+1

=⇒F`X→X_utolsó =⇒(Lemma)X_utolsó⊆X⁺(F).

√

Példa:

R( A,B,C,D), F={A→B, B→C, BC→ D}, A⁺(F)=? X₀={A}, X₁={A,B}, X₂={A,B,C}, X₃={A,B,C,D}=Xutolsó

Bizonyítás másik iránya

Állítás.X⁺(F)⊆Xutolsó

Bizonyítás: Tekintsük az alábbi kétsorosrrelációt: a két sorX_utolsó-n egyenl ˝o, azon kívül eltérnek.

r X_utolsó

z }| { A₁ . . . .

X z }| {

. . . A_n t1 1 1 1 1 1 1 1. . . .1 1 1 1 1 1 1 t₂ 0 0 0 1 1 1 1. . . .1 1 1 1 0 0 0

r-ben egyrészt mindenF-beli függés teljesül.(Bizonyítás, hasonlóan, mint a teljességi tételnél csak most az kell, hogy ha egyW→Sfüggés eseténW⊆Xutolsó, akkorS⊆Xutolsóis igaz, az algoritmus m ˝uködése miatt.)

rsegítségével azt látjuk be, hogy haA<Xutolsó, akkorA<X⁺(F), ami éppen a kívánt állítás.

HaA<Xutolsó =⇒rolyan reláció, amibenX9 A ezértF2X→A, hiszenr-benFminden függése teljesül.

=⇒(az igazság tétel miatt)F0X→ A =⇒(fontos lemma)A<X⁺(F)

√

(4)

Következmények

Következmény.X⁺(F)=Xutolsó, azaz tényleg jó az algoritmus.

Következmény.AdottX-r ˝ol el lehet dönteni, hogy (szuper)kulcs-e.

Megnézzük, hogyX⁺(F)=Rigaz-e. Ha igen, akkor szuperkulcs. Ha mindenX−A-ra már nem szuperkulcsot kapunk, akkorXkulcs.

Gyorsan implementálható.

Felbontások

Cél:Adott(R,F)sémából anomáliát nem tartalmazó olyan felbontás el ˝oállítása, amib ˝ol ugyanaz az információ nyerhet ˝o, mint az eredetib ˝ol.

Definíció.ρ=(R1, . . . ,Rk)az(R,F)séma felbontása, haRi⊆Rés∪^k_i=1Ri=R.

Haregy(R,F)sémára illeszked ˝o reláció, akkor legyenri=π_Ri(r)és m_ρ(r) :=r₁Zr₂Z· · ·Zr_k (Megj.:Zasszociatív, így nem kell a zárójelezéssel vesz ˝odni)

Kérdés:mikor nyerhet ˝o vissza az infó a felbontásból? Mi általábanrésmρ(r)viszonya?

Tétel.

(i) r⊆mρ(r) (ii) ri=π_Ri(mρ(r)) (iii) m_ρ

m_ρ(r)

=m_ρ(r)

Bizonyítás

Bizonyítás: Hategy sor, akkorπ_Ri(t)helyettt[R_i]-t írunk.

(i) r⊆mρ(r):

Hategy sorr-ben, akkortminden vetülete benne van a megfelel ˝ot[R_i]-ben, ezek össze is illenek, ígym_ρ(r)-ben is szerepelni fogt.

(ii) r_i=π_Ri(m_ρ(r)):

r⊆m_ρ(r) =⇒r_i=π_Ri(r)⊆π_Ri m_ρ(r)

.

Hat∈m_ρ(r), akkor ez természetes illesztéssel jött létre,r_i-beli sorokból, így levetítve R_i-re éppr_iegy sorát kapjuk.

(iii) mρ

mρ(r)

=mρ(r):

m_ρ(r)=Z^k

i=1 r_i=Z^k

i=1π_Ri(r) m_ρ

m_ρ(r)

=Z^k

i=1π_Ri

m_ρ(r)(ii)

=Z^k

i=1r_i=m_ρ(r)

Megjegyzés:(i) szerint a szétszedés és összerakás után vagy pontr-t kapom meg, vagy többet kapok, kevesebb sor nem lehet. Har,m_ρ(r), akkor ez nem egy túl hasznos felbontás.

De ennél több is igaz:ebben az esetben teljesen reménytelen a felbontásból visszaszerezni r-t:mivel (ii) szerintrésmρ(r)(függ ˝oleges) vetületei ugyanazok, ezért har,mρ(r), akkorvan két olyan reláció (résmρ(r)), aminek a vetületei ugyanazok =⇒a vetületekb ˝ol nem lehet visszaállítanir-et (nem lehet eldönteni, hogyrvagymρ(r)volt).

Következmény:har,m_ρ(r), akkor sehogyan se lehet visszahoznir-t a vetületekb ˝ol.

H ˝ uséges felbontás

Tehát az a kérdés, hogy mik azok a felbontásai egy(R,F)sémának, amik esetén tetsz ˝oleges (R,F)-re illeszked ˝orrelációrar=mρ(r)

Definíció.Adott(R,F). Ennekρfelbontásah ˝uséges (veszteségmentes, lossless), ha minden(R,F)-re illeszked ˝orrelációrar=mρ(r).

Példa:Legyen(R,F)a következ ˝o: R( A,B,C),F={C→ A}és legyenraz alábbi reláció.

r A B C a c e a d f b c g b d h

s A B

a c a d b c b d

t B C

c e d f c g d h

sZt A B C a c e a c g a d f a d h b c e b c g b d f b d h

Ez a példa mutatja, hogyr,s( A,B)Zt(B,C), azaz ez a felbontás nem h ˝uséges.

Der=s⁰( A,C)Zt⁰(B,C), majd látjuk.