Algoritmuselm´elet 2020 8. gyakorlat Karp-redukci´o
1. Igazolja, hogy 2SZ´IN ≺3SZ´IN ´es hogy 3SZ´IN ≺ 100SZ´IN ! Mit mondanak ezek a Karp-redukci´ok a 3 nyelv bonyolults´ag´ar´ol?
2. Mutassa meg, hogy ha X≺Y, akkorX≺Y is igaz.
3. Az Lnyelv az olyanGegyszer˝u gr´afokb´ol ´all, melyekn´el a cs´ucsok sz´ınez´es´ehez kell legal´abb 4 sz´ın. Igazolja, hogy a pr´ım≺LKarp-redukci´o l´etezik!
4. Adjon meg egy HAM≺s-t-HAM ´UTKarp-redukci´ot!
5. Bizony´ıtsa be, hogy ha L1 ≺L2 ´esL2 ∈NP, akkor L1 ∈NP.
6. Tudjuk, hogy L1 ≺ L2 ´es hogy az L2 komplementere Karp-reduk´alhat´o a PART´ICI ´O nyelvre. Igazolja, hogy ekkor L1 ∈co NP !
7. Igazolja, hogy l´eteznek az al´abbi Karp-redukci´ok! (a)RH≺HAM (b)OSSZEF ¨¨ UGG ˝O≺3SAT (c) OSSZEF ¨¨ UGG ˝O≺P ´AROS
(OSSZEF ¨¨ UGG ˝O az ¨osszef¨ugg˝o gr´afok nyelve, P ´AROSmeg a p´aros gr´afok´e) 8. Adjon Karp-redukci´ot a PART´ICI ´Oprobl´em´ar´ol aRH probl´em´ara!
9. Igazolja, hogy ha co NP6= NP, akkor MAXKLIKK6∈P.
10. Igazolja, hogy ha egy X eld¨ont´esi probl´ema NP-teljes ´esX∈NP∩co NP, akkor NP = co NP.
11. Tegy¨uk fel, hogy van egy elj´ar´asunk, ami egy tetsz˝oleges Boole-formul´ar´ol polinom id˝oben eld¨onti, hogy a SAT nyelvnek eleme vagy nem. Hogyan lehet ezt felhaszn´alva polinom id˝oben megtal´alni egy adott ϕ(x1, x2,· · ·, xn) formul´ahoz a v´altoz´oknak egy olyan ´ert´ekel´es´et, amelyet ha aϕ-be behelyettes´ıt¨unk, akkor a formula ´ert´eke igaz lesz?
12. Tegy¨uk fel, hogy van egy elj´ar´asunk, ami egy tetsz˝olegesncs´ucs´u gr´afr´ol polinom id˝oben megmondja, hogy van-e benne Hamilton-k¨or. Hogyan lehet ezt felhaszn´alva polinom id˝oben megtal´alni egy adott G gr´afban egy Hamilton-k¨ort?
