Sz´am´ıt´astudom´any elemei 2. gyakorlat www.cs.bme.hu/~pappd
1. Van-e olyan (legal´abb k´et pont´u) egyszer˝u gr´af, amelyben minden pont foka k¨ul¨onb¨oz˝o?
2. Van-e olyan egyszer˝u gr´af, amelyben a pontok foka rendre:
(a)1, 2, 2, 3, 3, 3 (b)1, 1, 2, 2, 3, 4, 4 (c)2, 3, 3, 4, 5, 6, 7 (d)1, 3, 3, 4, 5, 6, 6
3. Rajzoljuk fel az ¨osszes olyan 4, 5, ill. 6 pont´u egyszer˝u gr´afot, amely izomorf a komplementer´evel!
4. Igaz-e, hogy ha egy gr´af izomorf a komplementer´evel, akkor ¨osszef¨ugg˝o?
5. Egy npont´u egyszer˝u gr´afban minden pont foka legal´abb n2. Bizony´ıtsuk be, hogy a gr´af ¨osszef¨ugg˝o!
6. Vannak-e izomorfak az al´abbi gr´afok k¨oz¨ott?
7. EgyGegyszer˝u gr´af legkisebb fok´u pontj´anak foksz´amaδ > 2. Mutassuk meg, hogy ekkorG-ben van olyan ´ut, ami legal´abbδ´elb˝ol ´all.
8. Egy f´aban van ∆fok´u pont. Mutassuk meg, hogy ekkor legal´abb∆els˝ofok´u pont is van benne!
9. Legyenek d1, d2, . . . , dn olyan pozit´ıv eg´eszek, amelyek ¨osszege 2n−2. Konstru´aljunk olyan f´at, amelynek
´eppen ezek a foksz´amai!
10. Bizony´ıtsuk be, hogy egynpont´u fa m´asodfok´u pontjainak sz´ama nem lehet pontosann−3. (ZH)
11. Igazoljuk, hogy minden legal´abb k´etpont´u, ¨osszef¨ugg˝o gr´afban van olyan pont, amit elhagyva a gr´af ¨osszef¨ugg˝o marad!
12. Egy ¨osszef¨ugg˝o Ggr´afr´ol tudjuk, hogy minden pontj´anak foka p´aratlan, tov´abb´a, hogy van egy e´ele, amelyet elhagyva a gr´af k´et komponensre esik sz´et. Bizony´ıtsuk be, hogy ekkor mindk´et komponens p´aratlan sok pontot tartalmaz! (ZH)
13. Melyik faPr¨ufer-k´odja a447741sorozat? Ellen˝orizz¨unk a fa ism´etelt k´odol´as´aval.
14. Mit mondhatunk arr´ol a f´ar´ol, amelynekPr¨ufer-k´odj´aban minden sz´am egyforma? ´Es arr´ol, amelynek k´odj´aban minden sz´am k¨ul¨onb¨oz˝o?
15. H´any olyan fa adhat´o meg az1, 2, . . . , 100pontokon, amelynek van olyan ´ele, melynek elhagy´asakor a keletkez˝o k´et komponens cs´ucsai rendre az1, . . . , 50´es az51, . . . , 100 pontok?
16. H´any minim´alis ¨osszs´uly´u fesz´ıt˝of´aja van az al´abbi gr´afnak? (ZH)
1 1
1 1
1 3
3
3 3
3
2 2
2 2
2
17. Adjunk algoritmust egy pozit´ıv ´els´ulyokkal ell´atott gr´af egymaxim´alis ¨osszs´uly´u r´eszf´aj´anak megkeres´es´ere!
