A matematikai modell a rendszert és A matematikai modell a rendszert és

(1)

A biorendszer

A biorendszer BartholomayBartholomay szerint szerint

"anyagi objektumok

sorozatának határozott csoportja (ezen szubmolekuláris részecskéket, molekulákat, sejtalkotó részeket, sejteket, sejtek populációját értjük) , amelyeknek alkotó elemei meghatározott fizikai, fiziko-kémiai, morfológiai ,

topológiai és időbeni kapcsolatban vannak egymással és az őket körülvevő világgal, az un. környezettel”.

MODELLEK

MODELLEK eddig: MONOD, sztöchiometriai...

Mit modellezünk? BIOLÓGIAI

Mit modellezünk? BIOLÓGIAI RENDSZERTRENDSZERT

Nem statikus jellegNem statikus jellegűű, állandó mozgásban van, szorosan , állandó mozgásban van, szorosan összefügg a

összefügg a folyamattal,folyamattal, s utóbbi így nem más mint a s utóbbi így nem más mint a rendszer önmozgását, környezetével való dinamikus rendszer önmozgását, környezetével való dinamikus kapcsolatát kifejez

kapcsolatát kifejezőő fogalom. fogalom.

A fermentációs A fermentációs rendszerrendszer és a fermentációs folyamat és a fermentációs folyamat egymástól elválaszthatatlan egységben van

egymástól elválaszthatatlan egységben van, de nem , de nem

azonos vizsgálati objektumok, ha néha értelmezésük nem azonos vizsgálati objektumok, ha néha értelmezésük nem is különíthetõ el világosan.

is különíthetõ el világosan.

sejtek sejtek

reaktor reaktor

környezet környezet szubjektív

szubjektív

(2)

FERMENTÁCIÓS RENDSZEREK FERMENTÁCIÓS RENDSZEREK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE

MATEMATIKAI MODELLEZÉSE Bioreakt 2009-MSc Mi a matematikai modell?

Mi a matematikai modell?

A matematikai modell a rendszert és A matematikai modell a rendszert és

környezetét

környezetét jellemz jellemz ő ő változók változók közötti közötti kapcsolatokat a

kapcsolatokat a matematika formális nyelvén matematika formális nyelvén megfogalmazó

megfogalmazó hipotézisek hipotézisek sorozata. sorozata.

A változók célszerûen

A változók célszerûen mértekmértek vagy legalábbis vagy legalábbis mérhetõekmérhetõek, hiszen a , hiszen a modell

modell hipotézishipotézis, amelyet csak a gyakorlat, a mérés, a kísérlet igazolhat , amelyet csak a gyakorlat, a mérés, a kísérlet igazolhat vagy vethet el.

vagy vethet el.

Változók

Változók = természeti törvény!!!= természeti törvény!!!

1:1 megfelelés 1:1 megfelelés Műveletek,

Műveletek,

Alkalmazási forma!

A modellezés is folyamat

(3)

Mi célból modellezünk?

A rendszerről alkotott kvantitatív képünk pontosítása, tudás növelés A rendszerről alkotott kvantitatív képünk pontosítása, tudás növelés

Változók közötti kapcsolatok kiderítése Változók közötti kapcsolatok kiderítése

Jövőbeni viselkedés megjósolása Jövőbeni viselkedés megjósolása

Szabályozás, vezérlés alapja Szabályozás, vezérlés alapja

Optimálás (online, offline) Optimálás (online, offline)

(4)

FERMENTÁCIÓS RENDSZEREK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE FERMENTÁCIÓS RENDSZEREK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE

R

ELMÉLET, A PRIORI

ISMERETEK

KÍSÉRLETI EREDMÉNYEK

M

MODELL IDENTIFIKÁLÁS

ADEKVÁT

IGEN ? NEM KÍSÉRLETI

BEÁLLÍTÁS

KÍSÉRLETTERV

AUTOMATIKA KOMPUTER

OPTIMÁLIS

VEZÉRLÉS(ON LINE)

OPTIMÁLÁS OFF LINE

BIOLÓGIAI SZIMULÁCIÓ

in numero KÍSÉRLETEK

JÓSOLT

“K1SÉRLETI”

EREDMÉNYEK

(5)

VÁLTOZÓK VÁLTOZÓK

KONTROLL KONTROLL

ÁLLAPOT ÁLLAPOT ZAVARÓ ZAVARÓ

BIOLÓGIAI BIOLÓGIAI

NEM BIOLÓGIAI NEM BIOLÓGIAI

INPUT INPUT

OUTPUT OUTPUT

EGY SEJT POPULÁCIÓ EGY SEJT POPULÁCIÓ

BIOTIKUS FÁZIS változói BIOTIKUS FÁZIS változói ABIOTIKUS FÁZIS változói ABIOTIKUS FÁZIS változói

Túl komplex Túl komplex

(6)

 

V dc

dt ⁱ  f c _{i be} _,  c _i  r V _i

V állandó fermentlé térfogat,

f adagolási és elvételi térfogatáram c

_i

az i-edik "anyag" koncentrációja

r

_i

az i-edik anyag “növekedési sebessége”.

1.Fizikai alapelvek

1.1.anyagmegmaradás törvény: anyagmérleg a reaktorra

"általános" matematikai modell folytonos működésű, ideális, tökéletesen kevert bioreaktorra

Modellezés általános elvei Modellezés általános elvei

V D  f



_i_,_be _i



_i

i

D c c r

dt

dc   

c

_i

x

_i

, S

_j

, P

_k

(7)

1.2 Termodinamikai elvek

termodinamika első főtétele termodinamika második főtétele

Élő rendszer -- nyílt rendszer irreverzibilis

anyagcsere

Az egyes sejtek entrópiája csökkenhet vagy változatlan is maradhat, anélkül, hogy a II. fõtétel érvényessége csorbát szenvedne.

A mikroorganizmus szervezett létforma, rendezettsége nagyobb, mint környezeté, ami csak a környezet rovására lehetséges.

A mikroorganizmus úgy csökkenti vagy tartja állandóan entrópiáját, hogy környezetének entrópiája nagyobb mértékben növekszik.

nyugvó (de élõ) sejtek életképessége fennmaradásának feltétele, hogy munkát kell végeznie környezetén:

ellenszegülés a sejteket szétroncsolni akaró ozmózisnyomásnak, a sejt ionkoncentrációjának fenntartása,

a mozgás, reszintézis.

a nyugvó sejteknek is szükségük van tápanyagokra, hogy rendezettségüket fenntarthassák MAINTENANCE

? ?

(8)

a) Korlátozatlan ...: semmilyen kémiai vagy fizikai tényező nem korlátozza a komponensek és az egész populáció növekedési sebességét.

szakaszos fermentáció exponenciális növekedési szakasza

turbidosztát elvû folytonos fermentáció (exponenciális szakaszban) ü

b)Korlátozottan kiegyensúlyozott növekedés:

kemosztát elvû folytonos fermentáció

Term.Din. Egyensúly nincs

Term.Din. Egyensúly nincs =>=> Input=Output:Input=Output:

STEADY STATE

STEADY STATE - állandósult állapot - állandósult állapot

i 3

2 1

i i i

i

....

x x

dt dx x

1 















 

Ferm rendsz. St.St.:

kiegyensúlyozott növekedés =>homeosztázis

(9)

1.3. Konstitutív elvek r_i modellezése szűk keresztmetszet

2. Biológiai elvek

Reakciókinetikai apparátus

^r

i

 ^r

i

 ^S  ^,  ^I ^, ^P  ^,  ^.... 

Tömeghatástörvény Tömeghatástörvény -átadási egyenletek -átadási egyenletek

GENOM FENOTÍPUS GENOM FENOTÍPUS

„„Végtelen” lehetőségVégtelen” lehetőség n manifesztálódik n manifesztálódik

Környezeti feltételek Környezeti feltételek

(10)

45 90 180 ^PERC

RELATÍV GYAKORISÁG

Bár különbözneek, azonos modellekkel…

(11)

E.coli

(12)

Saccharomyces cerevisiae

(13)

(14)



_x

E RT

E

A e A e

RT



₁ ^



₂ ^

1 2

 

E₁látszólagos növekedési aktiválási energia

(pl. E. coli esetében 55,4 kJ/mol egy adott fermentáció esetén

E₂ a denaturálódás látszólagos aktiválási energiája (250-300 kJ/mol) A₁,és A₂ állandók.

Mik a sejt esélyei, ha beoltjuk egy új tápoldatba?

SZAPORODÁS SZAPORODÁS

MUTÁCIÓ MUTÁCIÓ

SEJTHALÁL - lízis SEJTHALÁL - lízis

Elsőrendű kinetika Elsőrendű kinetika

HŐMÉRSÉKLET HATÁSA HŐMÉRSÉKLET HATÁSA





 dt 

dx x

1

Fajlagos pusztulásiFajlagos pusztulási sebesség

sebesség

Mivel

Mivel ΔΔEE₂₂ >> >> ΔΔEE₁₁ dominál dominál ARRHENIUS

ARRHENIUS

(15)

Szokásos Szokásos Fermentáció Fermentáció hőmérséklet hőmérséklet

Miért szeretjük a magasabb tartományt?

(16)

_max h^-1

0,81,0

0,6 0,4

0,2

0,1

31 32 33 34 35 *10^-3 1/T ^OK^-1 40 35 30 25 20 15 T ^OC

Enterobacter aerogenes

Candida utilis

(17)

Hőmérséklet hatása a termékképződésre Hőmérséklet hatása a termékképződésre

optimális hőmérséklet = optimális növekedési hőmérséklet optimális hőmérséklet = optimális növekedési hőmérséklet

Eredő hozam hőmérséklet függése Eredő hozam hőmérséklet függése

YY

TT

mm

60-80 kJ/mol 60-80 kJ/mol

(18)

pH hatása – ld anyagtranszp.

Baktériumok 4-8 Baktériumok 4-8 Élesztők 3-6 Élesztők 3-6 Penészek 3-7 Penészek 3-7

(pH felhasználása a „sterilitás fenntartására”) (pH felhasználása a „sterilitás fenntartására”)

Miért változik magárahagyott rendszerben a fermentlé pH-ja?

1. Savanyú termékek : PYR, AcOH, Gl-sav, tejsav...

2. Szekunder aktív transzport:E. coli, laktóz permeáz, 1:1 laktóz: bepumpált 2.

proton arány. Más cukrok ill. mikrobák esetén a sztöchimetria nem szigorú.

3. NH

3. NH₃₃ ill NH ill NH₄₄⁺⁺ N-forrás esetében: N-forrás esetében:

NHNH₄₄⁺⁺ R – NHR – NH₃₃⁺⁺ kinn marad: kinn marad: HH⁺⁺

5.Aminosav esetén: dezaminálódik, lúgosodik 5.Aminosav esetén: dezaminálódik, lúgosodik

4. NO

4. NO₃₃^-^- N-forrás esetében is N-forrás esetében is R – NHR – NH₃₃⁺⁺ bemegybemegy H+ azaz lúgosodikH+ azaz lúgosodik

Belső pH???

Elsődleges hatás: transzportfolyamatok, Elsődleges hatás: transzportfolyamatok, felületi töltés,

felületi töltés,

ta.disszociáció,termék disszociációja ta.disszociáció,termék disszociációja

(19)

Konstitutív egyenletben:

 

  ^T ^k ^k   ^pH

k k

k ...

,..

P , I , S r r

i i

i





   

Paraméter modell Paraméter modell

továbbiakban továbbiakban

(20)

MODELLEK TÍPUSAI MODELLEK TÍPUSAI

DETERMINISZTIKUS

DETERMINISZTIKUS SZTOHASZTIKUSSZTOHASZTIKUS (meghatározott)

(meghatározott) (véletlenszerű)(véletlenszerű)

STRUKTURÁLIS

STRUKTURÁLIS STRUKTURA NÉLKÜLISTRUKTURA NÉLKÜLI

SEJTTÖMEG

SEJTTÖMEG SEJTSZÁMSEJTSZÁM

(DISTRIBUTED)

(DISTRIBUTED) ( (SEGREGATED)SEGREGATED)

(21)

DETERMINISZTIKUS

DETERMINISZTIKUS SZTOHASZTIKUSSZTOHASZTIKUS

minden biológiai folyamat, alapvetően sztochasztikus viselkedésű

 

m t  n e ₀ ^ ^t

   



²

t  n e

₀ ^^t

e

^^t

 1

   

 t ^

m t

e n

   t

 

 1 

0

1 2/

várható érték várható érték

szórásnégyzet szórásnégyzet

relat

relatíív szórásv szórás

nn₀₀ általában igen nagy (10 általában igen nagy (10⁴⁴ -10 -10⁸⁸ db/cm db/cm³³ közé esik) közé esik) a relatív szórás igen kicsiny: 10

a relatív szórás igen kicsiny: 10^-4^-4 - 1% közötti. - 1% közötti.

JULE-FURREY modell JULE-FURREY modell

JOGOS???

JOGOS!!!

Determi- Determi- nisztikus nisztikus

Nem Nem random random

(22)

STRUKTURÁLIS

STRUKTURÁLIS STRUKTURA STRUKTURA NÉLKÜLI

NÉLKÜLI







 S új x P

x

_i

Homogén, szerkezet nélküli biomassza Homogén, szerkezet nélküli biomassza

Kémiai/enzimes reakciók eredője Kémiai/enzimes reakciók eredője

BLACK BOX MODELL BLACK BOX MODELL

 

 ^x

^j

^  ^e

ⁱ

^ ^új ^x

^j

^ ^P

^k

Abiotikus fázis komponensei és a Abiotikus fázis komponensei és a biotikus fázis komponensei között biotikus fázis komponensei között

Kémiai/enzimes reakciók Kémiai/enzimes reakciók

BLACK BOX MODELL

BLACK BOX MODELL de szürkülde szürkül

A matematikai modell a rendszert és A matematikai modell a rendszert és

"anyagi objektumok

sorozatának határozott csoportja (ezen szubmolekuláris részecskéket, molekulákat, sejtalkotó részeket, sejteket, sejtek populációját értjük) , amelyeknek alkotó elemei meghatározott fizikai, fiziko-kémiai, morfológiai ,

topológiai és időbeni kapcsolatban vannak egymással és az őket körülvevő világgal, az un. környezettel”.

A matematikai modell a rendszert és A matematikai modell a rendszert és

környezetét

környezetét jellemz jellemz ő ő változók változók közötti közötti kapcsolatokat a

kapcsolatokat a matematika formális nyelvén matematika formális nyelvén megfogalmazó

megfogalmazó hipotézisek hipotézisek sorozata. sorozata.

R

M

VÁLTOZÓK VÁLTOZÓK

 

V dc

dt i  f c i be ,  c i  r V i

V állandó fermentlé térfogat,

f adagolási és elvételi térfogatáram c

az i-edik "anyag" koncentrációja

r

az i-edik anyag “növekedési sebessége”.

V D  f





D c c r

dt

dc   

c

x

, S

, P

? ?

....

x x

dt dx x

1



















 

r

 r

 S  ,  I , P  ,  .... 

E.coli

Saccharomyces cerevisiae



A e A e









 dt 

dx x

1

 

  T k k   pH

k k

k ...

,..

P , I , S r r







   

minden biológiai folyamat, alapvetően sztochasztikus viselkedésű

 

m t  n e 0  t

   



t  n e

e

 1

   

JOGOS???

JOGOS???

dt ⁱ  f c _{i be} _,  c _i  r V _i

^r

 ^r

 ^S  ^,  ^I ^, ^P  ^,  ^.... 

  ^T ^k ^k   ^pH

m t  n e ₀ ^ ^t

 ^x

^  ^e

^ ^új ^x

^ ^P