Nem lineáris rekurzióval definiált sorozatokról.

ZAY B É L A

N E M L I N E Á R I S R E K U R Z I Ó V A L D E F I N I Á L T S O R O Z A T O K R Ó L

A B S T R A C T : COn s e q u e n c e s defined by nonlinear recursionJ> In the paper we investigate a nonlinear recursive sequence

P

defined by G = J A. '0 _ + D Cn>p), where p is fixed n L = 1

positive integer, A. ' s a r e #iuen, real n u m b e r s and D

I n is a s e q u e n c e o / real n u m b e r s . Ve show thai G^ satisfies

a linear recursion of order /treat er than p if D is a n

constant , or D^ is the s e q u e n c e of the v a l u e s of a polynomial, or D^ is a Ii near r e c u r s i v e s e q u e n c e . The characteristic polynomial and some other p r o p e r t i e s of

the sequence G a r e a l s o d e t e r m i n e d .

L e g y e n p egy r ö g z í t e t t p o z i t í v e g é s z s z á m , é s l e g y e n e k A1, A2, . « . , A r ö g z í t e t t v a l ó s számok. D e f i n i á l j u k a v a l ó s s z á m o k egy G = -íG >- s o r o z a t á t a

^ ^ r> = 1

C l ) G = A *G +A * G + ... +A *G +D ( n > p ) n l n - 1 2 n - 2 p n - p r >

r e k u r z i ó v a l , ahol a G „ , G ,...,G k e z d ő e l e m e a d o t t . nem 1 2 p

mind z é r u s v a l ó s s z á m o k , é s p = iD \ a v a l ó s s z á m o k

1 n r> •= 1 v a l a m e l y s o r o z a t a .

H a s o n l ó , n e m l i n e á r i s s o r o z a t o k k a l már t ö b b e n f o g l a l k o z t a k . P.R. J. Asveld tll, [21 o l y a n C D - e t k i e l é g í t ő r e k u r z í v s o r o z a t o k k a l f o g l a l k o z o t t , m e l y b e n p=2, A1= A2= 1 é s D egy

p o l i n o m h e l y e t t e s i t é s i é r t é k e i n e k s o r o z a t a . C l ) — b e n b i z o n y í t o t t a , hogy a s o r o z a t t a g j a i r a

G = q *F +q * F - h C n ) , n 1 n 2 r» - 1

a h o l Fl az i - e d i k F i b o n a c c i s z á m , qt, q2 r ö g z í t e t t v a l ó s s z á m o k , h C x ) p e d i g egy r ö g z í t e t t polinom.

M. B i c k n e l l - J o h n s o n é s G.E. B e r g u m [31 A s v e l d által v i z s g á l t s o r o z a t h o z h a s o n l ó s o r o z a t t a l f o g l a l k o z t a k , d e náluk D egy k o n s t a n s s o r o z a t .

A k ö v e t k e z ő k b e n a f e n t i e k n e k egy k ö z ö s á l t a l á n o s í t á s á t v i z s g á l j u k , é s e g y b e n j a v í t j u k az e l ő b b e m i i t e t t e r e d m é n y e k e t . Mogniu ta t juk. hogy az Cl)— br»n d e f i n i á l t s o r o z a t l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , ha D egy k o n s t a n s , p o l i n o m , vagy egy l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t .

A t o v á b b i a k b a n s z ü k s é g ü n k lesz a l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t o k k a l k a p c s o l a t b a n néhány f o g a l o m r a . L e g y e n R =

= -ÍR V egy k - a d r e n d ü l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , m e l y e t az

^ n = i

Ai 'A2 k o n s t a n s o k , Rt, R2, . . . , Rk k e z d ő e l e m e k é s az R = A • R +A * R + . . . +A. *R .+D C n > k )

n 1 n-i 2 n-2 k n - k n

l i n e á r i s r e k u r z i ó d e f i n i á l . Az R s o r o z a t k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m j á n a k n e v e z z ü k a z

fRC x ) = xk- At• xk"I- A2- xk"2- ... - Ak

p o l i n o m o t . L e g y e n e k fR( x ) k ü l ö n b ö z ő z é r u s h e l y e i x ,x , . . . , xt, m e l y e k m u l t i p l i c i t á s a i kt, k2, . . . , kt. Ismert, hogy e k k o r az R tagjai

( 2 ) Rn = P4 C n ) • x^ + p2C n ) • ... + ptC n ) • x[

a l a k b a n is f e l i r h a t ó k m i n d e n nÄl e s e t é n , ahol P ^ C x ) egy k.-l - e d fokú p o l i n o m C L á s d Pl. M . D ' O c a g n e 141).

A k ö v e t k e z ő t é t e l e k e t f o g j u k b i z o n y í t a n i :

1. TÉTEL. L e g y e n G az C l ) — b e n megadott, s o r o z a t , é s l e g y e n Y egy p—ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , m e l y e t s z i n t é n az A . A . . . . , A k o n s t a n s o k , é s az Y =G, , Y =G . ... ,Y =G

1 2 * p * 1 1 * 2 2 * * p p

k e z d ő e l e m e k é s az

Y = A *Y +A * Y + . . . +A »Y ( n > p ) r» 1 n-1 2 n-2 p n-p

l i n e á r i s r e k u r z i ó d e f i n i á l . J e l ö l j ü k y ,y — v e i az Y s o r o z a t e l e m e i t , ha Y =Y = . . . -Y =0 é s Y =1.

' 1 2 p-1 p E k k o r

n

C 3 ) G = Y + 5 y * D n n n + p- i t

i =p * 1 m i n d e n n > p e s e t é n .

2. T É T E L . Ha D egy r-ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , akkor a G e l e m e i előál 1 i tha tók az í G C x ) = fy C x : >* íD C x>

k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m m a l m e g h a t á r o z o t t p + r —ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z i ó v a l , a G., ..., G k e z d ő e l e m e k b ő l .

* 1 ' p + r

A 2. Tétel b i z o n y í t á s á b ó l a d ó d i k a k ö v e t k e z ő e r e d m é n y : K Ö V E T K E Z M É N Y : Ha valamely p+r -ed r e n d ű G l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m j a f ^ C x ) = = f1C ' x ) * f2C x ) a l a k ú , ahol az f CxJ egy p-ed fokú, í 2 < x ) P^dig i—ed f o k ú v a l ó s e g y ü t t h a t ó s f ő p o l i n o m , a k k o r G e l e m e i r e t e l j e s ü l a

P

G = 5 A. *G + D , ha n > p + r n *» i n -1 r>

1=1

r e k u r z i ó is, ahol az A^ e g y ü t t h a t ó k a t <1 ^ i ^ p ) az P

ftC x ) = xp - 2 A ' xp - t e g y e n l ő s é g b ő l á l l a p í t h a t j u k meg, a D p e d i g egy f C x ) = f ( x ) k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m m a l r e n d e l k e z ő r—ed rendű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , m e l y n e k D D k e z d ő é r t é k e i t a

p + 1 * p-'-r

P

D = G - 5 A. *G . , ha p+1 5 n 5 p + r

r> n L n - v ' r ^

képlet s z e r i n t s z á m í t h a t j u k . Ha

r - 1

D = 2 a. -nl , n t

i =o

akkor C 2 ) miatt D e g y r-ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t fDC x ) = C x - l )r, k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m m a l , igy az ( l ) ~ b e n d e f i n i á l t G s o r o z a t , a 2. T é t e l s z e r i n t p+r - e d r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , ahol

igy a G., . . . , G k e z d ő é r t é k e k i s m e r e t é b e n egy p+r 1 p r

i s m e r e t l e n e s l i n e á r i s e g y e n l e t r e n d s z e r m e g o l d á s á v a l a G e x p l i c i t a l a k j a m e g h a t á r o z h a t ó . E r r e a [21 - b e n l á t h a t u n k egy

" s t a n d a r d " e l j á r á s t a p=2 , A ^ j = G?- 1 s p e c i á l i s e s e t b e n . A leirtak a l a p j á n k ö n n y e n á t g o n d o l h a t ó , hogy ez a m ó d s z e r az á l t a l á n o s e s e t b e n I s k ö v e t h e t ő .

M e g j e g y e z z ü k , h o g y s p e c i á l i s a n az

f e l t é t e l e k m e l l e t t M. B i c k n e l 1 - J o h n s o n é s G.E. B e r g u m f o g l a l k o z o t t a G s o r o z a t t a l (31 - b a n . A t o v á b b i a k b a n az r=l, azaz D =a ha n > p f e l t é t e l m e l l e t t i G s o r o z a t t a l

n

°

f o g l a l k o z u n k , e s e t l e g utalva a r r a , hogy s p e c i á l i s a n a C4>

f e l t é t e l m e l l e t t h o g y a n a d ó d i k a t 3 1 - b e l i e r e d m é n y e k n é m e l y i k e .

I s m e r t , é s a l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t e x p l i c i t a l a k j a s e g í t s é g é v e l k ö n n y e n i g a z o l h a t ó á l l í t á s az, hogy ha a G l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t fQC x > k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m j á n a k x4 e g y s z e r e s g y ö k e , é s |xt | > Ix^ | 1 = 2 , . . . , t ahol t az f ^ C x ) k ü l ö n b ö z ő g y ö k e i n e k a s z á m a , a k k o r

C 4 ) r=l, p — 2 , At= A2= l

o

G

l i m • 1 = x . Innen a ( 4 ) f e l t é t e l m e l l e t t a d ó d i k a 131 n —+ co n

G + j I + yfc - b e l i eredmenyr l i m — ^ = ^ •

n —• co n

S z i n t é n a C31 - b a n s z e r e p e l a ( 4 ) f e l t é t e l t k i e l é g í t ő G s o r o z a t r a a G = G •F +G • F +a *(F - 1 ) k é p l e t , a h o l n 1 n - 2 2 n - i O n '

= • u ^ r - i ^ n •

F = — n /

V

a z a z a F i b o n a c c i s o r o z a t n - e d i k eleme. A k ö v e t k e z ő t é t e l ennek egy á l t a l á n o s í t á s a .

3. TÉTEL. D e f i n i á l j u n k egy G s o r o z a t o t a G ,G , . . . , G

1 2 p k e z d ő e l e m e k k e l , A _ , A ^ , . . . , A . a k o n s t a n s o k k a l é s a

' 1' 2' p o P

G = 5 A. 'G . +a ( n > p ) n i n - i O

1 - i = 1

r e k u r z i ó v a l . L e g y e n e k t o v á b b á <Y . > ( 1 = 1 , 2 , . . . , p ) p—ed ' n-l

rendű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t o k , m e l y e k e t az At, A2, . . . , A k o n s t a n s o k k a l é s

Y . n, I.

0 lia n*i é s 1 5 n 5 p 1 ha n=i é s 1 5 n í p f e l t é t e l t k i e l é g í t ő k e z d ő e l e m e k k e l d e f i n i á l u n k . Ekkor, ha

n-i

sn - i - 2 yt .

ahol y az 1. T é t e l b e n d e f i n i á l t s o r o z a t , a k k o r P

G = 5 G. • Y +a • S n t n . O n-t

i = 1

t e l j e s ü l m i n d e n n > p e s e t é n .

R á t é r ü n k a t é t e l e k b i z o n y í t á s á r a .

A Z 1. T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : A tétel feltétele?! é s a s o r o z a t o k d e f i n í c i ó i a l a p j á n

P P G , = 5 A, *G . .+D A. = 5 A • Y .+D _ =

p + i i p + i- i p + t i p + l- i p + i i . = l 1 = 1

P*1

- Y +v • D = Y + 5 y , * D.

p + i Jp p + i p + i ^ 'p + i+p-t i i =p + i

Tegyük fel a t o v á b b i a k b a n , hogy m i n d e n j - r e Cp<j<n> t e l j e s ü l a C3). Ezt é s a s o r o z a t o k d e f i n í c i ó i t f e l h a s z n á l v a C k ü l ö n ö s e n f i g y e l v e a z y s o r o z a t k e z d ő é r t é k e i r e ) a p + 1 5 n<2p e s e t b e n

n - p - 1

G =

„ *

.

n-p-1

= 2 V

t=i

Y + 5 y . • D,

n-t 'n-t i * I A, «Y ,+D i

t n-t n t = n - p

p n-p-1 n-t

= 5 A *Y + 5 5 A • y . • D. + D

^ t n-t l 7n - t +p-i i n

1=1 l = 1 v =p• 1 n-i n-p-1

= Y + 2 5 A * y , A . *D. + D = n t 'n-t+p-v i n

l =p +1 1=1 n - 1 p

= Y + 5 2 A, 'y , A -D. + D = n l ' n - t + p - i v n

i =p 1 t = 1

= Y + 5 v *D. +y * D = Y + 5 y • 'D.

n n •»• p -1 t 1 p n n ' n + p -1 i

L =p + 1 i = p + i

adódik.

Ha n 2: 2p, a k k o r h a s o n l ó á t a l a k í t á s o k a t v é g e z h e t ü n k :

P P

G = I A, *G ,+D = $ Af •

n t n - t n L 1=1 t=1

n - l

n - t 7 n - t + p - L i i = p + 1

+ D =

p n - t

= Y + I 5 A ,*y ' *D. +D = n t n - l + p - t L n

1 = 1 i = p + 1 n - 1 p

= Y + 2 5 A,'y ( 1 . ' D . + D = n *• l ' n - t + p - i v n

i = p + 1 t = l

= Y + 2 y . * D.

i = p + l

mivel yp =l - Ezzel a t e l j e s i n d u k c i ó g o n d o l a t m e n e t e s z e r i n t az á l l í t á s b e b i z o n y í t o t t u k .

A 2. 2. T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : L e g y e n f ^ x ) = [] ( x - x . ) 1k , ahol t -1

x1 >. . . , xl z é r u s t ó l k ü l ö n b ö z ő k o m p l e x s z á m o k , k , . . .fkt pedig olyan p o z i t í v e g é s z e k , a m e l y e k ö s s z e g e r. H i n t ahogy láttuk, ekkor D^ egy e x p l i c i t alakja

t

( 5 ) D = J p . ( n ) ' xn , n L i '

i = í

ahol p ^ C n ) k^-1 ed fokú k o m p l e x e g y ü t t h a t ó s polinom.

L e g y e n z egy t e t s z ő l e g e s s z á m s o r o z a t , s d e f i n i á l j u k a k ö v e t k e z ő d i f f e r e n c i a o p e r á t o r o k a t :

F (z ) = z —x. z X j n n + 1 j n Fk (z ) = F ír k "1 (z ) 1

x . n x . I y . n J J V J )

ahol k>l pozitív e g é s z é s F Cz ) = F (z >

x . n x . n J J

A l k a l m a z z u k ezeket az C5> - b e l i ö s s z e g r e , m a j d a n n a k i.

tagjára:

F CD ) = F y , n x .

) )

5 p . ( n ) ' xn

Li = I

= 5 p . C n + 1 5 - x ^1 -

— x

t t i 5 pt <n> *x" - 2 F f p . O O - x " )

i =í i =1 J

i l l e t v e

F fp. C n ) * x r l • p. (n+l> ' x P ^ - x • p. C n > * x P = t J I J l «•

*x?*l=> q. C n > • x T *1

v i

x.

p. ( n + 1 ) - -r1- P C n ) x. v

a d ó d i k , ahol q ^ C n ) f o k s z á m a k.-l, ha i*j; h a i==J é s k.*l; ha p e d i g k ^ l , a z a z p ^ C n ) k o n s t a n s é s i=j, a k k o r

k

i

q . C n ) = 0 . Ez azt j e l e n t i , h o g y ha D - r e a l k a l m a z z u k F * - e t ,

V n x j

m a j d a kapott k i f e j e z é s r e F - ő t , ... s végül a t-1 - e d i k

2

k.

l é p é s b e n k a p o t t k i f e j e z é s r e a F o p e r a t o r t , a k k o r z é r u s t k a p u n k , azaz

i

n r

(D ) = 0.

n

U g y a n a k k o r C D - b ő l Dn « Gn - 2 Ai. *G,,-i h a n >P > t e h á t

i = 1

(65

n «v

i =1

0 ,

ami azt jelenti, hogy a G e l e m e i k i e l é g í t i k e z t a p+r - e d r e n d ű r e k u r z i ó t .

x.

G - 5 A. 'G n t n-i

i =1

=G - 5 A. 'Q A - x . *G -»-x. * 5 A *G

1 ^ v n * 1 j J v n-i

i =1

p-l

= 0 +n + 1 L * ) ) n l * * J J P 2 fx. A. -A. . +X. n - p

ahol az e g y ü t t h a t ó k r e n d r e m e g e g y e z n e k az P

cx-x.y

i xp- 5 A. x 1=1

P-«- Cx-x ) iyC x )

p o l i n o m e g y ü t t h a t ó i v a l . Innen é s a ( 6 ) — b ó l m á r k ö v e t k e z i k , hogy a ( 6 ) — b e l i r e k u r z i ó n a k m e g f e l e l ő k a r a k t e r i s z t i k u s f ü g g v é n y

1

r

raC x : > = n [x _ xj J j = fD( x ) - fYc x ) . j =i

A 3. T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : E l ő s z ö r b e l á t j u k , hogy a z At, A2, . . . , Ap k o n s t a n s o k k a l , ^ « V Y 2 = Q2 Y P = G P

k e z d ő é r t é k e k k e l m e g h a t á r o z o t t Y s o r o z a t m i n d e n e l e m é r e t e l j e s ü l az

C 7 ) Y = J G. *Y n i n, v

i. = 1

e g y e n l ő s é g .

Ha 1 5 n ^ p a k k o r

Y = J fl, 'Y . = G * Y = G . n K n,i n n, n n

I =1

T e g y ü k fel, hogy m i n d e n j—x*e, ahol 1 5 j < n é s p < n t e l j e s ü l (7). Ezt é s az Y e l ő á l l í t á s á t f e l h a s z n á l v a

P P P

Y = 5 A. • Y . = 5 A. 5 G. • Y . . = n j n - j j v n-j , i

j =1 j =1 1=1

P P P

= 5 G. 5 A. Y . = 5 G. • Y . i. j n - j . i t , i.

1=1 j = 1 i. = 1

a d ó d i k , s így a t e l j e s i n d u k c i ó g o n d o l a t m e n e t e a l a p j á n i g a z o l t u k , hogy ( 7 ) m i n d e n n p o z i t i v e g é s z r e t e l j e s ü l .

C7)-et é s a létei f e l t é t e l e i t f e l h a s z n á l v a , az 1. T é t e l b ő l n p n

G = Y + 5 y . 'D = 2 G *Y •a • 2 y . =

i = p * l i. =1 i =p + i

P

= 2

Ezzel az á l l í t á s t b e b i z o n y í t o t t u k .

IRODALOM

tll P e t e r K.J. Ä s v e l d , Ä F a m i l y of F i b o n a c c i - L i k e s e q u e n c e s . F i b o n a c c i Q u a r t . 23, No. 1 C1987), 8 1 - 8 3 .

[21 P e t e r R.J. A s v e l d , A n o t h e r Family o f F i b o n a c c i - L i k e s e q u e n c e s , F i b o n a c c i Q u a r t . 23, No. 4 <1987}, 361-3(54.

C31 M a r j o r i e B i c k n e l 1 - J o h n s o n and G e r a l d E. B e r g u m , T h e g e n e r a l i z e d F i b o n a c c i N u m b e r s , A p p l i c a t i o n s of F i b o n a c c i n u m b e r s Ced. by A.N. P h i l i p o u et al), K l u w e r Acad. P u b l . , < 1 9 8 8 } , 193-203.

C4] M . D ' Ocagne, M é m o i r e s u r l e s s u i t e s r é c u r r e n t e s

J o u r n a l de l ' e c o l e p o l y t e c h n i q u e , 6 4 C1884), 1 5 1 - 2 2 4 .