A matematika tanítása a norvég középiskolákban

(1)

ACTA P A E D A G O G I C A F E N N I C A Kasvatus-Opillinen Aikakauskirja. Szer-

keszti Alatti Koskenniemi. Helsinki.

A m i Magyar Pedagógiánkkal nagyjában egyező célú negyedévi pedagógiai folyóirat utolsó két évfolyamát tekintettük át. Össze- hasonlítás céljából közöljük a megjelent tanul- m á n y o k címét:

1964

1. szám : Kari Bruhn 70-ik születésnapjára kiadott ünnepi szám. Gösta Cavonius : Az isko- lától elhanyagolt szó-vak (diszlexiában szen- vedő) gyermekek; A . Grue—Sörensen : A neve- lés és a modern filozófia; Jan Gastrin : Galton, Freud és a szabad asszociációk; Vainö Heik- kinen: Motívum, érdeklődés és beállítottság;

Torslen Hűsen : A holnap iskolájának okta- tási módszerei és igazgatása; Matti Kosken- niemi: Fiatal elemi iskolai tanítók nézetei egyes didaktikai elvekről; Arvo Lehtovaara : A finn pszichológiai terminológia a tizenkilen- cedik század második felében; Matti Sairio : Elemi iskolai tanítók mentesítése a képesítés alól; Johs. Sandven : Biztonságérzés és teljesítmény; 1 Vilhelm Sjöstrand : Megjegy- zések Herbart filozófiájáról; Urho Somerkivi : E g y véletlen az iskolaépítés történetében;

Gunnar Stadius : Herbart Redivivus; Inkeri Vikainen : Együttlátás és strukturális funk- ciók a történelemben.

2. szám : Urpo Harva : A nevelés idealisz- tikus céljai; Kullervo Sartes : Eltérések közép- iskolai művészeti osztályok művészettörténeti tanulmányaiban; Pertii Toukomaa : Alkotó képesség és felismerése az iskolai munkában.

3. szám : Urpo Harva : "Az etika közép- iskolai tanítása; Erkki Lahdes : A pedagógus- képzés helyzete a pedagógusképző intézmé-

A M A T E M A T I K A TANÍTÁSA A 1965 nyarán turistaként jártamaSkandináv- államokban. Utazásom folyamán a legtöbb időt Norvégiában töltöttem, végig utaztam ezen az országon a déli partoktól Nordkappig.

A sok természeti szépség a felejthetetlen szép- ségű fjordok megtekintése mellett iskolákat is látogattam. Tájékozódtam a norvég iskolarendszer felől. Ezen belül elsősorban a matematika oktatása érdekelt, ezzel kapcsolatos tapasztalataimról szeretnék beszámolni e cikk keretében.

A norvég gyermekek hét éves korukban kezdik az iskolát és kilenc éves kötelező okta- tásban vesznek részt. A kilenc évfolyamú iskolát „egységes iskolának" (enhetsskole) vagy más néven „népiskolának" (folkeskole)

nyekben; Leena Vaahtoranla : A jelenlegi korlátozott felvétel a felső középiskolába és a későbbi iskolai teljesítmény; Urho Somerkivi : A pedagógus ellátottság az elemi iskolákban 1963-ban; Olavi Isokallio : A szakiskolai tanárképzés Finnországban.

4. szám : Alatti Koskenniemi : A nevelés- t u d o m á n y i kutatás szükséges előfeltételei;

A finn Pedagógiai Társaság működése 1954-től 1962-ig; Paavo Alalinen : A kibernetika és a pedagógiai kutatás.

1965

1. szám : Alatti Koskenniemi : Egészben látás, mentesség az előítéletektől és didaktikai kísérlet; 0. K. Kyöstiö : Az egységes pedagó- gusképzés igénye; Peep Kort : A szubjekti- vitás a vizsgáztatásban; Urho Somerkivi : A z ú j megalapozó iskola és a pedagógusképzés.

2. szám : .Váinö Heikkinen : Politikusok, kutatók és gyermekek; Olli Sipinen : A vi- szonylagos teljesítmény vizsgálata az iskolában;

Kaisa Halinen : Szak- és segédkönyvek hasz- n á l a t á n a k megtanítása az elemi iskolában;

Erkki lahdes : Az általános didaktikai elvek jelentésének elemzése.

3. szám : Olli Sipinen : A testi fenyítékről;

Eero Viitaniemi : A z olvasási teszt prognosz- tikus értéke a középiskolai felvételi vizsgán;

Kaarlo A1 ultimaki : Tapasztalatok a pálya- választás segítése köréből; Paavo Paivansalo : A rend a középiskolákban.

4. szám : 0. K. Kyöstiö : Iskolák és iskolarendszer; Saul B. Robinsohn : Tézisek a pedagógusképzéshez; Kaarlo Hakama : Isko- lás t a n u l ó k különleges képességei."

Kiss Á R P Á D /

N O R V É G K Ö Z É P I S K O L Á K B A N

nevezik. E z az iskola két részre tagozódik.

A h a t éves „gyermekiskolára" (barneskole) a három éves.„ifjúsági iskola" (ungdomsskole) épül. A „gyermekiskola" első h á r o m osztályá- b a n évenként 38 héten á t heti 15 órában norvég nyelvet, számolást, vallást, lakóhely- ismeretet, éneket, írást, rajzolást és k é z i m u n k á t tanulnak. A számolás m i n d h á r o m osztályban heti 3 órás tantárgy. A negyedik, ötödik, és h a t o d i k osztályban pedig heti 30 órában, szintén évenként 38 héten á t folyik az oktatás.

I t t az első három osztály tantárgyaiból elmarad a lakóhelyismeret, a megmaradottakhoz pedig m i n t ú j tantárgyak kapcsolódnak a történelem, társadalomismeret, földrajz, természettudo- m á n y o k és az ötödik osztálytól kezdve az 234'

(2)

angol nyelv. A matematika oktatása ezen osztályokban heti 4, ill. 3,5 órában történik.1

A „gyermekiskola" u t á n következő „ifjúsági iskolában" évi 38 héten át 36 órás oktatás folyik. Az „ifjúsági iskola" hetedik és nyolcadik osztályában még m i n d e n gyermek számára azonos a tananyag. A kilencedik osztályra nézve azonban m á r többféle lehetőség van.

A következő szakok léteznek: általános, halászati és hajózási, kereskedő és felszolgáló, lakóhelyismereti, mezőgazdasági és műhely szak. Ez természetesen nem azt jelenti, hogy minden iskolában minden szak megvan. Azt, hogy milyen irányú osztályok vannak, az iskola helyzete (városi, falusi, tengerparti, ipari vagy mezőgazdasági vidéken fekvő) határozza meg. A z előírt heti 36 órából 16 óra az, amelyik mindegyik irányzatnál egyformán kötelező.

Ezen 16 órában a következő tantárgyakat oktatják: norvég nyelv, vallás, társadalom- ismeret, biológia, kémia, zene, testgyakorlás, rajz és kézimunka. A t ö b b i 20 óra felhaszná- lását pedig m á r a kilencedik osztály szakjellege határozza meg. A matematika óraszáma a hetedik és nyolcadik osztályban hetenként 4, ill. 5. A kilencedik osztály matematika oktatása m á r nem egyöntetű a legtöbb óraj számmal (heti 5 óra) és a legkomolyabb tan- anyaggal e tárgy az általános szaknál szerepel ([l],2 18—21. oldal). .

A kilenc évfolyamú „egységes iskola"

matematikai tananyaga kisebb' eltérésektől eltekintve ugyanaz, m i n t a m i általános isko- lánké. K o m o l y súlyt helyeznek a gyakorlati feladatok oktatására, m i n t pl.: vegyítési és ötvözési problémák, kamat- és valutaszámítás, egyenletek és függvények felhasználása a műszaki és természettudományok, köréből vett feladatoknál ([1], 89—122. oldal).

Azt a kérdést, hogy a nyolcadik osztály elvégzése u t á n milyen szakó kilencedik osz- tályba lép a tanuló, a szülők és a nevelők beszélik meg a tanuló képességei és az előző évek teljesítményei, vizsgái alapján. Az álta- lános szakot végzik mindazok, akik tovább szándékoznak tanulni gimnáziumban vagy technikumban.

A gimnáziumokon és a technikumokon kívül még különböző továbbképző iskolák, szaktanfolyamok is v a n n a k Norvégiában.

Azonban az ezekben folyó oktatásról részlete- sebben nem tájékozódtam, mivel elsősorban azon oktatási formák iránt érdeklődtem, amelyek egyetemi és főiskolai tanulmányokra is előkészítenek.

Most először a gimnáziumok fajtáit és az ott tanított matematikai anyagot ismertetem,

1 Város i iskolákban általában lieli 4 órában, falusi iskolákban pedig leginkább heti 3,5 órában folyik a matematika oktatása. Ahol ezen tárgy oktatása 3,5 órás ott a 0,5 óra a 2 órás vallás oktatást emeli fel 2,5-re.

m a j d a technikumokra vonatkozóan adok hasonló ismertetést.

A gimnáziumi oktatás három éves, a tanítás heti 36 órában folyik, és öt féle gimnázium van.3 [2j:

I . reál

I I . természettudomány-szakos

ív.'}

n

y

elvi

ktfn

1

} -

s z a k o s V. közgazdasági gimnázium

Ezen gimnáziumi irányzatokat tanulmá- nyozva a következőket tapasztaljuk:

I. A

reálgimnáziumhan

a három év blatti összóraszámnak 38,88%-a a reáltárgyak óra- számából adódik. Az itt tanított tantárgyak között a matematika a legmagasabb heti óraszámú (6, 5, 7), a második és harmadik osztályban pedig még egy-egy óra ábrázoló geometria is van. A matematika és ábrázoló geometria óraszáma 18,52,°/0-át adja a három év alatti összóraszámnak. A matematika - u t á n a legnagyobb óraszámmal a fizika követ- kezik (0, 6, 6). Az idegen nyelveket (német, angol, francia) is igen magas óraszámban tanítják. Az ezekre fordított óraszám a bárom év alatti összóraszámnak 21,29°/0-a. A reál- tárgyak és az idegen nyelvek oktatása mellett fentmaradó órakeretben pedig norvég "nyelvet, vallást, törtónebnet és társadalomismeretet, testgyakorlást (igen magas óraszámban 3, 4, 4) és éneket tanítanak [2],

A reálgimnáziumban tanított matematikai tárgykörök:

1, elemi algebra valós számokra, 2, az infinitezimális számítás elemei, 3, elemi síkgeometria és síktrigonometria, 4, elemi térgeometria,

5, az analitikus síkgeometria elemei.

E tárgykörök osztályonkénti felbontása a következő: <

I. osztály:Bevezetés a feladatmegoldásokba.

Bevezetés az algebrába. Síkgeo- metria.

I I . osztály: Trigonometria. Térgeometria. Al- gebra. Az analitikus geometria alapjai.

I I I . osztály: Az analitikus geometria folytatása.

Az algebra befejezése. Infinitézi- mális szárpítás. Ismétlés.

Az oktatás folyamán a kilencéves népiskola anyagára alapoznak. TantervBkövetelmény az előírt anyag elméleti ismereteinek alapos fel-

2 A szögletes zárójelbe tett számok a cikk végén .található forrásokra utalnak.

8 Illetve létezik még néhány ún. „norronline"

gimnázium is. Ezen gimnáziumi irányzat speciális tan- tárgyai: az ónorvég .nyelv és a néprajz.

(3)

dolgozása és begyakorlása elméleti és gyakorlati jellegű feladatokon. H a az előírt anyagot összehasonlítjuk a m i 1965 májusában meg- , jelent ú j tantervünkkel, bizonyos eltéréseket

lapasztalunk. Ezen eltérések az egyes téma- köröknél különböző irányúak és fajtájúak, i ,,Az infinitézimális számítás elemei" tárgy-

körrel kapcsolatosan az eltérés m á r a témakör előkészítésénél jelentkezik. A norvég tantervi utasítás szerint az infinitezimális számítás alapjai szervesen bedolgozandók az algebrai részbe. Ennek megfelelően már az algebra

n keretén belül vizsgálják az Qn és az / Q kifeje- zéseket, ha n minden határon túloő. A függ- vényekről tanultakkal kapcsolatosan pedig a függvény Jogalma, ábrázolása és néhány egyszerűbb függvény részletes vizsgálata u t á n a határértéket és folytonosságot is definiálják.

Az előírás szerint tehát a differenciál-ésintcgrál- számítási résznél a tanulókat mindenekelőtt

be kell vezetni az infinitézimális gondolkodás- m ó d b a , meg kell ismertetni őket a határérték

fogalmával. Maga a differenciálszámítás téma- köre is bővebb anyagot tartalmaz, m i n t a m i tantervűink, egyrészt több függvény (az összes trigonometrikus függvények, az exponenciális és logaritmikus függvény) differenciálhánya- dosát veszik, másrészt az alkalmazási teriilet is kiterjedtebb (konvex,konkáv szakasz, inflexiós pont meghatározása). Továbbá értelmezik a'dif- ferenciál fogalmát és ezt alkalmazzák a hiba- számításnál.

„Az analitikus síkgcoinelria elemei" téma- körnél a norvég tantervekben szerepel a kör, parabola, ellipszis és hiperbola részletes tár- gyalása, továbbá ezen görbék közös definíciója a vezéregyenes és gyújtópont segítségével.

E témakör anyagéit végül a másodfokú kétis- meretlenes egyenlet vizsgálatával zárják.

Az eddig még nem említett témaköröknél is van bizonybs eltérés a m i tantervünkhöz viszonyítva. A norvég iskolákban tananyag a három és többismeretlenes lineáris egyenletrendszer és a másodfokú kétismerctlenes egyenletrendszer tárgyalása, az n-ed fokú egyenletnél a gyöktényezős felbontás alapté-

tele és ennek következményeként a gyökök és együtthatók közötti összefüggés, NEWTON binomiális tétele, a másodrendű számtani baladvány, kamatos k a m a t és járadékszámítás, a tangens tétel és néhány nálunk nem tárgyalt trigonometriai összefüggés.

Az eddig említett anyagrészek vagy egyál- talán nem, vagy csak utalás formájában szerepelnek a részemről összehasonlítás alap- j á u l felhasznált tantervünkben. A sík- és tér- geometriai résznél szintén v a n az eddigiekhez hasonló eltérés (szabályos ötszög szerkesztése, térgeometriából a szabályos poliéderek, alaposan csak a tetraédert, kockát és oktaédert veszik, és a gömb részei). Azonban itt a főkii- lönbség m á r az, hogy a m i tantervünkben

szereplő síkgeometriai anyag tárgyalása rész- letesebb, bővebb és más szempontú. Pl. a m i tárgyalásunk ' során fontos szerepet v i v ő transzformációk nem szerepelnek a norvég tantervekben. Ugyanez a helyzet a geometriai feladatok koordináta geometriai módszerrel való megoldásával kapcsolatosan is. A vektor fogalma és a vele összefüggő tárgyalás szintén csak a m i tantervünkben szerepel. Hasonlóan nem tananyag a norvég g i m n á z i u m o k b a n a kombinatorika és a valószínűségszámítás elemei.

A tantervi utasítás szerint m i n d h á r o m osz- tályban rendszeresen kell adni házi feladatot.

Továbbá el kell érni, hogy a t a n u l ó k biztosan t u d j á k kezelni a matematikai jelöléseket és meglássák, megértsék e jelölések jelentőségót.

A geometriai szerkesztési feladatoknál súlyt helyeznek a megoldhatóság feltételeinek kutatására is. A térgeometriai oktatást pedig ú g y tekintik, m i n t ami kapcsolatos az ábrázoló geometria oktatásával, m i n t h o g y i t t lehet segítséget adni a tanulóknak a térlátáshoz.

Fontosnak t a r t j á k , hogy a tanulók tökéletesen t u d j á k használni a logaritmustáblát és az

„ , . 1000 . ; . . . . n-, n y f n . pn es -re vonatkozo tabla-

11 zatokat n = 1000-ig.

A I I I . évfolyam végén v a n az "érettségi vizsga (studenteksamen). M a t e m a t i k á b ó l írás- beli és szóbeli vizsgát tesznek a t a n u l ó k . A vizsgakövetelmény előírása szerint az írás- beli vizsgán három vagy négy feladatot kell megoldani az /érettségizendő knek. A feladatokat központilag, Oslóból küldik, és az ország összes gimnáziumaiban azonosak. A z előírás szerint a feladatok t é m á j a nem lehet speciális elméleti anvag. E z e n k í v ü l egy feladat az ábrá- zoló geometriából is van. A szóbeli vizsgán azt kell bizonyítani a vizsgázóknak, hogy t u d j á k azt az anyagot, ami az oktatási tervben cs a tankönyvekben szerepel [3].

I I . A természettudomány-szakos gimnázium

•egészén ú j , m o n d j á k kémia- és biológia-szakos g i m n á z i u m n a k is, mivel itt különösen e két tárgy oktatása igen magas óraszámban tör- ténik. A három é v , alatt 17 órát (15,74%) tesz ki e két tárgy oktatására fordított heti óraszám. A fizika bárom év alatti összóra- száma ugyanaz m i n t a r e á l g i m n á z i u m b a n , csak más az évenkénti elosztása. A reálgimná- zium u t á n i t t o k t a t j á k a m a t e m a t i k á t a legmagasabb óraszámban (4, 5,1 5; 12,96%).

A z idegen nyelvek és az említetteken k í v ü l i t ö b b i tárgyak oktatása u g y a n ú g y és ugyan- olyan óraszámban történik, m i n t a reálgimná- ziumban. Egyedüli eltérés az, hogy az idegen nyelvek 3 év alatti összóraszáma a természet- tudomány-szakos gimnáziumban 4-gyel alacsonyabb, m i n t a reálgimnáziumban [2],

A matematika-oktatás területén a reál- gimnázium oktatásához képest főkülönbség az, hogy az analitikus geometriából kevesebb

(4)

anyagot vesznek, és a differenciál és integrál- számításnál is csak a legszükségesebb alapok tárgyalására szorítkoznak.

- I I I . Nyelvi (angol szakos) gimnázium.. A ne- véből is sejteni lehet, hogy a főtantárgy itt az angol nyelv. A heti óraszám e tárgynál (5, 7, 8), és a másik két idegen nyelv (német, francia) oktatása is lényegesen magasabb óra- számban történik itt, m i n t a többi gimnázium- ban. A z idegen nyelvek 3 év alatti heti össz- óraszáma 45 (41,66%). A reáltárgyak heti ös§zóraszáma a 3 év alatt 20 (18,52%). Fizikát egyik osztályban sem tanulnak, a matematika óraszáma pedig (4, 5, 0; 8,33%). A nem emlí- tett többi tantárgyak (norvég nyelv, vallás, történelem, társadalomismeret, testgyakorlás és ének) oktatása ugyanaz, m i n t a reál vagy a természettudomány-szakos gimnáziumban[2 j.

IV. Nyelvi (lalin szakos) gimnázium. I t t a központi tárgy a latin nyelv 6, 8, 9 heti óra- számmal, amely 21,99%-a a három év alatti összóraszámnak. Az élő idegen nyelvek okta- tása valamivel magasabb óraszámban történik i t t (a három év alatt heti 3 órával több), mint a természettudomány-szakos gimnázium- ban, de lényegesen alacsonyabb óraszámmal mint az angol-szakos gimnáziumban. A három élő idegen nyelv három év alatti heti összóra- száma 22 (20,37%). A reáltárgyak és a t ö b b i tárgyak oktatása a két nyelvi (angol-és latin- szakos) gimnáziumnál teljesen azonos. V a n néhány olyan gimnázium is a nyelvi (latin- szakos) gimnázium keretében, ahol a görög nyelvet is tanítják, mégpedig a második és harmadik osztályban heti 6—6 órában. E m i a t t módosul ezen gimnáziumokban a többi tan- tárgyak óraszáma, ami a reáltárgyaknál azt jelenti, hogy a bárom év alatti heti összóra- szám 18-ra csökken le a matematika óraszámá- nak változtatása nélkül [2],

A matematikát a nyelvi (angol- és latin- szakos) gimnáziumban alacsony óraszámban oktatják, ui. figyelembe veszik azt, hogy itt a tanulók főérdeklődése a h u m á n tárgyak felé irányul. Ezért nem t u d n a k eléggé elmélyedni az oktatás folyamán az absztrakt matematikai elméletben. Áz elméleti anyag, amelyet a tanulók elsajátítanak, erősen korlátozott.

Azon anyagrészeket, amelyeEnagyobb matematikai érettséget és t ö b b időt követelnek, m i n t amivel i t t a t a n u l ó k rendelkeznek, csak utalás formájában tárgyalják.

A nyelvi gimnáziumokban három témakör tárgyalására kerül sor: algebra, geometria és gyakorlati számítás. Ezen témakörök tananyaga főbb vonásaiban:

• Algebra. Empirikusan adott függvények grafikus ábrázolása (a közgazdaságtanból véve a feladatokat). Interpoláció. Az ax, ax -f- b, - A és ——|-b függvények közelebbi vizsgálata. (Nem t a r t j á k szükségesnek a függ- vény határértékének és folytonosságának tár-

gyalását, de előírás az értelmezési tartomány- nak és értékkészletnek konkrét feladatok esetében történő meghatározása. A függvé- nyekre a gyakorlati példákat a termeléssel kapcsolatos területekről és a fizikából veszik.) A függvényben szereplő konstansok meghatá- rozása argumentumok és a hozzájuk tartozó függvényértékek segítségével. Olyan feladatok grafikus megoldása, amelyek algebrai eszköz- zel nem oldhatók meg.

Elsőfokú egyenlet. A kétismeretlenes lineá- ris egyenletrendszer elmélete, kapcsolatban a grafikus ábrázolással. (Nem tárgyalják a lineáris egyenletrendszereket betűegyiittbatók- kal.) Másodfokú egyenlet (valós gyökökkel).

Másodfokú egyenletnél a gyökök összegére és szorzatára vonatkozó tétel. Kétismeretlenes egyenletrendszer, amelynél az egyik egyenlet első, a másik másodfokú. (Nem tárgyalják a másodfokúra redukálható negyedfokú egyenleteket és az irracionális egyenleteket sem.)

Másodfokú függvény (ábrázolva is) és ezeknél a m a x i m u m és m i n i m u m meghatá- rozása. Egyszerű egyenlőtlenségek és kapcso- latuk a grafikus ábrázolással.

Hatványozás és gyökvonás. Gyökkifeje-.

zések egyszerűsítése. Irracionális , számok.

Exponenciális és logaritmusfüggvény. Briggs- féle logaritmus és alkalmazása egyszerűbb feladatokra.

Számtani és mértani sor. (Végtelen mértani sor ném.) K a m a t és járadékszámítás. A jára- dékszámítás különböző alkalmazásai. Kölcsön- törlesztés és a vele kapcsolatos különféle számítások. (A járadéktáblázat használata nélkül is megkövetelik a feladatok megoldását.)

G e o m e t r i.a. Kerületi szögek. Szerkesz- tési feladatok. Geometriai helyek. Egybevágó- ság. (Tételek két háromszög egybevágóságára.

Sokszögek egybevágósága.)

A. hasonlóság fogalma." Negyedik arányos . szerkesztése, távolság adott arányú részekre osztása. A háromszög nevezetes vonalai és pontjai. Arányos távolságok a derékszögű háromszögben.

A sinus, Cosinus és tangens szögfüggvény értelmezése begyesszögre. Alkalmazási terület:

derékszögű és egyenlőszárú háromszögek és szabályos sokszögek. (Nem t a r t j á k szükséges- nek a logaritmus táblázat használatát a trigonometrikus függvényekre).

Gyakorlati számítás. Közelítő számítás.

Továbbá a termelés, kereskedelem, bank, bizto- sítás, adó, kötvény stb. területével kapcsolatos feladatok.

A nyelvi gimnáziumban szintén lényegesnek tartják a feladatokat, amelyek hozzásegítik a tanulókat az anyag jobb megértéséhez. Előírás mindegyik osztályban házi feladat adása is.

A tárgyalásra előírt anyagnál kiemelt terület a grafikus ábrázolás. Az utasítás alapján alaposan foglalkozni kell ezen ..'témakörrel, főként a táblázatok vagy képletek alapján

237.

(5)

készített műszaki diagrammokkal. Érteniük kell a kész műszaki diagrammok leolvasásához is. ,

A harmadik év végén szintén érettségi vizsga v a n (írásbeli és szóbeli is matematiká- ból). Ezen vizsgára vonatkozó előírás hasonló a reálgimnáziumra érvényes érettségi utasí- táshoz [4 ].

V. Közgazdasági gimnázium. E z is egészen új típusú gimnázium. A z j t t folyó oktatásra jellemző egyrészt az idegen nyelvek (német, angol, francia) magas óraszáma, másrészt a gimnázium szakjellegéből adódóan a . jog, közgazdaságtan, üzemgazdaságtan és gépírás tanítása. Az idegen nyelvek bárom év alatti heti összóraszáma.30 (27,77%). A szaktárgyak oktatásának mutatószáma is ugyanez. Ezen- kívül szabadon választható tantárgyként szerepel a gyorsírás és a spanyol nyelv. A reál- tárgyak három év alatti heti összóraszáma 21 (19,44%) és ebből 11 (6, 5, 0; 10/19%) esik a matematikára. A fentmaradó órakeret- ben pedig norvég nyelv, történelem és test- nevelés oktatása történik ([5], 7. oldal).

A matematika oktatásának célja hármas ([5], 52. oldal):

1. a diákok ismerjék meg az algebra és a függvénytan fontos fogalmait és módszereit, 2. Szerezzenek készséget a numerikus szá- molásban,

3. nyerjenek bepillantást a matematikai alkalmazásokba, az ehhez szükséges anyagot főként az üzemgazdaságtanból és a közgazda- ságtanból véve.

A közgazdasági gimnázium matematikai anyagát ú g y t u d o m legkönnyebben ismertetni, ha a m á r részletesen tárgyalt nyelvi gimnázium anyagához viszonyítom. A nyelvi gimnáziu- m o k n á l előírt algebrai anyagrész szinte hiány- talanul, a geometriai anyagrészből viszont csak a trigonometriai függvények kerülnek tárgyalásra a közgazdasági gimnáziumban.

A nem tárgyalt geometriai anyagrész helyett a függvényekről tanulnak többet, ugyanis a közgazdasági gimnáziumban tananyag még:

a racionális egész függvények rövid tárgyalása, a differenciálhányados fogalma és alkalmazása m a x i m u m és m i n i m ü m számítási problémákra, görbe diszkusszió és alkalmazása különösen az üzemgazdaságtanból vett feladatoknál. Továbbá szerepel még a tananyagban a korreláció számítás, a végtelen geometriai sor, a kamatos kamatszámítás és a számtáblázatok alkalma- zása. A közgazdasági gimnáziumban használt táblázatgyűjtemény' a logaritmus és szög- függvény táblázaton kívül tartalmazza az

„ , 4000 . „ . . . nz, n3, \n, f i i e s ertekemek szamitasara

n

vonatkozó táblázatot, a kamat és járadék- táblázatot, az angol pénzre, mértékre és- súlyra vonatkozó, továbbá a különböző gazda- sági számításokhoz szükséges táblázatokat.

A tanult elméleti anyagot igen széles körűen alkalmazzák gyakorlati problémák megoldá- sára. A z utasítás szerint a felhasznált feladat- készlet olyan legyen, hogy a tanulok meg4

lássák belőle a matematika alkalmazását a különböző gazdasági diszciplínáknál ([51, 52—55. oldal).

Ezen öt gimnáziumi irányzat bármelyi- kének elvégzése és a studenteksamen sikeres letétele u t á n általában t o v á b b t a n u l n a k az i t t végző diákok. T a n u l m á n y a i k a t leginkább a végzett gimnáziumi irányzaLnak megfelelő egyetemi fakultáson vagy főiskolán folytatják.

Azok, akik a reálgimnáziumot végezték az egyetemek Matematikai és Természel t u d o m á n y i K a r á n és az Orvostudományi K a r o n v a g y a Műszaki Főiskolán folytathatják tanulmá- nyaikat minden további nélkül. A természet- tudomány-szakos gimnázium végzettjei pedig az egyetemek Matematikai és Természettudo- m á n y i K a r á n és az Orvostudományi K a r o n vagy a Mezőgazdasági Főiskolán t a n u l n a k általában tovább. A nyelvi g i m n á z i u m vég- zettjei Bölcsészkarra, ül. a latin t a g o z a t ó gimnázium végzettjei még Teológiai Fakul- tásra is beiratkozhatnak. A közgazdasági g i m n á z i u m b a n érettségizettek pedig a Keres- kedelmi Főiskolán.vagy a Közgazdasági Fakul- táson t a n u l n a k tovább. H a v a l a k i m á s i r á n y ú egyetemi vagy főiskolai t a n u l m á n y o k a t ó h a j t folytatni, m i n t amilyen irányú g i m n á z i u m o t végzett, erre is v a n lehetőség, csak ekkor előzetesen kiegészítő vizsgát kell tennie.

Az egyetemekre, főiskolákra felvételi vizsga nélkül lehet beiratkozni. H a azonban egyes szakokon t ó i sok az első éves hallgató, vagyis t ö b b m i n t amennyit az egyetem kapacitása az ülető szakból elbír, akkor egy bizonyos idő eltelte u t á n selejtező vizsgát t a r t a n a k .

A gimnáziumok mellett-a műszaki iskolák, technikumok (tekniske skole-ek) még azok az iskolák, amelyeknek befejezése u t á n lehet főiskolai t a n u l m á n y o k a t folytatni a M ű s z a k i Főiskolán. A hároméves képzést n y ú j t ó techni- k u m o k b a a 9 évfolyamú egységes iskola elvég- zése és egy év gyakorlati m u n k a u t á n iratkoz- h a t n a k be a tanulók. Igen sokféle t e c h n i k u m van (pl.: építőipari, gépipari, elektromosság- tani, vegyipari, élelmiszeripari stb.).

A technikumokban az oktatás 6 féléven á t lieti 38 órában folyik, a 6 félév heti összóra- száma 228. A legtöbb i t t t a n í t o t t t a n t á r g y alapozó reáltárgy, ill. szaktárgy. A t a n u l ó k i t t a reál- és szaktárgyakon kívül m é g a norvég nyelvet t a n u l j á k , az első négy félévben össze- sen. heti 14 órában, a német nyelvet az első ós második félévben összesen heti 8 órában, az angol nyelvet pedig a h a r m a d i k és negyedik félévben szintén összesen heti 8 órá- ban. Matematika oktatás az első, második, h a r m a d i k és negyedik félévben v a n , ösz- szesen .heti 28 óra (12,28%). A z ábrázoló geometria az első. és második félévben összesen

238 I

(6)

heti 8, ill. 6 órában tanított tantárgy, a techni- kum szakjellegétől függően. A fizika oktatására fordított heti összóraszám 20. A kémia, mecha- nika óraszáma m á r egészen eltérő a különböző irányú szaktechnikumokban ([6], 4. oldal, és

[7], I I I . oldal).

A technikumok matematikai anyagának gerincét az analízis adja. A középiskolákban általában tárgyalásra kerülő többi tárgy- körökből elsősorban azon anyagrészek szerepelnek, amelyek szükségesek az analízis elemei- nek elsajátításához. Részletes függvénytani tárgyalás (az inverzfüggvény és az összetett függvény fogalma, síkgörbék , paraméteres előállítása, pölárkoordinátákkal adott függ- vény, függvény határértéke és folytonossága és az elemi függvények) előzi meg a differen- ciálhányados fogalmának bevezetését. A diffe- renciálszámítás alkalmazási köre sókkal kiterjedtebb, m i n t a reálgimnáziumban, pl. a ciklo- metrikus függvények deriválása, LAGRANGE- középértéktétele, TAYLOR-sor, L'HospiTAL-sza- bály, eg$" egyenlet többszörös gyökeinek meg- határozása, NEWTON-féle gyökközelítő módszer mind szereplő anyagrészek a technikumokban.

Az integrálszámítási rész is lényegesen bő- vebb, m i n t a reálgimnáziumban. Az integrálási eljárások közül tananyag a helyettesítéses és a parciális integrálás és a racionális törtfüggvé- nyek integrálása. A határozott integrált pedig terület, térfogat és ívhossz számításnál, továbbá ,fizikai feladatoknál alkalmazzák. Tárgyalják

a technikumokban a határozott ' integrál közelítő meghatározását (trapéz módszer, SnupsoN-sznbály) és a hatványsor deriválását és integrálását is. A differenciál egyenletek témakörből az elsőrendű szeparálható diffe- renciálegyenlet; homogén differenciálegyenlet és az elsőrendű közönséges differenciálegyenlet megoldását részletesen veszik. A magasabb rendű differenciálegyenleteket csak megem- lítik és a megoldásokat behelyettesítéssel ellenőrzik.

A gimnáziumi tananyag legfontosabb és az analízis fentebb említett részein kívül még az analitikus geometria az a témakör, amely elég részletesen kerül, tárgyalásra a technikumokban. Ezeken kívül még az egyenletekmegoldása is igen alaposan tárgyalt anyagrész, nemcsak azért, mert az exponenciális és a goniometriai egyenletek megoldásával is foglalkoznak, hanem azért is mert az algebrai egyenleteknél a komplex gyököt is megengedik, sőt meg- említik az aílgebra alaptételét is ([7], 2—8.

oldal).

A technikumok végzettjei az „ingenir eksamen" (amely írásbeli, szóbeli és gyakorlati vizsgából áll) sikeres letete után „ingenor"-ök lesznek. A Műszaki Főiskolák végzettjei a

„civil ingenor" címet viselik.

Utazásom során igen sok épülő új iskolát is láttam, amelyekkel kapcsolatosan megjegyez- ték, hogy az állam igen magas összegeket költ

iskolaépítésre. J á r t a m iis néhány ú j , modern iskolában, pl. a narviki gimnáziumban, amely néhány évvel ezelőtt épült. I t t nem osztályon- ként, hanem tantárgyanként v a n tanterem.

A tanteremben szak kézikönyvtár és szemlél- tető eszközök is vannak.. A tanterem mellett pedig közvetlenül laboratórium, azokhoz a tárgyakhoz, ahol erre szükség van.

Norvégia rendkívül ritkán lakott ország, a szétszórt, izolált települések jellemzőek rá.

Mindig nagy problémája volt az oktatás szer- vezése. Az utóbbi évtizedekben igen komoly- eredményeket értek el az oktatásügy vonalán.

Iskola és internátus építések, a tanulók ingye- nes szállítása, az oktatásnak a helyi viszonyok- hoz való alkalmazása m i n d olyan területei á- norvég oktatásügynek, amelynél az elért eredményekre joggal lehetnek büszkék ([8], 85. oldal).

Az oktatás javításán jelenleg is t o v á b b dolgoznak. A norvég oktatásügy most éppen a kísérletezés periódusában van. Kísérlet folyik a négyosztályú gimnázium és a műszaki gimnázium bevezetésére. Különböző kísérle- teket folytatnak a matematikai oktatás vona- l á n is. A csoportelmélet, a komplexszámok, a vektorok, a statisztika és valószínűségszá- mítás elemei azok a témakörök, amelyeknek a középiskolai oktatásba való bevezetésével kísérleteznek.

F O R R Á S O K

[1] Laereplan for forsok med 9-á.rig skole, I kommisjon Hos. H . Aschehoug Co. (W., Nygaard), 1964.

[2] Timefordeling 3-&rig gymnas, P l a n 2. G3. [3] Matematikk Gymnaset, M 8, M 9, M 10, M 11 Gr Reallinja, Málét for undervisninga, Leseplan og pensum, Eksamenskrav.

[4] Matematikk Gymnaset M 6, M 7, Gs

Spráklinjene, Leseplan og pensun, Eksa- menskrav.

[5] Undervisnigs planer for okonomisk gymna- sium, Oslo 1964.

[6] Forslag til undervisningsplan for de tekniske fag, samt retts, — handels-og bed- riftslaere ved maskinlinjen i den 3- árige tekniske skole. Blindern, november, 1964.

- [7] Innstilling 2 om midlertidige leseplaner for fagene Matematikk—Projeksjonstaere- Fy- sikk- Mekanikk- K j e m i Bifag- Norsk- Tysk og Engelsk ved 3- arige tekniske skoler Oslo, oktober, 1963.

[ 8 ] J Ó B O R U M A G D A : A k a p i t a l i s t a o r s z á g o k közoktatásügye 1918-tól napjainkig, Tan- könyvkiadó, 1964 Budapest, Egyetemes:

neveléstörténet 60—61 füzet.

E R D É L Y I M Á R I A