V ´alasz Michaletzky Gy ¨orgy opponensi v ´elem ´eny ´ere

V ´alasz Michaletzky Gy ¨orgy opponensi v ´elem ´eny ´ere

K¨osz¨on¨om Michaletzky Gy¨orgynek t ´amogat´o v´elem´eny´et, a disszert ´aci´o figyelmes

´es elm´ely ¨ult olvas ´as ´at, valamint gondolat´ebreszt˝o k´erd´eseit. Ez ut´obbiakat az al ´ab- biakban egyenk´ent, r´eszletesen t ´argyalom.

1.k´erd´es: A 2.18 illetve 2.49 T´etelben mennyire sz ¨uks´eges a B referenciaf ¨uggv´eny korl ´atoss ´aga ? (Illetve ´altal ´anosabban, hogyB szub-replik ´alhat´o legyen ¨onfinansz´ı- roz´o portf´oli´oval ?)

Bizonyos u f ¨uggv´enyekre a nem korl ´atos B esete is t ´argyalhat´o. Konkr´etan, legyen u(x) = x^α, x ≥ 0 ´es u(x) = x^β, x < 0, ahol 0 < α < β < 1. K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ekkor

|u(x)−u(y)| ≤2 + 2|x−y|^β (e1) teljes ¨ul mindenx, y∈R-re.

Legyen ´erv´enyben (28), a 2.19 Feltev´es, valamint tegy ¨uk fel, hogyB ∈ W(viszont nem kell sem alulr´ol, sem fel ¨ulr˝ol korl ´atosnak lennie). Ezen felt´etelek mellett a 2.20 K¨ovetkezm´eny ´all´ıt ´asa ´erv´enyben marad.

F ´arads ´agos munk ´aval ellen˝orizhet˝o, hogy a 2.20 K¨ovetkezm´eny bizony´ıt ´asa al- kalmazhat´o. A legl´enyegesebb v ´altoztat ´as az, hogy a (70) ´es (71) egyenl˝otlens´egeket konstansChelyett v´eletlen,Ft-m´erhet˝oC¯t∈ W konstansokra kell bel ´atni,0≤t≤T eset´en (feltehet˝o, hogyg= 0), azaz

U_t(λx)≤λ^αU_t(x) +λ^αC¯_t, U_t(λx)≤λ^βU_t(x) +λ^βC¯_t (e2) igazoland´o mindent-re,x-re ´esλ≥1-re.

Ez ut´obbit megmutatjuk t = T-re, amikor U_T(x) = u(x−B). A 2.40 ´All´ıt ´ast ´es (e1)-et felhaszn ´alva,

U_T(λx) = u(λx−B)≤u(λx) + 2|B|^β+ 2 ≤ λ^αu(x) +Cλ^α+ 2|B|^β+ 2 ≤ λ^αUT(x) +Cλ^α+ (λ^α+ 1)[2|B|^β+ 2] ≤

λ^αUT(x) +λ^α[C+ 4|B|^β+ 4].

IttC¯_T := C+ 4|B|^β+ 4 ∈ W v´eletlen konstans. Ugyanez a gondolatmenet m ˝uk¨odik λ^α helyettλ^β-ra is, teh ´at (e2) ad´odikt=T-re.

Vegy ¨uk ´eszre, hogy 0 ≤ t ≤ T −1-re a disszert ´aci´oban szerepl˝o indukci´os l´ep´es m ´ar alkalmazhat´o (27. oldal 8. sor), teh ´at (e2) ad´odik mindent-re,F_t-m´erhet˝oC¯_t:=

E[ ¯Ct+1|Ft]∈ W v´eletlen konstansokkal.

A m ´asik l´enyeges v ´altoztat ´as az egy l´ep´eses esetben sz ¨uks´eges: azt kell ellen˝oriz- ni, hogyV = U_t, H := F_t−1 v ´alaszt ´asn ´al a 2.31 Lemma ´erv´enyben marad ´ugy, hogy (38)-ban ´es (44)-ben C helyett E[ ¯Ct|H]-t kell ´ırni. A r´eszletek hosszadalmasak, de nem ig´enyelnek ´uj ¨otletet. M´odos´ıt ´ast ig´enyel a 29. oldal tetej´en szerepl˝o ´ervel´es is.

Konk ´av u eset´en a fenti m´odszer nem m ˝uk¨odik, hiszen (e1) nem ´all fenn. A konkavit ´ast kihaszn ´alva, m ´as ¨otletekkel lehets´eges nem-korl ´atosB t ´argyal ´asa, foly- tonos idej ˝u modellekben is, l ´asd a [68] dolgozatot illetve az “On utility maximization without passing by the dual problem” c. k´eziratom 4.5 T´etel´et (arXiv:1702.00982v1).

1

2. k´erd´es:A 2.49 T´etelben azS folyamat korl ´atoss ´aga gyeng´ıthet˝o-e ?

A bizony´ıt ´asban kulcsfontoss ´ag ´u, hogy “minden” korl ´atos. Nem korl ´atos esetben a ∆St,1/κt,1/αt, B ∈ W felt´etelek mellett ez a t´etel v ´arhat´oan igaz marad olyan konk ´avun(x)-ekre, melyeknekn-ben egyenletes,x-ben polinomi ´alis korl ´atja van mi- d˝onx → −∞. Az ´ervel´esek azonban elbonyol´odnak, an´elk ¨ul, hogy az eredm´eny k¨oz- gazdas ´agtani jelent˝os´ege n˝one, ez´ert nem folytattuk kutat ´asainkat ilyen ir ´anyba.

3. k´erd´es:A 3.20 P´eld ´aban (. . . ) mennyire l´enyeges a driftet meghat ´aroz´oµf ¨uggv´eny korl ´atoss ´aga ? A line ´aris drift illetve diff ´uzi´o eset´ere igaz marad-e az ´all´ıt ´as ?

Legyenek µ, ρ line ´aris n¨ovekm´eny ˝uek. Az egyszer ˝us´eg kedv´e´ert legyen N = 2, L= d= 1. El˝osz¨or r ´amutatok, hogy a 4. fejezetben∆St,1/κt,1/νt∈ W helyett csak azt kell feltenni, hogy ∆S_t,1/κ_t,1/ν_t ∈ L^ξ el´eg nagy ξ-re (ennek nagys ´aga T-t˝ol ´es u^±, w^±-t´ol f ¨ugg). Tegy ¨uk fel tov ´abb ´a, hogy valamelyψ >0-ra

P(Z > x)≥c/(x+ 1)^ψ, P(Z <−x)≥c/(x+ 1)^ψ, (e3) mindenx≥0-ra. Vil ´agos, hogy haψel´eg nagy (az, hogy milyen nagynak kell lennie, T-t˝ol,ρ-t´ol ´esµ-t˝ol f ¨ugg), akkor∆S_t∈L^ξteljes ¨ul, s˝ot, a 48. oldal gondolatmenet´ehez hasonl´oan megmutathat´o az is, hogy (el´eg nagyψeset´en)1/κt,1/νt∈L^ξ.

Osszefoglalva, line ´aris¨ µ, ρeset´en igaz marad az ´all´ıt ´as amennyiben aZ eloszl ´a- s ´anak farka nem t ´ul vastag (azaz ψ el´eg nagy), de nem is t ´ul v´ekony (azaz l´etezik (e3)-nak eleget tev˝oψ). Ez r ´amutat arra is, hogy a∆St illetve az1/κt,1/νt folyam- atok integr ´alhat´os ´ag ´ara vonatkoz´o felt´etelek “egym ´as rov ´as ´ara” jav´ıthat´ok ebben a modelloszt ´alyban.

4. k´erd´es: Alkalmazhat´o lenne-e az itt megmutatott technika nem felt´etlen a szup- r´emumhoz tart´o v ´arhat´o hasznoss ´aggal rendelkez˝o portf´oli´osorozat – term´eszetesen esetleges tov ´abbi megk¨ot´esek mellett ?

A gondolatmenet alkalmazhat´o valah ´anyszorφnolyan sorozat, hogy

infn V(X_T^z,φn−B)>−∞, (e4) csak ennyit haszn ´alunk, l ´asd a 4.15 T´etel bizony´ıt ´as ´at. Az (e4) felt´etel teljes ¨ul a szupr´emumhoz tart´oφ_nsorozatokra, de ´altal ´aban term´eszetesen nem igaz.

5. k´erd´es: Siker ¨ult-e id˝ok¨ozben a bizony´ıt ´asok esetleges tov ´abbi finom´ıt ´as ´aval meg- konstru ´alni – p´eld ´aul1val´osz´ın ˝us´eg ˝u hat ´ar´ert´ekk´ent el˝o ´all´ıtani – az optim ´alis port- f´oli´o strat´egi ´at ?

Nem konk ´av c´elf ¨uggv´enyn´el a szokv ´anyos elj ´ar ´asok (pl. a Koml´os t´etel) nem m ˝uk¨odnek, ez´ert kicsi az es´ely 1 val´osz´ın ˝us´eg ˝u konvergenci ´ara. ´Esszer ˝u teh ´at az

´altalunk is haszn ´alt “gyenge” megold ´asok alkalmaz ´asa (melyek l´enyeg´eben annak felelnek meg, hogy a befektet˝o v´eletlen´ıtett strat´egi ´akat haszn ´alhat). Tov ´abbi ´erv a v´eletlen´ıtett strat´egi ´ak mellett, hogy torz´ıtott val´osz´ın ˝us´egek eset´en ezekkel jobb eredm´eny ´erhet˝o el, mint n´elk ¨ul ¨uk, l ´asd a 3.23 P´eld ´at, illetve a [22] cikk 5.2 ´All´ıt ´as ´at.

6. k´erd´es: Mind a keresked´es intenzit ´as ´at megad´o folyamatr´ol, mind pedig az ehhez kapcsol´od´o tranzakci´os k¨olts´eget le´ır´o folyamatr´ol felt´etelezi, hogy az opcion ´alis σ- algebr ´ara m´erhet˝o. Mennyire jogos – illetve praktikus – ez a feltev´es, a j´osolhat´o σ-algebr ´ara feltev´es helyett ?

A r´eszv´enyek sz ´ama t id˝opontban Φt = Rt

0φsds, ahol φ-r˝ol feltessz ¨uk, hogy op- cion ´alis. Mivel Φ folytonos, automatikusan j´osolhat´o. Teh ´at a r´eszv´enyek men- nyis´ege j´osolhat´o folyamat lesz, ¨osszhangban a klasszikus, likvid piacmodellekben megszokott feltev´essel.

2

Feltehetn´enk azt is, hogy magaφj´osolhat´o folyamat, illetveGegy j´osolhat´o mez˝o.

A bizony´ıt ´asok v ´altozatlanul ´erv´enyesek erre az esetre. Az´ert nem ezt a feltev´est v ´alaszottuk, mert a [47] dolgozatban (ahonnan ez a fejezet sz ´armaznak) tov ´abbi, a disszert ´aci´oban nem t ´argyalt eredm´enyeket is bizony´ıtottunk, ´es ezek egyik´enek (3.7 T´etel a [47]-ben) bizony´ıt ´asa csak opcion ´alisσ-algebr ´aval m ˝uk¨odik, j´osolhat´oval nem (mivel magaSilletve az ott felmer ¨ul˝oZmarting ´alok ´altal ´aban nem j´osolhat´o folyam- atok).

7. k´erd´es: L ´at-e es´elyt arra, hogy – a kor ´abbi fejezetekben bemutatott eredm´enyek- hez hasonl´oan – itt is gyeng´ıthet˝o legyen a hasznoss ´agf ¨uggv´enyre tett ezen felt´etel?

Lehets´eges nem konk ´av esetben is hasonl´o egzisztencia-t´etelt bizony´ıtani, ez a

“Skorohod’s representation theorem and optimal strategies in markets with frictions”

c´ım ˝u, Ngoc Huy Chau-val k¨oz¨os k´ezirat t´em ´aja (arXiv:1606.07311). Ak ´arcsak a 3.

fejezetben (l ´asd k ¨ul¨on¨osen a 3.23 P´eld ´at), itt is “gyenge” megold ´ast tal ´alunk, azaz a befektet˝onek megengedj ¨uk a v´eletlen´ıtett strat´egi ´ak haszn ´alat ´at. A kapcsol´od´o eredm´enyek a Skorohod reprezent ´aci´os t´etel egy – Adam Jakubowski-t´ol sz ´armaz´o – jelent˝os ´altal ´anos´ıt ´as ´an m ´ulnak. Erre az´ert van sz ¨uks´eg, mert a strat´egi ´ak tere L^β([0, T],B([0, T]), Leb)a gyenge topol´ogi ´aval, ami nem lengyel t´er. A bizony´ıt ´as t ´avol- r´ol eml´ekeztet a sztochasztikus differenci ´alegyenletek gyenge megold ´as ´anak konst- rukci´oj ´ara, csak most nem megold ´ast, hanem optim ´alis strat´egi ´at konstru ´alunk ilyen m´odon.

R ´asonyi Mikl´os

G¨od¨oll˝o, 2017. j ´unius 12.

3