V´ alaszok Di´ osi Lajos opponensi v´ elem´ eny´ ere
Szeretn´em megk¨osz¨onni Di´osi Lajos professzor ´urnak az ´ertekez´esem b´ır´alat´aval kapcsolatos gondos munk´aj´at,
´
eszrev´eteleit ´es ´ert´ekes megjegyz´eseit. A feltett k´erd´esekre az al´abbiakban v´alaszolok.
1. Megjegyz´es: 1.2 paragrafus eleve t¨obbs´eg´eben nem optikai rendszert sorol. Tal´an helyesebb ´es egyben informat´ıvabb is lett volna, ha a m˝u c´ıme nem optikai rendszerekre, hanem sokr´eszecsk´es, vagy sokszorosan ¨osszetett rendszerekre utal.
A c´ımet az eddigi munk´aimmal, p´aly´azataimmal val´o konzisztencia miatt v´alasztottam. Val´oban, ”kvantumoptika ´es atomoptika” is lehetett volna a c´ımben, ´es tal´an az jobban le´ırta volna a munk´am tartalm´at.
2. Megjegyz´es: 1.5 paragrafus szerint Werner 1989-ben ¨osszefon´odott ´allapotokat mutatott, melyek semmilyen Bell egyenl˝otlens´eget nem s´ertenek. Ez azonban nem maradt ´ıgy, mert 1995-ben Popescu tal´alt ilyen Bell egyenl˝otlens´egeket [PRL74, 2619 (1995)].
Ez val´oban ´ıgy van. Werner eredm´enye az ´allapot egy p´eld´any´ara vonatkozott. Ha t¨obb p´eld´any is rendelkez´esre
´
all, akkor ezek az ´allapotok is tudnak s´erteni egy Bell-egyenl˝otlens´eget. A fent eml´ıtett cikk helyi sz˝ur´est (local filtering) alkalmazott. A sz¨oveghez hozz´aadtam egy l´abjegyzetet: ”In some cases, when several copies of these states are provided, they do violate a Bell inequality. See S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 74, 2619 (1995).”
Az irodalomban van egy hasonl´o t´em´aval foglalkoz´o, az el˝obbi k¨ozlem´enyt hivatkoz´o cikk is [1]. A t´ema egy
¨
osszefoglal´asa tal´alhat´o a Ref. [2] 440. oldal´an. Hozz´ateszem, hogy minden ¨osszefon´odott izotr´opikus ´allapot Bell egyenl˝otlens´eget s´ert, ha t¨obb p´eld´any ´all bel˝ole rendelkez´esre [3].
3. Megjegyz´es: 2.1.3 paragrafus val´odi kvantum k¨olcs¨onhat´as n´elk¨uli m˝uveleteket eml´ıt, c´elszer˝u lett volna itt konkr´etan kimondani, hogy az LOCC m˝uveletekr˝ol van sz´o (melyeket 1.3 paragrafus m´ar defini´alt).
K¨osz¨on¨om sz´epen az ´eszrev´etelt, a sz¨oveghez hozz´aadtam, hogy ”More precisely, separable states can be created with LOCC operations from product states. Such operations have been mentioned in the introduction, and will be described in the next section. ”
4. Megjegyz´es: 2.1.5 paragrafus feh´er zajk´ent eml´ıti a (2.1.7) ´allapot maxim´alisan kevert komponens´et. Meglehet, hogy a kvantuminformatikai irodalom is a feh´er zaj kifejez´est haszn´alja, ez azonban a fizika, matematika ´es m´ern¨oki tudom´any t´agabb kereteiben f´elre´erthet˝o t´ulbonyol´ıt´as. A feh´er zaj id˝obeli jelek maxim´alis v´eletlenszer˝us´eg´et jelenti, nem pedig egy statikus ´allapot´et.
K¨osz¨on¨om sz´epen az ´eszrev´etelt, a sz¨oveghez hozz´aadtam, hogy ”mixed with white noise (i.e., the completely mixed state)”.
5. Megjegyz´es: (2.2.16) k´epletben szerepl˝o s-vektorok defin´ıci´oj´at (s=hσi) nem tal´altam.
K¨osz¨on¨om sz´epen az ´eszrev´etelt, a (2.2.13)-(2.2.15) k´epletekben a ~v-t ~s-re cser´eltem. ´Igy (2.2.14) defini´alja az ~s-t mint a (hσxi,hσyi,hσzi).
6. Megjegyz´es: (5.2.6)-ban bevezetett flip oper´ator a kvantuminformatik´an bel¨ul swap oper´atork´ent is neveztetik [Nielsen and Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, Cambridge, U. K., 2000) ]. A flip kifejez´es sz´amomra is ink´abb a bit-flip m˝uvelethez k¨ot˝odik, ami a bit vagy gubit ´atford´ıt´as´at jelenti.
Val´oban a swap oper´ator elnevez´es bizonyos k¨or¨okben jobban ismert. A sz¨oveghez hozz´aadtam, hogy ”(The flip operator is also called swap operator in the literature.)” A kijav´ıtott ´ertekez´est el´erhet˝ov´e teszem a honlapomon.
1. K´erd´es: 5.2 paragrafus bevezeti az F flip oper´atort ´es a bozon-szimmetrikus alt´erre vet´ıt˝o Ps projektort. Nem eml´ıttetik, de F saj´at´ert´eke +1 vagy −1. A permut´aci´o-invari´ans ´allapotok (5,2.7) szerint teh´at olyan ´allapotok, amikben nincs interferencia a fenti+1 ´es −1 saj´at´ert´ekekhez tartoz´o alterek k¨oz¨ott, de ezek kever´ekei jelen lehetnek.
A Ps projektor viszont csak a +1-es alt´erhez tartoz´o ´allapotokat engedi meg, ak´ar szuperpon´alva, ak´ar kever´ekk´ent
2 is. Ezen a szimmetrikusnak nevezett alt´eren kiv´al´o ¨osszefon´od´asi anal´ızis v´egezhet˝o. Nem lehetne-e hasonl´o halad´ast el´erni, ha az F oper´ator−1-es saj´at´ert´ek˝u alter´et tartan´ank meg a Pa = (1−F)/2 vet´ıt´essel.
Minden permut´aci´osan invari´ans ´allapot fel´ırhat´o az [4]
%=X
k
ΛkMk0 ⊗Mk0 (1)
alakban, aholMk m´atrixok ortonorm´alt b´azist alkotnak, vagyis
Tr(Mk0Ml0) =δkl. (2)
Tudjuk, hogy az ´allapot akkor ´es csak akkor PPT, ha minden Λk ≥0.A flip oper´atort a k¨ovetkez˝ok´epp lehet fel´ırni [4]
F =X
k
Mk0 ⊗Mk0. (3)
Az oper´ator v´arhat´o ´ert´ek´ere azt ´ırhatjuk, hogy
Tr(%F) =X
k
Λk. (4)
´Igy ha azF v´arhat´o ´ert´eke negat´ıv, vagyis a
Tr(%F)<0 (5)
felt´etel teljes¨ul, akkor valamelyik Λk negat´ıv ´es az ´allapot nem PPT. Az antiszimmetrikus ´allapotokra
Tr(%F) =−1, (6)
ami azt jelenti, hogy az ¨osszes ´allapot az antiszimmetrikus ´allapotok ter´eben nem PPT ´es ¨osszefon´odott. Tal´an mondhatjuk azt, hogy a Fermi-statisztika ¨osszefon´odotts´agot eredm´enyez.
Azt is l´athatjuk, hogy az antiszimmetrikus ´allapotot keverhetj¨uk szimmetrikus ´allapotokkal, ´es am´ıg Eq. (5) igaz, addig az ´allapot biztos ¨osszefon´odott.
2. K´erd´es: Maradva az 5.2 paragrafus bozon-szimmetrikus ´allapotain´al, megjegyzend˝o, hogy az elnevez´essel cs´ınj´an kell b´anni, mert a t¨obb-bozonos ´allapotokkal val´o anal´ogia nem teljes. M´ıg a vizsg´alt bozon-szimmetrikus ´allapotok egyN- r´eszecsk´es, teh´atN-szeresen faktoriz´alhat´o ´allapott´er szimmetrikus alter´et fesz´ıtik ki, addig a val´odi bozonok ´allapottere a r´eszecskesz´am szerint nem, csak a m´odusok szerint faktoriz´alhat´o, ezzel egy id˝oben m´as a megfigyelhet˝o mennyis´egek tere, mint azN-r´eszecske rendszer´e. Teh´at azN-bozon ter´eben elt´er˝o ´ertelmez´ese kell legyen az ¨osszefon´od´asnak, mint a bozon-szimmetrikus t´erben, mely ut´obbit a szerz˝o sikeresen vizsg´alt. Lehet-e arr´ol fogalmunk, hogy a megszerzett tud´as ´es technika valamilyen form´aban az igaziN-bozon rendszerekre is szolg´altat valamilyen tud´ast.
A b´ır´al´o arra utal, hogy a bozonok eset´eben a fix r´eszecskesz´am esete speci´alis, s˝ot ak´ar mesters´egesnek is nevezhet˝o, ´es a m´odusokkal val´o le´ır´as term´eszetesebbnek l´atszik. Eset¨unkben, azN szimmetrikus qubites ´allapototN k´et´allapot´u bozon ´allapot´ara k´epezt¨uk le. P´eld´aul,|00i k´et bozont jelent, amelyek mindketten a |0i´allapotban vannak. (|01i+
|10i)/√
2 k´et bozont jelent, amelyekb˝ol az egyik a|0ia m´asik az|1i´allapotban van.
AzN qubit szimmetrikus ´allapota lek´epezhet˝o k´et m´odusb´ol ´all´o rendszerre, ahol a k´et m´odus a|0i´es|1i´allapotnak felel meg. Vizsg´alhat´o az ezen m´odusok k¨ozti ¨osszefon´odotts´ag abban az esetben is, amikor a r´eszecskesz´am nem fix.
A t´em´anak kiterjedt irodalma van. P´eld´aul, van olyan krit´erium, amely minden k´etm´odus´u ¨osszefon´odott Gauss-i
´
allapotot detekt´al [5, 6]. Van olyan ´allapot, amely a m´odusok ter´eben szepar´alhat´o, a r´eszecskek´epben ¨osszefon´odott.
P´eld´aul, az Eq. (1.1.5) k´epletben a|m, Niszimmetrikus Dicke ´allapotok defin´ıci´oja van megadva [7]
|m, Ni:=
N m
−12
X
k
Pk(|11,12, ...,1m,0m+1, ...,0Ni), (7)
3 ahol N a r´eszecskesz´am, m az egyesek sz´ama, ´es a {Pk} a spinek k¨ul¨onb¨oz˝o permut´aci´oit jel¨oli. Ez az ´allapot
¨
osszefon´odott, ha 0< m < N.Viszont a m´odus-k´epben a Dicke ´allapot egy szorzat-´allapot
|mi0|N−mi1, (8)
aholmr´eszecske a|0i´allapotban van,N−mr´eszecske pedig a|1i´allapotban. ´Igy igaz´ab´ol a k´etf´ele ¨osszefon´odotts´ag k¨ul¨onb¨ozik, a mi krit´eriumaink a r´eszecskek´epben seg´ıtenek az ¨osszefon´odotts´ag detekci´oj´aban.
3. K´erd´es: A kimagasl´o angol statisztikus (´es genetikus, ´es eugenetikus Ronald A. Fisher 1925-ben bizony´ıtotta[Proc.
Camb. Soc. 22, 700 (1925)], hogy a m´er´esi pontoss´ag Cramer-Rao hat´ara aszimptotikus nagy statisztik´an el is ´erhet˝o.
70 ´evvel k´es˝obb a T´oth ´altal is id´ezett Braunstein ´es Caves [139]ezt a kvantum Cramer-Rao hat´arra is megmutatt´ak, megadva az optim´alis kvantumm´er´est. A 8. Fejezet eredm´enyein t´ul elk´epzelhet˝o-e, hogy a vizsg´alt ¨osszefon´odott sokr´eszecske-´allapotokon az optim´alis m´er´esek is egyszer˝u alakban megtal´alhat´oak?
Az optim´alis m´er´es oper´atora [8]
Mopt= 2iX
k,l
λk−λl
λk+λl
|kihl|hk|H|li, (9)
aholH a Hamilton-oper´ator ´es a s˝ur˝us´egm´atrix
%=X
k
λk|kihk| (10)
alak´u,λk jel¨oli a saj´at´ert´ekeket, ´es|kijel¨oli a saj´atvektorokat. Amennyiben%tiszta ´allapot
%=|ΨihΨ|, (11)
akkor
Mopt= 2i[|ΨihΨ|, H]. (12)
Az ´altalunk t´argyalt line´aris interferom´eterek eset´en a Hamilton-oper´ator egy kollekt´ıv impulzusmomentum-komponenssel egyenl˝o, vagyis
H =Jl (13)
aholl=x, y, z.Ezek a k´epletek csak a%range-´en defini´alj´ak egy´ertelm˝uenMopt-ot. A GHZ ´allapot eset´en az optim´alis m´er´es
Mopt(GHZ)=σx⊗N. (14)
A Dicke ´allapot eset´en
Mopt(Dicke)=Jz2. (15)
Ut´obbi kollekt´ıv m´er´est jelent, ami k´ıs´erleti megval´os´ıt´as eset´en nagyon el˝ony¨os. Mindkett˝ot haszn´alt´ak k´ıs´erletileg megval´os´ıtott s´em´akban is [9].
4. K´erd´es: A parci´alis transzpoz´ıci´on alapul´o PPT ¨osszefon´odotts´agi krit´erium[Peres, PRL 77, 1413 (1996)]´ota nem sz˝un¨ok arra biztatni fizikus (teh´at nem-matematikus, nem m´ern¨ok) kutat´okat, oktat´okat, hogy az absztrakt transzpoz´ıci´o helyett az ekvivalens ´es fizikai jelent´essel b´ır´o id˝ot¨ukr¨oz´est haszn´alj´ak. Adjunk es´elyt, hogy ha van m´elyebb h´attere ennek az interpret´aci´onak, akkor azt valaha megtal´alhassuk! Tal´alkozik-e, tal´alkozott-e a szerz˝o ezzel a fizikai ´ertelmez´essel, legal´abb eml´ıt´es szintj´en? Mennyire van ez jelen szerinte?
Val´oban, az id˝ot¨ukr¨oz´es egy fizikai jelent´essel b´ır´o fogalom. Nagyon j´o lenne, ha a parci´alis transzpoz´ıci´ot siker¨ulne egyre jobban az id˝ot¨ukr¨oz´eshez k¨otni. V´elem´enyem szerint a PPT ¨osszefon´odott ´allapotok ´erdekesek ilyen szem- pontb´ol, mivel eset¨ukben az id˝ot¨ukr¨oz´es fizikai ´allapothoz vezet.
Ezt szeretn´em most r´eszletesebben megvitatni. Parci´alis transzpon´al´assal lehets´eges ”visszaford´ıtani az id˝ot” az egyik r´eszrendszerben.
4 Vagyis, tegy¨uk fel, hogy a k´et r´eszrendszerA´esB,´allapotuk %AB,´es a Hamilton-oper´ator
H =HA+HB (16)
alak´u, aholHA azArendszeren,B pedig aHB rendszeren hat. Ezzel%AB(t)-t a szok´asos unit´er dinamika hat´arozza meg,
%AB(t) =e−iHt%ABe+iHt. (17)
Egyszer˝u sz´am´ıt´asok szerint, egy ekvivalens le´ır´ast kapunk, ha a parci´alisan transzpon´alt ´allapot dinamik´aj´at tekintj¨uk a
H0 =HA−HB∗ (18)
Hamilton-oper´atorral, ahol∗ elemenk´enti konjug´aci´ot jel¨ol. Vagyis,
(%AB)TB(t) =e−iH0t(%AB)TBe+iH0t, (19) ahol TB a B rendszer szerinti parci´alis transzpon´al´ast jel¨ol. ´Igy, bizonyos ´ertelemben, visszaford´ıtottuk az id˝ot a B r´eszrendszerben. Ehhez csak az ´allapot parci´alis transzpon´altj´at kell el˝o´all´ıtanunk, ´es nem kell ismern¨unkHB-t.
Ez az ¨osszef¨ugg´es ak´ar numerikus szimul´aci´ora is haszn´alhat´o, ahol az unit´er dinamik´at megval´os´ıt´o programr´eszt nem ismerj¨uk, ´es nem tudjuk Hamilton-oper´ator egyes tagjait befoly´asolni. M´egis, indirekt m´odon, megford´ıthatjuk az Hamilton-oper´ator egyes tagjainak az el˝ojel´et.
P´eld´aul, v´alaszthatjuk a HA =HB =Jx Hamilton-oper´atorokat ´es a|Ψi=|1i⊗N/2A ⊗ |1i⊗N/2B ´allapotot. Ebben az esetben az ´allapotok a k´et r´eszrendszerben teljesen polariz´altak az-ir´anyban ´es a spinek azx-tengely k¨or¨ul fordulnak el.
A PPT ¨osszefon´odott ´allapotok eset´en a parci´alis transzpon´altjuk is fizikai ´allapot, annak ellen´ere, hogy a k´et r´eszrendszer ¨osszefon´odott. ´Erdemes megeml´ıteni, hogy nagydimenzi´os rendszerekben a PPT ¨osszefon´odotts´ag nem ritka. Hozz´a lehet tenni, hogy ha a k´et r´eszrendszer k¨oz¨ott PPT ¨osszefon´odotts´ag van, akkor nem oszthatunk meg egy szingletet a k´et r´eszrendszer k¨oz¨ott, mert akkor m´ar nem PPT ¨osszefon´odott lenne a rendszer. ´Igy nem lehet kvantum ´allapotokat az egyik r´eszrendszerb˝ol a m´asikba teleport´alni. ´Ugy t˝unik, ez az ´ara annak, hogy a id˝ot¨ukr¨oz´es fizikai ´allapothoz vezessen.
Ez a megfigyel´es ak´ar k´ıs´erleti teszthez vezethet. Term´eszetesen a neh´ezs´eget az okozza, hogy a parci´alis transzpon´alt nem fizikailag megval´os´ıthat´o m˝uvelet. De ha tudjuk, hogy mi a%AB ´allapot, akkor%TABB is el˝o´all´ıthat´o.
Budapest, 2020. december 15.
T´oth G´eza
[1] N. Gisin, Hidden quantum nonlocality revealed by local filters, Phys. Lett. A210, 151 (1996).
[2] N. Brunner, D. Cavalcanti, S. Pironio, V. Scarani, and S. Wehner, Bell nonlocality, Rev. Mod. Phys.86, 419 (2014).
[3] D. Cavalcanti, A. Ac´ın, N. Brunner, and T. V´ertesi, All quantum states useful for teleportation are nonlocal resources, Phys. Rev. A87, 042104 (2013).
[4] G. T´oth and O. G¨uhne, Entanglement and permutational symmetry, Phys. Rev. Lett.102, 170503 (2009).
[5] L.-M. Duan, G. Giedke, J. I. Cirac, and P. Zoller, Inseparability criterion for continuous variable systems, Phys. Rev. Lett.
84, 2722 (2000).
[6] R. Simon, Peres-horodecki separability criterion for continuous variable systems, Phys. Rev. Lett.84, 2726 (2000).
[7] J. K. Stockton, J. M. Geremia, A. C. Doherty, and H. Mabuchi, Characterizing the entanglement of symmetric many-particle spin-12 systems, Phys. Rev. A67, 022112 (2003).
[8] M. G. A. Paris, Quantum estimation for quantum technology, Int. J. Quant. Inf.07, 125 (2009).
[9] G. T´oth and I. Apellaniz, Quantum metrology from a quantum information science perspective, J. Phys. A: Math. Theor.
47, 424006 (2014).
