S Z E P E S S Y B Á L I N T
M E G J E G Y Z É S E K A V A L Ó S F Ü G G V É N Y E K I T E R Á L Á S Á H O Z VI.
CMég e g y s z e r a t e t s z ő l e g e s m a g a s r e n d ű c i k l u s o k r ó l )
A B S T R A C T : CRemarks on Herat ion of real functionsJ> Let f C x ) b e a continuous real valued function on the interval
Ea,bl which maps the intei^val onto itself. Ve say c is a fix point of f C x ) of order n O l ) if f C c ) = c , f Cc )=c_, . . . , f Cc )=c but TCc ) i**c if l^r<n-l. In this
1 2 ' * r» - 1 r '
paper, using our earlier m e t h o d s and r e s u l t s , w e give a new proof of the following theorem: "If there is a point e in the interval ta.b] for which e Se<e <e , where '
1 3 1 2 ' e = f C e ) , e = f C e ) and e = f C e ), then there exists a fix
1 ' 2 1 3 2 '
point of order n in the interval for any natural numer n". This theorem was proved originalv by Tien-Yien Li and James A.Yorke.
1. B E V E Z E T É S
L e g y e n f C x ) az ta;bl ( a < b ) z á r t i n t e r v a l l u m b a n é r t e l m e z e t t o l y a n e g y é r t é k ű v a l ó s f ü g g v é n y , amely e l e g e t tesz a k ö v e t k e z ő f e l t é t e l e k n e k :
1. f C x ) az a d o t t s z a k a s z m i n d e n b e l s ő p o n t j á b a n f o l y t o n o s , a k e z d ő é s a v é g p o n t b a n j o b b r ó l , i l l e t v e b a l r ó l f o l y t o n o s ;
2. f C x ) az [a;bJ i n t e r v a l l u m o t ö n m a g á r a képezi le;
3. n i n c s o l y a n r é s z i n t e r v a l l u m a az a d o t t s z a k a s z n a k , a m e l y b e n f C x ) = c o n s t a n s t e l j e s ü l .
Az f(x3 f ü g g v é n y t i t e r á c i ó s a l a p f ü g g v é n y n e k n e v e z z ü k az adott i n t e r v a l l u m o n . Az f ( x > = x , f ( x ) = f ( x ) ,
o ' 1 ' f2C x ) = f ( f C x ) > , . . . , f ^ ( x > = f ( fn, . . . f ü g g v é n y e k e t a z fCxí
f ü g g v é n y 0—dik, e l s ő , m á s o d i k , n - e d i k ( n - e d r e n d ű ) , . . . iterált f ü g g v é n y e i n e k ( i t e r á l t j a i n a k } n e v e z z ü k . Az ö s s z e t e t t f ü g g v é n y f o l y t o n o s s á g á r a v o n a t k o z ó t é t e l e k b ő l t e l j e s i n d u k c i ó v a l e g y s z e r ű e n i g a z o l h a t ó , hogy az f ( x ) n = 2 , 3 , . . . f ü g g v é n y e k is m i n d r e n d e l k e z n e k az 1 . , 2 . , 3 t u l a j d o n s á g o k k a l . T e l j e s ü l n e k az f ^ ^ C x ) = fn jfmCx:>l = f ^fn(x>J a z o n o s s á g o k .
Ha Cc;dl Cc<d> az ta;bl s z a k a s z egy r é s z s z a k a s z a , a k k o r p o n t j a i n a k e l s ő i t e r á l t j a i is egy s z a k a s z t a l k o t n a k : jele:
[ c , d ]&. ( N y i l v á n v a l ó u g y a n i s , hogy í c ; d l1= [ m i n f C x ) ; m a x f(x)1, ha c í x 5 d ) . A í c;d 1 s z a k a s z n - e d i k i t e r á l t j á n a l e ; d ln= c ; d í ^ I i n t e r v a l l u m o t é r t j ü k .
Ha f(c)=c, a k k o r a c p o n t o t az f ( x ) f ü g g v é n y e l s ő r e n d ű f i x p o n t j á n a k n e v e z z ü k . Ha f (c)*c, n = l , 2 , . . . , i — 1 e s e t é n , de fr( c ) = c , a k k o r a c p o n t az f ( x ) f ü g g v é n y r - e d r e n d ű f i x p o n t j a . E k k o r — a m i n t az i s m e r e t e s - a c , c cr_l tcp
f i x p o n t o k egy i — e d r e n d u c i k l u s t a l k o t n a k .
Az n - e d r e n d ű f i x p o n t o k az y = f ( x ) g ö r b e é s az y=x á t l ó m e t s z é s p o n t j a i n a k v e t ü l e t e i a z a b s z c i s s z a t e n g e l y e n .
M á r v i z s g á l t u k a z t a k é r d é s t , hogy m i l y e n i t e r á c i ó s a l a p f ü g g v é n y e k e s e t é n nem l e h e t a c i k l u s o k r e n d s z á m á r a f e l s ő k o r l á t o t adni ( S z e p e s s y 18J, [91>.
B e b i z o n y í t o t t u k hogy:
1. Ha az [a,bl s z a k a s z b a n f(x> az i . , 2 . , 3 f e l t é t e l e k n e k e l e g e t tesz é s van két o l y a n d i s z j u n k t r é s z s z a k a s z , a m e l y e k e t a f ü g g v é n y az e g é s z z á r t ta;bl s z a k a s z r a k é p e z le, a k k o r van b á r m i l y e n m a g a s r e n d ű c i k l u s .
Ennek a tételnek a feltét.elei csak e l é g s é g e s e k b á r m i l y e n adott rendű c i k l u s l é t e z é s é h e z . Ezt i g a z o l j á k az e m l í t e t t
d o l g o z a t o k s z e m l é l e t e s p é l d á i é s a k ö v e t k e z ő t é t e l :
2. L e g y e n a ^ c < d < b é s f C x ) az [a;bl s z a k a s z b a n é r t e l m e z e t t olyan i t e r á c i ó s a l a p f ü g g v é n y , a m e l y r e f ( c ) = c f C d ) = b , t o v á b b á van a td;bl s z a k a s z n a k o l y a n tp;qJ r é s z s z a k a s z a , a m e l y e t f C x ) az Ca;bl s z a k a s z r a k é p e z le. E k k o r b á r m e l y ( t e r m é s z e t e s ) n s z á m e s e t é n van az f ( x ) f ü g g v é n y n e k n - e d r e n d ű f i x p o n t j a .
A tétel b i z o n y í t á s á b ó l k i d e r ü l , hogy a<c vagy q < b e s e t é n a tétel é r v é n y e s s é g e nem f ü g g az f ( x ) f ü g g v é n y ía;cl vagy tq;bl s z a k a s z b e l i m e n e t é t ő l . U g y a n c s a k nem b e f o l y á s o l j a a t é t e l é r v é n y e s s é g é t d<p e s e t é n f C x ) f ü g g v é n y Cd; pl s z a k a s z b e l i v i s e l k e d é s e sem.
A b i z o n y í t á s s o r á n k i h a s z n á l a t l a n u l m a r a d t az a l a p f ü g g v é n y n e k az e m l í t e t t s z a k a s z o k b a n való f o l y t o n o s s á g a is.
Ebben a d o l g o z a t b a n e z e k n e k a t é t e l e k n e k a s e g í t s é g é v e l é s b i z o n y í t á s a i k s a j á t o s , e l e m i m ó d s z e r é v e l i g a z o l j u k az a l á b b i
— t é t e l e i n k n é l á l k t a l á n o s a b b - t é t e l t , a m e l y e t T i e n - Y i e n Li é s J a m e s A . Y o r k é ( a l a p v e t ő e n m á s b i z o n y í t á s s a l ) p u b l i k á l t CC7Í).
2. MÉG E G Y S Z E R A T E T S Z Ő L E G E S M A G A S R E N D Ű C I K L U S O K R Ó L
TÉTEL. L e g y e n f C x ) az íajbl z á r t i n t e r v a l l u m b a n é r t e l m e z e t t i t e r á c i ó s a l a p f ü g g v é n y . Ha van az [a;bl s z a k a s z b a n o l y a n e pont, a m e l y r e e3 ^ e < et < e2 • C v a g y e £ e > e > e ) r e l á c i ó k t e l j e s ü l n e k ; akkor van b á r m i l y e n
3 1 2
n - e d r e n d ű c i k l u s is. CAhoI e(, e2 é s e^ az e pont e l s ő , m á s o d i k é s h a r m a d i k i t e r á l t p o n t j a ) .
B I Z O N Y Í T Á S : E l e g e n d ő a b i z o n y í t á s t az eg = e < < e2
e s e t r e e l v é g e z n i ; m á s e s e t e k b e n - az analóg ( e3 2r e > et
e s e t b e n is - a b i z o n y í t á s e h h e z h a s o n l ó a n t ö r t é n i k .
Legyen u = m a x < x > ; f C x ) = e2; azaz u a l e g n a g y o b b x e t e4 ; e23
a b s z c i s s z a é r i é k , a m e l y b e n f C u ) = e t e l j e s ü l • é s v = m i n { x > , f ( x ) = e j xelu; 3
a z a z v az u — t ó i j o b b r a a hozzá l e g k ö z e l e b b e s ő o l y a n p o n t , a m e l y b e n f C v ) = e . I l y e n u é s v pont a z a d o t t s z a k a s z b a n létezik, u g y a n i s - a T e l t é t e l e k s z e r i n t — f C e ) = e „ , é s f ( e )=e 1 2 2 Az l . , 2 . , 3 k ö v e t k e z t é b e n f C x ) f ü g g v é n y a z [u;v3 s z a k a s z b a n f o l y t o n o s é s ezt a s z a k a s z t az tejeli s z a k a s z r a k é p e z i le.
Mivel az f C x ) - x ( f o l y t o n o s ) f ü g g v é n y a z u é s v p o n t b a n k ü l ö n b ö z ő e l ő j e l ű — f ( u ) - u = e2 — u > 0 é s f C v ) — v = e - v < 0 —, e z é r t van az [u;v3 s z a k a s z b a n z é r u s h e l y e ; a z a z f C x ) f ü g g v é n y n e k e l s ő r e n d ű f i x p o n t j a . I n n e n a b i z o n y í t á s k é t f e l é ágazik.
a / Az £e;ul s z a k a s z b a n van l e g a l á b b egy e l s ő r e n d ű f i x p o n t . Legyen c = m a x < x > ; f C x ) = c C l . á b r a ) . Az f C x ) f ü g g v é n y
x € [ e ; U ]
f o l y t o n o s s á g a k ö v e t k e z t é b e n a tc;u1 s z a k a s z b a n van l e g a l á b b egy olyan pont, a m e l y b e n a f ü g g v é n y az e2 é r t é k e t veszi fel;
az u p é l d á u l ilyen p o n t , u g y a n i s f C u ) = e2 t e l j e s ü l . L e g y e n ezek közül a c — h e z l e g k ö z e l e b b i a z r pont; azaz r = m i n < x > ,
x e [ c ; u ] f C x ) = e2. Az f C x ) f ü g g v é n y a Cc,rl s z a k a s z t a [ c ; e2 3 s z a k a s z r a , az tu*v3 s z a k a s z t - t r ; e2J r é s z s z a k a s z á t - p e d i g az egész te;e2J s z a k a s z r a k é p e z i le. A b e v e z e t é s b e n is s z e r e p l ő m á s o d i k t é t e l s z e r i n t az t e ; e2J s z a k a s z b a n Csőt a n n a k tc;r3 r é s z s z a k a s z á b a n ) , b á r m e l y ( t e r m é s z e t e s ) n s z á m esetén van n - e d r e n d ű c i k l u s .
Ebben a z e s e t b e n a b i z o n y í t á s t b e f e j e z t ü k .
b / Az [ e ; u ] s z a k a s z b a n n i n c s e l s ő r e n d ű f i x p o n t .
Ebben az e s e t b e n a b i z o n y í t á s a k ö v e t k e z ő k é p p e n f o l y t a t h a t ó . T e k i n t s ü k a q = m i n < x > , f ( x ) = e2 é s a p = m a x < x > , f ( x ) = et;
x « t e ; et] x ^ t e ; q ]
p o n t o k a t (2. ábra). A f e l t é t e l e k s z e r i n t f ( e ) = et é s f C e4 )=e2
é s f C x ) f o l y t o n o s f ü g g v é n y ; t e h á t van ilyen p é s q p o n t a s z ó b a n f o r g ó s z a k a s z b a n , és a t p ; q ] s z a k a s z t a ( f o l y t o n o s ) f C x ) f ü g g v é n y az t e ^ e ^ s z a k a s z r a k é p e z i le. Mivel ei^ u < v < e2
e z é r t mind az u mind a v p o n t n a k van ( l e g a l á b b e g y — e g y ) i n v e r z - i t e r á l t p o n t j a a tp;ql s z a k a s z b a n . T e k i n t s ü k a v p o n t tp;ql s z a k a s z b e l i i n v e r z - i t e r á l t j a i közül a z t , a m e l y n e k a b s z c i s s z á j a a l e g k i s e b b é s j e l ö l j ü k ezt v gyei: t e h á t v _1= m i n ( x > ; fCx)=v. Az u p o n t n a k a tp;ql s z a k a s z b e l i
x e [ p;q ]
i n v e r z — i t e r á l t j a i k ö z ü l a v - t ő i balra a h o z z á l e g k ö z e l e b b esőt v á l a s z t v a , l e g y e n ennek a b s z c i s s z á j a u t; a z a z
u _t = m a x { x > ; f<x)=u. K ö n n y ű m e g m u t a t n i , h o g y E u _t, v _ ít = EU;vJ x e t p ; v _t]
C S z e p e s s y £8]).
2. á b r a
M i v e l f Cu ) = f C u ) = e és f Cv )=f(v)=e v a l a m i n t az f C x )
2 - 1 2 2 - 1 2
i t e r á l t f ü g g v é n y az tu ;v 1 s z a k a s z b a n f o l y t o n o s , e z é r t ezt a s z a k a s z t az [ e ; e2l s z a k a s z r a k é p e z i le C a z a z í'2(x) f ü g g v é n y
m i n d e n Ee *e 1 s z a k a s z b e l i é r t é k e t f e l v e s z ) . Az f_ ( x ) — x
1 2 2
C f o l y t o n o s ) f ü g g v é n y az tu f: v f] s z a k a s z k e z d ő é s v é g p o n t j á b a n k ü l ö n b ö z ő e l ő j e l ű - í' Cu ) - u = e - u >0 i l l e t v e
4 7 -I -I ? -1
f2 = e — v <0 — k ö v e t k e z é s k é p p e n van e b b e n a s z a k a s z b a n z é r u s h e l y e ; a z a z van olyan x pont, a m e l y b e n f (x)=x t e l j e s ü l . T e h á t x p o n t az f C x ) f ü g g v é n y n e k l e g f e l j e b b m á s o d r e n d ű f i x p o n t j a . Az >v_t ' s z a k a s z b a n n i n c s f ( x ) - n e k e l s ő r e n d ű f i x p o n t j a , e z é r t x a n n a k p o n t o s a n m á s o d r e n d ű f i x p o n t j a .
Az í'2Cx) i t e r á l t függvény az tu ^ v ^] s z a k a s z b a n m i n d e n le;e 3 s z a k a s z b e l i é r t é k e t f e l v e s z , e z é r t mind az u m i n d a
' 2 ' — v p o n t n a k van e b b e n a s z a k a s z b a n az f2< x 5 i t e r á l t f ü g g v é n y r e
v o n a t k o z ó a n i n v e r z - i t e r á l t p o n t j a , • l e g y e n u „ = m i n í x > : f C x ) = u é s v = m a x ( x > ; f (x)=v . M i v e l
-2 ' 2 - 2 ' 2 X«E[U . ; v 3 x e t u ' u 3
- i -1 - 1 — 2
f.(v )=v é s f Cu )=u é s f C x ) az t u ; v ] s z a k a s z t az e g é s z 2 - 2 2 - 2
Ce;e ] s z a k a s z r a képezi le, e z é r t a tv ;u 3 s z a k a s z b a n az ' 2 ' - 2' - 2
f3C x ) i t e r á l t f ü g g v é n y is m i n d e n t e ; e2 3 s z a k a s z b e l i é r t é k e t felvesz. Az f ( x ) - x ( f o l y t o n o s ) f ü g g v é n y e s z a k a s z k e z d ő é s v é g p o n t j á b a n k ü l ö n b ö z ő e l ő j e l ű — f ^ C v - v _2= f C v > — v _2 =
= e-v <0 , i l l e t v e f Cu ) - u =e - u >0 ezért v a n a - 2 ' 3 - 2 - 2 2 - 2
tv 2; u 23 s z a k a s z b a n z é r u s h e l y e ; a z a z van o l y a n x ^ « t v _2; u _23 J /V A /S
pont, a m e l y r e f3C x ) = x t e l j e s ü l . Az x pont l e g f e l j e b b h a r m a d r e n d ű f i x p o n t j a az f C x ) f ü g g v é n y n e k . Az u é r t e l m e z é s é b ő l k ö v e t k e z i k e g y r é s z t , hogy u-2 <*v- i ' m á s r é s z t , hogy az f C x ) f ü g g v é n y lu 1;v_1 J s z a k a s z b e l i m á s o d r e n d ű f i x p o n t j a i mind az tu ;v í ] s z a k a s z b a n vannak; e z é r t x p o n t o s a n h a r m a d r e n d ű f i x p o n t j a az f C x ) f ü g g v é n y n e k .
K é p e z z ü k e z u t á n a c = m a x C x > ; fg( x ) = x p o n t o t , v a l a m i n t a x^tv :u ]
- 2 -2
k ö v e t k e z ő g C x ) f ü g g v é n y t ; gCx)=f'3Cx) ha x € [ v _2; u 2J é s g C x ) = f C x ) ha x € t u ; v 3 . A g C x ) f ü g g v é n y mind a t c * u _2 3, m i n d az tu,vl s z a k a s z b a n f o l y t o n o s é s az e l ő b b i t a t c ; e23 s z a k a s z r a az u t ó b b i t pedig az e g é s z te;e2J s z a k a s z r a k é p e z i
A b e v e z e t ő b e n s z e r e p l ő m á s o d i k t é t e l C S z e p e s s y [ 9 1 ) s z e r i n t a [ c ; u _2l s z a k a s z b a n b á r m e l y ( t e r m é s z e t e s ) n szám e s e t é n van a g C x ) f ü g g v é n y n e k n - e d r e n d ü f i x p o n t j a ; a z a z f C x ) f ü g g v é n y n e k n e g y e d , ö t ö d , . . . ,-n-ed, . . . r e n d u f i x p o n t j a .
E z z e l a b i z o n y í t á s t b e f e j e z t ü k .
IRODALOM
Cll B. Barna, Ü b e r d i e I t e r a t i o n r e e l l e r F u n k t i o n e n I, Publ.
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Az egri Ho Sí M i n h T a n á r k é p z ő F ő i s k o l a F ü z e t e i XVII.
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