MEGJEGYZÉSEK A VALÓS FÜGGVÉNYEK ITERALASAHOZ II.
DR. SZEPESSY BÁLINT
1. Bevezetés
Legyen f (x) az [a, b] (a < b) zárt intervallumban értelmezett olyan egy- értékű valós függvény, amely eleget tesz a következő feltételeknek:
1. f (x) az adott szakasz minden belső pontjában folytonos; a kezdő és a végpontban jobbról, illetve balról folytonos;
2. f (x) az [a, b] intervallumot önmagára képezi le;
3. nincs olyan részintervalluma az adott szakasznak, amelyben f (x) =
= constans teljesül.
Az f (x) függvényt iterációs alapfüggvénynek nevezzük az adott interval- lumon. Az f0 (x) = x, f, (x) = f (x), f , (x) - (f (x) ) , . . . , fn (x) - f (fn—i (x) ) . . . függvényeket az f (x) függvény 0-dik, első, második, . . ., n-edik (n-edrendű) . . . iterált függvényeinek (iteráltjainak) nevezzük. Ha f (c) = c, akkor c pontot az f (x) függvény elsőrendű fixpontjának nevezzük. Ha fn (c) c, n = 1, 2 , . . . . . ., r—1 esetén, de fr (c) = c, akkor c az f (x) függvény r-edrendű fix- pontja. Ekkor ci, C2, ,, , cr_i, cr pontok is páronként különböző r-edrendű fix- pontok; a C|, c>, . . ., c,. fixpontok egy r-edrendű ciklust alkotnak.
Már vizsgáltuk azt a kérdést, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén nem lehet a fixpontok (ciklusok) rendszámára felső korlátot adni ([9]). Bebizo- nyítottuk az alábbi tételt:
Ha az [a, b] szakaszban f (x) az 1., 2., 3. feltételeknek eleget tesz, és van két olyan diszjunkt részszakasz, amelyeket a függvény az egész zárt [a, b]
szakaszra képez le, akkor van bármilyen magasrendű ciklus (vagyis a fix- pontok rendszáma felülről nem korlátos). Ennek a tételnek a feltételei csak elegendőek bármilyen adott rendű ciklus létezéséhez. Megmutattuk ugyanis, hogy:
Ha f (x) az [a, b] szakaszban csak az 1., 2., 3. feltételeknek tesz eleget és az [a, d] szakaszt [d = sup x. f (x) — b] az egész [a, b] szakaszra [d, b]-t pedig
a < x < b
a [h, b] szakaszra képezi le, ahol h = Cj; C| = max (x), f (x) = c és c = sup x.
XE [a, d] xe [d, b]
f (x) = x; akkor a fixpontok rendszáma felülről nem korlátos ([9]).
Az elmélet szempontjából érdekes (s mivel előbbi tételünk feltételei csak elégségesek, felvetődött) az a kérdés, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén lehet a fixpontok (ciklusok) rendszámára felső korlátot adni. Ebben a dolgozatban véges szakaszt önmagára leképező folytonos (azaz az 1., 2., 3.
feltételeket kielégítő) alapfüggvény esetén azt a kérdést vizsgáljuk, hogy mi- lyen feltételek mellett lehetnek csupán első vagy másodrendű fixpontok.
2. A z első- és m á s o d r e n d ű ciklusokról
Tétel: Ha valamely [a', b'] ( a ' < b', a', b ' e [a, b]) szakaszt a b e n n e monoton növekvő iterációs a l a p f ü g g v é n y a szakaszra m a g á r a vagy m a g á b a képez le, a k k o r ebben a szakaszban legfeljebb elsőrendű fixpontok lehetnek.
Bizonyítás: Tegyük fel, állításunkkal ellentétben, hogy van r - e d r e n d ű ciklus;
legyen ilyen pl.: c, C|, C2,..., cr_ j , ahol r 2 és f ( cr_ i ) = cr = c.
Feltehető, hogy c a legkisebb abszcisszájú fixpont; azaz
C < Cl, C'2, . . ., cr_ ]
(A jobb oldalon levő f i x p o n t o k s o r r e n d j e nem okvetlenül nagyságszerinti!) A c < c,-_i egyenlőtlenségből az f (x) monoton növekedése miatt
f (c) < f ( cr_ i )
következik. De f (c) = C| és f (cr i) = c miatt C| < c, azzal ellentétben, hogy c a ciklus legkisebb eleme. N e m lehet t e h á t r = 2.
Megjegyzés: Az [a; b'] szakaszban m i n d i g van legalább egy elsőrendű fixpont.
Az egész szakaszon u g y a n i s f (x) — x > 0 (vagy f (x) — x < 0) nem teljesülhet, mert f (x) — x > 0 (f (x) — x < 0) esetén f (x) nem képezi le a szakaszt önma- gára vagy önmagába. (1. ábra.)
Előfordulhat az is, hogy az [a', b'] szakaszban végtelen sok elsőrendű fixpont van. Ekkor ezek torlódási p o n t j a i is elsőrendű fixpontok. Legyenek ugyanis C | Co, C3,.. ., Cn, . . . elsőrendű fixpontok, legyen C torlódási p o n t j u k ; mivel
C = lim C n és f ( C „ ) = Cn
i-00 1 1 1
így
C = lim C „ = lim f ( C , J = f(lim Cn ) = f(C)
i -"00 < i - 0 0 ' i - 0 0 i
ezért C is elsőrendű f i x p o n t .
Végül az is előfordulhat, hogy az [a', b'] szakasz csupa elsőrendű (taszító) fixpontból áll. Ilyenkor f (x) = x az egész [a', b'] intervallumon.
Tétel: Ha valamely [a', b'] (a', b', e [a, b]) szakaszt a b e n n e monoton csökkenő iterációs a l a p f ü g g v é n y a szakaszra magára vagy magába képez le, akkor ebben a szakaszban csak első és másodrendű fixpontok lehetnek.
Bizonyítás: A tétel visszavezethető az előbbi tételre, ha figyelembe vesszük, hogy az [a', b'] szakaszban monoton csökkenő f ü g g v é n y r e
f (a') ^ f (x) f (b')
egyenlőtlenségek t e l j e s ü l n e k és így f (x) — x az a' helyen pozitív a b' helyen negatív értékű. Az f (x) folytonossága miatt van t e h á t egy megoldása az f (x) — x = 0 egyenletnek, és ez az egyetlen c elsőrendű fixpont.
Monoton csökkenő f ü g g v é n y monoton csökkenő f ü g g v é n y e (iteráltja) monoton növekvő, ezért f> (x) f ü g g v é n y az [a', b'] szakaszt ö n m a g á r a vagy önmagába leképező monoton növekvő függvény (2. ábra). Erre m i n t alapfüggvényre alkal- mazható t e h á t az előbbi tétel; az fo (x) f ü g g v é n y n e k csak elsőrendű f i x p o n t j a i lehetnek, s ezek a c pont kivételével m i n d másodrendű f i x p o n t j a i az f (x) f ü g g - vénynek. Igaz tehát az állítás.
f í 0 1 f í 0 1
X f í 0 1
f X
/ o a a' b ' = b '
1. ábra
Például az f (x) = — ( x — l )3 + 1 a [0,2] szakaszban kielégíti feltételein- ket; az X| = 0 és x-2 = 2 másodrendű fixpontok, s első tételünk értelmében ennél m a g a s a b b r e n d ű fixpontok nincsenek.
Speciális esetek. Csupa másodrendű fixpontból álló (szinguláris) szakaszok is felléphetnek. Például az f (x) = 1 —x f ü g g v é n y esetén a [0, 1] szakaszban, vagy az f (x) = — függvénynél az [a, — ] (0 < a < 1) szakaszban. (Az előbbi
x a
példánál a c = ~ , az utóbbinál a c = 1 elsőrendű f i x p o n t kivételével az adott szakaszok minden p o n t j a másodrendű fixpont.)
Általánosabban: bármely másodrendű ciklus f i x p o n t j a i egymás tükörképei az y = x egyenesre vonatkozóan. Ha tehát az y = f (x) görbe ilyen tükörkép- íveket tartalmaz, akkor ezek mindig másodrendű fixpontokból álló szakaszok.
Az előbbi tétel feltételei n e m szükségesek csak elegendőek ahhoz, hogy csak első és másodrendű fixpontok létezzenek. Ezt igazolja a következő egy- szerű példa.
Legyen a [0, 1] szakaszban értelmezett iterációs alapfüggvény az x ha 0 i x = d
d
Í ( X ) = l - h
(x — d) + 1 ha d ^ x É l d — 1
ahol h < 1, d > 0 (3. ábra).
Ha itt d = h, akkor a (0, d) szakasz bármely x0 pontjából kiinduló iterációs pontsorozatnak csak véges számú pontja van e szakaszban annak megfelelően, hogy a kezdőpont (a 3. ábra szerinti jelölésben) a (d (i+i), d— i) (i = 0, 1, 2, 3,...) szakaszok melyikében van. Ezek a szakaszok ugyanis egyszeresen és teljesen lefedik a (0, d] szakaszt; van t e h á t olyan Xj (j > i) iterált pont, amelyik a
[d, Ü] szakaszba esik. Márpedig ezt a szakaszt az f (x) függvény h > d esetén önmagába, h = d esetén önmagára képezi le, tehát Xj minden iterált pontja benne m a r a d a szakaszban. Az előbbi tétel alkalmazásával azt k a p j u k , hogy legfeljebb másodrendű ciklusok lehetségesek.
Ez a példa a r r a mutat, hogy általánosabb esetekben is hasonló lehet a helyzet. Valóban igaz a következő:
Tétel: Ha f (x) olyan iterációs alapfüggvény, a m e l y r e f (a) = a, f (d) = b / a ^ d ^ b / , f / a / = hí^d teljesül és a < x < d esetén x <f (x) < b , valamint
f (x) a [d, b] szakaszban monoton csökkenő, a k k o r az [a, b] szakaszban csak első és másodrendű fixpontok lehetnek.
Bizonyítás: Mivel f (x) folytonos az [a, d] szakaszban és minden [a, b] szakasz- beli é r t é k e t felvesz, ezért létezik ebben a szakaszban a d pontnak legalább egy inverz-iterált p o n t j a . Tekintsük a d pont (a, d] szakaszbeli inverz-iteráltjai közül azt, amelynek abszcisszája a legnagyobb és jelöljük ezt d _ i - g y e l . Tehát
= m a x { x , } f / x / = d. Ezek u t á n képezzük az előbbi eljárásnak m e g f e -
a<x<d
lelően a d _2 = m a x . { x } , f / x / = d _x , d _3, . . . d _( n_ i ) , d _n = max. ,
a<\<l —1 a<x<d— 'n — ll
{x}, f / x / = d —(n—p » ••• i n v e r x - i t e r á l t pontokat. A ( d _( i + 1 ), d
3, . . . ) szakaszok egyszeresen és teljesen lefedik az (a, d] szakaszt. Az (a, d] szakasz b á r m e l y pontjából kiinduló iterációs pontsorozatnak csak véges számú pontja van e szakaszban, s ez legfeljebb i ha a kezdőpont (d_(i+i) ; d _ J szakaszban van. Lesz tehát olyan x j iterált pont, amelyik a [d, b] szakaszba esik. (4. ábra). Ezt a szakaszt pedig f / x / ö n m a g á b a vagy önmagára képezi le, t e h á t Xj m i n d e n i t e r á l t j a ebben a szakaszban m a r a d . Ezért az előbbi tétéi alkalmazásával adódik, hogy legfeljebb m á s o d r e n d ű fixpontok lehetnek az [a, b] szakaszban.
E tételéhez hasonló bizonyítással igazolható a következő
Tétel: Ha f / x / olyan iterációs alapfüggvény, amelyre f / b / — b. f/d = a / a ^ d ^ b / , f / a / — h ^ d teljesül és d < x < b esetén x > f / x / > a , továbbá f / x / az [d, b] szakaszban monoton csökkenő, akkor csak első és másodrendű f i x p o n - tok lehetnek az [a, b] szakaszban.
Most az [d, b] szakasz bármely x0 pontjából induló iterációs pontsorozat- nak lesz véges számú pontja e szakaszban, s ez legfeljebb i ha xn pont a [d_i,d_( i+i)) szakaszba esik. A [d, b) szakaszt lefedő részintervallumokat kell csak másképpen definiálni. Ezek a [ d _ i , d _ (i+i) ) (i = 0,1, 2 , . . . ) szakaszok lesznek, ahol d _ j (i+i) = inf x, f (x) = d _ i (azaz c L - k i + i ) a [d b) szakaszban a legkisebb abszcisszaérték, amelyben f (x) d_4 értékű). Van tehát olyan Xj (j > i) iterált pont, amelyik az [a, d] szakaszba esik (5. ábra). Itt f (x)-re a második létei feltételei teljesülnek, így legfeljebb másodrendű fixpontok lehetségesek.
Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
Az eddigiek alapján konstruálhatok olyan iterációs alapfüggvények, amelyekre a fixpontok rendszáma felülről nem korlátos [9], valamint olyanok, amelyekre legfeljebb másodrendű fixpontok (ciklusok) léteznek.
További vizsgálódás tárgyát képezi, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén lehetnek másodrendűnél magasabbrendű, de felülről korlátos ciklusok.
Ezzel a kérdéssel egy ezt követő dolgozatban foglalkozunk.
IRODALOM
[11 B. B A R N A , U b e r d i e I t e r a t i o n r e e l l e r F u n k t i o n e n I. Publ. M a t h . (Debrecen) 7 (1960), 16—40.
[2] B. B A R N A , U b e r d i e Iteration r e e l l e r F u n k t i o n e n II. Publ. M a t h . (Debrecen) 13 (1966), 169—172.
[31 B. BARNA, B e r i c h t i g u n g zur A r b e i t „Uber d i e I t e r a t i o n reeller F u n k t i o n e n I I "
P u b l . Math. (Debrecen) 20 (1973), 281—282.
[4] B. BARNA, U b e r d i e I t e r a t i o n r e e l l e r F u n k t i o n e n III. Publ. M a t h . (Debrecen) 22 (1975), 269—278.
[5] L. BERG, (Rostock) U b e r i r r e g u l á r e I t e r a t i o n s - f o l g e n Publ. M a t h . (Debrecen) 17 (1970), 112—115.
[6] A. R A L S T O N , A f i r s t course in n u m e r i c a l a n a l y s i s (Mc G r a w — H i l l Inc.), N e w York, 1965.
[71 A. B J Ö R E K , — G. D A H L Q U I S T , N u m e r i s c h e M e t h o d e n ( O l d e n b u r g Verl.) M ü n c h e n — W i e n , 1972.
[8] J . STOER, E i n f i i h r u n g in die N u m e r i s c h e M a t h e m a t i k I. (Springer) Berlin—
H e i d e l b e r g — N e w Y o r k , 1972.
[9] S Z E P E S S Y B., M e g j e g y z é s e k a v a l ó s f ü g g v é n y e k i t e r á l á s á h o z I. Az egri Ho Si M i n h T a n á r k é p z ő Főiskola Füzetei XV. (Eger, 1979), 395—405.
568
REMARKS ON ITERATION OF REAL FUNCTION By Bálint Szepessy
(Summary)
Let f (x) be a real valued function defined on interval [a, b]. If f (x) satisfies the conditions
(i) f (x) is a continuous function at every inside points of the interval [a, b];
furthermore f (x) is continuous on the right and on the left at point a and b respectively;
(ii) f (x) map? the interval [a, b] onto itself;
(iii) there is riD subinterval of the interval [a. b] where f (x) is a constant function;
then f (x) is called iterational basic function. Let us define the iterated functi- ons of f (x) by fu (x) = x. fi (x) = f (x) and fn (x) = f ( fn_ i /x/) for n > 1. If f (c) = c for some real c then c is called fix point of f (x) of order one, and if fn (c) 4= c for n = 1, 2, . . ., r — 1 but fr (c) = c. then c is called fix point of f (x) of order r.
In [9] we studied the iterational basic functions f (x) having fix points and we gave sufficient conditions for f (x) which have fix points of order r > k. where k is an arbitrary integer.
In this paper conditions are studied for f (x) satisfying restrictions (i), (ii) and (iii) and having fix points of order r = 2.
Among others we prove the following theorem:
Let d be a real number with a < d < b.
If the function f (x) satisfies the conditions f (a) = d, f (d) = b, f (b) = d; f (x) is a monotonically decreasing function on interval [d, b], and in case a < x < d we have x < f (x) < b then there are fix points only of order one or of order two on interval [a, b].
