Segédanyag az Általános Fizika I. tárgyhoz kapcsolódó kompetenciafejlesztéshez - részletek

„FŐNIX ME” – Megújuló Egyetem felsőoktatási intézményi fejlesztések a felsőfokú oktatás minőségének és hozzáférhetőségének együttes javítása érdekében

EFOP 3.4.3-16-2016-00015

Segédanyag az Általános Fizika I. tárgyhoz kapcsolódó kompetenciafejlesztéshez - részletek

Dr. Majár János

A feladatmegoldás módszerei

Állandó kihívást jelent a Fizikában a megszerzett elméleti tudás alkalmazása konkrét feladatok

megoldására. A sokféle feladat közül a számolási példák okozzák a legtöbb fejtörést, ami azért is kiemelt probléma, mert minden kutatásnak része a szerzett adatok és az alapelvek/modellek összekapcsolása, ellenőrzése – és ez bizony számolási folyamatokon keresztül valósul meg.

A matematika tudatos alkalmazása nagyon sok formát ölthet a Fizika különböző területein. Az alábbiak kifejezetten a mérnök-képzéshez kapcsolódó módszerek, és alkalmazásuk kiemelten fontos a Fizika alapozó tárgyak számára.

Igyekeztünk a számolási feladatok megoldásához minél több tanácsot összegyűjteni, és ezeket egy lépésről lépésre követhető módszerben összefoglalni. A módszer(ek) lépései közül a konkrét feladatok megoldása során némelyek kimaradhatnak, vagy elképzelhető alkalmazásuk a lent leírtakhoz képest más sorrendben is. Mégis, a vázolt folyamat egy általános standardként kezelhető.

Szöveg és feladat értelmezése, ábra készítése

Az első lépés (a feladat szövegének értő elolvasása után) a feladat értelmezése.

Ennek részeként fontos végiggondolni, hogy a Fizika mely területeinek tudását kell alkalmazni a

feladatmegoldásban. Esetleg a feladat standard feladattípusokhoz is tartozhat, amelynek standard megoldási útja van – ezt is érdemes már az elején felmérni.

Az értelmezésnek része lehet egy egyszerű ábra készítése, ami nem baj, ha ezen a ponton még nem pontos, vagy inkább csak „érzékeltetés”, semmint pontos ábra. A lényeg, hogy segítse a megfelelő megoldási út kiválasztásában a Hallgatót.

A legtöbb feladat esetén megvannak azok a kulcskérdések, amelyekre ebben a szakaszban kellene választ keresni. Például gáz állapotváltozásainál kérdés, hogy milyen típusú állapotváltozásról van szó. Egymással összekötött testek dinamikájának leírásakor fontos tisztázni, hogy a kötelek ideálisak-e, és megfeszülnek-e.

Elektromágneses indukció esetén fontos tisztázni, hogy mozgási indukcióról van-e szó, vagy más esetről.

Stb.

Érdemes számba venni azokat a jelenségeket és hatásokat, amelyeket a feladat megoldásában szerepet játszhat, és kiszűrni azokat, amelyek nem kellenek, vagy elhanyagolhatóak. Például, ha egy hajítással kapcsolatos feladatban nem szerepel közegellenállás, akkor tudjuk, hogy csak a gravitáció hatását fogjuk figyelembe venni, a légellenállásét nem. Ezzel egyszerűsíthető megoldható szintre a példa.

Kiinduló adatok, mértékegységrendszerek, mértékegységek átváltása

A feladat értelmezése (és kategorizálása) után érdemes összegyűjteni a feladatban szereplő konkrét adatokat, illetve külön jelölni a kiszámolandó mennyiséget.

Rögtön ez után érdemes az egyes kiindulási adatokat átváltani egy egységes mértékegységrendszerbe. Ez jellemzően SI mértékegységrendszer szokott lenni Fizika feladatoknál, de a mérnöki alkalmazások

használhatnak ettől részben, vagy egészében eltérőt is.

Itt fontos kiemelni két dolgot.

Az egyik az, hogy a Hallgatónak végig késznek kell lennie arra, hogy szükség esetén áttérjen más mértékegységrendszerre, ha a feladat, vagy a választott megoldási út azt kívánja.

A másik kiemelendő megjegyzés arra az esetre vonatkozik, amikor a Hallgató „trükkösen” kíván mértékegységeket használni, vagyis nem egy standardot választ, hanem szabadon határozza meg az egyes mennyiségek mértékegységét úgy, hogy a számolás számára minél egyszerűbb legyen. Ezt csak abban az esetben tudjuk javasolni, ha a Hallgató teljes magabiztossággal kezd hozzá a feladat megoldásához, fel tudja mérni, hogy hol tud egyszerűsíteni, és hol nem, illetve biztosan kezeli a mennyiségek különböző

mértékegységeit is.

Általános összefüggések felírása

Ezek után érdemes kiválasztani a feladatmegoldás útját. Ennek része azon alapvető összefüggések felírása, amelyek a megoldáshoz kellenek. Ezzel a Hallgató azt is összegzi magában, hogy milyen tudományterületek modelljeit kell alkalmaznia a feladatmegoldás során.

Fontos kiemelni, hogy az nem jó stratégia, ha minden, a témához többé-kevésbé kapcsolódó összefüggés felírásra kerül, az nem segíti a probléma egyszerűsítését, végső soron a feladat megoldását. Ennek a

lépésnek lényegi eleme a szükségtelen összefüggések kiszűrése, és azoknak az összegyűjtése, amik majd ténylegesen alkalmazásra kerülnek.

Koordinátarendszer választása

A Fizika alkalmazott ágainak feladataiban a legtöbb (majdnem minden) esetben szerepelnek vektorok és tenzorok. Ahhoz, hogy a velük kapcsolatos összefüggéseket egyszerű függvényekkel és számokkal végzett műveletekkel tudjuk felírni, szükséges egy koordinátarendszer megválasztása.

A mérnöki alkalmazások nagy része három dimenziós koordinátarendszert igényel (három független térbeli irányt reprezentálva), plusz tudni kell helyesen kezelni az idő múlását, vagyis az időkoordináta változását.

Fontos kiemelni, hogy a koordinátarendszer megválasztásától nem függnek a mérhető fizikai

mennyiségek, így a legtöbb alkalmazás-orientált feladat megoldása sem. Ezért nagyfokú szabadságunk van a koordinátarendszer megválasztásában.

Érdemes hát olyan rendszert választani, ami a legjobban igazodik a feladathoz, illetve olyat, aminek az alkalmazásában a hallgató biztos. Ez nem ritkán komoly mérlegelés tárgya. Viszont fontos kiemelni, hogy több feladat megoldása is irreálisan elbonyolódik, ha nem megfelelő koordinátarendszerben próbáljuk felírni az általános összefüggéseket.

Erre vonatkozóan a legtöbb standard feladatmegoldási út tartalmaz információkat, itt nem részletezzük tovább ezeket. A matematikai segédletben pedig kitérünk a derékszögű koordinátarendszerek

alkalmazásának néhány előnyére, illetve konkrét módszertani segédletet is adunk.

Az ábra kiegészítése, új ábra készítése

A koordinátarendszer(ek) kiválasztása után érdemes egy olyan ábrát készíteni, ami már konkrét segítséget fog adni a feladat megoldásában.

Ez lehet a korábban készített bevezető ábra kiegészítése, de lehet egy teljesen új ábra is.

Ezen már érdemes jelölni a választott koordinátarendszer(ek) tengelyirányait is, esetleg az origó helyzetét is.

Viszont mindenképpen érdemes a releváns fizikai mennyiségeket és kezdeti adatokat is szerepeltetni az ábrán, ami egyben a jelölésrendszer aktualizálását is jelenti az adott feladatra.

Az összefüggések aktualizálása a konkrét feladathoz, a választott koordinátarendszer- ben

Az ábra segítségével a korábban felírt általános összefüggéseket érdemes aktualizálni az adott koordinátarendszer, a kiinduló adatok és a választott feladatmegoldási út ismeretében.

Ezeket az egyenleteket a felírt mennyiségek dimenziója (skalár, vektor, tenzor), illetve a mértékegységek mentén is érdemes ellenőrizni. Erről még később értekezünk kicsit részletesebben.

Az eredmény egy egyenlet, vagy egyenletrendszer lesz, és az sem kizárt, hogy az egyenletek némelyike differenciálegyenlet lesz. Fontos törekedni arra, hogy az egyenleteket megoldható formában írjuk fel, és átlátható alakban, illetve sorrendben.

A felírt, konkrét egyenletekre vonatkozik néhány olyan szabály, amelynek a figyelembe vétele kiemelten fontos. Ugyanis a fizikai összefüggések nem csupán matematikai képletek. Az azokban szereplő

mennyiségek között meghatározott kapcsolatok állnak fent, amiket mindenképpen tiszteletben kell tartani.

Jellemző ellenőrzési pont, ha a Hallgató leellenőrzi, hogy az általa felírt összefüggés megfelelően kezeli-e a skalár-, vektor- és tenzormennyiségeket. Egy másik lehetséges ellenőrzési pont azt firtatja, hogy a felírt összefüggések megfelelően veszik-e figyelembe a mennyiségek mértékegységeit.

Készült ezzel a témával kapcsolatban két oktatási segédanyag, amik elérhetőek az alábbi linkeken:

http://www.uni-miskolc.hu/~www_fiz/majar/Oktatas/anyagmernok_nappali/Fizika1/Fizika1_nappali.htm Az anyag címe: A fizikai összefüggések származtatásának alapjai.

A jelen segédanyag végén található függelékben megtalálhatóak a legfontosabb szabályok, kiemelve.

Az összefüggések felírása során a Hallgatók rendszeresen elkövetnek egy hibát. Olyan képleteket írnak fel, amelyek az adaptált összefüggésekből sok lépésben vezethetőek le, vagy egy egyenletrendszer megoldását képezik.

Ez komoly probléma, lévén ezek a köztes lépések nem minden feladatban azonosak, így lehet, hogy a felírt összefüggés nem fog passzolni a megoldandó feladathoz – még akkor sem, ha egyébként a kiinduló képletek nagyon hasonlóak is. Ha több jelenség összefüggéseit is fel kell írni, ott még nagyobb a kavarodás.

Amennyiben a számolás során hiba történik, akkor az ebben az esetben általában nem is kideríthető.

Érdemes tehát ragaszkodni ahhoz, hogy az általános összefüggéseket közvetlenül alkalmazzuk a konkrét feladatra, és minden releváns képletet így felírunk.

Az egyenletrendszer megoldása (diffegyenlet is lehet benne), a megoldás ellenőrzése

Az így kapott egyenletrendszert megoldjuk. Erre rengeteg módszer használható, főleg, ha az összefüggések között van differenciálegyenlet is.

Általánosan felmerülő kérdés, hogy mikor érdemes behelyettesíteni. Erre sokféle válasz lehetséges, általában a feladatot megoldó személy preferenciái a döntőek.

A formális megoldásoknak előnye, hogy hiányzó adat esetén kideríthető, hogy az kiesik-e a megoldásból, vagy paraméterként kell kezelni. További előnye, hogy a megoldás szerkezetéből könnyebben érzékelhető, hogy a megoldás helyes-e. Továbbá, aki formálisan oldja meg az egyenletrendszert, az könnyebben tudja megtalálni az esetleges számolási hibákat.

Abban az esetben, ha egy, vagy több releváns fizikai mennyiség értéke nincs megadva, marad a formális, vagy paraméteres megoldása a feladatnak. Mindenképpen kerülendő az a módszer, hogy a Hallgató „hasra”

beír értékeket a hiányzóak helyére, és így ad egy megoldást.

Az eredmények értékelése, a válasz(ok) kiválasztása, megfogalmazása

A kapott megoldások közül ki kell választani azokat, amelyek fizikai szempontból helyesek, és ellenőrizni kell az egyenletrendszer megoldását a kiválasztott értékekkel/kifejezésekkel.

Végül összegezni, és értelmezni kell az eredményeket. Ennek része szöveges válasz(ok) megadása, ha kell, értelmezés megfogalmazása.

Ha a feladatban egy, vagy több releváns mennyiség paraméterként megmarad, és szerepel a megoldásban, akkor érdemes eset-vizsgálatot végezni, és feltárni, hogy a paraméter(ek) jellegzetes értékei esetén miben, mennyire különböznek a megoldások, és ezeknek mi a fizikai tartalma.

Matematikai segédlet

Az alábbiakban több olyan kérdés is előkerül, amely segít a fent összefoglalt feladatmegoldás során.

Koordináta-rendszerek

A Fizika feladatok megoldásának fontos része a megfelelő koordinátarendszer megválasztása, illetve az egyes fizikai mennyiségek felírása a választott koordinátarendszerben.

Derékszögű Descartes-koordinátarendszer

A vektorokkal végzett műveletek nagy része (ha a feladatnak nincs jól látható szimmetriája) derékszögű Descartes-koordinátarendszerben végezhető el legegyszerűbben. Az összeadás, a kivonás, a számmal történő szorzás, és így az egy változó szerinti deriválás és az egy változó mentén történő integrálás is

komponensenként elvégezhető. Így ezek a műveletek egyszerűen vezethetők vissza számokkal, illetve egyváltozós függvényekkel végzett műveletekre.

A függelékben idézzük egy másik segédanyag egyik fő fejezetét, javasoljuk először annak áttekintését. Az ott leírtakat egészítjük ki az alábbiakkal.

Két vektor vektoriális szorzatának kiszámítása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben

Tekintsünk két vektort derékszögű Descartes-koordinátarendszerben, ezeket (és komponenseiket) jelöljük az alábbi módon:

x y z

a a i a j a k   

és b b i b j b k _x _y _z .

Számoljuk ki ennek a két vektornak a vektoriális szorzatát! Az eredmény egy

x y z

c c i c j c k   

vektor, ennek komponenseit szeretnénk kiszámolni a fenti két vektor komponenseivel kifejezve.



 



c a b     a i a j a k    b i b j b k   .

A szorzás elvégzéséhez fel kell bontanunk a zárójeleket. Ezügyben a vektoriális szorzás ugyanúgy működik, mint többtagú skalár kifejezések szorzása, vagyis



 



Azonban vigyáznunk kell arra, hogy a szorzatok tagjait ne cseréljük fel egymással, mivel a számokkal ellentétben vektoriális szorzás esetén a b    b a 

. Így a

               

                       

x y z x y z x x x y x z

y x y y y z z x z y z z

c a b a i a j a k b i b j b k a i b i a i b j a i b k

a j b i a j b j a j b k a k b i a k b j a k b k

              

           

              

           

kifejezést kapjuk. Mivel a számmal való szorzás felcserélhető a vektoriális szorzással, a fenti kifejezés az alábbi módon rendezhető át:

           

     

x x x y x z y x y y y z

z x z y z z

c a b a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k a b k i a b k j a b k k

              

     

              

     

A továbblépéshez a koordinátarendszer tengelyeihez rögzített egységvektorok közötti vektoriális szorzatok eredményeire van szükségünk. Ehhez felhasználjuk, hogy ezek az egységvektorok egységnyi hosszúságúak, egymásra merőlegesek, és   i, j, k

sorrendben jobbkéz-rendszert alkotnak. Így i i     j j k k 0, i j k,  j k i,  k i  j

                . Ennek, illetve az a b    b a 

általános összefüggés alkalmazásával a fenti vektoriális szorzat az alábbi alakot ölti

           

x y x z y x y z z x z y

x y x z y x y z z x z y

c a b a b k a b j a b k a b i a b j a b i

a b k a b j a b k a b i a b j a b i

           

     

        

     

Ha összegyűjtjük az azonos vektorokkal szorzott tagokat, előáll a vektoriális szorzat vektor felbontása a Descartes-koordinátarendszerben:



 

 

 ^

^ 



c a b     a i a j a k    b i b j b k    a b a b i a b a b j a b a b k , amit oszlopvektor alakban az alábbi módon foglalhatjuk össze:

x y z z y

y z x x z

z x y y x

c a b a b

c a b c a b a b

c a b a b

  

   

      

    

   

  

.

Síkbeli polár-koordinátarendszer

Bár a legtöbb vektorművelet a derékszögű Descartes-koordinátarendszerben végezhető el, ha egy problémának van valamilyen jellegzetes szimmetriája, az nagyban megkönnyíti a feladat megoldását. Ez különösen fontos azokban az esetekben, amelyekben az integrálás is döntő szerepet játszik.

Ilyen esetekben érdemes egy másfajta koordináta-rendszert választani. Ebben néhány művelet lehet, hogy problémásabban végezhető el, de összességében a feladat könnyebben megoldható, ha a választott

koordinátarendszer tükrözi a fizikai probléma szimmetriáját.

Például, a síkmozgások közül a körmozgás egy jellegzetes példa. Körmozgás esetén minden műveletet úgy kell elvégezni, hogy a körpálya sugara r x²y² állandó. Ez nagyban megnehezíti a deriválást és az integrálást.

De ha a körmozgásnak jobban megfelelő rendszert választanánk, ezek a problémák nagyban leegyszerűsödnének! Ennek érdekében tekintsük az alábbi koordinátarendszert!

Vegyünk egy O (origó) pontot a mozgás síkjában!

Az egyik koordinátánk az ettől mért ’r’ távolság lesz.

Most válasszunk egy referencia-irányt az origóból indítva!

A másik koordinátánk az ettől az iránytól mért ’φ’ szög lesz. A szög pozitív, ha az óramutató járásával ellentétesen haladunk.

Így egy tetszőleges P pont helyzete jellemezhető az r, illetve a φ értékének megadásával.

Ennek a koordinátarendszerben a körmozgás feltétele már sokkal egyszerűbben megadható, r = állandó, és az integrálásokat a φ szög mentén tudjuk elvégezni.

Azonban akkor tudjuk a korábbi eredményeinket felhasználni, ha egyértelműen megmondjuk, hogy mi a kapcsolat a derékszögű Descartes-koordinátarendszer és a polár-koordinátarendszer között. Ehhez a fenti ábrát megvizsgáljuk „felülnézetből” úgy, hogy arra felveszünk egy Descartes-rendszert úgy, hogy annak origója az O pont legyen, és ’x’ tengelye essen egybe a referencia-egyenessel.

O

·

O

·

O

·

P

·

r φ

O ·

r φ

P

·

x y

Az összefüggések tisztázásához berajzolunk egy derékszögű háromszöget

Ez alapján az összefüggések már megadhatóak:

2 2

r x y

x r cos

y r sin tg y

x

 

 

    

Megjegyzés: matematikai szempontból a két koordinátarendszer nem teljesen egyenértékű. Ugyanis az origóban r = 0, de a φ szögelfordulás értéke nem határozható meg, míg a egyértelműen megadható annak x és y koordinátája.

Ezt a kérdést azonban a fizikai alkalmazásokban kezelni tudjuk.

Próbáljuk meg vizualizálni, hogy mit jelent, ha az egyik mennyiséget változtatjuk, míg a másik bármilyen értéket felvehet. Ennek titka az, hogy összekötjük az azonos értékhez tartozó pontokat. Ha a sugár értékét változtatjuk, akkor az az alábbi módon vizualizálható:

Ha pedig a φ értéket, akkor

O ·

r φ

P

·

x y

O ·

O ·

Ahogy a derékszögű Descartes-koordinátarendszerben, úgy itt is fontos megadnunk egységvektorokat ahhoz, hogy a releváns számításokat elvégezhessük. Az alapvető szabály az, hogy az adott koordinátához tartozó egységvektor abba az irányba mutat, amerre a mennyiség változik. Így a síkbeli polár-

koordinátarendszer egységvektorai (e_r jelöli az r-hez tartozó, míg e_ a φ-hez tartozó egységvektort)

Látható, hogy e_r sugárirányú, míg e_ érinti az origó középpontú, r sugarú kört. Így a két egységvektor merőleges egymásra, tehát így ez is egy derékszögű koordinátarendszert alkot.

A vektorműveleteket erre a koordinátarendszerre ezen két egységvektor segítségével tudjuk megfogalmazni.

A későbbiek kedvéért felrajzoljuk a fenti ábrát félig oldalnézetből is.

Henger-koordinátarendszer

Ha egy háromdimenziós probléma tengelyszimmetriával rendelkezik, érdemes azt henger- koordinátarendszerben leírni.

A szimmetriatengelyünk lesz a koordinátarendszer ’z’ tengelye. Vegyünk egy O (origó) pontot a szimmetriatengelyen, innentől mérjük majd ’z’ értékét!

O ·

r φ

er

e_



O ·

r φ

er

e_ 



O ·

z

A második koordinátánk az ettől mért ’r’ távolság lesz.

Most válasszunk egy referencia-irányt az origóból indítva!

A harmadik koordinátánk az ettől az iránytól mért ’φ’ szög lesz. A szög pozitív, ha az óramutató járásával ellentétesen haladunk.

Így egy tetszőleges P pont helyzete jellemezhető a ’z’, az ’r’ és a ’φ’ értékének megadásával.

Ahhoz, hogy ezt ábrázolni tudjuk, az adott ’z’ értékhez tartozó síkot is berajzoljuk (ami természetesen merőleges a ’z’ tengelyre). Erre a síkra felrajzoljuk a referencia-irányt is.

Itt is fontos tisztáznunk, hogy mi a kapcsolat a derékszögű Descartes-koordinátarendszer és a henger- koordinátarendszer között. Ehhez berajzolunk egy derékszögű Descartes-koordinátarendszert, amelynek origója és ’z’ tengelye megegyezik a henger-koordinátarendszerével. Az ’x’ tengely a referencia-irányba fog mutatni, az ’y’ tengely irányát a jobbkéz-szabály fogja rögzíteni.

O ·

z

P

·

r φ

O ·

z

z

O ·

z

P

·

r φ z

y

x

A síkbeli polár-koordinátarendszernél felírt összefüggések mentén az alábbiakat mondhatjuk el.

2 2

r x y

x r cos

y r sin tg y

z z z zx

 

 

    

 

Megjegyzés: matematikai szempontból a két koordinátarendszer ismét nem teljesen egyenértékű. Ugyanis a tengely mentén r = 0, de a φ szögelfordulás értéke nem határozható meg, míg a egyértelműen megadható annak x, y és z koordinátája.

Ezt a kérdést azonban a fizikai alkalmazásokban kezelni tudjuk.

Ismét próbáljuk meg vizualizálni, mit jelent a különböző paraméterek megváltozása! Ehhez meghatározzuk azokat a síkokat, amelyek azonos értékekhez tartoznak.

Ha a ’z’ koordináta változik, vízszintes síkokat kapunk, ezeken belül állandó z értéke.

Ha az azonos ’φ’ szöghöz tartozó síkokat rajzoljuk fel:

O ·

z

O ·

Ha pedig ’r’-et változtatjuk:

Itt is fontos lenne megadnunk az egységvektorok irányát. Ezek az alábbiak (e_z jelöli a z-hez tartozó, e_r jelöli az r-hez tartozó, míg e_ a φ-hez tartozó egységvektort)

merőleges a ’z’ tengelyre). Erre a síkra felrajzoljuk a referencia-irányt is.

Ismét mindhárom egységvektor merőleges egymásra, lévén e_z a ’z’ tengely irányába mutat, e_{r a ’z’}

irányra merőleges síkban sugárirányban, e_ pedig ugyanebben a síkban, de a berajzolt kör érintője irányába (vagyis a sugárirányra merőlegesen).

Gömbi polár-koordinátarendszer

Ha egy probléma gömbszimmetrikus, érdemes gömbi polár-koordinátarendszerben leírni.

Veszünk egy O pontot, ami a rendszer origója lesz, és választunk két referencia-irányt egymásra merőlegesen.

O ·

er

e_ 

O ·

r φ

z ^ez

O ·

Az első koordinátánk az origótól mért ’r’ távolság lesz.

A függőlegesen választott referenciairányhoz képesti szögelfordulást jelöljük φ-vel!

Az erre merőleges síkban választott referencia-irányhoz képesti szögeltérést pedig θ-val jelöljük. Ez utóbbit a síkbeli vetület segítségével tudjuk ábrázolni.

Ismét tisztázzuk, hogy mi a kapcsolat a derékszögű Descartes-koordinátarendszer és a fenti

koordinátarendszerek között. Ehhez berajzolunk egy derékszögű Descartes-koordinátarendszert, amelynek origója megegyezik a gömbi polár-koordinátarendszerével. A ’z’ tengely a függőleges, az ’x’ tengely a vízszintes referencia-irányba fog mutatni, az ’y’ tengely irányát a jobbkéz-szabály fogja rögzíteni.

A trigonometria összefüggéseit használva az alábbi eredményeket kapjuk.

2 2 2

2 2 2

r x y z

x r cos sin

y r sin sin tg y

z r cos z x z

cos r x y z

  

  

     

 

  

 

Megjegyzés: matematikai szempontból a két koordinátarendszer ismét nem teljesen egyenértékű. Ugyanis az origóban r = 0, de sem a θ, sem a φ szög értéke nem határozható meg, míg a egyértelműen megadható annak x, y és z koordinátája.

A fizikai feladatok megoldásánál ezt ezesetben is tudjuk megfelelően kezelni.

Ismét próbáljuk meg vizualizálni, mit jelent a különböző paraméterek megváltozása! Ehhez meghatározzuk azokat a síkokat, amelyek azonos értékekhez tartoznak.

Ha az ’r’ értékét változtatjuk, koncentrikus gömbfelületeket kapunk.

φ

O ·

P

·

θ

φ

O ·

z

x y

Ha az azonos ’θ’ szöghöz tartozó síkokat rajzoljuk fel:

Ha pedig ’φ’-t változtatjuk:

Itt is fontos megadjuk az egységvektorok irányát. Ezek az alábbiak (e_r jelöli az r-hez tartozó, e_ jelöli a θ változását leíró, míg e_ a φ-hez tartozó egységvektort)

er

 e_



O ·

O ·

e_



φ

O ·

Látható, hogy e_r sugárirányú, míg e_ érinti az origó középpontú, r sugarú, függőleges körívet, míg e_ a függőleges referencia-irányra merőleges síkban van, az ottani körív érintője. Így mindhárom egységvektor merőleges egymásra, tehát így ez is egy derékszögű koordinátarendszert alkot.

Határérték, differenciál- és integrálszámítás

Az egyetemi képzésben a négy alapművelet több más matematikai művelettel egészül ki. Ezek közül az egyik kiemelt témakör a határérték-számítás, a differenciálszámítás (vagy rövidebb nevén deriválás) és az integrálás.

A fizikai alkalmazások tekintetében érdemes ezen műveletek esetében szétválasztani két dolgot. A fizikai elvek, modellek és azok matematikai megfogalmazása, vagyis a fizikai összefüggések megértése

szempontjából az a fontos, hogy megértsük, hogy az adott műveletnek mi a jelentése, az elve. Az alkalmazások, számítások tekintetében pedig a művelet végrehajtásának szabályai a fontosak.

A két dolog közti kapcsolat nem mindig látszik azonnal, ami kavarodásokat okozhat. Az alábbiakban külön foglalkozunk az egyes műveletek tartalmával, elvével, illetve a végrehajtásának szabályaival.

Határérték fogalma

A határérték fogalma több mindent is magába foglal sorozatok, sorok határértékétől függvény adott pontbeli határértékén át annak végtelenbeli viselkedésének vizsgálatáig.

Például az 1/x függvény az x=0 helyhez közeledve tarthat ∞-hez, vagy -∞-hez attól függően, hogy az x=0 értéket a pozitív, vagy a negatív x értékek felől közelítjük. Ezen felül, ha x értéke tart a végtelenhez (vagy a negatív végtelenhez), akkor a függvény értéke 0-hoz tart.

A Fizikában kiemelten fontos azon határértékek kiértékelése, amelyben két (egymástól függő) mennyiség hányadosának vizsgáljuk a határértékét. Ekkor ugyanis, bár az egyes mennyiségek értéke tart 0-hoz, a hányadosuk egy véges értékhez tart.

Ez olyankor fontos, amikor egy-egy mennyiség nem egyenletesen változik, hanem bonyolultabban.

Például nézzük egy nem homogén anyageloszlású tárgy sűrűségét egy adott, P-vel jelölt pontban. Ha az anyag eloszlása nem homogén, akkor a sűrűsége akár pontról pontra változhat, amit a szokásos m/V számolással nem tudunk lekövetni. Így nem igazán tudnánk értelmezni azt, hogy egy fémből készült hajó úszik a víz felszínén.

Az alábbi tárgyban a választott P pont körül vegyünk egy kis kockát!

Erre a kis kockára kiszámoljuk a sűrűséget, m(V)-vel jelölve a V térfogatban lévő tömeget:

kocka

m(V)

  V .

P

.

De ez nem elegendően pontos. Egyre kisebb és kisebb kockát kellene választunk a P pont körül. Így bár a térfogat és a tömeg is egyre csökken, a hányadosuk egy konkrét értékhez fog tartani. Ezt egy V→0

határátmenettel tudjuk a lehető legpontosabbá tenni, így megkapjuk a P pontbeli sűrűség értékét, vagyis

V 0

(P) limm(V) V

   .

Természetesen nem fogjuk végtelen sok pontban elvégezni ezt a határátmenetet, de az elve a pontbeli sűrűség kiszámításának ez. Ha a térfogaton belül meg tudjuk adni a sűrűség változását pontról pontra, ki tudjuk számítani annak teljes tömegét. De erre később visszatérünk.

Ennek kiegészítéseként fontos megemlíteni az átlagsűrűség fogalmát, a korábbi m/V kifejezést ennek kiszámolására használhatjuk, vagyis ha a teljes tömeg m, a teljes térfogat V, akkor

m

  V.

Egy másik fontos határérték-típus az, amikor a hányadosban két mennyiség megváltozása szerepel. Erre példának egy tömegpont helyzetének változását választjuk egydimenziós (egyenes vonalú) mozgás esetén.

Ha a test x1 helyről x2-ig mozog, kiszámíthatjuk az elmozdulását, ami Δx = x2 - x1. Ha ezt elosztjuk az eközben eltelt Δt = t2 - t1 idővel, akkor egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a hányados megadja a sebesség nagyságát, vagyis

2 1

2 1

x x x

v t t t

 

 

  ^.

Ez azonban csak akkor igaz, ha a sebesség állandó nagyságú és irányú (ez az egyenes vonalú egyenletes mozgás). De képzeljük el, hogy a mozgás során visszatérünk a kiindulási pontra. Ekkor a fenti számolással zérus sebességet kapnánk, ami nyilván nem helyes a mozgás leírásában.

Azonban, ha elkezdjük a t2 időpontot közelíteni t1-hez, megkaphatjuk a sebesség értékét a t1

időpillanatban.

2 1

2 1

1 t t

2 1

x x v(t ) lim

t t



 



Ezt hasznos átírni az alábbi alakba, figyelembe véve a Δx = x2 - x1 és Δt = t2 - t1 összefüggéseket.

1 t 0

v(t ) lim x t

 

 



Bár a két megváltozás 0-hoz tart, a kettő hányadosa egy véges értékhez közelít, ami megadja a sebesség nagyságát a kérdéses időpontban. Ez ebben a formában már átvezet bennünket a differenciálszámítás területére.

Differenciálszámítás

A fenti sebességszámítási példa jó felvezetése a differencia- illetve differenciál-számításhoz. Tekintsük át most ennek a menetét egy y f (x) függvényen!

Kíváncsiak vagyunk arra, hogy a függvény hogyan, és mennyire változik x függvényében, ki szeretnénk számolni a változás ütemét. Egyszerű függvény esetén ehhez az alábbi differenciát számoljuk ki:

2 1

2 1

y y

m x x

 

 ^,

ahol m az egyszerű függvény meredeksége. Ha ismerjük a függvény konkrét alakját, akkor a fenti kifejezés átírható

2 1 2 1

2 1 2 1

y y f (x ) f (x )

m x x x x

 

 

 

alakba. Ez azonban félrevezető egy bonyolultabb függvény esetén. Tekintsük az alábbi függvényt!

Ezen függvény esetén a fenti differencia-hányados

a szaggatott vonallal jelölt egyenes meredekségét adja meg. Ennek azonban nem sok köze van a függvény meredekségéhez sem x1, sem x2 pontban.

Próbáljuk most meghatározni a függvény meredekségét az x1 pontban. Ehhez a kiindulópontot a fenti differencia-hányados jelenti.

Kezdjük el közelíteni x2-t a vizsgált x1 értékhez!

y=f(x)

x

x y=f(x)

x1 x2

y1

y2

x y=f(x)

x1 x2

y1

y2

Ezt a logikát követve a szaggatott vonallal jelölt egyenes a görbe érintőjébe megy át az x1 ponton.

A korábban felírt differencia-hányados ekkor átmegy differenciál-hányadosba, ami ennek az érintő egyenesnek a meredekségét adja meg, ami a görbe adott pontbeli meredeksége. Ezt az alábbi módon fogalmazzuk meg:

2 1 2 1

2 1 2 1

1 x x x x

2 1 2 1

y y f (x ) f (x )

m(x ) lim lim

x x x x

 

 

 

  ^.

Mindezt átfogalmazhatjuk, ha bevezetjük az x és y megváltozását, vagyis Δx = x2 - x1 és Δy = y2 - y1 lesz.

Ennek felhasználásával

1 1

1 x 0 x 0

f (x x) f (x ) m(x ) lim y lim

x x

   

  

  

  ^.

A fizikai mennyiségek származtatása során fontos, hogy a függvény meredekségét ne csak egy pontban, hanem tetszőleges pontban meg tudjuk határozni. A fenti elgondolás mentén ezt pontról pontra

x y=f(x)

x1 x2

y1

y2

x y=f(x)

x1 x2

y1

y2

x y=f(x)

x1

y1

elvégezhetjük, és így az eredmény egy olyan függvény lesz, amely bármilyen pontban megadja a függvény meredekségét. Ezt nevezzük derivált-függvénynek.

x 0

f (x x) f (x) df m(x) lim

x dx

 

  

 

 ^.

Természetesen a derivált-függvény kiszámolását nem végtelen sok határérték kiszámításával határozzuk meg, hanem általános, illetve konkrét függvényekre vonatkozó szabályokat alkotunk a határérték-számítás segítségével. Ezeket a szabályokat alkalmazva bárki elvégezheti konkrét függvények deriválását anélkül, hogy határértéket kellene számolnia.

Az egyváltozós függvény deriválásának alapja azonban a fenti elgondolás, aminek során egy mennyiség (ezt most y-nal jelöltük) változásának ütemét tudjuk megadni egy változó (x-szel jelölve) függvényében.

Egy korábbi példára visszatérve, egy egydimenziós mozgás során a tömegpont helyzetének

megváltozásának ütemét (amit x-szel jelöltünk) meg tudjuk adni a t időkoordináta függvényében. Ezt nevezzük pillanatnyi sebességnek, ami a fenti gondolatmenetet követve nem más, mint az x(t) görbe érintőjének meredeksége (idő)pontról (idő)pontra.

A deriválás eredménye tehát a v(t) függvény, ami bármely releváns időpontban megadja a sebesség aktuális értékét.

Deriválási szabályok – általános szabályok

A határérték-számítást alkalmazva az alábbi általános szabályokat kapjuk.

Ha ismerjük egy f(x) függvény deriváltját, akkor ki tudjuk számolni annak a függvénynek a deriváltját is, ami előáll, mint f(x) és egy ’a’ szám szorzata.

     

d af x d f x

dx a dx , vagy röviden (ahol ’ jelöli a deriválást):



  

 

Ha ismerjük f(x) és g(x) derivált-függvényét, akkor kiszámolhatjuk a két függvény összegének a deriváltját:

   

     

d f x g x d f x d g x

dx dx dx

   , vagy rövidebben



   



 

 

Kiszámolhatjuk továbbá a két függvény szorzatának deriváltját:

   

         

d f x g x d f x d g x

g x f x

dx dx dx

   , illetve



   



       

A két függvény hányadosának deriváltja pedig

           

 

2

f x f x g x f x g x

g x g x

  

  

  

 

  ^lesz.

Bonyolultabb függvények esetén szükség lehet egy függvény reciprokát is deriválni. Ez a fenti összefüggésből kiszámolható, ha az egyik függvény a konstans ’1’ függvény. Így:

   

 

2

1 f x

f x f x

 

 

   

 

  ^.

Összetettebb függvények esetén szükség lehet a közvetett függvény deriválási szabályára.

       

d f y x d f y d y x dx  dy  dx .

Magyarázatként álljon itt egy példa. Szeretnénk lederiválni a sin(x²) függvényt. Ez nem elemi függvény, nincs önálló deriválási szabálya. Azonban figyelembe véve, hogy f(y)=sin(y) és y(x)=x², a fenti szabály segítségével a derivált-függvény kiszámolható.

Deriválási szabályok – konkrét függvények deriválása

Álljanak itt a legfontosabb elemi függvények deriválási szabályai.

 

 

^

^









Vektormennyiség deriválása, a sebesség fogalma

A fizikában gyakran találkozunk olyan mennyiségekkel, amelyek vektorokkal írhatóak le. Ilyen például a sebesség. Röviden vázoljuk, hogy ha egy vektormennyiség egyetlen változótól függ (esetünkben a pályát meghatározó helyvektor az időtől), akkor hogyan lehet azt lederiválni, mit jelent ezesetben a

differenciálhányados.

Egy választott koordinátarendszerben a tömegpont helyzetét egy vektorral adhatjuk meg, amelynek kiindulópontja az origó, és a tömegpont aktuális helyzetébe mutat.

Ezt az alábbi ábrán szemléltetjük, megjegyezve, hogy a három dimenziós ábrán az időt már nem tudjuk jelölni, így azt egy trükkel jelenítjük majd meg.

a test helyzete t1

időpontban

a test helyzete t2

időpontban

x y

z

Rajzoljuk most fel a r12 r 2 r1

elmozdulásvektort a ’t1’ és ’t2’ időpontok között

Ebből képezhetjük a

12 2 1 2 1

2 1 2 1

r(t ) r(t )

r r r

t t t t t



   

  

 

  

differencia-hányadost, ahol a második alaknál feltettük, hogy ismerjük a pályagörbét leíró r(t)

összefüggést.

Érzékelhető azonban, hogy ennek nem sok köze van a test pillanatnyi sebességéhez, mondjuk a ’t1’ időpontban.

A probléma megoldásának módszere lényegében megegyezik a korábbi gondolatmenettel. Elkezdjük közelíteni a ’t2’ időpontot ’t1’-hez. Ezzel előbb-utóbb az  r2 r(t )2

helyvektor elkezd „közeledni” (a pályagörbét követve) az  r1r(t )1

vektorhoz.

x y

z

x y

z

Ha az  r2r(t )2

„végtelenül megközelíti” az r 1r(t )1

helyvektort, akkor az elmozdulás is „végtelenül kicsi”, infinitezimális lesz, viszont a közben eltelt idővel leosztva kapunk egy véges hosszal, és jól definiált iránnyal rendelkező vektormennyiséget, ezt nevezzük a ’t1’ időpontbeli sebességnek.

x y

z

x y

z

x y

z

A fenti folyamatot az alábbi módon írhatjuk le matematikai formulával:

2 1 2 1

2 1 2 1

1 t t t t

2 1 2 1

r(t ) r(t ) r r

v(t ) lim lim

t t t t

 



  

 

 

  

,

illetve, ha bevezetjük, hogy   t t₂ t₁,

1 1

1 t 0

r(t t) r(t ) v(t ) lim

t

 

  

 

 

 .

Ha a fenti eljárást minden időpillanatban elvégezzük, akkor megkapjuk a sebességvektor időfüggésének leírását, vagyis

t 0

r(t t) r(t) dr(t) v(t) lim

t dt

 

  

 



  

 .

A deriválás konkrét elvégzése nagyban függ a választott koordinátarendszertől. Derékszögű Descartes- koordinátarendszerben a deriválás komponensenként elvégezhető, ahol az egyes komponensek az idő egyszerű függvényei

x y z

dx(t) v (t) dt

dy(t) v(t) v (t)

v (t) dz(t)dt dt

 

 

   

   

    

 .

Más koordinátarendszerekben is igyekszünk a deriválást függvények egyszerű, egy változó szerinti deriválására visszavezetni.

Bonyolultabb differenciálfogalmak

Bár túlmutat ennek a segédanyagnak a keretein, fontos megemlítenünk a fentieknél bonyolultabb

differenciál-fogalmakat is. Hiszen egy fizikai mennyiség jellemzően nem csak egy változótól függ, és fontos lehet a többi változótól való függés tulajdonságainak felmérése is.

Külön kiemelendőek azok a mennyiségek, amelyek a helytől függnek (ami három dimenzióban három változót jelent). Egy ilyen mennyiség tulajdonságainak feltárásához többfajta deriválási módszer és fogalom is használható a parciális deriválástól az iránymenti deriválton át a rotáció-képzésig.

Integrálszámítás

Rendezzük át a korábban felírt differencia-hányadost az alábbi formában:

m y y m x

x

     



Ha csak a görbe meredekséget ismerjük, akkor ezzel az összefüggéssel ki tudjuk számolni y megváltozását bármilyen Δx-re. Ha a meredekség állandó, akkor ezt egyszerűen ábrázolhatjuk.

De mi a helyzet akkor, ha a meredekség-függvény ennél bonyolultabb?

Ebben az esetben is Δy kiszámolható, mint a meredekség-függvény alatti terület. De egy tetszőleges esetben hogyan számolható ki egy tetszőleges F(x) függvény alatti területe?

A probléma lényege, hogy nem tudjuk, hogy a választott szakaszon melyik F(x) értékkel számoljunk. A bal szélső értéket, a jobb szélsőt, a maximumot, vagy a minimumot használjuk? Esetleg nem is téglalappal kellene számolnunk?

x m

x1 x2

Δy

x1 x2 x Δy

m

x1 x2 x Δy F(x)

A megoldás elve egyszerű. A fenti, x1 és x2 közti intervallumot felbontjuk kisebb részekre.

Az egyes szakaszokon bármelyik függvényértéket választjuk, a kis F(x)Δx területeket összeadva, egy sokkal pontosabb eredményt kapunk a függvény alatti területre x1 és x2 között.

A felosztást egyre tovább finomítva eljutunk oda, hogy a kis F(x)Δx szorzatok összege pontosan megadja a függvény alatti területet. Mivel nem tudjuk, hogy az F(x) függvény mennyire „hevesen” változik, a felosztás finomságára a megfelelő kép, hogy az „végtelenül finom”, vagyis a Δx intervallumok infinitezimálisan kicsik. Ekkor dx-szel jelöljük őket.

Összeadva a végtelen sok F(x)dx területet, megkapjuk a függvény alatti terület pontos alakját, és ekkor már nem merül fel problémaként, hogy az adott szakaszon melyik függvényértékkel számolunk, vagy hogy téglalappal közelítjük-e a függvény alatti területet.

Ezt az alábbi módon jelöljük

2

1 x

x

y F(x)dx

 



Természetesen a konkrét számolást nem végtelen sok szorzás elvégzésével hajtjuk végre, erre vonatkoznak az alábbi szabályok.

Integrálás végrehajtása

Mint a fenti gondolatmenetekből látható, szoros kapcsolat áll fent a deriválás és az integrálás között. Ezt a kapcsolatot a Newton-Leibniz szabály tisztázza. A fentiekben felírt függvény alatti területet, vagyis a

2

1 x

x

y F(x)dx

 



határozott integrált ki tudjuk számolni, ha megtaláljuk azt az f(x) függvényt, amit ha lederiválunk, F(x)-et kapunk. Ezzel

2

1 x

2 1

x

y F(x)dx f (x ) f (x )

 



A módszer tehát a következő. Megkeressük azt az f(x) függvényt (ezt hívjuk primitív függvénynek), amit deriválva F(x)-et kapunk. Ez lesz F(x) határozatlan integrálja. Majd behelyettesítjük x2 és x1 értékét,

kivonjuk a kettőt egymásból, és megkapjuk a határozott integrál eredményét.

Megjegyzés: a fentiekben, hogy láthatóvá tegyük a meredekség és a függvény alatti terület közti kapcsolatot, a szokásostól eltérő jelölést használtunk. Az általánosan elfogadott jelölés az, hogy keressük az f(x)

x1 x2 x F(x)

függvény integrálját, és ekkor a primitív függvényt F(x)-szel jelöljük. Mi továbbra is maradunk a fenti jelöléseknél.

A határozatlan integrálás így a deriválás „ellentéte”. Az elemi függvényekre vonatkozó integrálási szabályok így megkaphatóak a deriválás szabályaiból – hozzátéve, hogy minden f(x)-ben megjelenik egy integrálási konstans, mivel annak deriváltja zérus.

 

_

vagy kis átalakítás után

n 1 n 1

x dx x C

n 1

  



Továbbá

 

_



















sin x dx cos x C



Ezen felül a deriválás szabályainak alkalmazásával elmondható, hogy aF(x) dx a F(x) dx

 





  

A szorzat-függvény deriválásának szabálya az alapja a parciális integrálás módszerének, míg a

változócsere a közvetett függvény deriválási szabályán alapul. De ezekben a részletekben itt nincs módunk elmélyedni.

Bonyolultabb integrálfogalmak

A fenti elgondolások sokkal szélesebb körben is alkalmazhatóak, mint egyváltozós függvények függvény alatti területének kiszámítása. Nézzünk erre két, jellegzetes példát!

A határérték-számítás felvezetésekor írtunk a sűrűség megfelelő kiszámításáról, pontról pontra. Fordítsuk most meg a gondolatmenetünket!

Ha a sűrűsé állandó, akkor a test tömege egy egyszerű szorzással kiszámolható az m V

összefüggéssel. Ha viszont a sűrűség pontról pontra változik, a szorzat segítségével aligha számolható ki helyesen a test tömege.

A probléma megoldásként gondolatban vágjuk fel a testet kis kockákra. Ezek legyenek annyira kis kockák, hogy azokon belül állandónak tekinthetőek legyen a sűrűség. Ekkor, egy kis, dV térfogatú rész tömege dm dV. Egy ’d’-vel jelöltük, hogy egy pici tömeg-darabról van szó.

A test teljes tömegét ezen kis tömegek összeadásával kapjuk meg.

Ahhoz, hogy bármilyen sűrűségeloszlás, és bármilyen alakú test kezelhető legyen, a kis kockák méretét végtelenül kicsire kell választanunk. A dm dV tömegdarabkák összege így pontosan megadja a test össztömegét.

Ezt a folyamatot hívhatjuk a sűrűség térfogati integráljának, jelölése

Vtest

m



Egy másik példa lehet a munka kiszámítása. A munka könnyen megadható, amennyiben az erőhatás a mozgás mentén állandó (vektorként, vagyis nagysága és iránya is állandó), és a test egyenes mentén halad.

Ebben az esetben W F   r, vagyis a munkavégzés az erő és az elmozdulás skaláris szorzata.

Viszont ennél bonyolultabb a helyzet, ha az erőhatás függ a test helyzetétől (erre jó példa a Newton-féle gravitációs erő, amely függ a vonzócentrumok távolságától), és/vagy ha a test nem egyenes mentén halad.

Ebben az esetben a pályát felosztjuk végtelenül kis szakaszokra, amelyek mentén az elmozdulás egyenesnek tekinthető, és amelyeken belül az erő állandó (nagyság és irány szerint). Az ezeken a kis szakaszokon végzett pici munkákat az alábbi módon jelöljük, és számoljuk ki:

dW F(r) dr    ,

ahol dr jelöli az infinitezimális elmozdulást. Ezeket a kis munka-darabkákat összeadjuk, és az eredmény pontosan megadja egy tetszőleges erőtér munkáját egy tetszőleges út mentén. Ez a módszer egy egyszerű, képszerű leírása a vonalment integrál értelmezésének. Vagyis a munka az erő vonalmenti integrálja a pályagörbe mentén, miközben a test r_{1 helyről}

r2

 -ig mozog. Ennek jelölése

2

1 r

r

W







  _.

Ezek természetesen csak értelmezései, képi megfogalmazásai két integrálfogalomnak. Ezeknek megvan a matematikailag pontos felvezetése is. Azonban a fizikai alkalmazások tekintetében ezek segíthetnek az összetettebb fogalmak megértésében.

Fontos még kiemelni, hogy a fenti példák nem nyilatkoznak az integrálások elvégzéséről.

Általánosságban elmondható, hogy különböző módszerekkel igyekszünk ezeket a bonyolult integrálokat visszavezetni egyváltozós függvények integrálására. Ez nem mindig sikerül, de a lényegi alkalmazások esetében rengeteg jól alkalmazható eljárás áll rendelkezésünkre.

Végső esetben pedig használhatunk számítógépes, numerikus eljárásokat is.

Differenciálegyenletek

A matematika több területe is foglalkozik a különböző típusú differenciálegyenletek tulajdonságainak feltárásával, vagy konkrét megoldásával.

Differenciálegyenletnek olyan egyenleteket hívunk, amelyekben a kiszámítandó függvény (mennyiség) és annak különféle deriváltjai szerepelnek. A legmagasabb derivált adja meg a differenciálegyenlet rendjét, vagyis a másodrendű differenciál-egyenletben a kiszámolandó mennyiségnek legfeljebb második deriváltja szerepel.

Az egyenletek pontos megoldásához szükség van kezdeti, illetve határfeltételekre. Például minden hajítás ugyanazzal a differenciálegyenlettel írható fel, de a hajítás típusa (függőleges, vízszintes, ferde), vagy egy adott pillanatban a test helyzete csak a kezdeti feltételek (ezesetben a kezdeti sebesség és a kezdeti hely) ismeretében határozhatóak meg.

Sok egyenlet van, amit nem tudunk megoldani zárt alakban, és a numerikus módszerek sem kielégítőek (vagy nem tudjuk, hogy azok-e). Ilyenkor fontos, hogy a matematika nyilatkozzon az egyenlet

megoldásának egzisztencia- és unicitás-tételeiről.

Az egzisztencia-tételek azt firtatják, hogy a differenciál-egyenletnek van-e a vizsgált értelmezési

tartományon megoldása. Az unicitás-tételek pedig arról nyilatkoznak, hogy az egyenletnek egy, vagy több, egymástól független megoldása van-e.

Függelék I. – Fontos függvények a fizikában (és tulajdonságaik) segédanyag

Hatványozási szabályok

a b a b

y^ y y

 

ab a

y  y

1 1

y y

 

a a

y 1 y

 

a a b

b

y y y

 

1/a a

y  y

a /b b a

y  y

a /b b a

y 1

y

 

A logaritmusképzés szabályai

a a a

log y log z log yz 

a a a

log y log z log y

  z

b

a a

b log y log y 

b a

b

log y log y

log a



Hatványfüggvények, polinomok, racionális törtfüggvény

Meghatározás f (x) x b

f (x) ax b

2 3 n i

0 1 2 3 i

i 0

f (x) a a x a x a x a x



    ^



n i

2 3 i

0 1 2 3 i 0

m

2 3

0 1 2 3 i

i i 0

a a x a x a x a x f (x)

b b x b x b x b x





   

 

   







Deriválása

n

d x n 1

dx n x

 

     

d af x d f x dx a dx



  

^{ }

   

     

d f x g x d f x d g x

dx dx dx

  

   





 

 

 

d ax an x dx

 

n

 

i i

i n n

i i 1

i 0

i

i 0 i 1

d a x d a x

a i x

dx dx

 

 

 

  

Exponenciális függvény és logaritmus függvény

Meghatározás, a függvények alakja 2x

ex

e^x

Deriválás, integrálás

x

d e x

dx e

x

d e x

dx e

   

x x

d e e

dx

   

 

d ln x 1 dx  x

Szinusz és koszinusz

Meghatározás, a függvények alakja

Deriválás, integrálás

 

d sin x

cos x dx 

 

d cos x

sin x dx  

Nevezetes azonosságok

   

sin x cos 90 x

   

sin 90x cos x

   

sin x  sin x

   

cos x cos x

2 2

sin x cos x 1 

 

sin x y sin x cos y sin ycos x

 

sin x y sin x cos y sin ycos x

 

cos x y cos x cos y sin x sin y

 

cos x y cos x cos y sin x sin y

 

sin 2x 2sin x cos x

 

cos 2x cos x sin x

Exponenciális függvény és szögfüggvények kapcsolata eix cos x i sin x

Tangens és kotangens

sin x tg x cos x  cos x

ctg x sin x  ctg x 1

 tg x

Függelék II. – Egy interaktív jegyzet részlete a vektorokról

„I. Vektorok, vektorműveletek

I.1. A vektor fogalma, tulajdonságai.

Vektor meghatározása: olyan mennyiség, amelynek „nagysága” és iránya is van. Röviden szokták

„irányított szakasznak” is nevezni. A vektor nagyságát szokták a vektor hosszának, abszolút-értékének, vagy normájának is nevezni.

Jelölések: a sokféle jelölés közül ezen jegyzetben a következőt használjuk. Az ’a’ vektort a

-val jelöljük.

Egy vektor hosszát általában két függőleges vonallal jelöljük, vagyis a

vektor hosszát, nagyságát, pontosabban abszolút értékét a

-kel. Később egyszerűen elhagyjuk a vektorjelet a betűjelzés fölött, vagyis röviden a a

.

Megjegyzés: a meghatározásnak fontos része, hogy abban nem rögzített a vektor kezdő, vagy végpontja, csak az iránya. Ez azt jelenti, hogy az alábbiak mind ugyanazon vektort jelentik:

a 

I.2. Vektorok leírása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben

A konkrét számolások, főként a Fizikai alkalmazások során szükség van arra, hogy a vektorokkal elvégzett műveleteket ne szerkesztési feladatként adjuk meg, hanem számokkal és/vagy függvényekkel végrehajtható műveletekkel szeretnénk helyettesíteni. Ehhez valamilyen koordináta-rendszerben érdemes az összefüggéseket leírni, ahol a vektorokkal végzett műveleteket a vektor-komponensekkel (amik számok és/vagy függvények) adjuk meg.

I.2.1. A derékszögű Descartes-koordinátarendszer

A sok különböző koordináta-rendszer közül a leggyakrabban használt, és talán legegyszerűbb a derékszögű Descartes-koordinátarendszer. Ennek a koordinátarendszernek három tengelye van, mindhárom egy-egy hosszúságmértéket jelöl.

A koordinátarendszer három tengelye egymásra merőleges, és az ’x’, az ’y’ és a ’z’ tengelyek ezen sorrendben jobbkéz-rendszert alkotnak, vagyis a három tengely felfektethető ebben a sorrendben a jobb kezünk merőlegesen kinyújtott hüvelyk, mutató és középső ujjára.

Amikor egy problémát ebben a koordinátarendszerben kívánunk megoldani, ki kell választanunk az origó helyét, és két tengely (egymásra egyébként merőleges) irányát. A harmadik tengely ránya a merőlegességből és a jobbkéz-szabályból azonnal adódik.

I.2.2. Egységvektorok derékszögű Descartes-koordinátarendszerben

Ahhoz, hogy ebben a koordinátarendszerben egy tetszőleges vektort le tudjunk írni, szükségünk van három egységvektorra, i

-re, j

-re és k

-ra. Ezek olyan vektorok, amelyek az origóból indulnak, irányuk a választott tengely irányába mutat (lásd ábra), és a hosszúságuk egységnyi (vagyis valamilyen

mértékegységben 1).

I.2.3. Vektorok leírása a derékszögű Descartes-koordinátarendszerben Ezekkel már könnyedén jellemezni tudunk egy tetszőleges a

vektort a választott koordináta-rendszerben.

x y

z

x y

z

x y

z