A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. ZH 2017. X. 26. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝onev´et´esNEPTUN k´odj´ata dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamintgyakorlatvezet˝oje nev´et ´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´es helyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefon m´eg kikapcsolt ´allapotban sem lehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A ? -gal jel¨olt feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. Az oszt´ alyba j´ ar´ o 15 fi´ u ´es 15 l´ any k¨oz¨ ul h´ anyf´elek´epp v´ alaszthat´ o olyan 10 f˝ os k¨ uld¨otts´eg, amelyikben legal´abb k´et l´any ´es legal´abb k´et fi´ u van?
(A v´egeredm´enyt nem sz¨ uks´eges kisz´ amolni, el´eg egy z´ art alakot megadni.) 2. A G gr´ afr´ ol tudjuk, hogy egyszer˝ u, 10 cs´ ucsa van, ´es ebb˝ ol 9 cs´ ucs foksz´ ama
pontosan 5. Igazoljuk, hogy G ¨ osszef¨ ugg˝ o.
3. Az ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af ´eleire ´ırt sz´ amok az adott ´el k¨olts´eg´et jelentik, az ´elek ir´ any´ıt´ as´ at´ ol tekints¨ unk el. Legyen G 0 az a gr´ af, ami G-b˝ ol keletkezik az ej ´el beh´ uz´ as´ aval. Legfeljebb mennyinek v´ alaszthat´ o az ej ´el k¨olts´ege ahhoz, hogy legyen G 0 -nek olyan minim´ alis k¨olts´eg˝ u fesz´ıt˝ of´ aja, ami tartalmazza az ej ´elt?
4. Legfeljebb h´ any kereszt´el keletkezik az ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af ir´ any´ıtatlan v´ alto- zat´ anak e gy¨ok´erb˝ol ind´ıtott BFS bej´ar´asa ut´an?
5. Az ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af egyes ´eleire ´ırt sz´ a- mok azt jelentik, hogy h´ any kincset tudunk
¨ osszegy˝ ujteni az adott ´elen. Hat´ arozzuk meg, mennyi az ¨osszesen ¨osszegy˝ ujthet˝ o kincsek sz´ ama, ha a gr´ af tetsz˝ oleges pontj´ ab´ ol indul- hatunk, de csak ir´ any´ıtott ´elek ment´en halad- hatunk.
2 2
2 4
1
4
4
3
10 8
1 5
5 9
5 6
a b c
f g d e
h i j
? Legyenek a G gr´ af cs´ ucsai azok az (a 1 , a 2 , a 3 ) sorozatok, ahol a i ∈ {0, 1, 2}
teljes¨ ul minden 1 ≤ i ≤ 3 eset´en. K´et cs´ ucs pedig pontosan akkor szomsz´edos, ha a cs´ ucsoknak megfelel˝ o k´et sorozat pontosan k´et helyen t´er el egym´ ast´ ol. Van-e Hamilton-k¨ore a G komplementergr´ afnak?
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Fleiner Tam´as (11, Sz, IB139, 19, P IB139 ´es I2, CS, IB134), Kaszanitzky Vikt´oria (12, Sz, E302 ´es 20, P, IB140), Dr´otos M´arton (13, Sz, IB147), Mih´alka Zsuzsanna (14, Sz, E404), Holczer Andr´as (16, P, IB139), Paulovics Zolt´an (18, P, IB145), Nguyen Hai (21, P, IB138), T´oth Nikolett (22, P, IB145), Recski Andr´as (I1, P, IB134).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. ZH 2017. XI. 30. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝onev´et´esNEPTUN k´odj´ata dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamintgyakorlatvezet˝oje nev´et ´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´es helyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefon m´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A ?-gal jel¨olt feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen.A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk.A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. Mennyi a kromatikus sz´ ama a fels˝ o ´ abr´ an l´ at- hat´ o gr´ afnak?
2. Mennyi p = 0 eset´en az als´ o ´ abr´ an l´ atha- t´ o h´ al´ ozatban a maxim´ alis nagys´ ag´ u st-folyam nagys´ aga? Ha p > 0, akkor hogyan f¨ ugg a ma- xim´ alis nagys´ ag´ u st-folyam nagys´ aga p-t˝ ol?
b
17 33 22
11
s 11 t
d
c p
15 37
9 a
25
3. Legyenek a G p´ aros gr´ af sz´ınoszt´ alyai A = {a, b, c, d, e, f } ill. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ´elei pedig a1, a2, a3, b2, b4, c2, c3, c5, d2, d4, e2, e4, f 4, f 5, f 6. Teljes¨ ul-e az A sz´ınoszt´ alyra a Hall-felt´etel?
4. Legfeljebb h´ any tartom´ anya lehet egy 20-cs´ ucs´ u, s´ıkbarajzolt G gr´ afnak, ha G minden tartom´ any´ at legal´ abb 5 ´el hat´ arolja?
5. A Mikul´ as szaloncukrot porci´ oz a BME 368 els˝ o´eves villamosm´ern¨ok- hallgat´ oj´ anak. Azoknak, akik meg tudt´ ak oldani a ZH-n a r´ ola sz´ ol´ o feladatot, fejenk´ent 17, a t¨obbieknek pedig fejenk´ent 10 cukor j´ar. A Mikul´ as a szaloncukrot 500 darabos csomagokban t´ arolja, ´es ezek- b˝ ol csak annyit bont fel, amennyit felt´etlen¨ ul sz¨ uks´eges. A munka v´egezt´evel kimarad´ o 5 szaloncukrot a krampuszok felhabzsolt´ ak.
H´ anyan oldott´ ak meg a sz´ oban forg´ o ZH p´eld´ at?
? Tegy¨ uk fel, hogy az 500 cs´ ucs´ u, egyszer˝ u G gr´ afnak 450 olyan cs´ ucsa van, amelyek egyik´enek a foksz´ ama sem t¨obb 49-n´el. Igazoljuk, hogy G kromatikus sz´ am´ ara χ(G) ≤ 50 teljes¨ ul.
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Fleiner Tam´as (11, Sz, IB139, 19, P IB139 ´es I2, CS, IB134), Kaszanitzky Vikt´oria (12, Sz, E302 ´es 20, P, IB140), Dr´otos M´arton (13, Sz, IB147), Mih´alka Zsuzsanna (14, Sz, E404), Holczer Andr´as (16, P, IB139), Paulovics Zolt´an (18, P, IB145), Nguyen Hai (21, P, IB138), T´oth Nikolett (22, P, IB145), Recski Andr´as (I1, P, IB134).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. p´ otZH 2017. XII. 11. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et ´es NEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint a t´argy ill.
a gyakorlatvezet˝o nev´et, a ZH sorsz´am´at valamint a gyakorlat idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´eshelyesen t¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az
´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es.
Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er.
A ?-gal jel¨olt feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. H´ anyf´elek´epp t¨olthet˝o ki egy ¨ot¨oslott´oszelv´eny ´ ugy, hogy a lehets´e- ges 90 sz´ amb´ ol legal´ abb egy 10-zel oszthat´ ora is tippelj¨ unk?
2. Tegy¨ uk fel, hogy az F f´ anak pontosan 333 levele van. Igazoljuk, hogy F -nek van olyan lev´elt˝ ol k¨ ul¨onb¨oz˝o v cs´ ucsa, aminek a fok- sz´ am´ ara d(v) 6 = 5 teljes¨ ul.
3. A fels˝ o ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af ´eleire ´ırt sz´ amok az adott ´el meg´ep´ıt´es´enek k¨olts´eg´et jelentik.
Mennyi a lehet˝ o legkisebb k¨olts´eg, amivel el-
´erhetj¨ uk, hogy meg´ep¨ ulj¨on G egy fesz´ıt˝ of´ aja, ha az egyik alv´ allalkoz´ onkkal kor´ abbi tarto- z´ asai ok´ an ingyen meg tudunk ´ep´ıttetni egy
´
altalunk kiv´ alasztott, tetsz˝ oleges ´elt?
4. Legfeljebb h´ any ´ele lehet annak az ir´ any´ıtat- lan G gr´ afnak, amelynek egyszerre e ´es f gy¨o- ker˝ u DFS f´ aja az als´ o ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ af?
1 2
2 2
4 6
6 6
7 10
11
17 33
77
h i
e f
d
a b
g
c
h i
e f
d
a b c
g
5. Hat´ arozzuk meg, hogy a fels˝ o ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ afnak melyik az a k´et cs´ ucsa, amelyeknek a h-t´ ol m´ert t´ avols´ aga pontosan 1-gyel t´er el egym´ ast´ ol. Az ´elekre ´ırt sz´ amok most az adott ´el hossz´ at jelentik.
? A G egyszer˝ u gr´ afnak 33 piros, 777 feh´er, 333 z¨old, valamint 77 s´ arga cs´ ucsa van. K´et cs´ ucs k¨oz¨ott pontosan akkor fut ´el, ha azok k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´ın˝ uek. Beh´ uzhat´ o-e G-be n´eh´ any tov´ abbi ´el ´ ugy, hogy olyan egyszer˝ u gr´ afot kapjunk, aminek van Euler-s´et´ aja?
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Fleiner Tam´as (11, Sz, IB139, 19, P IB139 ´es I2, CS, IB134), Kaszanitzky Vikt´oria (12, Sz, E302 ´es 20, P, IB140), Dr´otos M´arton (13, Sz, IB147), Mih´alka Zsuzsanna (14, Sz, E404), Holczer Andr´as (16, P, IB139), Paulovics Zolt´an (18, P, IB145), Nguyen Hai (21, P, IB138), T´oth Nikolett (22, P, IB145), Recski Andr´as (I1, P, IB134).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. p´ otZH 2017. XII. 11. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et ´es NEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint a t´argy ill.
a gyakorlatvezet˝o nev´et, a ZH sorsz´am´at valamint a gyakorlat idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´eshelyesen t¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az
´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es.
Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er.
A ?-gal jel¨olt feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen.A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar.
A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. Legfeljebb mennyi lehet egy legfeljebb 100-´el˝ u egyszer˝ u gr´ af kromatikus sz´ ama?
2. Mennyivel n¨ovekszik meg a maxim´alis nagys´ ag´ u st-folyam nagys´ aga akkor, ha a jobb oldali h´ al´ ozatban az ab ´el kapacit´ as´ at 22-re n¨ovelj¨ uk?
a b
13 22 77
11 11 66
s t
d
c 7
15 11
77
3. A G p´ aros gr´ af sz´ınoszt´ alyai A = {a, b, c, d, e, f } ill.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ´elei pedig a1, a3, b2, b4, c1, c3, d3, d5, e4, e6, f 4, f 5. Teljes¨ ul-e A-ra a Hall-felt´etel?
4. S´ıkbarajzolhat´ o-e a jobb oldalon l´ athat´ o gr´ af?
5. Oldjuk meg a 21x ≡ 35(68) kongruenci´ at.
? Tegy¨ uk fel, hogy c : E → R + kapacit´ asf¨ uggv´eny a G = (V, E ) ir´ any´ıtott gr´ af ´elein, valamint s, x ´es t a G cs´ ucsai. Lehet-e 222 a maxim´ alis nagys´ ag´ u sx-folyam nagys´ aga, ha tudjuk, hogy a maxim´ alis nagys´ ag´ u st- folyam nagys´ aga 111 ´es a maxim´ alis nagys´ ag´ u xt-folyam nagys´ aga pedig 333?
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Dr´otos M´arton (11, Sz, IB138), Nguyen Hai (12, Sz, IB139 ´es 13, H IB145), Kaszanitzky Vikt´oria (14, P, IB147 ´es N1, Sz, QB105), Fleiner Tam´as (15, H, IB138 ´es I2, P, IB 134), Mih´alka Zsuzsanna (16, P, IB138), Berkes Bence (17, P, IB139), S´ari Andr´as (18,H, IB134), Paulovics Zolt´an (19, H, IB140), Kecsk´es Bogl´arka (20, H, IB146), T˝ori T¨unde (21, H, IB147), Recski Andr´as (I1, Sz, IB134).
