Hozzászólás Drechsler László–Németh Ferencné "A tényezőkre bontás módszere a statisztikai elemzésben" c. cikkéhez

(1)

718 ;

SZEMLE

Hozzászólás

, Drechsler László—Németh Ferencné

,,A tényezőkre bontás módszere a statisztikai elemzésben" c. cikkéhez

A Statisztikai Szemle 1955. évi auguszA

tus—szemptemberi számának egyik cikke1 a következő kérdést veti fel: ha egy bizo—

nyos változó mennyiség két vagy több té—

nyező szorzataként fogható fel, akkor a kérdéses mennyiségben bekövetkező vál—

tozásból mekkora részt tulajdonítsunk az

egyes tényezők hatásának egyenként? A cikk szerzői —— megvizsgálva a statisztikai

A

y/t)

nyű módszernek tekinteni. A megoldás

ugyanis attól függ, hogy az egyes ténye—

zők a vizsgált időszakban hogyan változ-—

nak. Ennek a változásnak a módja szabja

meg, hogy miképpen osztandó szét a szor—

zat értékének növekedése vagy csökkené—

se az egyes tényezők között. Ez pedig lé—

nyegében tapasztalati kérdés, és a gyakor-

lat megvizsgálása nélkül aligha döntnető

§

1. ábra

gyakorlatban kialakult álláspontokat ———a probléma megoldását is megadják, a ke]—

lően meg nem alapozott módszereket. pe—

dig elvetik (például azt a felfogást, hogy az egész változásban az ún. vitás rész

csak az egyik tényező hatásának tulajdo- nítható).

Mivel a kérdés körül a vita még min—

dig nem ült el a szakemberek körében, az

alábbiakban mi is megkíséreljük matema—

tikai eszköZökkel felderíteni a probléma

lényegét. Megmutatjuk, hogy bár a cikk- írók által ajánlott eljárás bizonyos körül—

mények között helyes eredményekre ve—

zethet, nem szabad azt általános érvé—

1 Drechsler László—Németh Ferencné: [A ténye- zőkre bontás módszere a: statisztikai elemzésben, Statisztikai Szemle. 1955. 8—9. sz. 771—7914 ma

el. És mert az adott tényezők különböző

körülmények között különbözőképpen ala—

kulhatnak, több megoldás is 1ehetséges.A tényleges helyzet tüzetes vizsgálata alapu

ján lehet csak megítélni, melyiket fogad—

juk el a lehetséges megoldások közül,

Vegyünk először két tényezőt. Az egyik legyen mű), a másik meg yot). A zárójel—

ben levő t változó az időt jelenti. (Az x(t), illetve y(t) szimbólum azt jelzi, hogy mind az Jc—szel jelölt tényező, mind az y—nal je- lölt tényező függvénye az időnek.) Tegyük

fel, hogy a tényezők értéke vizsgálatunk

kezdetén, azaz a t x 0 időpontban Mo):

: xv és y(o) : yo, vizsgálatunk végén, a t : 1 időpontban2 pedig ma) : ml és

? Ez azt jelenti, hogy azt az időtartamot, amelyre a vizsgálat vonatkozik, egy egységnek tekintjük.

(2)

SZEMLE

719 ya) x 311.- A szorzat értéke tehát a vizs—

gálat kezdetén maya, a vizsgálat végén

xlyl. Ennek következtében a szorzat érté—

kében bekövetkező változást az xlyl—

—moyo különbség fejezi ki. Az elmon- dottakat az 1. ábrával szemléltetjük, (A

bevonalkázott terület jellemzi a szorzat

értékének megváltozását.)

Az egyes tényezők különböző időpontok-

ban általában különböző értékeket vesz—

nek fel és minden egyes értéknek a ten—

gely egy-egy pontja felel meg. Ha az azo—

^x%

Pa

///'

oldására. Nem kell mást csinálni, minta

rendelkezésünkre álló adatok alapján egy

pontos beosztással ellátott papiroson fel- rajzolni a két területet elválasztó vonalat, és a két terület mérőszámát a megfelelő egységben kifejezni.

Van azonban ennek a módszernek két jelentős hátránya is. Az egyik az, hogy több tényező vizsgálatára —- legalább is

ebben a formában —— nem alkalmazható;

a másik pedig, hogy sok adat esetében igen nehézkes és hosszadalmas az alkal—

P,

'

.xft)

2. ábra

nos t időponthoz tartozó nem és mt) érté—

keket mint egy pont koordinátáit tekint-

jük, akkor minden szóba jövő t értékhez hozzárendelhetjük a sík egy-egy pontját.

A t : 0 időponthoz a P,, pont, a t : ! idő—

; ponthoz a P1 pont tartozik, egy közbeeső időponthoz meg valamilyen más pont. Az

:összes lehetséges pontok egy olyan görbe

vonalat határoznak meg, amelynek a Po

az egyik végpontja, a P1 meg a 'másik

végpontja. Ez a vonal osztja szét a szor—

zat értékében bekövetkező változást a két komponens között. A 2. ábrán az nem—hez tartozó részt Rx—szel, az y(t)—hez tartozó

részt meg Ry—nal jelöltük.

Ezzel tulajdonképpen egy egyszerű gra—

mazása. Ha azonban az egyes tényezők

időbeli változását meg tudjuk adni egy

egyszerű képlettel kifejezhető függvény

segítségével, az előbbi két nehézség kikü—

szöbölhető. Ilyen függvény pedig —— leg—

alább is közelítő formában —— a trendszá—

mítás módszerei alapján aránylag egysze—

rűen konstruálható,3 Ezért a következők—

ben feltesszük, hogy mind az x(t), mind

az Mt) az előbbi feltételeknek megfelelő közelítő függvény. Az Rx és 63, értékét az

esetben a 3. ábra szerint határozzuk

meg.

! Airendszámítással két előkészületben levő könyv is foglalkozik. Az egyik a "Matematikai zsebkönyv gazdasági szakemberek számára" című könyv, a másik pedig egy a korrelációszámsitás statisztikai

(3)

720 mm _

Az ac(t) tényezőhöz tartozó idom egy

elemi (Ima) szélességű részecskéje olyan téglalapnak tekinthető, amelynek két szomszédos oldala közül az egyik gű), a másik dx(t). Az elemi részecske területe

tehát y(t).dac(t).4 Mivel pedig

dx(t) : :th) dt, azért

y(t) . dx(t) : ada) y(t) dt.

Az összes szóba jövő elerni területek ösz—

szegét az alábbi integrál adja meg:

Eire vonatkozólag két speciális esetet vizsgálunk meg közelebbről

1. Tegyük fel hogy a kérdéses időintex—

vallumban mindkét tényező lineárisan

változott. Ez esetben a két tényező válto—r

zását az alábbi két függvény írja le:

mü) :: 330 %— (ZUX " In) . t

mt) : yn % (yi — yg) . t

Mivel most a P0 és a P1 pontot összekötő vonal feltétlenül egyenes, a két terület:

nagysága integrálszámítás nélkül is meg—

y/t)

dx (t)

3. ábra

i

I x _a J a:, (t) y(t) dt

0

Hasonlóan kaphatjuk meg a másik ténye—

zőre eső részt is:

1

B),: J Mt) y'(t) (lt

Ö

Ezzel az adott esetre is megoldottuk a problémát. Az eredmények további kon—

kretizálása attól függ, hogy milyenek az egyes tényezőket előállító függvények.

* Lásd erre és a további matematikai összefügg,—

gésckre vonatkozóan például az említett zsebkönyvet.

határozható, hiszen csupán két trapéz te—

rületét kell kiszámítani. így egyszerű szá—

mítás révén nyerjük a következő ered—

ményt:

A két terület aránya:

RX (yl *** yo) (mi *" x") By _ (x] ***-750) (yi—yo)

Ezt a formulát dinamikus viszonyszámok—

ra is visszavezethetjük, ha alkalmazzuk az alábbi jelöléseket:

(4)

szamu: 72E,

xl y, ;rlyl zömbös, hogy milyen alapú logaritmus—ok—

T :: TX' ; — ry s % yo : 'x ' ')' : "9' kal végezzük el a számításokat,

' [) 0

Osszuk el ugyanis az előbbi törtnek

mind a számlálóját, mind a nevezőjét az

genyo szorzattal:

(%a-3) (%%—1)

Hy (ez—J) (%s—)

(ry % 1) (%c—"l) (mr 1) (5—4)

Eredményeink végeredményben azt je—v

lentik, hogy az ún. Vitatott részt két egyenlő részre osztjuk.

2. Tegyük fel ezután, hogy két tényező oly módon változott, hogy a növekedés üteme állandó volt az egész időtartam alatt. Ez esetben a két tényező alakulását

exponenciális függvénnyel adhatjuk meg:

Mt) — 470 - ez ' log TX

y(t)::yo'ct'10g "y

A kérdéses területek kiszámítása most már integrálszámítást igényel. A számí—

tás eredménye a következő:-"!

low r

RX : ___ O X, (:Ul yl—(l7o yo)

log ra lo r By : _mi_—3417 ,

(n), y, __ % yo) log ra

Igen egyszerű formulát nyerünk, ha vesz-

szük a két terület arányát:

Bx

By log ry log rx

A két terület aránya tehát megegyezik a dinamikus együtthatók logaritmusának arz'anyával.6 Mivel arányról van szó, kö-

5 A részletes számi—lás:

l

Rx "3 IM) um da : M$" ,,0

1 0

451

: ,M,.logrx.

1 log 'a

log Tx

log r,, (761 ylü anim

Érdemes megjegyezni, hogy abban az:,

esetben, amikor .a bázis—együtthatók ke—

véssel különböznek az egységtől, az előbbi képletet egy még egyszerűbben kezelhető közelítő formulával helyettesíthetjük'.

RX log rx rx—l

Hy log ry ry—l

Ez az eredmény lényegében azt fejezi kif, hogy a két terület aránya megegyezik a

,,nem vitás területek" arányával. Ezt a módszert ajánlják az említett cikk írói is..

Alkalmazzuk eddigi

egy numerikus példán:

eredményeinket

Létszám 'l'ermelékenység 1 ' Termelés

wo: 40 * yo: 20 ! mya/Ox 800

m;: 60 ylm 26 aaz/ya- 1560

rxzz l,5 ? ryz LS E fg :: 1,95

Az 1. esetben:

Rx (Ty A. 1) (rx— 1) 2,3 - (),5 23 By (rx %- 1) (Ty— 1) 2,5 - 0,3 lős

Ezért:

23

,! : (1560 m— 800) :: 460 ' 23 4— 15

15

By :: (1560— 800) : 300 23 —l— 15

RX %- Ry : 1560 —— 800 : 760

A 2. esetben:

Rx log "x O,1761

Ry "— '1og Ty _ mm;

1

105 7x [ et ' log 711 dt :

.,

()

1 1 4

- [e' ' 103 "110 :%s/o ———og'x (610E 74214) m'

log 74

jutott—más módszerrel— Köves Pál is "Statisztikai indexek" c. sajtó ala—li

(5)

; 722

* szsm*

* Ezért: továbbá

1761 x , z

Ex : —.__—____..760:461,5 ——3— : rx, 33— : 73, és —'— -_—_- r,.

1761 4— 1139 x., yo Zo

1139 A szorzat értékének megváltozása:

R), : —————-—————— - 760:298,5 1761 4— 1139

x]. 111 21 _ 300 lla Zo

Rx _;- Rya760

A közelítő módszerrel a számítás menete a következő:

RX rx—l o,5

É— ry—l —0,3

5 Ex: —760:475

54-3

R), : —— 460: 285, sys

Rx 4- R), : 760

(A közelítő formula azért okozott elég je—

lentős torzulást, mert az rx és ry értéke lényegesen eltér az egységtől.)

Összefoglalva a kéttényezős szorzat vizs-

gálatáról elmondottakat, láthatjuk, hogy a különböző feltevéseknek különböző

eredmények felelnek meg. Eredményeink megbízhatóságának az a próbaköve, hogy az egyes tényezők változására vonatkozó feltevéseink mennyire közelítik meg a

tényleges helyzetet.

Ami a többtényezős szorzatokat illeti, képleteink könnyen általánosíthatók. Egy- szerűség kedvéért vegyünk csupán három tényezőt, az

sem, ya) és za)

függvények meghatározta tényezőket,

amelyeknél

xW) : xi); 'y(0) yo: Z(0) : ze!

!! II

341) : 301, TKI) % ZH) : 21,

exponenciális függvény jellemzi.

Az egyes tényezőkre eső részeket az aláb—

bi formulák alapján számíthatjuk ki:

Bx : m'(t) ya) a(t) dt

Ok—ÚH

1

By : a(z) y'(t) z(t) dt

O

1

R: : fuz) y(t) z'(t) dt

0

Részletes tárgyalásba nem bocsátko—

zunk. Csupán annyit jegyzünk meg, most is igen egyszerű formulát nyerünk, ha feltételezhető, hogy az egyes tényezők változását a fentebb 'már ismertetett

Ekkor ugyanis:

RJc :Ry: Ez : log rx : log Ty : log r:.

Ha a bázisegyütthatóít kevéssel különböz—

nek az egységtől, most is érvényes az alábbi közelítő formula:

Rx :Ry:Rz % (rx— 1) : (ry— 1): ('a'—" 1), Hasonló módon terjeszthetjük ki a vizs—