m, az A m´atrix transzpon´altj´anak nevezz¨uk

M´atrixok transzpon´altja

1. Defin´ıci´o. Legyen A = (a_ij)^m_i=1,ⁿ_j=1 egy m × n-es m´atrix. Azt a B = (b_ij)ⁿ_i=1,^m_j=1 n×m-es m´atrixot, amelyiknek az i-edik sor´anak j-edik eleme meg- egyezik az A m´atrix j-edik sor´anak i-edik elem´evel b´armely i = 1,2, . . . , n, j = 1,2, . . . m eset´en, azaz

b_ij =a_ji ∀i= 1,2, . . . , n, j = 1,2, . . . m, az A m´atrix transzpon´altj´anak nevezz¨uk. Jel¨ol´ese: A^T.

Val´oj´aban azA^T m´atrixot ´ugy kapjuk meg azAm´atrixb´ol, hogy annak a sorait

´es oszlopait felcser´elj¨uk. Ha

A=









a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... · · · ... a_m1 a_m2 · · · a_mn







 ,

akkor

A^T =









a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2

... ... · · · ... a_1n a_2n · · · a_mn







 .

2.P´elda.

A=

1 3 4 5 2 0 4 3

⇒ A^T







 1 2 3 0 4 4 5 3









3.P´elda.

A=









3 6 0 4 1 2 0 5 1 2 3 4









⇒ A^T





3 4 0 2 6 1 5 3 0 2 1 4





K¨onnyen ellen˝orizhet˝oek a transzpon´al´as al´abbi tulajdons´agai:

4. All´ıt´´ as. Legyenek A, B m×n-es m´atrixok, C egy n×k-s m´atrix, λ ∈ R. Ekkor

A^TT

= A,

(A+B)^T = A^T +B^T, (λ·A)^T = λ·A^T, (A·C)^T = C^T ·A^T.

A tov´abbiakban bel´atjuk, hogy egy tetsz˝oleges n´egyzetes m´atrixnak ´es a m´atrix transzpon´altj´anak a determin´ansa megegyezik.

1

El˝osz¨or azt igazoljuk, hogy egy n-ed rend˝u elmei m´atrixnak ´es a m´atrix tran- szpon´altj´anak a determin´ansa megegyezik.

5. All´ıt´´ as. Ha M_e egy n-ed rend˝u elemi m´atrix, akkor

|M_e|=|M_e^T|.

Bizony´ıt´as. Az k¨onnyen l´atszik, hogy ha azMeelemi m´atrixot az egys´egm´atrix- b´ol ´ugy kapjuk, hogy az egyik sor minden elem´et megszorzunk egy null´at´ol k¨ul¨onb¨oz˝o λ ∈ R val´os sz´ammal, akkor M_e = M_e^T, ´ıgy nyilv´anval´oam |M_e| =

|M_e^T| teljes¨ul.

Amennyiben az M_e elemi m´atrixot az egys´egm´atrixb´ol ´ugy kapjuk, hogy az egys´egm´atrix i-edik sor´at felcser´elj¨uk a jedik sor´aval, akkor ism´et nem t´ul neh´ez bel´atni, hogy Me=M_e^T, amib˝ol ism´et k¨ovetkezik, hogy |Me|=|M_e^T|.

Ha pedig azM_eelemi m´atrixot az egys´egm´atrixb´ol ´ugy kapjuk, hogy az egys´eg- m´atrixi-edik sor´anakλ val´os sz´amszoros´at hozz´aadjuk az egys´egm´atrixj 6=i- edik sor´ahoz, akkor ennek a m´atrixnak a transzpon´altja megegyezik azzal a m´atrixszal, amit az egys´egm´atrixb´ol ´ugy kapunk, hogy az egys´egm´atrixj-edik sor´anak λ-szoros´at hozz´aadjuk az egys´egm´atrix i-edik sor´ahoz. Vizsont mind a k´et esetben a determin´ans defin´ıci´oja miatt a kapott m´atrixok determin´ansa megegyezik az egys´egm´atrix determin´ans´aval, ´ıgy ism´et azt vezett¨uk le, hogy

|M_e|=|M_e^T|.

L´assuk be most az ´all´ıt´ast tetsz˝oleges n×n-es n´egyzetes m´atrix eset´en!

6. T´etel. Legyen A∈ Mn×n. Ekkor

|A|=|A^T|.

Bizony´ıt´as. Ha az A ∈ Mn×n nem invert´alhat´o, akkor tudjuk, hogy |A| = 0.

Ugyanakkor, ha A^T invert´alhat´o lenne, akkor felhaszn´alva, hogy (A·B)^T =B^T ·A^T, A^TT

=A, azt vezethetj¨uk le, hogy

E =E^T = A^T ·(A^T)⁻¹T

= (A^T)⁻¹T

· A^TT

= (A^T)⁻¹T

·A.

Ez viszont azt jelenten´e, hogyAinvert´alhat´o, ami ellentmond a felt´etel¨unknek.

Teh´at, haAnem invert´alhat´o, akkorA^T sem invert´alhat´o ´es ennek k¨ovetkezt´eben 0 =|A|=|A^T|.

Tegy¨uk fel ezek ut´an, hogy A invert´alhat´o. Tudjuk, hogy ekkor A fel´ırhat´o n-ed rend˝u elemi m´atrixok szorzatak´ent

A =M_e1 ·M_e2· · ·M_et.

2

Felhaszn´alva a determin´ansok szorz´ast´etel´et, illetve, hogy egy elemi m´atrixnak

´es a transzpon´altj´anak a determin´ansa megegyezik, azt kapjuk, hogy

|A^T|=|(M_e1 ·M_e2· · ·M_et)^T|

=|(M_e^T_t· · ·M_e^T

2 ·M_e^T

1)|

=|M_e^T_t| · · · |M_e^T₂| · |M_e^T₁|

=|M_et| · · · |M_e2| · |M_e1|

=|M_e1| · |M_e2| · · · |M_et|

=|M_e1·M_e2· · ·M_et|=|A|.

A fenti t´etel k¨ovetkezm´enye, hogy minden determin´anssal kapcsolatos olyan

´

all´ıt´as, ami az adott m´atrix valamelyik sor´aval van megfogalmazva, ´atfogal- mazhat´o ´ugy, hogy a sor, sorok helyett oszlopot, oszlopokat ´ırunk. P´eld´aul, igaz az al´abbi k´et ´all´ıt´as.

7. All´ıt´´ as. Amennyiben egy A m´atrix valamelyik oszlopa csak null´akat tartal- maz, akkor a m´atrix determin´ansa 0.

Bizony´ıt´as. A bizony´ıt´as sor´an legyen A az a m´atrix, amelyiknek mondjuk az i-edik oszlopa csak null´akat tartalmaz. Vegy¨uk az A m´atrix transzpon´altj´at.

Ekkor az A^T m´atrix i-edik sora csak null´akat fog tartalmazni ´es kor´abban m´ar bel´attuk, hogy egy ilyen m´atrix determin´ansa 0, azaz |A^T| = 0. Viszont

|A|=|A^T|miatt |A| is 0.

8. All´ıt´´ as. Ha az A ∈ Mn×n m´atrix sorvektorai line´arisan f¨ugg˝oek, akkor

|A|= 0.

Bizony´ıt´as. Tegy¨uk fel, hogy az A m´atrix sorvektorai line´arisan f¨ugg˝oek az Rⁿ vektort´erben. Ekkor term´eszetesen az A m´atrix A^T transzpon´altj´anak az oszlopvektorai line´arisan f¨ugg˝oek, aminek k¨ovetkezt´ebenA^T nem invert´alhat´o

´es ´ıgy

|A|=|A^T|= 0.

A determin´ans f¨uggv´eny defin´ıci´oj´aban szerepl˝o 1)-3) ´all´ıt´as ´atfogalmaz´asa:

1) Amennyiben az A∈ Mn×nm´atrix eset´enB-vel jel¨olj¨uk azt a m´atrixot, amelyet az A m´atrixb´ol ´ugy kapunk meg, hogy k´et tetsz˝oleges oszlopot felcser´el¨unk, akkor

|B|= (−1)· |A|.

2) Amennyiben az A∈ Mn×n m´atrix eset´enB jel¨oli azt a m´atrixot, amit

´

ugy kapunk, hogy Aegyik oszlop´anak minden elem´et megszorozzuk egy λ val´os sz´ammal, akkor

|B|=λ· |A|.

3

3) Amennyiben az A ∈ Mn×n eset´en B-vel jel¨olj¨uk azt a m´atrixot, amit

´

ugy kapunk meg az A m´atrixb´ol, hogy az A m´atrix egyik oszlop´anak sz´amszoros´at hozz´aadjuk az A m´atrix egy m´asik oszlop´ahoz, akkor

|B|=|A|.

A k¨ovetkez˝o t´etel a determin´ans soradditivit´as´ar´ol sz´ol.

9. T´etel. Tegy¨uk fel, hogy az A ∈ Mn×n ´es B ∈ Mn×n m´atrixok csup´an az 1 ≤ i ≤ n-edik sorban k¨ul¨onb¨oznek egym´ast´ol. Jel¨olje ¯a_i az A m´atrix, ¯b_i a B m´atrix i-edik sorvektor´at. Legyen C az a m´atrix, amit ´ugy kapunk, hogy az A m´atrix i-edik sorvektor´at ¯a_i-t lecser´elj¨uk az ¯a_i+ ¯b_i vektorra. Ekkor

|C|=|A|+|B|.

Ism´et felhaszn´alva, hogy egy determin´ansokra vonatkoz´o ´all´ıt´as igaz marad, ha a sor, sorok kifejez´est oszlop, oszlopokra cser´elj¨uk, a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as is igaz lesz.

10. T´etel. Tegy¨uk fel, hogy az A ∈ M_n×n ´es B ∈ M_n×n m´atrixok csup´an az 1 ≤ i ≤ n-edik oszlopban k¨ul¨onb¨oznek egym´ast´ol. Jel¨olje ¯a_i az A m´atrix, ¯b_i a B m´atrix i-edik oszlopvektor´at. Legyen C az a m´atrix, amit ´ugy kapunk, hogy az A m´atrix i-edik oszlopvektor´at ¯a_i-t lecser´elj¨uk az ¯a_i+ ¯b_i vektorra. Ekkor

|C|=|A|+|B|.

A determin´ansok kisz´am´ıt´as´ara nem csak a pivot´al´as m´odszere alkalmas. Bi- zonyos esetekben fontos lesz sz´amunkra, hogy az ´ugynevezett kifejt´esi t´etelt haszn´aljuk. Ahhoz azonban, hogy kimondjuk a determin´ansokra vonatkoz´o sor, illetve oszlop szerinti kifejt´esi t´etelt, sz¨uks´eg¨unk lesz n´eh´any defin´ıci´ora,

´

all´ıt´asra.

11. Defin´ıci´o. Legyen A ∈ Mn×n egy tetsz˝oleges m´atrix. Jel¨olje A_ij azt a m´atrixot, amely m´atrixot az A m´atrixb´ol ´ugy kapunk meg, hogy t¨or¨olj¨uk az A m´atrixi-edik sor´at ´es a j-edik oszlop´at. Ezen m´atrix |Aij| determin´ans´at az A m´atrixi-edik sor´anakj-edik elem´ehez tartoz´o adjung´alt aldetermin´ans´anak, az

A^∗_ij = (−1)^i+j|A_ij|

val´os sz´amot pedig azA m´atrixi-edik sor´anakj-edik elem´ehez tartoz´o adjung´alt algebrai aldetermin´ans´anak nevezz¨uk.

12. All´ıt´´ as. Legyen A = (a_ij)ⁿ_i=1ⁿ_j=1 egy olyan m´atrix, amire teljes¨ul, hogy a_i1 = 0, hai6= 1. Ekkor |A|=a₁₁A^∗₁₁.

Bizony´ıt´as. Azt kell teh´at bel´atni, hogy

a₁₁ a₁₂ · · · a_1n 0 a₂₂ · · · a_2n 0 a32 · · · a3n

... ... ... 0 a_n2 · · · a_nn

=a₁₁A^∗₁₁.

4

Amennyibena₁₁= 0, akkor az A m´atrix els˝o oszlopa csak null´akat tartalmaz, aminek k¨ovetkezt´eben a fenti egyenl˝os´eg bal oldal´an tal´alhat´o determin´ans

´ert´eke 0. Ugyanakkor, a jobb oldalon l´ev˝o szorzat is 0, mert az egyik tagja 0. Ha a₁₁ 6= 0, akkor a determin´ans pivot´al´assal t¨ort´en˝o kisz´am´ıt´asakor az els˝o pivotelem legyen a₁₁. Mivel az ´ıgy megv´alasztott pivotelem alatt m´ar csak null´ak vannak, ez´ert az els˝o pivot´al´as sor´an csup´an a pivotelem sor´at kell elosztani a pivotelemmel. Az ´uj pivot t´abl´aban szerepl˝o













1 a12/a11 · · · a1n/a11

0 a22 · · · a2n

0 a₃₂ · · · a_3n

... ... ...

0 a_n2 · · · a_nn













m´atrix determin´ansa a kor´abban tanultak szerint

1 a₁₂/a₁₁ · · · a_1n/a₁₁

0 a₂₂ · · · a_2n

0 a₃₂ · · · a_3n

... ... ...

0 a_n2 · · · a_nn

= 1 a₁₁|A|.

Vegy¨uk ´eszre, hogy a tov´abbi pivot´al´asok sor´an az els˝o sorb´ol ´es az els˝o osz- lopb´ol m´ar nem v´alasztunk pivotelemet, valamint az utols´o pivot´al´as ut´ani sor- cser´ek nem ´erintik az els˝o sort. Ennek k¨ovetkezt´eben azt lehet meg´allap´ıtani, hogy

1 a₁₁|A|=

1 a12/a11 · · · a1n/a11

0 a22 · · · a2n

0 a₃₂ · · · a_3n

... ... ...

0 a_n2 · · · a_nn

=

=

a₂₂ · · · a_2n a₃₂ · · · a_3n ... ... a_n2 · · · a_nn

=|A₁₁|= (−1)¹⁺¹|A₁₁|=A^∗₁₁ ,

amib˝ola₁₁-gyel val´o ´atszorz´as ut´an kapjuk, hogy

|A|=a₁₁A^∗₁₁.

13. All´ıt´´ as. Legyen A = (a_ij)ⁿ_i=1ⁿ_j=1 egy olyan m´atrix, amire teljes¨ul, hogy a_i1 = 0, hai6=k, ahol1≤k ≤negy r¨ogz´ıtett eg´esz sz´am. Ekkor|A|=a_k1A^∗_k1.

5

Bizony´ıt´as. Az ´all´ıt´as szerint azt kell bel´atni, hogy

0 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

... ... ... a_k1 a_k2 · · · a_kn

... ... ... 0 a_n2 · · · a_nn

=a_k1A^∗_k1.

A fenti determin´ans kisz´am´ıt´as´ahoz els˝o l´ep´esk´ent szomsz´edos sorok cser´ej´evel hozzuk el˝ore a m´atrixk-adik sor´at! Mivel ehhezk−1 sorcser´et kell v´egrehajtani,

´

es minden sorcsere eset´en a kapott m´atrix determin´ansa megegyezik a sorcsere el˝otti m´atrix determin´ans´anak −1-szeres´evel, ez´ert

0 a₁₂ · · · a_1n 0 a₂₂ · · · a_2n ... ... ... a_k1 a_k2 · · · a_kn

... ... ... 0 a_n2 · · · a_nn

= (−1)^k−1

a_k1 a_k2 · · · a_kn 0 a₁₂ · · · a_1n 0 a₂₂ · · · a_2n ... ... ... 0 ak−1 2 · · · ak−1n

0 a_{k+1 2} · · · a_k+1n ... ... ... 0 a_n2 · · · a_nn

.

Viszont az el˝oz˝o ´all´ıt´as szerint a jobb oldalon szerepl˝o determin´ans mege- gyezik az els˝o sor els˝o elem´enek ´es a hozz´a tartoz´o adjung´alt algebrai aldeter- min´ansnak a szorzat´aval. Az els˝o sor els˝o elemea_k1, az els˝o sor els˝o elem´ehez tartoz´o adjung´alt algebrai aldetermin´ans pedig (−1)¹⁺¹ szorozva annak a m´at- rixnak a determin´ansa, amit ´ugy kapunk, hogy t¨or¨olj¨uk az els˝o sort ´es az els˝o oszlopot a m´atrixb´ol. A k−1 szomsz´edos sorcser´enek k¨osz¨onhet˝oen azonban, ha az



























a_k1 a_k2 · · · a_kn 0 a₁₂ · · · a_1n 0 a₂₂ · · · a_2n ... ... ... 0 ak−1 2 · · · ak−1n

0 ak+1 2 · · · ak+1n

... ... ... 0 a_n2 · · · a_nn



























6

m´atrixb´ol t¨or¨olj¨uk az els˝o sort ´es az els˝o oszlopot, akkor ugyanazt a m´atrixot kapjuk, mint ha az eredeti



















0 a₁₂ · · · a_1n 0 a₂₂ · · · a_2n ... ... ... a_k1 a_k2 · · · a_kn

... ... ... 0 an2 · · · ann



















m´atrixb´ol t¨or¨olt¨uk volna ak-adik sort ´es az els˝o oszlopot. Ennek k¨ovetkezt´eben azt vezethetj¨uk le, hogy

a_k1 a_k2 · · · a_kn 0 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

... ... ... 0 a_{k−1 2} · · · a_k−1n 0 a_{k+1 2} · · · a_k+1n

... ... ... 0 a_n2 · · · a_nn

=a_k1|A_k1|.

A fentieket ¨osszekombin´alva

0 a₁₂ · · · a_1n 0 a₂₂ · · · a_2n ... ... ... ak1 ak2 · · · akn

... ... ... 0 a_n2 · · · a_nn

= (−1)^k−1a_k1|A_k1|=a_k1(−1)^k−1(−1)²|A_k1|=

=a_k1(−1)^k+1|A_k1|=a_k1A^∗_k1,

ami ´eppen a bizony´ıtand´o ´all´ıt´as.

14. All´ıt´´ as. Legyen A= (a_ij)ⁿ_i=1ⁿ_j=1 egy n×n-es m´atrix. Ekkor

|A|=a₁₁A^∗₁₁+a₂₁A^∗₂₁+· · ·+a_n1A^∗_n1.

Bizony´ıt´as. Az A m´atrix els˝o oszkopvektora fel´ırhat´o az al´abbi n darab osz- lopvektor ¨osszegek´ent

¯ a₁ =











 a₁₁ a₂₁ a31

... a_n1













=











 a₁₁

0 0 ... 0











 +











 0 a₂₁

0 ... 0













+· · ·+











 0 0 ... 0 a_n1













7

Legyen

¯b₁ =











 a₁₁

0 0 ... 0











 ,¯b₂ =











 0 a₂₁

0 ... 0













, . . . ,¯b_n =











 0 0 ... 0 a_n1











 ,

´

es legyen A_i az a m´atrix, amit az A m´atrixb´ol ´ugy kapunk meg, hogy az els˝o oszlop hely´ere a ¯bivektort ´ırjuki= 1, . . . , n. Ekkor a kor´abbiak alapj´an tudjuk, hogy egyr´eszt

|A|=|A1|+|A2|+· · ·+|An|, m´asr´eszt

|A_i|=a_i1A^∗_i1, i= 1, . . . n.

Ezen k´et egyenl˝os´eg felhaszn´al´as´aval pedig k¨ovetkezik, hogy

|A|=|A₁|+|A₂|+· · ·+|A_n|=a₁₁A^∗₁₁+a₂₁A^∗₂₁+· · ·+a_n1A^∗_n1,

ami ´eppen a bizony´ıtand´o ´all´ıt´as.

Most m´ar kimondhatjuk a determin´ansokra vonakoz´o oszlop szerinti kifejt´esi t´etelt, ami azt mondja ki, hogy egy n´egyzetes m´atrix determin´ans´at kisz´am´ıthat- juk oly m´odon, hogy tekintj¨uk a m´atrix valamelyik oszlop´at, majd az oszlop elemeit rendre megszorozzuk a hozz´ajuk tartoz´o adjung´alt algebrai aldeter- min´ansokkal ´es k´epezz¨uk az ´ıgy kapott sz´amok ¨osszeg´et.

15.T´etel(Determin´ans oszlop szerinti kifejt´esi t´etele.).LegyenA= (aij)ⁿ_i=1ⁿ_j=1 egy n×n-es m´atrix, 1≤i≤n egy eg´esz sz´am. Ekkor

|A|=a_1iA^∗_1i+a_2iA^∗_2i+· · ·+a_niA^∗_ni.

Bizony´ıt´as. Legyen 1≤i≤negy eg´esz sz´am. Jel¨oljeB azt a m´atrixot, amit az Am´atrixb´ol ´ugy kapunk meg, hogyi−1 szomsz´edos oszlopcser´evel el˝orehozzuk az i-edik oszlopot. Ez azt jelenti, hogy

B =









a_1i a₁₁ a₁₂ · · · a₁i−1 a_1i+1 · · · a_1n a_2i a₂₁ a₂₂ · · · a₂i−1 a_2i+1 · · · a_2n ... ... ... ... ... ... ... ... ani an1 an2 · · · an i−1 an i+1 · · · ann







 .

Az el˝oz˝o ´all´ıt´ast felhaszn´alva a B m´atrix determin´ansa

|B|=a1iB₁₁^∗ +a2iB₂₁^∗ +· · ·+aniB_n1^∗ .

Tudjuk, hogy B_k1^∗ = (−1)^k+1|B_k1|, ahol |B_k1| annak a B_k1 m´atrixnak a deter- min´ansa, amit ´ugy kapunk, hogy t¨or¨olj¨uk a B m´atrix k-adik sor´at ´es az els˝o oszlop´at. Vegy¨uk ´eszre azonban, hogy a B_k1 m´atrix val´oj´aban megegyezik az A_ki m´atrixszal. Ennek k¨ovetkezt´eben

|B|=a_1i(−1)¹⁺¹|A_1i|+a_2i(−1)²⁺¹|A_2i|+· · ·+a_ni(−1)ⁿ⁺¹|A_ni|.

A szomsz´edos oszlopcser´ek miatt

|B|= (−1)ⁱ⁻¹|A|,

8

amib˝ol

|A|= (−1)ⁱ⁻¹|B|=a1i(−1)¹⁺ⁱ|A1i|+a2i(−1)²⁺ⁱ|A2i|+· · ·+ani(−1)ⁿ⁺ⁱ|Ani|

=a_1iA^∗_1i+a_2iA^∗_2i+· · ·+a_niA^∗_ni

A determin´ansokra vonakoz´o sor szerinti kifejt´esi t´etel, pedig azt mondja ki, hogy egy n´egyzetes m´atrix determin´ans´at kisz´am´ıthatjuk oly m´odon, hogy te- kintj¨uk a m´atrix valamelyik sor´at, majd az adott sor elemeit rendre megszoroz- zuk a hozz´ajuk tartoz´o adjung´alt algebrai aldetermin´ansokkal ´es k´epezz¨uk az

´ıgy kapott sz´amok ¨osszeg´et.

16. T´etel (Determin´ans sor szerinti kifejt´esi t´etele.). Legyen A = (aij)ⁿ_i=1ⁿ_j=1 egy n×n-es m´atrix, 1≤i≤n egy eg´esz sz´am. Ekkor

|A|=a_i1A^∗_i1+a_i2A^∗_i2+· · ·+a_inA^∗_in.

N´ezz¨uk meg a sor szerinti kifejt´esi t´etelt egy 3×3-as m´atrix eset´en!

17. P´elda. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi determin´anst az els˝o sor szerinti kifejt´essel!

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ Megold´as:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

= a₁₁A^∗₁₁+a₁₂A^∗₁₂+a₁₃A^∗₁₃

= a₁₁(−1)¹⁺¹|A₁₁|+a₁₂(−1)¹⁺²|A₁₂|+a₁₃(−1)¹⁺³|A₁₃|

= a₁₁

a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃

−a₁₂

a₂₁ a₂₃ a₃₁ a₃₃

+a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂

Ez pedig ´eppen az a kisz´amol´asi k´eplet, amit a h´aromdimenzi´os t´er vektorain´al megtanultunk vektori´alis, illetve vegyes szorzat kisz´am´ıt´as´an´al.

18.P´elda. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi determin´anst a harmadik sor szerinti kifejt´essel!

2 3 1 3 5 4 1 4 1 Megold´as:

2 3 1 3 5 4 1 4 1

= 1(−1)³⁺¹

3 1 5 4

+ 4(−1)³⁺²

2 1 3 4

+ 1(−1)³⁺³

2 3 3 5

= 1·7−4·5 + 1·1 =−12.

9

19.P´elda. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi determin´anst a m´asodik oszlop szerinti kifejt´essel!

1 3 2 3 6 4 2 4 6 Megold´as:

1 3 2 3 6 4 2 4 6

= 3(−1)¹⁺²

3 4 2 6

+ 6(−1)²⁺²

1 2 2 6

+ 4(−1)³⁺²

1 2 3 4

= −3·10 + 6·2−4·(−2) =−10.

20. P´elda. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi determin´anst valamelyik kifejt´esi t´etel alkal- maz´as´aval!

2 1 4 2 3 1 0 2 2 4 6 8 1 2 0 3 Megold´as:

Most nics meadva, hogy melyik sor vagy oszlop szerinti kifejt´est kell alkal- mazni. Vegy¨uk ´eszre, hogy a determin´ans harmadik oszlopa k´et 0-t is tartal- maz. Ez´ert ´erdemes ezen oszlop szerint kifejteni a determin´anst, hiszen amikor a harmadik oszlop elemeit szorozzuk a hozz´ajuk tartoz´o adjung´alt algebrai aldetermin´ansokkal, akkor a 0 elemekhez tartoz´o adjung´alt algebrai aldeter- min´ansokat ki sem kell sz´amolni, mert a 0-val val´o szorz´as eredm´enye ´ugy is 0 lesz. Sz´amoljuk teh´at ki a determin´anst a harmadik oszlopa szerinti kifejt´essel!

2 1 4 2 3 1 0 2 2 4 6 8 1 2 0 3

= 4(−1)¹⁺³

3 1 2 2 4 8 1 2 3

+ 0·A^∗₂₃+ 6(−1)³⁺³

2 1 2 3 1 2 1 2 3

+ 0·A^∗₄₃

Sz´am´ıtsuk ki k¨ul¨on-k¨ul¨on a k´et harmadrend˝u determin´anst, az els˝ot a 2. sor szerint, a m´asodikat a 3. oszlopa szerinti kifejt´essel!

3 1 2 2 4 8 1 2 3

= 2(−1)²⁺¹

1 2 2 3

+ 4(−1)²⁺²

3 2 1 3

+ 8(−1)²⁺³

3 1 1 2

= −2·(−1) + 4·7−8·5 =−10.

2 1 2 3 1 2 1 2 3

= 2(−1)¹⁺³

3 1 1 2

+ 2(−1)²⁺³

2 1 1 2

+ 3(−1)³⁺³

2 1 3 1

= 2·5−2·3 + 3·(−1) = 1.

10

A fentieket felhaszn´alva

2 1 4 2 3 1 0 2 2 4 6 8 1 2 0 3

= 4·(−10) + 0 + 6·1 + 0 =−34.

21. P´elda. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi determin´anst valamelyik kifejt´esi t´etel alkal- maz´as´aval!

1 0 2 5 2 3 3 2 4 4 2 1 6 0 0 3 Megold´as:

Mivel a determin´ans 4. sor´aban k´et darab 0 is tal´alhat´o, ez´ert ´erdemes ezen sor szerint kifejteni a determin´anst.

1 0 2 5 2 3 3 2 4 4 2 1 6 0 0 3

= 6(−1)⁴⁺¹

0 2 5 3 3 2 4 2 1

+ 0·A^∗₄₂+ 0·A^∗₄₃+ 3(−1)⁴⁺⁴

1 0 2 2 3 3 4 4 2

Sz´am´ıtsuk ki k¨ul¨on-k¨ul¨on a k´et harmadrend˝u determin´anst, az els˝ot az 1. sor szerint, a m´asodikat a 2. oszlopa szerinti kifejt´essel!

0 2 5 3 3 2 4 2 1

= 0(−1)¹⁺¹

3 2 2 1

+ 2(−1)¹⁺²

3 2 4 1

+ 5(−1)¹⁺³

3 3 4 2

= 0−2·(−5) + 5·(−6) = −20.

1 0 2 2 3 3 4 4 2

= 0(−1)¹⁺²

2 3 4 2

+ 3(−1)²⁺²

1 2 4 2

+ 4(−1)³⁺²

1 2 2 3

= 0 + 3·(−6)−4·(−1) = −14.

A fentieket felhaszn´alva

1 0 2 5 2 3 3 2 4 4 2 1 6 0 0 3

=−6·(−20) + 0 + 0 + 3·(−14) = 78.

11