Bevezet´es a sz´am´ıt´aselm´eletbe I.
2012. okt´ober 9.
6. gyakorlat
Kifejt´ esi t´ etel, M´ atrixok szorz´ asa
1. Sz´amold ki akifejt´esi t´etel felhaszn´al´as´aval az al´abbi determin´ansok ´ert´ek´et!
(a)
−2 1 0
3 −5 −4
6 2 1
(b)
1 4 1 1
0 2 0 3
1 5 1 1
0 0 2 7
2. Line´arisan f¨uggetlen-e az al´abbi,R4-beli vektorrendszer?
0 3 0 8
,
2 0 0 1
,
0 1 1 0
,
3 0 3 0
3. Egyn×n-esAm´atrix minden elem´et megszorozzuk a hozz´a tartoz´o el˝ojeles aldetermin´ans ´ert´ek´evel. Mi lesz az
´ıgy kapott n2darab szorzat ¨osszege?
4. ´Ird fel azA(1,1,7),B(3,2,8),C(8,4,8) pontokon ´atmen˝o s´ık egyenlet´et!
5. Legyen egy parallelepipedon egyik cs´ucsa az orig´o, az ezzel szomsz´edos h´arom cs´ucsa pedigA(0,1,−2),B(1,1,5), illetveC(1,3,−1). Hat´arozzuk meg a parallelepipedon t´erfogat´at!
6. Sz´amold ki az al´abbi m´atrixokat!
(a)
2 −4 1 −2
2012
(b)
2 −3 1 −2
2011
(c)
1 1 0 1
n
7. A (10×20)-asAm´atrixra teljes¨ul, hogy minden sor´aban az elemek ¨osszege 1. A (20×30)-asB m´atrix minden eleme 2. Hat´arozzuk meg azA·B szorzatot!
8. D¨onts¨uk el, hogy az al´abbi ´all´ıt´asok k¨oz¨ul melyik/melyek igaz(ak) tetsz˝oleges A n´egyzetes m´atrixra! (0-val jel¨olt¨uk a csupa nulla m´atrixot.)
(a) Ha van olyank≥1 eg´esz sz´am, amelyreAk = 0, akkor detA= 0.
(b) Ha detA= 0, akkor van olyank≥1 eg´esz sz´am, amelyreAk= 0.
9. Hat´arozd meg az ¨osszes olyan 2×2-esX m´atrixot, amelynek minden eleme racion´alis sz´am ´es amelyreX2012= 1 3
2 8
teljes¨ul.
10. Legyenek A, B ∈ Rn×n (n×n)-es m´atrixok. Bizony´ıtsd be, hogy ha A oszlopai line´arisan f¨uggetlenek ´es B oszlopai is line´arisan f¨uggetlenek, akkor azA·B m´atrix oszlopai is line´arisan f¨uggetlenek!
