Programozás-elmélet 5.előadás

(1)

5. előadás

Programozás-elmélet

(2)

Elemi programok Programkonstrukciók Elemi programok

Definíció

AzS ⊆A×A^∗∗ program elemi, ha

∀a∈A:S(a)⊆ {hai,ha,a,a, . . .i,ha,bi |b6=a}.

A definíció alapján könnyen látható, hogy egy elemi program tényleg program. Speciális elemi programok a kövekezők:

Definíció

üres, vagy skip program:

∀a∈A:SKIP(a) ={hai}.

(3)

A SKIP program nem csinál semmit.

Definíció

A törlődés, vagy abort program:

∀a∈A:ABORT(a) ={ha,a,a, . . .i}.

Az ABORT program soha nem terminál (soha nem fejeződik be).

Definíció

LegyenF ⊆A×A. AzS programot általános értékadásnak nevezzük, ha

S = {(a,red(ha,bi))|a,b∈A∧a∈D_F ∧b ∈F(a)} ∪ {(a,ha,a,a, . . .i)|a∈A∧a∈/D_F}.

(4)

Definíció

LegyenS ⊆A×A^∗∗általános értékadás program.

(a) Ha D_F =A, akkor azS programot értékkiválasztásnak nevezzük ésa:∈F(a)-val jelöljük.

(b) Ha az F reláció függvény, akkor az S programot értékadásnak nevezzük ésa:=F(a)-val jelöljük.

(c) Ha D_F ⊂A, akkor S parciális értékkiválasztás.

(d) Ha D_F ⊂Aés F determinisztikus (F parciális függvény), akkor S parciális értékadás.

Definíció

Identitásfüggvény:

id_A ={(a,a)|a∈A} ⊆A×A.

(5)

Tétel

Az elemi programok programfüggvényei:

(a) p(SKIP) =id_A, (b) p(ABORT) =∅, (c) p(a:=F(a)) =F, (d) p(a:∈F(a)) =F.

(6)

Elemi programok leggyengébb előfeltételei

LegyenR egy tetszőleges utófeltétel. Ekkor p(SKIP)(a) ={a}

miatt

[lf (SKIP,R)] ={a∈A|p(SKIP) (a)⊆[R]}

={a∈A| {a} ⊆[R]}= [R]

és

lf (SKIP,R) =R.

Hasonlóanp(ABORT) (a) =∅ miatt

lf (ABORT,R) =HAMIS.

(7)

Az általános értékadás leggyengébb előfeltétele a négy esetben (a) F :A→Afüggvény,D_F =A.

[lf (a:=F (a),R)] ={a∈A|F(a)⊆[R]}=F⁽⁻¹⁾([R]).

(b) F :A→Afüggvény,D_F ⊂A.

[lf (a:=F(a),R)] ={a∈A|F(a)⊆[R]}∩D_F =F⁽⁻¹⁾([R])∩D_F. (c) F ⊆A×A,D_F =A,F nem determinisztikus.

[lf (a:∈F(a),R)] ={a∈A|F(a)⊆[R]}=F⁽⁻¹⁾([R]).

(d) F ⊆A×A,D_F ⊂A,F nem determinisztikus.

[lf (a:∈F(a),R)] ={a∈A|F (a)⊆[R]}∩D_F =F⁽⁻¹⁾([R])∩D_F.

(8)

Minthogy definíció alapjánF⁽⁻¹⁾([R]) = [R◦F], azért az (a) és (c) esetekben a leggyengébb előfeltételR◦F.

Az értékadást változókkal is leírjuk. LegyenA=×ⁿ_i=1A_i, F ⊆A×Aés

F(a) =F₁(a)×F₂(a)×. . .×F_n(a) (a∈D_F),

aholF_i ⊆A×A_i. Legyenek az állapottér változóix₁,x₂, . . . ,x_n. Ekkor aza:=F(a) program jelölése:

x₁, . . . ,x_n:=F₁(x₁, . . . ,x_n), . . . ,F_n(x₁, . . . ,x_n). A jelölésből elhagyhatjuk azx_i-t és F_i(x₁, . . . ,x_n)-t, ha

F_i(x₁, . . . ,x_n) =x_i. Ha valamelyF_j nem függ valamelyik x_i-től, akkor ezt is elhagyhatjuk a jelölésből. Ha a fenti értékadásban csak egy komponens szerepel, akkor egyszerű, egyébként pedig szimultán értékadásról beszélünk.

(9)

Példa

LegyenA=Z

x ×L

l,x a Z,l pedig azL állapottér komponenshez tartozó változó. Legyenek az értékadás komponensei:

∀a= (a₁,a₂)∈A:

F₁(a₁,a₂) = a₁, azazF₁ =pr_Z, és F₂(a₁,a₂) = (a₁ >0).

Ekkor aza:=F(a) értékadás változókkal felírva:

x,l :=x,(x >0). A jelölés fent leírt egyszerűsítéseit elvégezve az

l := (x >0) egyszerű értékadást kapjuk.

(10)

Elemi programok Programkonstrukciók Programkonstrukciók

Olyan műveletekkel foglalkozunk, amelyekkel meglévő programjainkból újakat állíthatunk elő. Sokféle konstrukció

képzelhető el, de mi csak háromféle konstrukciós műveletet fogunk megengedni:

- szekvencia (sorozat), - elágazás,

- ciklus.

A struktúrált programozás alaptétele (Böhm-Jacopini, 1966) kimondja: bármely program megadható ekvivalens struktúrált program formájában is, amelyben csak a fenti három konstrukciós művelet szerepel. Két program ekvivalens, ha ugyanazon input értékekre ugyanazon output értékeket számolják ki.

(11)

Szekvencia (sorozat)

Itt két program közvetlen egymásután való végrehajtásáról van szó.

LegyenS₁ és S₂ a két program,a∈Aés α∈S₁(a)∩A^∗ az S₁ program által előállított véges sorozat. AzS₂ program azS₁ programτ(α) végállapotából indul és aβ ∈S₂(τ(α))véges, vagy végtelen sorozatot állítja elő. Tehát aza∈Aállapotból kiindulva a két program egymásutáni végrehajtása akon(α, β) egyesített sorozatot eredményezi. Ez azonban nem redukált, mertτ(α) =β1. Ezért az egyesített sorozat redukáltját tekintjük a szekvencia eredményének. Legyenα∈A^∗,β ∈A^∗∗ és

χ2(α, β) =red(kon(α, β)).

(12)

Definíció

LegyenekS₁,S₂ ⊆A×A^∗∗ programok. AzS ⊆A×A^∗∗ relációt az S₁ és S₂ programok szekvenciájának nevezzük, és (S₁;S₂)-vel jelöljük, ha mindena∈A esetén

S(a) = {α∈A^∞|α∈S₁(a)} ∪

∪ {χ₂(α, β)∈A^∗∗|α∈S₁(a)∩A^∗∧β∈S₂(τ(α))}.

Ha a két program értékkészlete csak véges sorozatokat tartalmaz, akkor a szekvencia is csak véges sorozatokat rendel hozzá az állapottér pontjaihoz.

Determinisztikus programok szekvenciája is determinisztikus reláció (függvény).

(13)

A programkonstrukciókat többféleképpen is ábrázolhatjuk. Ezek egyike astruktogram. Legyen S₁,S₂ program. Az S = (S₁;S₂) szekvencia struktogramja:

S

| S₁ S₂

A második konstrukciós technika azelágazás(feltételes utasítás, case szerkezet), ahol más-más programot hajtunk végre feltételtől függően.

(14)

Definíció

Legyenekπ₁, . . . , π_m :A→Lfeltételek,S₁, . . . ,S_m programok A-n. Ekkor az IF ⊆A×A^∗∗ relációt azS_i-kből képezett πi-k által meghatározott elágazásnak nevezzük, és(π1:S₁, . . . , πm :S_m)-vel jelöljük, ha mindena∈A esetén

IF(a) = (∪^m_i₌₁w_i(a))∪w₀(a),

ahol∀i ∈[1..m] :

w_i(a) =

S_i(a), ha a∈[πi]

∅, különben

és

w₀(a) =

ha,a,a, . . .i, ha a∈ ∪/ ^m_i=1[π_i]

∅, különben.

(15)

Ha a feltételek nem diszjunktak, akkor az elágazás bármelyik olyan S_i ág választását megengedi, amelyreπi igaz.

Az elágazásoktól a gyakorlatban azt is megköveteljük, hogy a feltételek diszjunktak legyenek és∪^m_i=1[πi] =Ateljesüljön.

AzIF = (π1 :S₁, . . . , πm:S_m) elágazás struktogramja:

IF

|

π₁ π₂ . . . π_m S₁ S₂ . . . S_m

(16)

A harmadik konstrukciós technika aciklus, amelyben egy meglévő programot egy adott feltételtől függően valahányszor végrehajtunk.

LegyenS a program ésπ az adott feltétel. Ezután a következőképpen járunk el:

1. Ha aza∈Akiinduló pontbanπ nem igaz, akkor azS programot nem hajtjuk végre és a ciklusból kilépünk.

2. Haπ igaz, akkor az S programot végrehajtjuk és eredményül kapunk egyα sorozatot.

3. Haα véges és a τ(α) pontbanπ nem igaz, akkor kilépünk a ciklusból.

4. Haα véges és a τ(α) pontbanπ igaz, akkor aτ(α) pontból indulva megismételjük az előző lépéseket a 2. ponttól.

(17)

A vázolt eljárással -n ismétlést (iterációt) feltéve- az α¹, α², . . . , αⁿ sorozatokat kapjuk, amelyekre fennáll, hogy α¹, . . . , αⁿ⁻¹∈A^∗,α¹ ∈S(a),α²∈S τ α¹

,. . ., αⁿ∈S τ αⁿ⁻¹

. Haαⁿ végtelen, akkor semS, sem a ciklus nem fejeződik be. Haαⁿ véges, akkor két eset lehetséges. Ha π igaz aτ(αⁿ) pontban, akkor folytatjuk a ciklust aτ(αⁿ) pontból kiindulva. Haπ nem igaz, akkor a ciklust befejezzük. Ez esetben a ciklus akon α¹, . . . , αⁿ

egyesített sorozatot eredményezi. Ez a sorozat a szekvencia esetéhez hasonlóan nem redukált, mert τ α¹

=α²₁,τ α²

=α³₁, stb. Ezért az egyesített sorozat redukáltját tekintjük a ciklus, vagy iteráció eredményének.

(18)

Szükségünk van a következő jelölésekre: Legyen α¹, α², . . . , αⁿ⁻¹∈A^∗ és αⁿ∈A^∗∗. Ekkor

χ_n α¹, α², . . . , αⁿ

=red kon α¹, α², . . . , αⁿ .

Haαⁱ ∈A^∗ (i ∈N), akkor χ∞ α¹, α², . . .

=red kon α¹, α², . . . .

(19)

Definíció

Legyenπ feltétel ésS program A-n. A DO ⊆A×A^∗∗ relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π,S)-sel jelöljük, ha

1. ∀a∈/[π] : DO(a) ={hai}, 2. ∀a∈[π] :

DO(a) =

α ∈A^∗∗| ∃n∈N:α=χn α¹, α², . . . , αⁿ

∧α¹ ∈S(a)∧ ∀i ∈[1..n−1] : αⁱ⁺¹∈S τ αⁱ

∧τ αⁱ

∈[π]∧

∧(αⁿ∈A^∞∨(αⁿ∈A^∗∧τ(αⁿ)∈/ [π]))} ∪

∪

α∈A^∞|α =χ∞ α¹, α², . . .

∧α¹∈S(a)∧

∧∀i ∈N:αⁱ⁺¹ ∈S τ αⁱ

∧τ αⁱ

∈[π] .

(20)

1. Determinisztikus programból képezett ciklus is determinisztikus.

2. A ciklus értékkészlete tartalmazhat végtelen sorozatot akkor is, ha azS program csak véges sorozatokat generál (soha nem jutunk ki aπ feltétel igazsághalmazából).

ADO= (π,S)ciklus struktogramja:

DO

| π S

(21)

Tétel

A szekvencia, az elágazás és a ciklus program.

Bizonyítás

Mindhárom programA×A^∗∗ tipusú reláció és mindhárom esetben D_S =A. A másik két tulajdonság igazolása a következő:

1. Szekvencia: a∈A,α∈S(a). Ha α∈S₁(a), akkor S₁ program volta miattα₁ =aés α=red(α). Haα=χ₂ α¹, α²

, ahol α¹ ∈S₁(a) és α²∈S₂ τ α¹

, akkor χ2 definíciója miatt α redukált ésα1=α¹₁ =a.

(22)

Bizonyítás

2. Elágazás: a∈A,α∈IF(a). Ekkor α ∈ ∪^m_i=0w_i(a).

Haα∈w₀(a), akkor α=ha,a, . . .i kielégíti a két kritériumot. Ha

∃i ∈[1..m] :α∈w_i(a), akkorα∈S_i(a) és mivelS_i program, α1 =aés α=red(α).

3. Ciklus: a∈A,α∈DO(a). Ha a∈/ [π], akkor α=hai, ami teljesíti a program követelményeit. Haa∈[π], akkor két eset lehetséges:

(a) Haα∈A^∗∗ és ∃n∈N:α=χn α¹, α², . . . , αⁿ

,α¹∈S(a), akkorχ_ndefiniciója miatt α redukált és α₁ =α¹₁ =a.

(b) Haα∈A^∞ és α=χ∞ α¹, α², . . .

,α¹∈S(a), akkor χn

definíciója miattα redukált és α1 =α¹₁ =a.