A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. ZH 2014. X. 20. 18h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Min- den egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-23 pont: 1, 24-32 pont: 2, 33-41 pont: 3, 42-50 pont: 4, 51-60 pont: 5. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe, a fenti
´erdemjegyekkel nem t¨or˝od¨unk.
Feladatok
1. Legyenek a G egyszer˝ u gr´ af cs´ ucsai az 1, 2, . . . , 10 sz´ amok, ´es k´et k¨ ul¨onb¨o- z˝ o cs´ ucs k¨oz¨ott akkor fusson ´el, ha a k´et sz´am k¨ ul¨onbs´ege p´aratlan. H´any 4 hossz´ u k¨ore van a G gr´ afnak?
2. H´ anyf´elek´eppen lehet sorba rakni az 1, 2, . . . , 10 sz´ amokat ´ ugy, hogy a sorozat valah´ anyadik elem´eig monoton n¨oveked˝o, onnant´ol pedig monoton cs¨okken˝o legyen? (A k´et r´eszsorozat hat´ara ak´ar a sorozat els˝o vagy utols´o eleme is lehet.)
3. Az ´ abr´ an l´ athat´ o a G gr´ af egy m´elys´egi f´ aja. Hon- nan indulhatott a bej´ ar´ as, ha tudjuk, hogy b ´es c ill. a ´es e szomsz´edosak G-ben?
c f
j i
b e a
k l g
d h
4. Legyenek a 7 cs´ ucs´ u G gr´ af pontjai v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 6 , v 8 ´es v 9 , valamint akkor legyen v i ´es v j szomsz´edos, ha i ´es j relat´ıv pr´ımek. Ekkor a v i v j
´el sz´eless´ege |i − j |. Hat´ arozzunk meg a v 1 cs´ ucsb´ ol minden m´ as cs´ ucsba egy-egy legsz´elesebb utat.
5. Hat´ arozzuk meg az itt l´ atha- t´ o PERT feladat minim´ alis v´egrehajt´ asi idej´et ´es a kritikus tev´ekenys´egeket.
20 21
20
a c
e g
k 1
2 2 7
3 3
14 6
2 7
6 9
7
4 3 b
d f
h i j
6. Tegy¨ uk fel, hogy a G gr´ af b´ armely k´et cs´ ucsa k¨oz¨ott vezet legfeljebb 7
´el˝ u ´ ut. Mutassuk meg, hogy ha G-nek van Euler s´et´ aja, akkor G-nek megdupl´ azhat´ o legfeljebb 7 ´ele ´ ugy, hogy az ´ıgy kapott G 0 gr´ afnak Euler k¨ors´et´aja legyen. (Egy e ´el megdupl´ az´ as´ an azt ´ertj¨ uk, hogy beh´ uzunk egy, az e ´ellel p´ arhuzamos ´ uj ´elt.)
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Varga Kitti (11, P, IB134), Lenger D´aniel (12, P, IB138), Herskovics D´avid (13, P, IB139), Marussy Krist´of (15, P, QBF11), R´acz D´aniel (16, K, IB147), Papp L´aszl´o (17, K, QBF10 ´es 23, Sz, QBF10), Solt´esz D´aniel (18, K, QB104 ´es 25, Sz, QB104), Nguyen Hai (24, Sz, QBF11), Vidor S´ara (26, Sz, IB134), Bencs Ferenc (27, Sz, IB147).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. ZH 2014. XI. 27. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Min- den egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-23 pont: 1, 24-32 pont: 2, 33-41 pont: 3, 42-50 pont: 4, 51-60 pont: 5. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe, a fenti
´erdemjegyekkel nem t¨or˝od¨unk.
Feladatok
1. K´ esz´ıts¨ uk el a G gr´ afot egy 7 hossz´ u k¨ orb˝ ol ´ ugy, hogy hozz´ aadunk a k¨ orh¨ oz
73´
uj cs´ ucsot, ´ es az ´ uj cs´ ucsok mindegyik´ et a k¨ or h´ arom pontj´ aval k¨ otj¨ uk
¨ ossze ´ ugy hogy semelyik k´ et ´ uj cs´ ucsnak se ugyan- azok a k¨ orbeli cs´ ucsok legyenek a szomsz´ edai. Ha- t´ arozzuk meg a G gr´ af χ(G) kromatikus sz´ am´ at.
s
t 100
8 33 8
8
8 8
80 5
25 p
5 8
38
2. Hat´ arozzuk meg a nemnegat´ıv p param´ eter ¨ osszes olyan ´ ert´ ek´ et, melyre a fenti h´ al´ ozatban a maxim´ alis st-folyam nagys´ aga (´ ert´ eke) a lehet˝ o legnagyobb.
3. Tegy¨ uk fel, hogy a 88 pont´ u G p´ aros gr´ af egy lefog´ o ´ elhalmaza f¨ uggetlen ´ elekb˝ ol
´
all. Hat´ arozzuk meg τ (G) ´ ert´ ek´ et, azaz a G-t lefog´ o pontok minim´ alis sz´ am´ at.
4. Tegy¨ uk fel, hogy a G egyszer˝ u, p´ aros gr´ af A sz´ınoszt´ alya 28, a B sz´ınoszt´ alya 33 pont´ u. Tegy¨ uk fel, hogy a B sz´ınoszt´ alynak valemely Y r´ eszhalmaz´ ara |Y | = 18 ´ es
|N (Y )| = 12. Mutassuk meg, hogy az A sz´ınoszt´ alyra nem teljes¨ ul a Hall felt´ etel, azaz l´ etezik olyan X ⊆ A halmaz, melyre |N (X )| < |X |.
5. Abszurdiszt´ an ad´ ohivatala egy pap´ırfecnin szerzett ´ ertes¨ ul´ es nyom´ an szeretne fel- der´ıteni bizonyos ´ AFA-csal´ asokat. A sz¨ ovev´ enyes b˝ un¨ ugy felg¨ ongy¨ ol´ıt´ es´ ehez elk´ e- sz´ıtettek egy G gr´ afot, melynek pontjai a gyan´ us c´ egeknek felelnek meg ´ es G k´ et cs´ ucsa k¨ oz¨ ott akkor fut ´ el, ha a k´ et sz´ oban forg´ o c´ eg egyike sz´ aml´ at ´ all´ıtott ki a m´ asiknak. Az adatok gondos anal´ızise nyom´ an az der¨ ult ki, hogy minden gyan´ us c´ egnek legal´ abb hat m´ asik gyan´ us c´ eggel volt m´ ar k¨ oz¨ os sz´ aml´ az´ asi ¨ ugye. A nyo- moz´ as siker´ enek pedig az a kulcsa, hogy ez a G gr´ af ´ atl´ athat´ o legyen, azaz, hogy G-t ´ ugy lehessen lerajzolni egy d´ atummal, pecs´ ettel ´ es al´ a´ır´ assal ell´ atott okm´ any- ra, hogy ´ elek bels˝ o pontban ne keresztezz´ ek egym´ ast. (Ha ugyanis eredm´ enytelen marad a pr´ ob´ alkoz´ as, akkor sajnos k´ eptelens´ eg felder´ıteni az csal´ asokat.) Siker¨ ul-e vajon nyakon cs´ıpni az elvetem¨ ult b˝ un¨ oz˝ oket?
6. Oldjuk meg a 7x ≡ 8 (mod 177) line´ aris kongruenci´ at.
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Varga Kitti (11, P, IB134), Lenger D´aniel (12, P, IB138), Herskovics D´avid (13, P, IB139), Marussy Krist´of (15, P, QBF11), R´acz D´aniel (16, K, IB147), Papp L´aszl´o (17, K, QBF10 ´es 23, Sz, QBF10), Solt´esz D´aniel (18, K, QB104 ´es 25, Sz, QB104), Nguyen Hai (24, Sz, QBF11), Vidor S´ara (26, Sz, IB134), Bencs Ferenc (27, Sz, IB147).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. pZH 2014. XII. 8. 18h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Min- den egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-23 pont: 1, 24-32 pont: 2, 33-41 pont: 3, 42-50 pont: 4, 51-60 pont: 5. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe.
Feladatok
1. A ∗∗∗∗∗-XXXXX focimeccs v´egeredm´enye 6 : 3 lett XXXXX csapat´ anak jav´ ara. H´ anyf´elek´eppen sz¨ ulethetett meg ez az eredm´eny, azaz h´ anyf´ele lehetett az egyes g´ olok ut´ ani ´ all´ asok sorrendje?
2. Tudjuk, hogy a 6 pont´ u G gr´ af foksz´ amai 2, 2, 2, 4, 5, 5. Iga- zoljuk, hogy G nem egyszer˝ u.
3. Legyen V (G) = {v 3 , v 4 , . . . , v 10 }, ´es v i v j ∈ E (G), ha i ´es j nem relat´ıv pr´ımek, azaz van 1-n´el nagyobb k¨oz¨os oszt´ojuk.
Legyen a v i v j ´el hossza min(i, j) − 1. Hat´ arozzunk meg a v 5 cs´ ucsb´ ol minden m´ as cs´ ucsba egy-egy legr¨ovidebb utat, ha van.
4. Az ´ abr´ an l´ athat´ o valamely G gr´ af egy sz´e- less´egi f´ aja. Honnan indulhatott a bej´ ar´ as, ha tudjuk, hogy b ´es c szomsz´edosak G-
ben? c
f j i
b e a
k l g
d h
5. Igaz-e, hogy minden aciklikus, ir´ any´ıtott G gr´ af cs´ ucsainak pontosan egy topologikus sorrendje van?
6. Igazoljuk, hogy ha egy egyszer˝ u G gr´ afnak 20 cs´ ucsa van ´es b´ armely foksz´ ama legal´ abb 12, akkor G-nek van k´et olyan Hamilton k¨ore, melyeknek nincs k¨oz¨os ´ele.
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Varga Kitti (11, P, IB134), Lenger D´aniel (12, P, IB138), Herskovics D´avid (13, P, IB139), Marussy Krist´of (15, P, QBF11), R´acz D´aniel (16, K, IB147), Papp L´aszl´o (17, K, QBF10 ´es 23, Sz, QBF10), Solt´esz D´aniel (18, K, QB104 ´es 25, Sz, QB104), Nguyen Hai (24, Sz, QBF11), Vidor S´ara (26, Sz, IB134), Bencs Ferenc (27, Sz, IB147).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. pZH 2014. XII. 8. 18h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Min- den egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-23 pont: 1, 24-32 pont: 2, 33-41 pont: 3, 42-50 pont: 4, 51-60 pont: 5. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe, a fenti
´erdemjegyekkel nem t¨or˝od¨unk.
Feladatok
1. Tegy¨ uk fel, hogy a G egyszer˝ u gr´ afnak 77 pontja van, f¨ ugget- len pontjainak maxim´ alis sz´ ama pedig α(G) = 19. Bizony´ıt- suk be, hogy χ(G) ≥ 5 teljes¨ ul G kromatikus sz´ am´ ara.
2. Tal´ aljunk az ´ abr´ an l´ athat´ o h´ al´ ozatban minim´ alis kapacit´ as´ u st-v´ ag´ ast ´es bi- zony´ıtsuk be, hogy nincs a megtal´ alt- n´ al kisebb kapacit´ as´ u st-v´ ag´ as.
s
t 8
15 80 25 8
33
8 100
38
8 35
8 55
88
3. Tegy¨ uk fel, hogy a 88 pont´ u G p´ aros gr´ afban α(G) = 44. Iga- zoljuk, hogy G-re teljes¨ ul a Hall felt´etel, azaz |X | ≤ |N (X )|
az A sz´ınoszt´ aly minden X r´eszhalmaza eset´en.
4. Bizony´ıtsuk be, hogy ha egy egyszer˝ u G gr´ af s´ıkbarajzolhat´ o, akkor a pontjainak legfeljebb a fele lehet 10-n´el nagyobb fok´ u.
5. H´ any pozit´ıv oszt´ oja van 10!-nak?
6. Oldjuk meg a 17x ≡ 8 (mod 177) line´ aris kongruenci´ at.
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Varga Kitti (11, P, IB134), Lenger D´aniel (12, P, IB138), Herskovics D´avid (13, P, IB139), Marussy Krist´of (15, P, QBF11), R´acz D´aniel (16, K, IB147), Papp L´aszl´o (17, K, QBF10 ´es 23, Sz, QBF10), Solt´esz D´aniel (18, K, QB104 ´es 25, Sz, QB104), Nguyen Hai (24, Sz, QBF11), Vidor S´ara (26, Sz, IB134), Bencs Ferenc (27, Sz, IB147).
