Az analízis egyes fogalmai és módszerei a hasonlóságban

AZ ANALÍZIS EGYES FOGALMAI ÉS MÓDSZEREI A HASONLÓSÁGBAN

DR. PERGE IMRE

Az alábbiakban n éhá n y olyan geometriai problémával foglalkozunk,, amelyeknek megoldásához analízisbeli fogalmak és módszerek szüksé- gesek, illetve ezek segítségével könny en megoldhatók. A probléma fel- vetése azért is indokolt, mert ezek megoldása a geometriában n e m teljes, az analízis pedig külön n em foglalkozik velük.

A geometriából ismeretesek az alábbi definíciók:

1. Hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bá rm el y két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva, mi ndig ugyanazt a (0-tól különböző) számot a dja. Ezt a pozitív számot nevezzük a hasonlóság arányának.

2. Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely az egyikhez a másikat rendeli.

Tekintsük a következő ponttranszformációt

ahol x_lf x2, y egy P pont koordinátái és x_y, x2, y pedig a P kép pont j ának.

P-nek a koordinátái.

Tekintettel arra, hogy

Jacobi-féle függvénydet ermi náns valamennyi x_lf x2, y pontban nullától különböző, ezért a leképezés folytonos és kölcsönösen egyértelmű.

00í — Á ^i? ^ — y = * y,

d (xít x2, y) A 0 0 0 A 0 = A³ í) (xlt x2, y) 0 0 a

1, TÉTEL. Az

(1)

Xj — ² i — 1

ponttranszformáció hasonlóság.

Bizonyítás. Leg ye n Pi és P2 tetszőleges különböző pont, Pi és P2 pedig a megfelelő ké pp on to k. A t ávolságok a rá ny a

P P

P1^P2

(y2 - */i>² + (^12 - + (^x22 - ^i)²

(yZ ~ . VL )² + (^X12 - ^ L L )² + (^X2 2 - * 2 L )²

+

(í/2 — ?/l)² + (^12 —^Xlí)² + (^X22 - ^X2l)²

A t ová bbiakba n mi az (1) t ranszformációt nevezzük hasonlóságnak.

Definíció: T ek i nt e t t el arra, hog y az (1) hasonlósági transzformáció az

y = f (xi, x2)

a j '

u

függvé nyhez az

vagyis a

f ü g g v é n y t rendeli, ezért az f (xh x2) és g (xlf x2) füg gv ény ekrő l azt m o n d j u k , hogy hasonlók, vagy röviden

f ~ 9 (Xi,

A szokásos jelölések mellett t e há t a hasonlóság és az (1) transzformá ció fennál lása esetén a g (x, y) kétváltozós f ü g g v é n y

(2) 9 (x, y) = kf x y

X' X

al akú. Speciálisan egyváltozós fü g g vé n y ek e s eté n pedig

(3) g (x) = kf

alakú.

Megjegyzés:

1. A hasonlóság fogalma t ermészetesen k i t é r j eszthető n változós f ü g g - vé n y e k esetére is. A felhasznált geometriai fogal mak miatt itt azonban megelégszünk kétváltozós f üg g v é n y e k hasonlóságával is.

350-

2. A definícióból következik, hogy a m e n n yi b e n f (x, y) folytonos és differenciálha tó az co t a r t o m á ny b a n , úgy g (x, y) is folyt onos és diffe- renci ál ható az oj-nak megfelelő co* t a r t om án yb a n.

3. A bizonyított tétel ek nem cs a k explicit al akb an adott f ü g gv é n ye k - r e érvényesek, h a n e m átvihet ők par am é t er es egye nletrendszerrel, vagy polá rkoordinátá s al akban adott f üg gv é ny e k r e is.

2. TÉTEL. A hasonlóság egyenestartó, egyenest pár h uza mo s egyenesbe visz át.

Bizonyítás. Legyen az egyenes

2. A hasonlóság szögtartó.

3. TÉTEL. A hasonlóság körhöz kört rendel és a s ugarak a rá ny a meg- egyezik a hasonlóság arányával.

Bizonyítás:

Teki nt sünk egy középponti kört.

f (x) = mx -j- b

al akú. Mivel

ezért

g (x) — l m x \- b ,

X² -f- y²

Explicit alakban

f (x) = + ][r^l

Mivel

ezért

Tehá t az f (x)-hez hasonló g (x) kör egyenlete

g (X) = + f (177^2

és sugara

R = Ár,

a h on na n

r

4. TÉTEL. Bármel y k é t má sodfokú parabola hasonló, és a hasonlósági a r á - n y u k megegyezik a p a r a m ét e r e k arányával.

Bizonyítás:

Az egyszerűség ked vé é rt te k i n ts ü k a csúcsponti para bol ákat.

Mivel

f(xi= o- . x² (P =h 0 )

2 p

így

vagyis

v o ¹ z²

q(x) = Á — —,

2 p - 1 o

q (x) = x-

2p A

és pa ra m ét e r e p' = Á p,

ah on nan — = / .

P

5. TÉTEL. A hasonlóság gömbhöz gömböt rendel, és a sugarak a r á n ya megegyezik a hasonlóság arányával.

Bizonyítás:

Az r sugarú g öm b egyenlete

f{x,y)=±y r² - x- - y

(2)-ből következik, hogy

g (x, y)= ± A vagyis a hasonló gömb egyenlete

r2 _ ^ _ r );- A²

g (x, y\ = _± r)² _x² _{- y}² és s ugara

R — l r,

a ho nna n adódik. r

6. TÉTEL. Rektifikálható, hasonló f ügg vé nye k ívhosszának ar ány a meg- egyezik a hasonlóság arányával.

Bizonyítás:

Jelölje L' az f (x) fü gg vé n y ívhosszát az (a, b) int erval lumba n és L a g (x) ~ f (x) f üg gv é ny ívhosszát a megfelelő (Áa, Áb) i nt er vallumban.

Vagyis

b

(4) v = ( f r + rⁱ (x) dx

es

Áb

L — | f i + 9'² (x) d.r . / a

Mivel g'(x) = f X

ezért

Áb L

la

i + r dx,

ahonnan az X = t; dx = 1 dt

A helyettesítéssel n y e r j ü k , hogy

L = X I fí+ /'MO dt = 'lL\

a

vagyis

(5) '

7. TÉTEL. Egy u adattól fü g gő hasonló alakzatok kerülete, az illető adat konstansszorosa, vagyis

L — c u

353-

Bizonyítás:

Tekint sünk két olyan hasonló ívet, a melyne k hasonlósága egy adat al apján eldönthető. (Pl. körök, szabályos sokszögek stb.)

Legyen az u ada thoz tartozó ívhossz / (u), a v = X u adathoz t artozó ívhossz f (v).

Mivel a két ívhossz hasonló, ezért a 6. tétel miat t

f (v) = X f (u).

Tekintett el arra, hogy az u-\-v=u-j-Xu=(l + i) u, ezért az ere- deti alakzathoz hasonló f (u -}- v) ívhossz

f(u + v) = (l+ X) f (u),

a h onn a n

f (u + V) = f (u)

+

vagyis az

(6) f (u + v) = f (u) + f (v)

Cauchy-f éle f üggvényegyenle thez ju tun k, a m el yne k megoldására itt egy egyszerű szemléletes bizonyítást a dunk.

Legyen f (x) egy, az origón át haladó egyenes.

K ön n ye n belátható, hogy az

f ( u + v) = f (u) + f (V)

teki ntett el arra, hogy ED = AB és FC = GD.

Tehát az f (x) f ü g g v é n y kielégíti a Cauchy-féle függvé nye gyenl et et és így a nn ak megoldása, tekintettel az ívhossz pozitív voltára,

f (x) = cx,

illetve x = u-ra

354-

(7) f (u) = cu,

ahol f (1) = c.

Következmény:

Ha a szabályos sokszögek kerület ét a be írható kör s ug ar ána k a fü gg - vé ny e ké n t vizsgáljuk, akk or azok kerül ete

k = c r

Szabályos háromszög esetén k = 6 ]fs r, ahol /3 (1) = 6 j/3, négyzet esetén

szabályos hatszög esetén kör esetén

k = Sr, ahol /₄ (1) — 8 , k - - 4 f 3 r, ahol /₆ <1> = 4 ]/3, k 2nr, ahol / (1) = 2 t t . Megjegyezzük, hogy az így értelmezet t

(8) /3( 1 ) , /4( 1 ) , /5( 1 ) , . . . / ,1 +3 < 1 ) , . . .

sorozat konve rgens és szigorúan monoton növekedően t a r t a 2n-hez.

8. TÉTEL. Hasonló f üg gv é ny ek által bezárt területek a rá n y a a hasonló- ság a r á n yá n a k négyzetével egyenlő.

Bizonyítás:

Ismeretes, hogy a nna k a n or m ál t a r t om ány n ak a területe, am ely m egad hat ó az

a = x = b fi (x)^y^ h (x)

egyenlőtlenségekkel,

b j;(x)

r = { f dl, dr,

« fl(x)

illetve

b

(9) r = j [ / 2( x ) fy(x)\dx,

a

ahol /i (x) és f2 (x) az (a, b) zárt int erva ll um ba n folytonos függvén yek.

a⁴ H55

A T ~ T' no r m á l t a r t o m á n y t e rül ete a (ka, kb) i nt e rva l l um b an

Ab

" • © " ' M i ^dx,

ahol k a hasonlóság a r án y a. At — x/k, dx = k dt helyettesítés ut á n n y e r j ük , hogy

b

T = p \ [/2 (/) - /,!/)] dt = A² r,

a

vagyis

(10) _{j, = >}²_-

Következmény:

Ha (x) = 0, a kk or (9)-ből T'-re az f2 (x) f ü g g v é n y alatti t er ül et et kapjuk, a m e l y r e ugya ncs a k igaz a (10)-es állítás.

Nem k ö n n y ű geom et riai m ódszerekkel igazolni, még kevésbé s zem- léletesen be lát ni, hogy a 8-as tétel hasonló f elüle tek re is igaz.

3. TÉTEL. Hasonló f el ül et e k felszínének arány a a hasonlóság négy zet é- nek a rányával egyenlő, vagyis

F = P F*.

Bizonyítás:

Ismeretes, hogy a z = f (x, y) felület, (x, y) sík T t ar t om á n ya f el e t t f ekv ő da r a b j á na k fel színe

F- = \ I f/x + fy + 1 dxdlj.

T

Tekintettel arra, hogy f (ot, y) ~ g (x, y), a zért

és

vagyis

356-

F Vox + gy + 1 dx dy =

JL²T

M H M H h ¹ ^

A l k a l m a z v a az u = xjl; v = y/X he l ye t t es í t és t, a J a c ob i - f é l e f ü g g v é n y - d e t e r m i n á n s r a k a p j u k , ho gy

() x , ;/> A 01 d >u , v) 0 A ^r- és így a fel szín

vagyis (11)

F = A² | I Vfu + ív + 1 du do = A² F *.

T

F ' A². Megjegyzés:

F o rg á s t e s t e k felszí ne e se t é n

F ^-'lii / (x) ]/' 1 + / " (X/ dx es

/.ft

F = 2n g x) 1 + g^K {x dx^'ln

Aa la

a h o n n a n t = x/k he l ye t t es í t és után n y e r j ü k , hogy

i +rij\dx,

F 2írA² I / (/) f 1 -r r it) dt = A² F ' , va gy is

F'

10. TÉ TE L. Egy u a da t tó l f üg g ő ha s onl ó al akzat ok t erül e t e, illetve fel- színe az illető a da t n é g yz e t é n e k kons tan sszorosa, va g y is

T = c u². Bizonyítás:

A 9, 10 t ét e l e kbő l következik, hog y h a

357-

az u adattól függő felszínt, illetve terüle te t f (u)-val, a v =r Xu adattól f ü gg ő felszínt, illetve területet f (v)-vel, az u -}- v — (1 -f- a) u adattól függőt pedig f (u -f~ u)~vel jelöljük, hogy

(12) f (v) = P f (u)

(13) f (u + v) = (1 + X)² f f u j

ahonnan (tekintett el a felszín, illetve terület pozitív értékére) ka pj uk , hogy

illetve

vtw+ V ) = V m + * VfW,

vagyis (12) figyelembevételével kapjuk, hogy (14) VJ(u T v ) = VJW) + VFv^] •

Ez a fü ggvé n yegye nl et pedig Cauchy-t ípusú, t ekintettel arra, hogy

F (u + v) = F (u) + F (v)

alakú és így a megoldása, tekintettel a felszín, illetve terület pozitív voltára

F (u) = c' u,

vagyis

F(uj f/Tü- = c' u ,

ahonnan

(15) f (u) = c u²,

ahol c = f (1 )..

Következmény:

Ha a szabályos sokszögek területét a beírható kör s ugarának a f üg g - vénye ként vizsgáljuk, a k ko r azok t er ül ete

t = c r¹

Szabályos háromszög esetén

i - 3 f 3 r~, ahol /₃ (1) = - 3 f 3 , négyzet esetén i — 4 r'², ahol /₄ (1) 4 szabályos hatszög esetén t 2 j/3 r-, ahol /₆ (1) .... 2 ^ 3 .

Az itt szereplő konstansok a ker ület né l szereplő konstansoknak csak a fele. így feltételezve, hogy (8), vagyis

358-

azért

(16)

/3( 1 ) , /4( 1 ) , /5< 1 ) , . . . - 271 , /₃( 1 ) , / 7(1), / i d ) , . . . - vagyis a kör t er ü l e t e t = ti r², ahol f (1) = n.

A gömb felszíne F = 4 n r², ahol / (1) = 4n.

11. TÉTEL. Hasonló alakzatok t é r fog a tá na k ar á n ya a hasonlósági a rány köbe, vagyis

V'

Bizonyítás:

Ismeretes, hogy ha V' az (x, y) síkra nézve no r má l t a rt om á n y , amely az

a = x = b

cp{ (x) ^ y ^ <p2 (x) fi (x, V) = z = Í2 (x, ÍJ)

egyenlőtlenségekkel adott

V' =

| I

V'

illetve (17)

b fi (x)

V' _{[/•2 (}^x_{' y)} h (x,y)]dy..x.

<1 <P\ (x) A V ~ V' térfogat pedig a

Xa = x = Xb

X V1 ^ y ÉS X<p21-

X X

x y X' X

t a r t o m á n y b a n

Ab A<P2

Aa A 91

P

C )

X y

X dy dx,

359-

a h o n n a n u = xjl és v = yjk he l ye t t e s í t é s s e l a Jac ob i-f él e f ü g g v é n y - d e t e r m i n á n s r a n y e r j ü k , hogy

d(x.y) IA 0 d(u,u) | o X vagyis

== X²,

b 9* (.u)

V = A³ j j [/2(U, D) - f1 (u, vt] dv du = X* V \ a <Pi (w)

illetve

(18) — = XK

V Megjegyzés:

1. H a fi (x, y) = 0, akkor a (17)-ből a h e n g e r s z e r ű t e s t t é r f og a t a adódik és így e rre u g y a n c s a k igaz a (18) ö ss zefü ggé s .

2. F or gá s t e s t e k t é r f o g a t a az (a, b) i n t e r v a l l u m b a n

b

V' = 7T j /² (.r i dx, a

A g (x) ~ / (x) f ü g g v é n y f or ga t á s á v a l kel et kez e tt test t é r f o g a t a pedig^

lb

V =71 X² /2 í ^ j dx , Á a

a h o n n a n t = xjX he l ye t t e s í t é s s el n y e r j ü k , hogy

b

V = X*n\ f²(t) dt = X³ V \

a

va gy is

21 = 4 . . V

12. TÉTEL. Egy u a d a t t ó l függő h a s o n l ó al akz a t o k t érfogat a az illető a da t kö bé n e k k ons ta n ss zor os a , vagyis

V = c u^:í Bizonyítás:

A 11. t éte l bő l kö v e t k e z i k , hogy h a

az u adathoz t ar tozó t é r f o g a t o t ¹ /( u ) - v al , 360-

a v = X u adat hoz tartozó t ér f oga t ot f (u)-vel, az u v — (1 -{- X) u a d at h o z t artozó t ér fog at o t f (u -f- v)-vel je löl jük, hog y

(19) f (v) = X³ f (u)

(20) f (u + v) = (1 + Xf f (u),

a h o n n a n k a p j u k , hogy _{3 3}

Yf\u + ü) = ( 1 + A) ]// {«).

illetve

3 3 3

Vfiu + v) = Yf(u) + A f/ («), vagyis (19) f i gye l e m be v ét e l év e l

3 3 3

(21) Yf(u + v) = ff («) + \i (v).

Ez a f ü g g v é n y e g y e n l e t pedig C au c h y - t í p u s ú , t e k i n t e t t e l arra, hog y F (u + v) = F (u) + F (v)

a l a kú és így megoldása, t e ki nt e t t e l a t ér fo gat pozitív v ol t á r a

3

F ( u ) = Y f j u ) = c' n , vagyis

(22) f (u) = c u³, ah ol c = f (1).

Megjegyzés:

1. A g ö m b té rfogata V — c r\ M i n t i s merete s c 4 ti.

2. A k oc k a t é r fo ga t a V = c a\ a hol a kocka oldaléle és c — 1. 3 Következmény:

A közöltek ál t al á nos í th ató k n változós f ü g g v é n y e k r e is.

Az f (P) ~ g (P)

n változós f ü g g vé ny e k co ~ co' t a r t o m á n y o n vett i n t e g r á l j a i n a k az a r á n y a Aⁿ+^J. A me gfel elő f ü g g vé n ye g y e n l e t pedi g

Vfui + v)^Yf(u) + Yfw

C a u c h y -t í p u s ú , a m el y n ek megoldása, h a u > 0 - r a f (u)>0 is t e l j e s ül

:t6l

n

— c ' U, i l l e t v e

f ( u ) = cuⁿ,

a m e l y n e k a z n = 1, 2, 3 e s e t b e n g e o m e t r i a i j e l e n t é s t is t u l a j d o n í t o t t u n k . T e t s z ő l e g e s g e o m e t r i a i h a s o n l ó s á g e g y o r t o g o n á l i s é s a (1) t r a n s z - f o r m á c i ó s z o r z a t a . M i v e l o r t o g o n á l i s t r a n s z f o r m á c i ó e s e t é n a h o s s z , t e - r ü l e t és k ö b t a r t a l o m v á l t o z a t l a n , e z é r t v a l a m e n n y i t é t e l i g a z t e t s z ő l e g e s h a s o n l ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó e s e t é n .

D I E E I N Z E L N E N B E G R I F F E U N D M E T H O D E N D E R A N A L Y S I S I N D E R A H N L I C H K E I T

E. PERGE

Der Au fs at z bescháftigt s ich mit einigen geometris chen P robl emen, zur Lös ung deren m a n analytische B e g r i f f e und M et ho den br aucht, d. h. mit Hilfe deren sie leicht gelöst werden.

Durch E i n fü hr u n g a h n l i c h e r F un kt io nen

9(x) = il/^j und

we rde n alle wichtigen Ah nl ic hke it ss át ze leicht bewiesen.

Und mit Hilfe der V er hái t ni sz a hl der Ahinlichkeit kainn m a n beim Rechnen des Umkreises, der Fláche, d er Obe rf la che u n d des Ku bi ki nh al ts eine Verbi ndung m i t der Funktionalglei chung vo n Cauchy s c h a f f e n

n n n

\f{u + V) = Yfiu) ⁺ V / (0) ; /1 = 1 , 2 , 3 ,

die nicht nega tive Lösung d e r e n ist, wie folgt

f ( u ) = c uⁿ; n = l , 2 , 3 .

I R O D A L O M

[1] Hajós György: Bevezetés a geometriába. Budapest 1960.

[2] Stefan B a n ac h : Di ff er e nci á l - és integrálszámítás. Budapest , 1965.

[3] Aczél J á n o s : Vorlesungen üb er Fu nkt ionalg le ich ungen und ihre A nwe nd un ge n.

Basel, 1961.

362-