STATISZTIKAi IRO DALMl FlGYELÖ 209
lési függvényben valamennyi számba jöhető input-változót specifikáljanak. mint ahogy a valóságban sincs szükség az "optimális" ter- meléshez valamennyi lehetséges termelőté- nyező közreműködésére (ennek éppen a ter- melőtényezők költséges volta állhatja útját).
Szükséges azonban annak a lehetőségnek a figyelembevétele. hogy a vállalatnak több gyártelepe van, ahol ugyanazt a terméket állítják elő. A feladat ebben az esetben ——
a termelés adott szintjén — az, hogy meg- keressék. melyik az az üzem, mely a leg- kevesebb költséggel termel. Ekkor viszont fi—
gyelembe kell venni. hogy ez a szempont gyakran csak úgy teljesülhet. ha a termelés több gyártelepen folyik. Éppen ezért a ter- melési költségek elemzésekor az egyetlen függvény segítségével történő vizsgálat ha- gyományos módszeréről le kell mondanunk.
hagyományos termelési függvény válla- lati szintű alkalmazásának további nehézsé—
ge a kellő tapasztalat hiánya. Ennek növelé- se érdekében szükségessé válhat az egyes inputváltozók (xi) különböző technikai jel- lemvonásaik alapján halmazokra való bon—
tása, ezek alapján különböző szubfunkciók- kal (F, G, .., Z) való kísérletezés. Ezek azonban egyetlen egyenletből álló termelési függvénybe nem sűríthetők össze. még ha nagymértékben kombinálhatók is. A külön- böző termelési kapcsolatokat és viszonyokat.
kölcsönhatásokat feltüntető különböző tipu- sú és számú szubfunkciók a következő alakú függvényrendszerrel fejezhetők ki:
gzm [F] (a)
arvÖ[F,G,...Z] (b)
gr—wdi[F1,F2,...Fr;G1,Gg,...Gs,--
-zl,zz,...zt] (c)
ami azt jelenti, hogy a kívánt output (a) vagy egy szubfunkció segítségével (0 eset).
vagy több azonos típusú szubfunkció segít- ségével (b), illetőleg csak több azonos és különböző típusú szubfunkció kombinációjá- val (c pont) határozható meg, ha a vállalat számára lehetséges valamennyi termelési al—
ternatívát figyelembe kívánjuk venni.
A szerző záró következtetése az. hogy a hosszú távú elemzés. mely eddig csak a ter—
melési függvény hagyományos alakját vette figyelembe, s így akarva, nem akarva a vizs- gálati szempontokat leegyszerűsítette. (]
cikkben foglalt szempontoktól, s a termelési függvény javasolt alakjától a jövőben nem tekinthet el.
(Ism.: Nyáry Zsigmond)
7 Statisztikai Szemle
SlLVEY. S. D.:
MULTlKOLLlNEARITÁS ÉS PONTATLAN BECSLÉS
(Multicoliinearity and imprecise estimation) — Journal of the Royal Statistical Society. Ser. B.
1969. 3. sz. 539—552. p.
Cikkében a szerző a standard lineáris reg—
ressziós modell becslési pontosságának né- hány elméleti kérdését vizsgálja a multikolli- nearitással kapcsolatban. Módszere az X'X matrix (ahol X a független változók matrixa) saját értékeinek és saját vektorainak vizsgá- lata. Ez az elemzés módszert is szolgálth a multikollinearitás feltárására és a magyarázó változók új értékeinek optimális kiválasztá- sára, amely módszernek azonban — figye- lembe véve azt, hogy a modellkészítőknek a változók tekintetében nem áll módjában a szabad választás — szintén csak elméleti je- lentősége van.
Multikollinearitásról akkor beszélünk, ha a regressziós modell független változói között lineáris vagy ,,majdnem lineáris" (erős sztochasztikus) függőség áll fenn. llyen ese- tekben egyes paraméterek és azoknak bízo—
nyos függvényei egyáltalán nem, vagy csak pontatlanul becsülhetők. Mivel a multikolli- nearitás az ökonometriai vizsgálatokban igen gyakori jelenség. sokan foglalkoztak és foglalkoznak vele. Leggyakrabban a multi—
kollinearitás fokának megállapitására törek- szenek. Sí/vey tanulmányában inkább a mul- tikollinearitás okozta becslési pontatlanság—
ra forditja figyelmét, miközben a következő két kérdésre keresi a választ:
1. Az sző—l—s modellel, feltételezve.
hogy az X változók nem függetlenek. mit tudunk relatív pontosan becsülni, és mit nem.
2. Meg lehet-e határozni egy hatékony el- járást az 1. pontbeli megkülönböztetés vég—
rehajtására.
Ahogy ismeretes, a
(: Baal/glch/ggt. nick/gk
lineáris függvény csak akkor becsülhető tor- zítatlanul. ha a c' kifejezhető az X matrix sorainak lineáris kombinációjaként. Ha az X teljes rangú matrix. ez fennáll, egyébként nem.
Ezt a tételt Rao (1965-ben) a következő formára hozta: A c')? függvény akkor és csak—
akkor becsülhető, ha a c kifejezhető az X'X matrix nem nulla saját értékeihez tartozó sa- ját vektorok líneáris kombinációjaként. A modellen o főkomponens analizisből ismert ortogonális transzformációt végrehajtva. be- látható. hogy Rao tétele egyben módszert is szolgáltat annak eldöntésére, hogy [? mely lineáris függvényei becsülhetők. és melyek nem. (Ez gyakorlatban a X'X matrix saját ér—
tékeinek. ortonormált saját vektorainak vizs- gálatát igényli.)
210 STATISZTIKAI l RO DALMI FiGYELÖ
Nemcsak az dönthető el. hogy mi becsül—
hető és mi nem, hanem az is, hogy mi pon—
tosan és mi pontatlanul.
Ugyanis, ha c becsülhető, az előzők sze—
rint felírható
czalvi tüntetünk ajaj
formában, ahol Uj -k az X'X matrix saját vek- torai, akkor
; z
all ug? az].
21 * 1.2 Mk.—'%DZJZU
var (c, 6) /Ó'2 :
Ha c hosszát normalizáljuk (c'c :: 1) és csak a pontos. illetve pontatlan becslést biztosító ,,irányokat" vizsgáljuk, a var(c'£)-re felírt ki- fejezésből látható, hogy relatív pontos becs- lés a nagy saját értékekhez tartozó saját vektorok irányához, és relatív pontatlan becslés azokhoz az irányokhoz tartozik. ame- lyekhez tartozó saját értékek is kicsik.
Ebből az is következik, hogy ha X'X leg—
kisebb saját értéke is viszonylag nagy. mind- egyik becslés viszonylag pontos lesz vagy. ha X'X—nek legalább egy igen kicsi saját ér- téke van, legalább egy irányban viszonylag pontatlan lesz a becslés. Ha X'X saját érté—
kei egyenlők, minden c'B egyforma pontos- sággal becsülhető.
A becslés lehetetlenségének, illetve pon—
tatlanságának vizsgálata után a szerző azzal foglalkozik, hogyan kell új megfigyeléseket választanunk ahhoz, hogy a multikollineari—
tást megszüntessük.
Teljes multikollinearitásnál olyan irány- ban kell felvenni az új megfigyeléseket.
amely irány nem ortogonális az X'X saját vektoraira. Ha az X rangja k-i, a multikolli-
nearitást nem lehet megszüntetni i-nél ke- vesebb új megfigyelés figyelembevételével.
Nem teljes multikollinearitás esetében, ha X'X-nek nem nulla. de kicsi saját értékei vannak, akkor e kis saját értékekhez tar—to—
zó saját vektorok irányában pontatlan a becslés. Olyan irányban kell új megfigye- léseket választani, amelyek nem ortogoná-_
lísak ezekre a saját vektorokra. Legcélszerűbb éppen e saját vektorok irányában megália- pítani az új megfigyeléseket;
Az elmondottak kapcsolódnak Kiefer és Wolfowítz (1960) eredményeihez, amelyeket Kar/in és Studden (1966) fejlesztettek to—
vább. Ezek szerint az új megfigyelések op- timális kiválasztásánál a következő két kri- tériumot kell szem előtt tartani:
(i) úgy válasszuk az x" .k 1 vektort. hogy az maximalizálja az új információs matrix X;X*: X'X—j—anrleHJminimális saját ér- tékét;
(ii) úgy válasszuk xn * l-et, hogy az maxi- malizálja X;X*determináns értékét.
A tanulmány utolsó előtti pontjában két olyan speciális kérdésre ad választ a szer- ző, amelyek a konkrét feladatok megoldása során merülnek fel. Ezek:
hogy változik a becslés pontossága, ha a ma—
gyarázó változók új megfigyeléseiből álló xn_j_1 vektor szükségképpen nem a X'X saját vektorainak
irányában fekszik?
hogyan válasszuk x,,jI-t. ha egy konkrét c'B li- neáris függvény becslését akarjuk a lehető leg—
jobban feljavítani?
A cikk utolsó pontja függelékként néhány megjegyzést tartalmaz a mondottakra vo- natkozóan.
(lsm. : Hulyák Katalin)
DEMOGRÁFIA
BAIROCH, P.:
A HARMADIK VILÁG AKTlV NÉPESSEGÉNEK STRUKTÚRÁJA (1900—1970)
(La structure de la population active du Tiers Monde, 1900—1970) — Revue Tiers-Monde. 1969.
(ápr.—jún.) 38. sz. 393—403. p.
A szerző néhány relativ homogén statisz- tikai sorral illusztrálja a harmadik világ ak- tiv népességének hosszú távú fejlődését. és a rendelkezésre álló adatok alapján elemzi a multbeli és várható tendenciákat. Vizsgá- lódása középpontjában a fejlődés problema—
tikája áll, közelebbről az a kérdés. hogy mennyire képesek felszívni az ipari szektorok a demográfiai infláció következtében létre- jött mezőgazdasági munkaerő—felesleget.
A tanulmány a harmadik világ földrajzi meghatározására azt a keretet használja fel, amit az ENSZ állított fel, —- kihagyvaa fej-
lődő szocialista országokat —— hangsúlyozva.
hogy nem politikai megfontolásból. csupán a valamennyire egységes statisztikai anyag rendelkezésre állása alapján. A szerző kény- telen számolni némi hibaszázalékkal a nép- számlálási alapadatoknál, s becsléseit in- kább aggregált szinten végzi.
A szerző az 1960-as helyzetből kiindulva vizsgálja az aktív népesség struktúráját. A meglevő adatanyag alapján megállapitja, hogy a fejlődő országok 1960-as szintje e—
gészében véve megfelel a mai fejlett ipari országok múlt századbeli szintjének, szekto—
ronként azonban nagy eltérések tapasztalha- tók. Például a mezőgazdasági népességnek az aktív össznépességben való 70 százalékos aránya a nyugati országok 1810. évi állapo- tát tükrözi. a gyáriparban és a kitermelő i—
parágakban dolgozók aránya még mindig
