Fix bázisú indexek becslése (I.)

FlX BÁZlSÚ HAVl lNDEXEK BECSLESE (l.) DR. KO'VES PÁL

A volumen— vagy árindexszámitás alapjául elvben egyaránt szolgálhatnak évek. hónapok vagy más időegységek adatai. A közgazdasági elemzéseknél leg- többször az évi adatokból számított indexeket használják, de sok esetben szük-

ség lehet részletesebb áttekintésre, például havonkénti változásokat tükröző index—

sorokra is. Ezen igény kielégítése azonban nem egyszerűen attól függ, hogy ren- delkezünk--e havonkénti adatokkal. Az évi indexek számításához képest itt külön problémát okozhat a mennyiségek és az árak alakulásában jelentkező szezonalitás.

A továbbiakban ezt a problémát a piaci árindexek vonatkozásában vizsgáljuk.

amelyeknél a szezonalitásnak nagy szerepe van. A Központi Statisztikai Hivatal a piaci árak évi indexei mellett csak olyan havi árindexeket közöl (lásd a Statisztikai Havi Közleményekben), amelyeknek a bázisa mindenkor az előző év azonos hó- napja. A budapesti piaci áraknak ilyen (egy év alatti változást mutató. egyébként

havonként számított) indexeit (lü- ; a továbbiakban ,,év-hó láncindexeket") 13 évre

vonatkozólag az 1. táblában mutatjuk be.

1.tóbm

Ára/okulás a budapesti piacokon

(Index: előző év azonos hónapja : 100)

l l l .A ' _ f—

_ .; l ; l ", § § ; 3

Év % e l a E l 3 § % ? a. :; % ..,

: 3 3 a * U : —' ? 83 ; 3 %

s a: i : ( 2 2 3 e: m o 2 0

129 100 98 ; 109 — 91 100 101

74 92 100 102 114 109 104

126 136 120 112 108 105 105

! 89 95 111 _ 117 , 114 124 122

1962 . 132 1122 *147 176 144 137 121 103 101 * 100 91 94

1963 . 94 _ 97 1 84 72 72 85 73 82 83 87 91 94

1964 . 94 87 ' 90 93 115 3'112 122 114 ' 115 110 113 _ 110

1965 . 107 112 1113 108 110 ;106 127 127 115 _ 109 107 ) 103

1966 . 132 98 ! 90 92 77 § 85 86 88 91 97 94 100

1967 - 97 99 104 115 !131 3106 95 100 107 101 102 100

1968 4 1040) 94.3 103A 92A 898 1065 1202 1142 99Á 1073 1130 1100 1969 . 1163 §127,9 124ól 1323 128.6l 1019 900 879 1037 98J 93J 943 1958 . 93 l 91 ? 92 122 118

1959 . 98 103 :113 102 103 1960 . 108 _109 1109 111 106

1961 . 99 1103 95 91 94

Az egyes év—hó láncindexek kiszámítása különösebb módszertani (súlyozási) nehézséget nem okozott. mert a különböző (szomszédos) évek azonos hónapjai—

470 DR. KUVES PAL

ban ugyanazok az árucikkek fordulnak elő. megközelítőleg hasonló összetételben. '

Ha azonban arra a kérdésre kellene választ adni, hogy például 1960. januárhoz * képest hogyan alakult az árszínvonal 1960. február, március stb. hónapban, akkor egy téli és egy nyári hónapot összehasonlítva a mennyiségi adatok tekintetében nem egyszerűen csak erősen eltérő arányokkal, hanem azzal is számolni kell. hogy a két időszak piaci felhozatalában alig találhatók azonos árucikkek. llyen körülmé—

nyek között a szokásos indexformulák nem alkalmazhatók.

A mennyiségi adatok szezonalitása mellett szezonalitás jelentkezhet az ár- adatokban is, ez azonban az év-hó láncindexekben nem juthat kifejezésre. mert

azok mindig azonos ,,szezonokat'f hasonlítanak össze. A szezonálisan kicseré—

lődő termékek vonatkozásában elég nehéz is lenne az árak szezonális változását

értelmezni. tehát csak a nem szezonális árucikkeknél tekinthetjük esetleg veszteség-

nek az árak szezonális változása mérésének hiányát. (Kérdés, hogy vannak-e .,iga- zán" nem szezonális piaci árucikkek. Például az újburgonya nem egészen ugyanaz.

mint a télen vásárolható burgonya; hasonló a helyzet a télen. illetve nyáron vásá- rolható almával is.) Ezt a ,,veszteséget" azért említjük itt meg. mert ezt az általunk bemutatandó indexbecslési módszer is ,,örökli" az év—hó indexektől.

Az indexszámítás több más alkalmazási területén (ahol a termékösszetétel szezonalitásának nincs vagy viszonylag mérsékelt a szerepe) már hosszabb-rövi- debb idő óta számítanak fix bázisú havi indexeket. llyen igény az erős szezonali—

tású régiók vonatkozásában is felmerült. Szükség lenne például a piaci árak ala- kulására vonatkozólag nagyobb távlatú áttekintésre szert tenni, amely amellett eléggé részletes, a rövidebb távú ingadozásokat is jelzi, és amely lehetőleg a közlemúltról is beszámol, lehetővé téve ezzel. hogy szinte napjaink áralakulását is összehasonlíthassuk elmúlt időszakokkal. Vajon jogos—e ez az igény? Nem kel- lene—e azt mondanunk, hogy mivel például a júliusi dinnye ára nem hasonlítható össze a januári burgonya árával (illetve általában a teljesen eltérő szezonok piaci árszinvonala nem hasonlítható össze egymással), ezért nincs értelme ilyen esetek-

ben az árindexszámitásnak?

Nem csodálkozhatunk azon. ha az árszínvonal alakulását vizsgáló statiszti- kusban ilyen aggály felmerül. A statisztikus ,,szakmai ösztöne" hajlamos azt sugall- ni, hogy amit nem sikerül megmérnie, az nem is létezik. Ha viszont a közgazdasági elmélet oldaláról közelítjük meg a kérdést, akkor nehéz lenne tagadni, hogy amíg a népgazdaság, az általános árszínvonal (illetve ennek reciproka, a pénz vásárló—

ereje) és maga a piac folyamatosan létezik, addig a piaci árszínvonal (illetve vásárlóerő) is folyamatosan létezik. bármely hónapra. hétre vagy napra jellemző árszínvonal az előző megfelelő időegységhez képest nő. csökken vagy stagnál.

A piaci áralakulás függ a pénz vásárlóerejét befolyásoló általános közgaz—

dasági tényezőktől, továbbá a piac bizonyos általános jellegzetességeitől (amelyek a piaci áralakulásnak az általános áralakulástól való eltérését idézhetik elő), és csak ezek után az egyes konkrét piaci áruk sajátosságaitól. amelyek az árindex- számítás nehézségeit okozzák. Amikor például a júliusi árakat a januári árakkal hasonlítjuk össze, akkor a januárban és júliusban (és közben is folyamatosan) létező piaci árszinvonal változását mérjük. Nehézséget okoz, hogy az árszínvonal nem ugyanazon termékek árában jut kifejezésre januárban és júliusban.

1. Az ,,indexes" megoldás lehetőségeiről

A _probléma megoldása során elsősorban a hagyományos úton illendő elindulnunk.

Ez az út: az egyes árucikkek tényleges mennyiségi (a) és egységár-adatainak (p) felhasz- nálásával felépített Zap típusú aggregátumokkal végezhető, célszerűnek és lehetségesnek

FiX BAZISÚ HAVI INDEXEK 471

látszó valamilyen eljárás alkalmazása. vagyis az indexszámítás klasszikus apparátusának hasznositása.

E tanulmányt azonban elsődlegesen egy másik eljárásnak szenteljük. Ezért a klasszikus indexszámitási módszertan által nyújtott lehetőségekről csak rövid szemlét tartunk, ami elégségesnek látszik a nehézségek bemutatására és annak indokolására, hogy más eljárás- sal is érdemes próbálkozni. Két ,,indexes" módszert érintünk: a) havi láncindexek össze-- szorzása, b) szezonális ,,havi kosarak" kombinálása nem szezonális ,.kontrollkosárral".

a) A szomszédos hónapok termékösszetétele általában nem különbözik rendkivüli mér- tékben, így elképzelhető azok árszinvonalának ,.klasszikus" módon történő összehasonlitása.

Az így adódó láncindexek folyamatos összeszorzásával fix bázisú indexhez jutnánk.

Azért is meg kell említenünk ezt a lehetőséget, mert egy korábbi tanulmányban -- bizonyos feltételek fennállása esetére — az ún. ,,sokláncszemű indexet". vagyis eléggé rövid időszakok láncindexeinek összeszorzását ajánlottuk.1 A hónapnál rövidebb időközökben is szeszélyesen ingadozó egyedi piaci árak tekintetében azonban egyáltalán nem állnak fenn azok a feltételek, amelyek között a havi láncindexek szorzatától elfogadható eredményt vár- hatnánk, tekintettel a termékösszetétel jelentős változására is. A végső ítélet kimondásához azonban egy ilyen kísérlet eredményeinek ismerete is hasznos lehetne.

b) Az indexszámitás beindítását megelőző több év mennyiségi adatai alapján össze lehetne állítani a piaci cikkekből az év egyes hónapjaira jellemző árukombinációkat, az ún.

havi kosarakat. Ezek mellett egy nem szezonális fogyasztási cikkekből álló kosár is össze—

állitható. Ez lenne a ,,kontrollkosár". A továbbiakban az i-edik árucikk i-edik havi ment,—

nyiségének jelölésére h?) (i :: 1.2, ..., nj ; i : 1.2, ..., 12), a kontrollkosár mennyiség ;i adatainak jelölésére ki (i : 1,2, .... n) szolgál. *

A módszer alapgondolata az, hogy a cikkek különböző csoportjai közötti ..kollektiw"

árarányokbói kiindulva igyekszünk időbeli összehasonlítást végezni közvetlenül össze ne m hasonlítható árucsoportokra nézve.

Az egyes havi kosarak összértékei több év megfelelő havi árainak átlagábt m meghatározott ..tipikus arányt" (CW) mutatnának az ugyanazon időszak árai alapj án számitott kontrollkosár összértékéhez viszonyitva:

"J'

_h.]

(")

_pl

(')

Co") : így; !

_",

"

2 ki Pfj)

i:1 '

ahol pg) a havi kosárhoz, illetve a kontrollkosárhoz rendelt átlagos egységár. (A kétt ále ársorozat jele azonos, a megkülönböztetést egyrészt az jelzi. hogy az egyik esetben 1-től r i' ig, a másik esetben 1—től n-ig terjedő sorozat tagjairól van szó. másrészt egyik esetben ! ii, másik esetben ki adatokkal szorozzuk a pl- egységárat. (Megjegyezzük, hogy a (j) jel zés jelentősége eltérő a havi és a kontrollkosárnál, A havi kosárnál a szezonalitás szempontja" ból van jelentősége a hónap jelölésének, a kontrollkosárnál pedig csak azért használunk mi a - felelő havi adatokat, mert a nem szezonális cikkek árai az általános ármozgásnak megfe ile- lően változhattak az alapul vett időszakban, és a kollektiv árarányok meghatározásánál ( :rre tekintettel kell lenni.

Az aggregát—tipusok a kosár típusa és a figyelembe vett árak szerint a következők:

Több év azonos hónapjainak átlagos árai (pl") alapján (előzetes számítás) havi kosár: 2 71?) p?) : Hm (i:1,2,...,nj

kontrollkosár: Z' ki pij) : Km (i: 12, . . ., n)

A vizsgálandó időszakon belüli (fix) bázisidőszak (hónap) egységárai (pár)).ahol r -—( :fix bázisnak megfelelő hónap) alapján

;i:1,2,...,12)

havi kosár: 2 kg" pír) : Há') (r : 1.2, ..., 12)

io

kontrollkosár: 2 ki [)(r): Kg)

")

1 Köves Pál: Statisztikai indexek. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1956. 176—184. old.

472 DR. Keves MI.

A vizsgálandó időszakon belüli aktuális tárgyidőszak (hónap) egységárai (pg), ahol s *- az aktuális időszak hónapja) '

havi kosár: 2 h?) pg) :: H?) (5 : 1.2, ..., 12) kontrollkosár: 2 ki pg) :: K?)

A kosarak összeállítása, illetve a Hm és Km aggregátumok értékének kiszámítása az indexszámítás beindítását megelőző időszakban történnék. * *

A vizsgálni kívánt időszakokban a nem szezonális árucikkek árindexe Kis): Ki" lehet.

illetve képezhetünk e képlet alapján olyan indexsort, amelyben t értéke változik, például egymás után következő hónapokat jelent. A szezonális cikkekre is kiterjedő fix bázisú índexsor képzéséhez ezt az indexsort támpontként fogjuk felhasználni. (Legalábbis gondolatmenetünket így indíthatjuk ei.) Az a kérdés. hogyan kell ezt a ,.támpontindexsort" '

korrigálni célunk érdekében.

Ha az aktuális tárgyidőszak árszinvonala másképpen alakult. mint a nem szezonális cikkek árszinvonala. akkor az aktuális időszaknak megfelelő havi kosarat. valamint a kant-*

rollkosarat az aktuális időszak áraival .,beárazva", az így kiszámítható CW: His) : K?! arány másképpen alakul. mint a bázisidőszaki Off): Hg'szí') arány. illetve -- ha pontosak; aka—*

funk lenni —- ez a két arány közvetlenül nem hasonlítható össze, mert eltérő hónapokra vonatkoznak (kivételesen lehet csak azonos r és 5). Ezért mindkétyidőszak H/K , arányát a megfelelő "tipikus arányhoz" viszonyítjuk, és e két viszonyítás indexével korrigáljuk a ,,támpontidexet". _

A végső fix bázisú árindex (Pt/0) a következő lesz:

Cís) Hís) És)

P Kig) "567 Ki" "KÉT: Ka) Kis). Hi" His)

"" — Kg) CLT) M Kg) Hg") Hú) _ Kir) . HM Hír)

cm Rt?: 3375

Az egyszerűsítés után a jobb oldalon található két tört közül az elsőben olyan adatok szerepelnek. amelyek az előmunkálatok időszakában már elkészültek. Minthogy 12—12 [Imés

Ki értékkel rendelkezünk, készíthető egy 144 adatból álló, las) HW; K(')És):Tsrértéke-

kot tartalmazó táblázat, és akkor az árindex úgy is kiszámítható, hogy a táblázatban kikeressük a bázisidőszaki hónapnak és a tárgyidőszaki hónapnak megfelelő TS, értéket. és ezzel megszorozzuk a tárgyidőszaki Hg") és a bázisidőszaki Hg) aggregátumok hányadosát:

His)

Pr

/o

: T

sr

'7"

Hor)

Figyeljük meg. hogy a végső képletekben (: táblába foglalt aggregátumok közül nem szerepelnek a kontrollkosár bázís— és tárgyidőszaki árakkal ,,beárazott" értékei. hanem csak egyrészt az előzetes számítások eredményei. másrészt a havi kosarak bázis- és tárgyidőszaki

értékei. '

Az előzetes számításokban felfedezhetjük a .,tipikus arányokat":

[((-?) HM (:(?)

'*'—18555" : G(x)

A bemutatott módszernek kétségtelenül lehetnek vitatható mozzanatai. (A lehetséges ellenvetésekre itt sem térünk ki.) A kísérletezés ez esetben is közelebb vihetne a végső ítélethez.

FIX BÁZlSÚ HAVl lNDEXEK 473

2. Kerülő út kerestetik

Az 1. táblában bemutatott, a hagyományos indexszámitás útján kapott év-hó láncindexeket — ha az indexszámítás megszokott problémáitól eltekintünk -— meg- nyugtató módon használhatjuk arra a célra, amire készültek: a szomszédos évek azonos hónapjainak összehasonlítására. Ezek az adatok azonban — úgy tűnik ——

nem teszik lehetővé. hogy az egymás után következő hónapok közötti árváltozásra

következtessünk. ' _

Felvetődik azonban a kérdés. hogy ha kilépünk az indexszámitás gondolatkö-

réből, nem kínál-e a statisztika gazdag módszertana valamilyen más eljárást a táblában levő információk hasznosítására? (Sok probléma megoldását segitette

már elő valamilyen kerülő út keresése, illetve annak megtalálása.)

Az 1. táblában bemutatott ,,év-hó láncindexeket" közönséges dinamikus viszony- számoknak tekintve. azok halmozott szorzatai ,,év-hó bázisindexeket" adnak, vagyis olyan viszonyszámokat. illetve indexeket, amelyek a bázisév (1957) megfelelő hó- napjához viszonyított árváltozást mutatják. (Az ..év—hó bázisindexeket" — bi,- ——

a 2. tábla tartalmazza.)

Ha jobban megfigyeljük akár az 1., akár a 2. tábla vízszintes sorait, az egy- más melletti adatok többnyire viszonylag közel állanak egymáshoz? és ezek a nagyságrendi tendenciák is rejtenek magukban bizonyos információt.

2. tábla

Ára/okulás (: budapesti piacokon

V (Index: 1957. év azonos, hónapja a 100)

s l a a

;. vo w E x- 1 ..a _o

6 a § ; s s m :; § § %,

S a .s a a' e _3 ;" w ") ; 3 3

2 u"! 2 ( 2 3 3 ( 543 o z a

l ' l 3 —————

* 1

1957 .l 100,0 100,0 100.0 100,0 100.0 100.0 100.0 100.0* 100,0 100,01 100,0 100,0 1958. 93.0 91.0 92.0 1220 118,0 1290 1000 98,0 1099 91,0 1000 1010 1959. 91.1 93,7 1040 1244 121,5 955 92,0 98.0§ 1112 1037 109,01105,0 1960 . 982 102.1 1132 138.0 128.8 1202 1252: 117,5; 1245 11191 114,3g 1102 1961. 97,3 1052 1076 125.6 121,1 1069 119,1 130.31145,5 127,6 141,6i134,3 1962 . 128.5 1282 158.1 2212; 1742 1466 14422 13431 1469 1276 128,8 1262 1963 . 1202 1245 1329 1592 1252 1245 10521 11021 1219 1112 11725 118,6 1964. 113.5 108.4 119.4 1479 1439 139,3 1282 125,6l 1409 12221; 1324 130.3 1965 A 121.3 121.3 1349 159,6 158.1 147.6 1629 1596; 1607 13301 141,6 1342 1966. 1239 1189 121.3 1469 1216 125.3 140,0 140,31146,2 129,1 133,0 134,3 1967 . 1202 1172 1262 168,7 1592, 1327 1330 1403; 1562 1302 135,81 1342 1968. 1250 1112 1306 156.0 1429 1412 1600 160.3%155.6 1406 1535 1476 1969. 1452 1422 1629 206,5 183,7 149,6 1439 1409§ 1600

1380 1439 139,0 E tanulmány alapgondolata éppen az, hogy az év—hó indexek elég hosszú idősora (illetőleg elég nagy matrixa) elegendő információt tartalmaz fix bázisú havi indexek, vagyis egymást követő hónapok közötti változásokat hosszabb távon

leíró indexsor becsléséhez.

A probléma megoldásához felhasználjuk az indexszámítás eredményeit. de a továbbiakban indexelméleti meggondolásokat nem alkalmazunk, az indexszá-

3 Nincs olyan tendencia, hogy például a téli árak másképpen változnának, mint (: nyáriak. Az egymás mellett álló év-hó bázisíndexek eltérései nem nagyobbak, mint amilyeneket valamely ..mozgékony", de ha- mogén adatokból álló idősor hasonló adatai is mutathatnának. Ez a körülmény is alátámasztja azt a meg- állapitásunkat, hogy létezik a folyamatosan változó piaci árszínvonal. '

474 DR. waves PAL

mokat közönséges dinamikus viszonyszámokként kezeljük, és az idősorok elemzé—

sének módszertanára támaszkodunk. (Ennek ellenére nem viszonyszámokról, hanem indexekről beszélünk.)

Az év-hó láncindexeket homogén adatokból álló idősor adatai alapján szá—

mitott közönséges dinamikus viszonyszómokként kezelve feltételezzük, hogy az idő—

sor i—edik éve j-edikhónapjában (i : 1.2, ..., 12) létezik egy yij (i : 0.1. . . . , n) ' abszolút szám. igy az év—hó láncindexek (l,-j) és az év-hó bázisindexek (bij ), va—

lamint a közöttük fennálló összefüggés:

y.-

zi,- z—Uw /1/

yi—Ij

y ',"

bij :,W_'.J.,,

!2/

yoj

m

bmjzzll l,.j /3/

,:

Továbbá a végső célt is kifejezhetjük képlettel. A futóindex nélküli y legyen valamilyen közelebbről nem meghatározott fix bázis abszolút adatának jele, xii pedig a fix bázisú indexé: xi]- :? yij /y . Bizonyos célszerűségi szempontból tanul- mányunkban a fix bázis a O—ik év havi adatainak (mértani) átlaga (370) lesz. Az így definiált fix bázisú index:

xii : *S* /4/

Részben a számítások megkönnyítése, részben a gondolatmenet könnyebb áttekinthetősége érdekében a továbbiakban nem közvetlenül az indexekkel. hanem azok 10-es alapú logaritmusaival dolgozunk. Az 1. tábla adatainak háromjegyű logaritmusait a 3. tábla, a 2. táblából számitott logaritmusokat pedig a 4. tábla tartalmazza. A 4. tábla oszlopaiban a 3. tábla megfelelő oszlopainak kumulált adatait találjuk a lánc— és bázisviszonyszámok közötti összefüggés értelmében. Az

év—hó indexek logaritmusát megfelelő nagy betűkkel ( Lij : log lij : Bij : log

bij ) jelölve:

m

A fix bázisú index logaritmusa: log xíj : Xi],- .

3. A probléma szemléltetése -— megközelítés interpolációs modellek sorozatával A 2. tábla bármely oszlopa nyers áttekintést ad az egész vizsgált időszakról (az idősor elején és végén összesen 11 hónaptól eltekintve. vagyis 1957. valamely hónapjától 1969. ugyanazon hónapjáig). Ha grafikusan ábrázoljuk például a jo- nuári oszlopot (az egyes januári adatokat a vízszintes tengely egy—egy évre vonat- kozó szakaszának elejénél felmérve és a januári indexértékek pontjait egyenes

FlX BÁZlSÚ HAVl lNDEXEK 475

szakaszokkal összekötve). akkor az áralakulás olyan grafikus képét kapjuk meg.

amelyik az egyes naptári évek elején (januárnál) pontos, más helyeken (február.

március stb.) becsült (interpolált) értékekből áll. Az ilyen ábrának megfelelően kitölthetnénk o 2. táblához hasonló újabb táblát. amelynek januári oszlopát a 2.

táblából vennénk át, a többi oszlopot pedig két-két január közé interpolált érté—

kekkel töltenénk ki.

Az ilyen ábrát vagy táblát az 1957 és 1969 közötti áralakulás (januártól—

jonuárig) ..ianuári modelljének" tekinthetjük. Természetesen hasonló módon elké- szítjük a februári. márciusi. decemberi modellt is. Ha a lineáris interpolációt nem a 2.. hanem a 4. tábla alapján végezzük el. akkor az eredeti adatokra vonot—

kozóan exponenciális interpolációhoz jutunk. A továbbiakban így *járunk el.

3. tábla

, Az előző év azonos hónap/ához viszonyított indexek logaritmusaí

_ _, _ ! ; .. , 0 _

l l § v i m a)

.. v- . M E . _ .o .o

_ ! o : .,, m " ! 3 4, a: E E

Év "0_: 5_.. "6_;. : : : V- : '*'" .o o o

.. ._. ... : m 9- *- "8 ) u

: "3 "C' a "0 F : : 933 e: 0 0

3 u. 2 ( 2 3 2 e: m o z a

: l

1958 . —0.032 -—0,041 —-0.036 0.086 0.072 0.111 0.000—0.009 0.037 -—0.041' 0.000 0.004 1959 . —0.009l 0.013 0.053 0.009 0.013-0.131 -—0.03ói 0.000 0.009 0.057 0.037: 0.017 1960 . 0.033 0.037 0.037 0.045 0.025 0.100 0.134! 0.079 0.049 0.033 0.021. 0.021 1961 . —-0.004 0,013—0.022 —0.041 —-0.027 —0,051 —-0,0ZZl 0.045 0.068 0.057 0.093; 0.086 1962 . 0.121 0.086 0.167 0.246 0.158 0.137 0.083! 0.013 0.004 0.000 -—0.041 3.—0.027 1963 . —0.027 —0.013 --0.076 -—0.143 -—0.143 —-0.071 —0.137l-—0,086 -—-0.081 -—0.060 ——0,041 1—0.027 1964 . --0.027 —0.060 ——0.C46 -0.032 0.060 0.049 0.086. 0.057 0.060 0.041 0.053; 0.041 1965 . 0.029 0.049 0.053 -—0.033 0.041 0.025 0.104; 0.104 0.060 0.037 0.029! 0.013 1966 . 0.009 —-0.009 -—0,046 -—0,036 —-O.1 14 --0.071 —0.066§-—0.056 -0.041 —0.013 —0,027§ 0.000 1967 . -—0.013 -0,004 0.017 0.060 0.117 0.025 -—0,0221 0.000 0.029 0.004 0.009l 0.000 1968 . 0.017 —-0.025 0.015 —0.034 -—0.047 0.027 0.080; 0.058 —0.002 0.033 0.053? 0.041 1969 .l 0.065 0.107; 0.096 0.122

0.109 0,025—0.0461—00561 0.012 ——0,008 —0,028l-—0,026

4.táblo

1957 azonos hónapjához viszonyított indexek_logarítmusai

.,. .. ..

3 ! a) 4)

.. _'- '" :. E 55 n .o

É—_.,,.-oEE

§ § § .;- § ; 3 2 33 6 2 a

1957. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '0

1958 .—-0.032—0.041.—0.036— 0.086 0.072 0.111 0.000l—0.009 0.037 —0.041 0.000 0.004 1959 . _0.041 —0.028 0.017 0.095 0.085 _0,020 ——0.036—-0.009 0.046 0.016 0.037 0.021 1960 .—0.008 0.009 0.054 0.140 0.110 0.080 0.098 0.070 0.095 0.049 0.058 0.042 1961 ._0,012 0.022 0.032 0.099 0.083 0.029 0.076. 0.115 0.163 0.106 0.151 0.128 1962. 0.109 0.108 0.199 0.345— 0.241 0.166. 0,159. 0.123 0.167 0.106 0.110 0.101 1963. 0.082 0.095 0.123 0.202 0.098 0.095 0.022 0.042 0.086, 0.046 0.069. 0.074 1964. 0.055 0.035 0.077 0,170 0.158 0.144 0.108 0.099 0.146 0.087. 0.122 0.115 1965, 0.084 0.084 0.130 0.203 0.199 0.169 0.212 0.203 0.206 0.124 0.151 0.128 1966. 0.093 0.075 0.084 0.167 0.085 0.098 0.146 0.147 0.165 0.111 0.124 0.128 1967. 0.080 0.071 0.101 0.227 0.202 0.123 0.124 0.147 0.194 0.115 0.133 0.128 1968. 0.097 0.046 0.116 0.193 0.155, 0.150 0.204 0.205 0.192 0.148 0.186 0.169 1969. 0.162 0.153 0.212 0.315 0.264. 0.175 0.158 0.149. 0.204 0.140 0.158 0.143

, 1 -

A 12 modell közül az 5. táblában bemutatjuk (] májusit (Hi.—?).

476 . DR. KC'VES PAL

5. mm

__ _ Máiusi modell

f .. . a; a

_ s ; . . $ a § §

Év % 2 § % § 2 § ;. *a— % 2 3

§ § § ft § § § i' 3.3 § ; a

1957 . ! 0.000 0.006 0.012 0.018 0.024 0.030 0.036 0.042

1958 . 0.048 0.054 0,060 0.066 0.072 0.073 0.074 0.075 0.076 0.077 0.078 0.080 1959 . 0.081 0.082 0.083 0.084 0.085 0.087 0.089 0.091 0.093 0.095 0.097 0.100 1960 . 0.102 0.104 0.106 0.108 0.116 0.108 0.106 0.104 0.101 0.099 0.097 0.095 1961 . 0.092 0.090 0.088 0.085 0.083 0.096 0.109 1 0.122 0.135 0.149 0.162 0.175 1962 . 0.188 0.202 0.215 0.228 0.241 0.229 0.217 0.205 0.193 0.181 0.170 0.158 1903 . 0.146 0.134 0.122 0.110 0.098 0.103 0.108 0.113 0.118 0.123 0.128 0.133 1964 . ' 0.138 0.143 0.148 0.153 0.158 0.161 0.165 0.168 0.172 0.175 0.i79 0.182 1965 0.186 0.189 0.193 0.196 0.199 0.190 0.180 0.171 0.161 0.152 0.142 0.133 1966 . * 0.123 0.114 0.104 0.095 0.085 0.095 0.105 0.115 0.124 0.134 0.144 0.154, 1967 . 0.163 0.173 0.182 0.192 0.202 0.198 0.194 0.190 0.186 0.182 0.178 0.174 1968 . 0.170 0.167 0.163 0.159 0.155 0.164 0.173 0.182 0.191 0.200 0.210 0.219 1969 . § 0.228 0.237 ; 0.246 0.255 0.264 —-

— — — — —-—

Megjegyzés: a 3. tábla májusi oszlopának felhasználásával interpolált logaritmus értékek.

Az 5. táblában kiemelt májusi oszlop azonos a 4. tábla májusi oszlopával.

A többi oszlop adatai úgy keletkeztek. hogy két egymás után következő év májusi adatainak különbségét elosztottuk 12—vel, és az így kapott havi ,.növekményt" (ami negativ is lehet) hónapról hónapra ismételten hozzáadtuk a májusi. júniusi stb.

adathoz. Például 1962. és 1963. május között a havi ..növekmény" osztva 12-vel:

(0.098—0241) : 12 : — 0.012; az 1962. júniusra interpolált érték: 0,241—0.012 : : 0.229; a júliusi O.229——0,012 : 0.217 és így tovább.

A havi modell értékét az i-edik év j—edik hónapjában, amikor a modellhó a ' k-adik hónap (k : 1.2. .... 12). Hgt) -vel jelöljük. A megfelelő érték kiszámítása.

ha az i—edik évben (i : 1.2. .... n—1) mindig a B... adatból indulunk ki és a k-nál kisebb sorszámú hónapokban levonjuk, (: k—nál nagyobb sorszámú hónapok- ban pedig hozzáadjuk a havi ..növekmény" megfelelő többszörösét:

1 . .

müve—.) L.. ](k

Hfj)

k

: B.,c

/6/

1 . .

l üli—k) LH—Ik !)k

(k : i esetében Hifi: B..- .)

Az 1. ábrán bemutatjuk mind a 12 havi modellnek 1960 közepéig terjedő

részét. A 12 modellt egy grafikonon ábrázoltak annak ellenére, hogy azok mind—

egyike más-más bázison (1957 különböző hónapjai) számított bázisindexekből áll.

Elébe vágva az egyelőre nem közelimegoldásnak. vizsgálódásunk végső célját úgy is megfogalmazhatjuk. hogy az 1. ábrán az egyes modelleket függőleges irány—

ban el kellene mozdítanunk úgy. hogy a 12 kezdőpont az 1957. éven belüli tényle—

ges áralakulást jellemezze. Ha ez tökéletesen sikerülhetne. akkor a havi pontokat összekötő egyeneseket el is hagyhatnánk, mert az egyes modellek .,névadó" hó- napjoinál levő pontok mindegyike pontos értéket jelezne. és minden év minden

FIX BÁZISÚ HAVI INDEXEK 477

hónapjához lenne ilyen pontunk. Most már ezeket összekötve a fix bázisú havi indexsort óbrózolnónk.

1. ábra. A havi modellek és azok átlaga

lufi "

wr— - / A;

(ma ,,

/ X április — 725

0

0,

401; / UÉÉHTIÚL'I'

MW

" (7.0 7

x március

_ 0102—-——.. "Nm... W.... ,,..,..Vn, , ___—, ,, , ,

* 003

_am PK? , ,, ,," _

* 005

lag

0,7','

0.129 - —————— '

aaa T WM Á— 720

1107 , K/Aí/M, %

, . , / ,, /

;05 ,

['I/mb.?

0,04;—*""""' ,, , , ,, , , , , ,/ ,,,,,,,,,4117

GUS

("3 xmp

175

——_—— —— —— , ,— 105

700

mim/w V %

M

%%

ji/iz/Aj

fán/án jó'/Wáf'

— 95

*.90

JIFíMíAíMíJEJí/JlsA/JhvloíJíH/wuwlyb MalaWuVIHMMl/nífgggmiszíHMM]Jífggg/íol/WÉJ

4

2. ábra. A havi modellek függőleges irányú elmozdítása

0,1D 009 aaa 0107 0,06 U,05

a,04 U,!)S É

0.02 0,07

om , -0,01l

,] ; MX

-a,a3

l

-—0,04

—0/05

—0,06

—Ú,(77 -—ű,08

JíFWI/H/VIUUIRISZIUINID JIFI/VIIMMUUIMSZWIMD JIFIMIÉWUIJl/IISZIUIMD JIH/WMWIJ

7.958 7959 7950

795 7

' 478 DR; KUVES Patti 2_ ,

Vizsgálódósunk végső eredményeit "csalafinta módon" eiőlegezve módunk-:

ban áll ezt az eltolást újabb grafikonon bemutatni. A 2. ábrán végrehajtottu—k'a modellek eltolását. Az interpolált értékeket itt most már csak szaggatott vonalak- kal jeleztük, és a végső megoldást jelentő csuklópontokat kötöttük össze folyo- ' matos vastag vonallal. Ismételten hangsúlyozzuk. hogy itt most a problémá és a

megoldás szemléltetése érdekében ,.kegyes csalást" követtünk el. Csak kéáőbbx tudjuk majd megmagyarázni. hogy hová kellett a modelleket eltolni. .

4. A havi alapmodellek átlaga/ása

Az 1. ábrán minden időponthoz 12 árindexérték tartozik. Ezek közül egy —- a ' kívánt fix bázistól eltérő bázishoz képet — pontos, a többi két okból szóródik:

1. bázisaik nem azonosak,

2. nem pontos, hanem becsült értékek.

A 12. különböző modell

különféleképpen érint egy adott időpontot: közelebb

vagy távolabb eshet a modell legközelebbi támpontjától. az interpoláció hibája et- től függetlenül is lehet kisebb vagy nagyobb (illetve pozitív vagy negativ).

Kézenfekvő gondolat a 12 modell egybeolvasztása. Ha az egyes időpontokhoz tartozó 12 adatot átlagoljuk:

11.33.

1

.. 12 2 Hl.)

k

/7/

kal

akkor az előbbi bekezdésben foglaltak értelmében két legyet ütünk egy csapásra:

a becslési hibákra mért ,,csapás" mellett a bázisokat is átlagosítjuk. Az 1957 külön—

böző hónapjaihoz viszonyított azonos időszakbeli adatok átlaga ugyanis úgy tekint- hető. mint az 1957. évi hónapok átlagos színvonalához viszonyított érték. (A logo-

ritmus adatokból számított számtani átlag a megfelelő becsült indexek mértani átlagának logaritmusát adja.)

6. tábla

Az interpolációs havi modellek átlaga/ása (lggaritmusok)

§ 1958. ... 1968.

Modellhő

'

Január Február Március Október November December

Jo nuár ... _ —-0.032 —0.032 —-0,033 ... ! 0.146 0.151 0.157 Február ... —0.037 —0,041 -—0,040 ... ' 0.117 0.126 0.135

Má rcius ... —0,030 —0.033 —0.036 ... 0.172 0.180 0.188

Április ... .. .. 0.065 0.072 0.079 ... 0.254 0.264 0.275

Május ... 0.048 0.054 0.060 ... 0.200 0.210 0.219 Június ... 0.065 0.074 0.083 ... 0.158 0.160 0.162 Július ... 0.000 0.000 0.000 0.192 0.188 0.185 Augusztus ... —0,004 ——0.005 -—0.005 0.195 0.191 0.186

Szeptember ... 0.012 0.015 0.018 0.193 0.194 0.195

Október ... —0.010 —0.013 -—0,016 0.148 0.147 0.146

November ... 0.000 0.000 0.000 0.182 0.186 0.184

December ... . 0.001 0.001 0.001 ,.. 0.162 0.166 0.169

2 ... 0.078 0.092 0.111 ... 2.119 2.163 2.201

2/12 ... 0.006 0.008 0.009 ... 0.177 0.180 0.183

1

FIX BÁZlSÚ HAVl INDEXEK 479

A havi modellek átlagolásából kihagyjuk a kezdő és a záró (a 0 és az n sorszámú, esetünkben az 1957-es és az 1969-es) évet. amelyekre a 12 alapmodell csak részben ad adatot. A 6. táblában bemutatjuk az átlagolást. Táblánk teljes

terjedelmében 132 oszlopot tartalmazna. A tábla minden egyes vízszintes sora a 12 modell valamelyikét tartalmazza. A májusi modell adatait a 6. táblában

kiemeltük. Ugyancsak kiemeltük az 5. táblában is ezt a hat adatot. (A 12—12 ada- tot összeadjuk és osztjuk 12—vel.) A végeredményt az utolsó sorban találjuk. A 132

átlagot (iii). ). a teljes átlagmodellt a 7. tábla (és a 3. ábra) tartalmazza. Az átlag—

modell görbéjének megfelelő részét az 1. és a 2. ábrán is feltüntettük.

7. tábla A havi mode/lek átlagai (logaritmusok)

. : l * l .. ..

l . w , .

.. g l 1 § 5 E "É "§

* _ . m j

Ev % l § '§ -: ív '; a 3 3 E— 53 .. o

ala—o a—v 35531? 235153

-. . ...? z . ez 2 _:3 .l _. . ( m o [, z _ ::

1958 0.006 0.008 0.009 0.011 0.013 0.014 0.014 0.013 0.012 0.012 0.012 0.012 1959 0.012 0.012 0.013 0.014 0.014 0.015 0.018 0.021 0.026 0.030 0.035 0.039 1960 0.043 0.047 0.051 0.055 0.058 0.060 0.061 0.062 0.062 0,062 0.062 0.064 1961 0.065 0.067 0.070 0.074 0.080 0.087 0.095 0.104 0.114 0.123 0.131 0.138 1962 0.145 0.151 0.156 0.159 0.159 0.157 0.154 0.150 0.144 0.139 0.132 0.126 1963 0.120 0.113 0.107 ' 0.101 0.095 0.090 0.087 0.085 0.084 0.085 0.085 0.087 1964 0.089 0.091 0.094 0.098 0.102 0.106 0.110 0.114 0.119 0.123 0.128 0.132 1965 0.136 0.140 0.143 0.146 0.148 0.150 0.150 0.149 0.148 0.145 0.142 0.139 1966 0.136 0.133 0.129 0.126 0.124 0.123 0.124 0.124 0.124 0.126 0.127 0.128 1967 0.130 0.132 0.133 0.135 0.136 0.136 0.135 0.136 0.137 0.138 0.138 0.140 1968 0.141 0.143 0.146 0.149 0.153 0.159 0.164 0.169 0.173 0.177 0.180 0.183

3. ábra. A budapesti piaci árak fix bázisú índexei

/ay %

M

., ,, _ __ _ , ., , , , , M ___w—"M..— "__—wm—W-TW

17.25

m -

17.22

aza 17.15 - 0,15 17.14 11.12 am

17.08" * 720

0.015 — :

0.174 710

002

0.00L Mű

—a02

l l ..

—— mmm/ám hay/' mmm cif/ay; /Z fái/a, /77ij /1

_Eű4

_W WWfaáaz-mmmez/mw/a,15.) " ..

l

-0.l7r§' * , _ . m, ,, ,;

7957 l 7953 l 79547 1 7.950 l 7.957 . 7952 l 7953 l 7964 1 7955 l 7555 l 7957 1. 7955 l 7959 1 7970 l

480 DR. KWES PM.

Melyek az átlagmodell tulajdonságai? Ez a modell már fix bázisú indexeket tartalmaz. A fix bázis az 1957. év hónapjainak átlagos színvonala. Megoldottuk

tehát a fő problémát: a 12 egymástól függetlennek látszó összehasonlítási rend—

szert összekapcsoltuk. ,

Ha azonban megpróbáljuk ellenőrizni, hogy ,.érvényesek-e" még kiinduló év-r'

hó indexeink. akkor azt tapasztaljuk, hogy az átlagmodellből számítható éti—há' lánc— vagy bázisindexek nem azonosak a kiinduló lij és bi,— adatokkal, illetve

a megfelelő logaritmusokkal kifejezve: '

Hi]- — II,-_b- e L,.j és Hü m Ha). ; B,.)- -

(A logaritmus adatok különbségei függőleges irányban nem azonosak a 4. és 7.

táblában.) Az átlagmodell az ismeretlen ,,valódi" fix bázisú indexsor valamiféie rugalmas. empirikus (mozgó átlagolású) trendjének tekinthető. és mint ilyentől

nem is várhatjuk, hogy a ,.kilengéseket" is tiszteletben tartó tényleges idősor év—há indexeivel összhangban álljon. (Az átlagmodell vizsgálódásaink egyik végtermé- kének is tekinthető. amennyiben az áralakulás alapirányzatát mutatja.)

5. A kiinduló adatok és a fix bázisú indexsor összhangjának biztosítása évi modellek segítségével

A következő feladat a havi modellek átlagait (amelyek már fix bázisú index—

sort alkotnak) oly módon korrigálni. hogy a végső fix bázisú indexsor a kiinduló év—hó indexekkel összhangba kerüljön. Ennek érdekében kövessük a következő

gondolatmenetet. '

Válasszunk ki egy naptári évet a vizsgált időszak egészéből (illetve az 1958—- 1968. évek közül), és ennek az évnek a havi átlagmodellben szereplő adatait tekint- sük az adott év fix bázisú indexeinek. (A 7. tábla valamelyik sorában szereplő ada—

tok lennének tehát az adott év fix bázisú indexeinek logaritmusai.) A többi év fix bázisú indexeit ezekből kiindulva, az eredetileg adott év-hó indexek felhasználá—

sával származtotnánk le. Ha például a kiragadott év 1960, akkor a 7. tábla 1960-as sorának visszakeresésével kapnánk meg az 1960—as fix bázisú indexeket. Az 1960 előtti évek indexeit az 1. tábla év-hó láncindexeivel való sorozatos osztásokkal. az 1960 utáni indexeket pedig sorozatos szorzásokkal kapnánk meg. (Vagy a 2. tábla adatait számítanánk át 1960—as bázisra, és az így kapott indexekkel szoroznánk meg az 1960-as fix bázisú indexeket.) lly módon elérjük, hogy új (de még mindig

nem végleges!) fix bázisú indexeink összhangban állanak a kiinduló év—há inde-

xekkel. *

Természetesen az itt leírt ,.1960—as modell" mellett készíthető 1957-es. 1958—as stb. modell is, összesen 11 évi modell. (Egy adott év most is csak ,,névodója" (:

modellnek, egy-egy modell mind a 11 évet átfogja, a korábbi havi modellekhez hasonlóan.)

A 11 (általában n—l számú) modell mindegyikében más—más évet tekintünk

viszonylag .,kilengésmentesnek" azzal, hogy a trendj'ellegűnek minősített havi átlag—

modell adatait vettük át. Az adott modell többi 10 évének ingadozásairól (: ,.valádi"

év—hó indexek gondoskodnak. mégpedig a különböző modellekben nem egésZen egyforma módon.

Az évi modellek sem kerülhetik el az átlagolás sorsát. A 11 modell átlagolása

után mutatkozó ,,átlagos" ingadozások már mentesek az egyes modellek egyol-

dalúságától. Minthogy minden egyes évi modell már eleve tökéletesen összhangban

FlX BAZISÚ HAVI iNDEXEK 481

van az év-hó indexekkel. az éves modellek átlaga is rendelkezik ezzel a tulajdon—

sággal.

Általánosságban. ha az m—edik év a modell névadója, akkor a 4. táblát átszá- mitjuk az m-edik év bázisára, vagyis minden Bij -ből kivonjuk az m-edik év meg-

felelő havi adatát. lgy az m-edik sorba csupa nulla kerül. Az ilyen módon átszá—

mított 4. tábla minden sorához hozzáadjuk a 7. tábla m—edik sorát. és megkapjuk az m-edik évi modellt:

ES") :: Bij _. ij "l' 'Hmj /8/

Az évi modellek átlagai lesznek a becsült fix bázisú indexsor logaritmusérté-

kei: .

); __ M _ 1 ni,—il 1("')

tü * Eü 5—1 már Eü 19/

amiből Xij : num log Xi,- -

A /9/-ben kijelölt átlagolást a /8/ figyelembevételével végrehajtva a követke—

zőket kapjuk:

;; __É __,1_ "§1F(m)—,,I "§ (B _B ur ]41 _s % B /10/

ii " ij _ n—l mA—i—l iii * n—l m:], l'J' rni lni " J' J' ' ii

Ezek szerint nincs szükség az évi modellek elkészítésére. a fix bázisú index- sort úgy is megkapjuk, ha a 7. és a 4. tábla oszlopótlagainak különbségéhez hoz- záadjuk a 3. tábla minden egyes adatát. (Lásd később a 8., a 9. és a 10. táblát.)

Már itt jelezzük, hogy további egyszerűsítés is lehetséges, előbb azonban fon—

tosnak tartjuk felhivni a figyelmet arra, hogy a havi modellek elkészülése és azok

átlagolása utáni fázisban többféle gondolatmenettel is eljuthatunk a /10/ képlet—*

hez. Az első ilyen gondolatmenetünk fő gondolata az évi modellek készítése volt.

6. A fix bázisú index felbontása két tényezőre

Újabb gondolatmenet kiindulópontja lehet a fix bázisú index felbontása két tényezőre: 1. (: bázisév hónapjainak fix bázisú indexére, 2. az év-hó bázisindexekre.

A felbontás:

x-— : x —. b-- illetve gíí—j— : íg-.3,—y— [11/

1] a] U ' ———

yo yo yoj

vagy logaritmikus változatban:

X-- : X . —l- B.. /12/

átrendezve:

Xoj : Xij * Bij /13/

A /13/ egyenlőséggel megtehetjük, hogy mindkét oldalt a i-edik hónapra vonatkozóan i (évek) szerint átlagoljuk. (A bal oldalon évek szerint konstans érték szerepel. tehát csak a jobb oldalon történik átlagolás.) Az átlagolás eredménye:

n

X.. B- : 'n'WI go Bij /14/

M:

Xojsz—Bj X.:—

^{1 _}

, rím u ,

.j.

ll_O

3 Statisztikai Szemle

482 DR. KUK/ES PÁL

Figyeljük meg, hogy o /11/. /12/ és /13/ összefüggésekben szereplő három—három adat közül egy—egy ismeretes, az év-hó bózisindex (bij), illetve annak logaritmuso (Eü).

Nem tekinthető azonban a havi modellek ótlogolóso utáni fázisban teljesen ismeret- lennek o fix bázisú index sem. A' kezdő (0) és záró (n) évtől eltekintve a havi modellek ótlagalt felfoghatjuk a fix bózisú index nyers becsléseként (ng)

H.,- 2 Xij (; : 1, 2. n—1) /1'5/

Ha (: /13/-bon (: fix bózisú indexet /15/_-beli becslésével helyettesítjük, akkor a /13/

bal oldalán is becsléshez jutunk (jele: Xg-l). ami egyelőre í-től függően többféle ér- téket vehet fel:

XS]? : ng — Bi]. : Hi]. —— Bi]. /16/

Míg a /13/ bal oldalán évek szempontjából konstans érték áll. a /16/ becslés a bal oldalon különböző lehet i függvényében. Ezért a /14/—ben végrehajtott átlagolóst a /16/-ra is alkalmazzuk. de ezúttal mindkét oldalon ..volódi" ótlagolós megy végbe (az X (O';

értékek átlagát Xoj—vel jelölve):

X.,]. : H]. — B). /17/

Most a /12/-re visszatérve, a jobb oldalon Xaj-t becslésével, helyettesítve (amely becsléshez többek között azáltal jutottunk el. hogy a fix bázisú index becsléseként fel—

használtuk a havi modellek ótloguit). a bal oldalon a fix bázisú Index végső becslése szíj) jelenik meg:

A Á ... _

x.. : x .-j— B-- :II- — B.—-j— B.. ' /13/

ami ugyanaz. mint /10/ végső formája.

8. tábla

Az 1957. évi fix bázisú indexek becslése

(Bázis az 1957. év hónapjainak átlagos órszínvonclu)

l .A l .. ..

s. m É S É " 3 .g

Megnevezés § § ! § % ; § § § ; %.. "§ § GE)

: .a -c 'd. .? :: _: g' : o 0 :; 5 3

2 ú? : e: 2 2. i e: ? .;gn O z a

: j .

6. tábla osz- ' l

lopösszegei ? !

(log) ... 1.023 1.037 1.051 1.068 1.082 1.097 1.112 1.127 1.143 1.160 1.172 1.188

3. tábla osz- '

lopösszegei

(log) ... 0.507 0.476 0.897 1.927 1.488 1.145 1.113 1.138 1.497 0.867 1.141 1.038 Fentiek kü- .

lönbsége : !

(log) ... 0.51ól0.561 0.154 —0.859 -—0.406 ——0.048 —-0.001 —0,011.—-0.354 0.293 0.031 0,150 Osztva 11-

gyel (220)

(log) ... 0.047 0.051 0.014 —0.079 —0.037 -—-0.005 0.000 -—0.001 —-0.032 0.026 0.003 0.013

Num log — —

(százalék) 111,4 112,5 103.3 83.4 91.23 98.9 100.0 99.8 92.9 1062 100.7 103.0

l

FIX BÁZISÚ HAVI INDEXEK

483

A /10/ és /18/ végső formájában a H]- ——Éj nem más. minta bázisév fixbázisú

indexeinek . becslése. Ezekhez kapcsoljuk hozzá a valódi év—hó bázisindexeket.

így jutunk el vizsgálódásunk végső céljához. A bázisévi fix bázisú indexekre vonat—

A

kozó számításokat a 8. tábla tartalmazza. A végső eredményeket (X.,-) logaritmi- kusan a 9., százalékos formájú indexekként (g.-.) a 10. táblában találjuk meg. A fix bázisú indexeket grafikusan a 3. ábrán (és részben a 2. ábrán) szem—

léitetjük.

9. tábla

A fix bázisú havi indexek Iogaritmusai

(Bázis az 1957. év hónapjainak átlagos árszínvonala)

w . '- ".

.. m § E ; 3 .3

E '5 g 3 ,! n n " m 2 _a E E

" :a: _a_m U*—0 . T.:..a. :0- 3-§ ;:_ :m:: a. :..,, a,n.o *0x.— 0)0 0ua;

_. u. 2 m: 2 _. —. ( m O Z ::

1957. .. : 0.047 ; 0.051 0.014 —-0.079 -—0.037 —0.005 0.000 —0,001 —0.032 0.026 0.003 0.013 1958. .. 0.015 0.010 —0,022 0.007 0.035 0.106 0.000 —0,01 0 0.005 —0.01 5 0.003 0.017 1959. .. 0.006 0.023 0.031 0.016 0.048 m0.025 —0.036 —0.01 0 0.014 0.042 0.040 0.034 1960. .. 0.039 0.060 0.068, 0.061 0.073 0.075 0.098 0.069 0.063 0.075 0.061 0.055 1961 .. . 0.035 0.073 0.046 ; 0.020 0.046 0.024 0.076 0.1 14 0.131 0.132 0.154 0.141 1962... 0.156 0.159 0.213 0.266 0.204 0.161 0.159 0.127 0.135 0.132 0.113 0.114 1963. .. 0.129 0.146 0.137 0.123 ; 0.061 0.090 0.022 0.041 0.054 0.072 0.072 0.087 1964... 0.102 0.086 0.091 0.091 0.121 0.139 0.108 0.098 0.114 0.113 0.125 0.128 1965... 0.131 0.135 0.144 0.124 0.162 0.164 0.212 0.202 0.174 0.150 0.154 0.141 1966... 0.140 0.126 0.098 0.088 0.048 0.093 0.146 0.146 0.133 0.137 0.127 0.141 1967... 0.127 0.122 0.115 0.148 0.165 0.118 0.124 0.146 0.162 0.141 0.136 0.141 1968... 0.144 0.097 0.130. 0.114 0.118 0.145 0.204 0.204 0.160 0.174 0.189 0.182 1969 . . ;! 0.209 0.204 0.226; 0.236 0.227 0.170 . 0.158 0.148 0.172 0.166 1 0.161 0.156

a ! 1 i i [

Megiegyzés: a 8. tábla utolsó előtti sorához hozzáadva a 4. tábia megfelelő adata.

10. tábla

A fix bázisú havi indexek

(1957. hónapjaínak átlagos árszínvonala s 100)

.,. . .. ..

. a s .. § § ; § §

Ev g : g e § a es a § ., § c _- 3 3 ? E — s 3 § ; " s " 3

!. u.. 2 az 2 2 2 e: m o z ::

1957... 111 112 103 83 92 99 100 100 93 106 101 103

1958... 103 102 95 102 108 128 100 98 101 97 101 104

1959... 101 105 107 104 112 94 92 98 103 110 110 108

1960... 109 115 117 115 118 119 125 117 116 119 115 113

1961... 108 118 111 105 111 106 119 130 135 136 143 138

1962... 143 144 163 184 160 145 144 134 136 135 130 130

1963... 135 140 137 133 115 123 105 110 113 118 118 122

1964... 126 122 123 123 132 138 128 125 130 130 133 134

1965... 135 136 139 133 145 146 163 159 149 141 143 138

1966... 138 134 125 122 112 124 140 140 136 137 134 138

1967... 134 132 130 141 " 146 131 133 140 145 138 137 138

1968..l 139 125 135 130 131 140 160 160 145 149 155 152

1969... 162

160 168 172 169

148 144

141 149 147 145 143'

Megjegyzés: a 7. tábla utolsó sora szorozva a 2. tábla megfelelő adatával.

3—

484 DR. Keves PAL

7. A havi modellek eltolósán alapuló interpretációhoz

A fix bázisú indexnek számításainkban kétféle becslése szerepel: a havi modellek átlaga és a /10/—nek vagy a /18/—nak megfelelő végső becslés. A /10/

vagy a /18/ alapján belátható. hogy a kétféle becslésnek egy adott hónapra

vonatkozó évek szerinti átlaga'i egybeesnek (a 7. és 9. tábla oszlopátlagai egyen—

lők). Ez az egybeesés is alkalmas egy bizonyos interpretációra. Az íii becslés—nek az egyes években általában el kell térnie - felfelé vagy lefelé —— az X,?)— % Eü—

becsléstől annak érdekében. hogy a kiinduló év-hó indexekkel összhangba kerül—

hessen. Vagy fordítva: az Xíj x Hü becslésnek a valódi Xij értékektől — ame- lyeket az ffi]- értékekkel akarunk jól megközelíteni — részben lefelé. részben felfelé az interpolációs modell sajátosságaiból adódóan. Ezek az elté—

rések .,igyekeznek" kiegyenlíteni egymást.

4. ábra. A februári modell eltolása

Mg

01757— — - 75: — ,, — — _ m"?

Lmv — ill ll r. _ ,, /

l, ' t xx-JLL/

. l' l t .,! xx

U,72 .hu—— , , , M_L—xwt 61 , , '?"S'Jk' . , 1

l i i ;, x

; x

0470 'em, , , _ ,

_ ,! x

0.013?—

/

ll, lllz' ! ,, , , ,W _ ,,,___,

WM,

"(Wlíl— , , ,, ,, ,, , ,., ,, ,, ,,4

17957 ! 79.451z959l79ml 7.457 lzwlzwlzw—almm17955l7957l7955l

Most jutottunk el oda. hogy a 2. ábrán — egyelőre csak ..tantázia-alapon"

— végrehajtott eltolások (a havi modellek függőleges irányú elmozdításai) konk- rétabb magyarázatát megadjuk. Azt, hogy mi az eltolás értelme, akkor is láthat—

tuk, de nem volt az eltolás irányára és mértékére támpontunk. Most már belát-

ható, hogy az eredeti havi modelleket a havi modellek átlagára .,toljuk rá"

éspedig ,.átlagosan", minthogy pontos ráillesztésre nincs mód. A 2. ábra csak 1960 közepéig mutatja az egyes havi modelleket és azok átlagát. Az eltolöst

segít megérteni a 4. ábra is.

Fix BAZISÚ HAVI iNDEXEK 485

Az áttekinthetőség kedvéért itt csak egy havi modellt (a februárit) vizsgá- lunk. A B és H görbe a 4. és 7. tábla februári adatait jelzi. A fix bázisú index

§ görbéjét úgy kaptuk meg, hogy a § görbét függőleges irányban eltoltuk úgy.

hogy az évek (1958—1968) összességét tekintve a két görbe ,.átlagosan" fedje,

A

illetve a lehető legjobban közelítse meg egymást.3 A § és X görbe közötti elto—

lódós nagysága megadja az 1957. februári fix bázisú index becslését (%m). amit az 1957—es pontnál tudunk az ábráról leolvasni.

8. Az év-hó bázisindexek átlagsora, mint tükörkép

Egy további lehetséges gondolatmenet szerint az év-hó bázisindexek (B,-) átlag- sora (a trendhatást leszámítva) tükör módjára megfordítva mutatja () báziséven belüli áralakulást. Ha például 1957. áprilisban — a környezetében levő hónapok- hoz képest —— alacsony volt az árszinvonal, akkor a későbbi évek áprilisában az 1957-es bázisú év—hó bázisindex (bizonyos szóródá'ssal) viszonylag magas értéket jelez, ugyanis az 1957. évi áprilisi áresés nem szezonális tünet lévén, más évek-

ben (legalábbis szisztematikusan) nem ismétlődik meg.

Vizsgáljuk meg az eredeti év-hó bázisindexek (4. tábla) oszlopótlagaiból álló 12 tagú idősort abból a szempontból, hogy milyen komponensek befolyásolják alakulását.

Az idősor adatai magukban foglalják a 132 hónapra terjedő teljes idősor trendjének egy évre eső részét. Az év—hó indexek természetéből adódóan szezonális komponenst nem tartalmaz az átlagok idősora. Az átlagolás miatt a véletlen szerepét is elhonyagolhatjuk.

Marad azonban egy igen lényeges komponens, a bázis hónapról hónapra történő válto- zása. A 11—11 azonos havi bázisindex átlaga azért nem nő vagy csökken ,,simán", (]

trendnek megfelelően, mert a báziséven belül hónapról hónapra váltakozó iránnyal módo-

sult az árszínvonal. *

E szerint a 4. tábla oszlopátlagaiból ki kell szűrni a trendet. majd a ,.moradvány"

valamiféle ,,tükörképét" tekinteni az 1957. évi fix bázisú indexsornak. Az említett tükrözés érdekében nem az átlagsorból tisztítjuk ki a trendet, hanem fordítva: a trendadatokból vonjuk ki a 4. tábla oszlopátlagait.

5. ábra. Havi átlagsorok egybevetése

0.780

01750

EMU W'

H,!E'U

1], 700

msg . d ' ' V *

masa ,,L ,, , . ,

_, 0———4 s , 4

,a _,,,_ ,,,__,._,,,,í ,Vl ,, ,,,,, _ "; ,V ? W

űdgiJTFlMi/Jl/Wli lJi/ilSZlUi/Vlűl

A teljes idősor trendjét, illetve annak egy évre jutó részét többféleképpen is elké- szíthetnénk. Mit tekintsünk tehát trendnek? A 7. tábla (havi modellek átlagai) adatairól már megállapítottuk, hogy a mozgó átlagolású trendértékekhez hasonlíthatók. Ha a 7.

3A megközelítés eleget tesz a legkisebb négyzetek elvének.

486 DR. KUVES: FlX BÁZlSÚ HAVl lNDEXEx

tábla azonos havi adatait átlagoljuk, akkor az így adódó havi átlagok sorozata a trend egy évre eső részét adja, mégpedig lényegesen kiegyenlítettebb módon. mint az átlag- modell teljes sora. Esetünkben például ez az adatsor majdnem lineáris. lme. a 4. és a 7. tábla átlagsorainak különbségét újabb módon interpretáltuk. _

Minthogy esetünkben a trend majdnem lineáris és majdnem vízszintes. a 4. tábla átlagsorát tükörből nézve a 9. tábla 1957-es részéhez rendkívül hasonló grafikus képet kapunk. (Lásd az 5. ábrát, összevetve a tükörből figyelt 2. vagy 3. ábra megfelelő részé- vel.) Olyan esetekben, amikor a trend elhanyagolható. a 4. tábla oszlopátlagai ellenkező előjellel megadják a bázisévi hónapok fix bázisú indexeinek logaritmusát. (Tehát ilyenkor

nem kell elkészíteni az interpolációs havi modelleket sem.) 9. A számítások további egyszerűsítése.

Helyettesítsük be a /7/ képletbe a /6/ képletet:

_ 11209112 1j-—1_ 12k'L

Hii —Ék§1Hii _íí kg] Bik lit? 121 (J'—k) LIH k *— kzíu (**!) ik /l9/

(j)k) (145)

Ebből a 7. tábla oszlopainak átlaga:

"_ 1 "__1 "" 1 i—l n 12 n

ltII:",j—"f Z Hij: B* ÉT Ez (J'—k) Z Li—Hk _ Z (k*—J') ZlLik /20/

— ':1 'I _ ._ _. ._

! n—l 1—1 k—H—l ,_1

(Pk) ——-—-v-——' (fek) ———w—-*

(Bnkw Blk) Bn—lk

ahol 8 a 4. tábla összes adatainak (eltekintve az első és utolsó évtől) átlaga.

A szögletes zárójelben mind a két tag akár a 3., akár a 4. táblából kiszámít-

ható. Ezek szerint az év-hó indexek logaritmusainak ismeretében a fix bázisú index

kiszámításához nemcsak a havi modelleken alapuló évi modellek elkészítésére nincs szükség (ami már korábban kiderült), de magukat a havi modelleket sem

kell elkészítenünk. A /20/ képlet alapján kiszámítva a H.,- értékeket, e melletta B,-

értékeket is kiszámítva a 4. táblából, rögtön a 8. tábla elkészitése következhet.

(Az egyszerűsített számításokat egy másik példán mutatjuk be. Lásd a 12. táblát.) A több oldalú megközelítést mégis fontosnak érezzük. Még ezek után sem köte—

les azonban az olvasó elfogadni a becslési eljárás tökéletességéről mondottakat, ezért itt még nem érnek véget vizsgálódósaink, az eredményeket .,próbák" elé ál-

lítjuk.

(A tanulmány ll., befejező részét a Statisztikai Szemle következő számában közöljük.)