Az additív és a multiplikatív felépítésű indexformulák összefüggése

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK

AZ AÓDlTlV ÉS A MULTIPLIKATlV FELEPlTÉSÚ INDEXFORMULÁK CSSZEFUGGESE

VITA LÁSZLÓ

A multiplikatlv felépítésű indexformulák az indexszómok többarcú: részben ad---

ditív, részben multiplikatív természetének éppoly logikus következményei, mint a;

gyakorlatban szinte egyeduralkodóvá vált additív felépítésű formulák. Ezt az állás-—

pontot képviseli Köves Pál is a volumen— és árindexformulákat rendszerező, 1975—

ben megjelent cikkében (1). Mindeddig nem kellőképpen tisztázott azonban a

multiplikatív felépítésű formuláknak a ..természetesebb" additív felépítésű formulák—

hoz való viszonya, ami fokozza a gyakorlatban történő alkalmazásuktól való ide- genkedést, annak ellenére, hogy számos szerző igen előkelő helyezést biztosít szá- mukra a különböző indexformulák .,versenyében". Jelen tanulmányban a kétféle—

felépítésű indexformulák közötti kapcsolattal kívánok foglalkozni.

Mindenekelőtt vezessük be a következő jelöléseket:

24 p "

A,,(GXP) z—ELL—L—additív felépítésű. gxpy súlyozású számtani átlagként számított:

4pr volumenindex, 24 p i

A,,(GXPY) : —ÉX—L—p——additív felépítésű, Cley súlyozósú számtani átlagként számított X y árindex,

24 P

Hahxpy): x y —additív felépítésű, (;pr súlyozású harmonikus átlagként számí—.

2 _4551 tott volumenindex.

'a

29 P

thxpy): x; —additív felépítésű. cle, súlyozású harmonikus átlagként számí—

2 x y tott árindex.

Eclzpy

Gamxpy): VIIigwy _multiplikatlv felépítésű. GXP, súlyozású volumenindex.

Zang__m

G,,(c;x py) :: l/Higxp' — multiplikatív felépítésű ax p), súlyozású árindexek.

VITA: iNDEXFORMULAK

173 Előbbi jelöléseinkben:

i :

i

—az egyedi volumenindex,

" %

. P ,

Ip : É — az egyedi árindex.

x, y : O - a bázisidőszak.

x, y : 1 —— a tárgyidőszak.1

E jelöléseken kívül használni fogjuk még majd az egyszerűbb

6310): Gg(GoPO)- Gy) : Gehl/01), GÉP) : G,,(CIOPO): GS) : G,, (%m)- valamint az ezekhez hasonló értelmű

0) 1) 0) 1

Hg,Hg,Hg.Hgl

jelöléseket is.

*

Az azonos (pozitív) átlagolandó értékek azonos súlyozású, de különböző fajta átlagainok nagyságrendjére vonatkozó közismert tétel szerint nyilvánvaló.2 hogy

Ham) ( 6400) ( Aaivo) /1/

leVO) ( G,,(vo) ( A,,(Vo) /2/

illetve

HGM) ( Gg(vi) ( A,,(Vi) /3/

Hp(v1) ( G,,(vl) ( APM), /4/

ahol: Vo : 610590 és Vi : CliPí-

Az is nyilvánvaló továbbá, hogy

Mngung

Agmopl) : Pg'Ap(41P0) : Pp /5/

Hg(v1) : P4,Hp(v1) : Pp,

ahol L (: Laspeyres-féle, P a Paasche—féle index, a (7, illetve a p alsó index pedig most is volumen—, illetve árindexet jelent.

Az Ill—[4] egyenlőtlenségekben szereplő, a gyakorlatban és az elméletben

egyaránt eléggé mellőzött Aa(v1). Ap(v1), H,,(vo) és H,, (vo) formulákat3 az ún. Bortki- ewicz-féle összefüggés alapján vezethetjük vissza a jól ismert és gyakran használt Laspeyres- és Paasche-féle indexformulákra, ami az azonos átlagolandó értékekből különböző súlyok felhasználásával számított súlyozott számtani átlagok között te-

remt kapcsolatot. (Lásd: (2), (4).)

1Jelen tanulmányban csak két időszak összehasonlitósávol foglalkozunk.

2 Azt a számunkra érdektelen esetet kizárva, amikor minden átlagolandó érték egyforma, s a különböző fajta átlagok egybeesnek.

3 Megjegyezzük, hogy A(( (vi) és A,, (vi) Palgrave—formula néven ismeretes a szakirodalomban.

174 ViTA LÁSZLÓ

Eszerint

1 k

* — fux;

X2 "2 521

í : ———:——————:1 k 1—i—vx vh r(x, h). /6/

—

_{"1 ':1}

2 f —x

_{1: l}

ahol:

k k f25

"122f1i- "zSZfafv ":

i:1 i:1 fu

vx — az x; étlagolandó értékek fi; súlyokkal számított relatív szórása.

Vh -—a súlyarányok különbözőségét tükröző ha :fzc/fu értékek f,; súlyozósú relatív szórása.

r(x, h) — az x; és a h; értékek közötti fi; súlyozósú lineáris korrelációs együttható.

A /6/ összefüggést alkalmazva ugyanis könnyen látható. hogy:

Aa(V1)

: 1—i—v;g v,; rumi") : 1—l—v;: , /7/

0

ahol: v§g az i,, egyedi volumeninclexek go pi súlyozósú relatív szórása, valamint

.A,,(v1)

.. PP

: 1—l—V;p va, r(ipúp) : 144; , /8/

ahol: ví, az ip egyedi árindexek CnPo súlyozósú relatív szórása.

Tekintve. hogy4

429 4 pl

Hgoleg 00] és H,(,0):Ap 00],

91 Pl

megint csak a ló/ összefüggést alkalmazva

HJM) _ 1

214400 VM, r la, —i— :1—sg [9]

a a

és

H,,(Vo) _ 1

Lp 314432, v1/ipr IP, Tf) 21 ._.—69, Hol

ahol /9/ és /10/ jobb oldalán

V,! és V1/i, —az ia egyedi volumenindexek és azok 1/ig reciprok értékeinek vo súlyo- zósú relatív szórása,

6HSC) esetében például ez a következőképpen igazolhakó:

293324

Hl") : 270090 : Enola, : a; ' : A (402190)

!? 3924: 240190 ZGogpo (! 41

fg 171 41

lNDEXFORMULAK 175_

":,, és vmp —az ip egyedi árindexek és azok 1/ip reciprok értékeinek vo sú- lyozású relatív szórása,

r(iaJ/ig) és r(ipJ/íp) —az i és 1/ig (iP és 1/íp) értékek közötti kapcsolat szorosságát, mutató, ugyancsak vo súlyozású korrelációs együttható.

A /7/ és [8/ összefüggések alapján nyilvánvaló. hogy

Ag(v1) : Mig) Pa : P; ) Pa,

illetve

APM) : (1 M;; P,, : P; ) PP.

Ami pedig /9/—et és /10/-et illeti, igen könnyen igazolható, hogy az r(x, 1/x) li—

neáris korrelációs együttható értéke mindig negatív5. s így mindkét hányados értéke—

kisebb egynél, amit az 1 — ec; és 1 — ap felírással már kifejezésre is juttattunk.

Az r(x, 1/x) korrelációs együttható számlálója ugyanis

alakú, amelyben

( 1 )_ T _ 1

X 2! ;

ahol ?,. az x értékek harmonikus átlaga. Ennek alapján viszont

_ 1 1 )? ;

2f(X—X) (hi—_:— : n—nml" :" 1—7 ,

x x,,

ami ugyancsak a különböző fajta átlagok nagyságrendje miatt nyilvánvalóan ne-—- gatív.

lgy végül /9/ és [10/ alapján

Ha(v0) : (1 meg),-(, : L; ( La

Hp(v0) : (1—ep)Lp : L; : Lp,

.

ahol:

60 .: "ch v1/f,'(la' Vio) ; 0, ep : _vtl, V1/xpfllpv 1/ip) ; O.

O'sszekapcsolva most már az eddigi eredményeket. /1/. /5/, /9/. illetve /3/, /5/ és /7/

alapján az

(pa—(pg1 : 6510) : La /11/"

5 Továbbra is feltételezzük. hogy az átlagolandó értékek nem mind egyformák.

1 76 VITA mszm

illetve

Pa ( cg) ( (Hiába, [12/

egyenlőtlenségeket kapjuk. A /11/ és /12/ egyenlőtlenségek önmagukban it'—érdeke—

sek, hiszen kapcsolatat teremtenek az additív és a multiplikatív felépítésű La és Gill), illetve P,, és GS" alapformulák között.

Az alapformulák közötti kapcsolat méginkább szemléletessé tehető :: /1'1/ és V/12/ egyenlőtlenségek

G(O)

1—8 4 41

0

4

ga)

14 41—l— Vi

a

alakban történő felírása útján. E két összefüggés azt fejezi ki, hogy a megfelelő

.

alapformulák egymástól való eltérése kizárólag az egyedi volumenindexek, illetve

azok reciprok értékeinek relativ szórásától. valamint az r(í(,. ilig) korrelációs együtt—

ható nagyságától függ. Mivel azonban %S v,v1/,g, ez lényegében azt jelenti, hogy minél kisebb az egyedi volumeninclexek (s következésképpen a volumenindexek re- ciprok értékeinek) relatív szórása. annál közelebb esik egymáshoz a két alapfor-

mula értéke.

Mivel [ill-ben és llZI—ben a ül?-ra és Ggl-re kapott mindkét határ pozitív. a két egyenlőtlenséget összeszorozva s az így adódó szorzatokból négyzetgyököt von—

VO GZ

1/1_sMF (5041/1TVZF/13/

eredményre jutunk, ahol:

y:?"

a Fisher-féle volumenindex,

- __ _a'fm'

Ga "' l/Gg 64

pedig a Fisher-féle indexhez hasonlóan keresztezett multiplikatív felépítésű volu—

menindex.

A [13/ egyenlőtlenség is felírható a valamivel szemléletesebb

Víg—(Fleifu—v; /14/

a

módon, ami közvetlen kapcsolatot teremt a kétféle felépítésű volumenindex ..har—

madik generációs" Go és F formulái között. Eszerinta Go és F,, ..harmadik gene-

rációs" indexformulóka is annál jobban közelítik meg egymást. minél kisebb az egye—

—cli volumenindexek relatív szórása.

iNDEXFORMULÁK 177

Ehhez teljesen hasonló gondolatmenettel az árindex esetében az

__ (0)

(1 el))LP ( Gp ( Lp

2 /15/

Pp ( G,?) ( (1—l—ví-P) Pp, illetve

___ _ , %

V1—8p Fp(Gp( 1/1Jrv,pr [16/

és

ím,, _D _'z_í_

V1—sp( :—( V'l—l—viz /17/

egyenlőtlenségekhez jutunk. ahol:

rp : l/ LPPP és GP : 1/ 69631).

Természetesen a /15/ formulák is felirhatók a szemléletesebb G(O)

P

1—6 ( —— ( 1

p

LP

cm

'2

1 ( ( 1—Jf—V4p p

módon, ami a volumenindex esetében felírt hasonló szerkezetű formulákkal azonos módon értelmezhető.

A /13/. /14/, illetve /1ó/, /17/ egyenlőtlenségek kapcsolatot teremtenek az addi-

tív és a multiplikatív felépítésű indexkör tagjai között, s így matematikailag is alá—

támasztják azt a megállapítást, hogy ... . . a két említett út -— ti. az additív és a mul- tiplikatív felépítésű indexek számítása — sokkal közelebb kerül egymáshoz, mint azt

az út elején gondolni lehet" ((1) 1182. old.). Ez egyben azt is jelenti, hogy teljesen

alaptalan a multiplikatív felépítésű indexformulák gyakorlati alkalmazásától való

idegenkedés.

Végül álljon itt egy számszerű illusztráció is az eddig mondottak szemléltetése céljából. Az alapadatokat az 1. tábla, a számításokhoz szükséges ax p, súlyadato- kat pedig a 2. tábla tartalmazza. (A számszerű példa forrása az (1) tanulmány

1184. old.)

Az additív felépítésű volumen- és árindexek értéke a következő:6

"4 : 1.8141140 Pa: 1.4704789 Fa : [6332839 Lp : 1.4008649 Pp : 1,'l355087 FP : 12612273.

6A számszerű összefüggések bemutathatósága érdekében minden számítást az egyébként indokoltnál pontosabban hajtottunk vég re.

5 Statisztikai Szemle

178

VITA LÁSZLÓ

A multiplikotív felépítésű formulákkal kapott eredmények:

Gál" : 1,4305693 GS" : 1.2592430

Gál) :1,8414121 GÉP : 1.2588916

Ea 21.6230427

EP :1.2590673.

1. tábla

A budapesti piacok néhány 1960. és 1970. évi adata

A felhozatal E

. gységór - o

Árucikk. mértékegység (333333) (éVl átlagár, forint) Egyed: indexek

1960 [ 1970 1960 [ 1970 mlm: ] p,/po

1. Elő csirke (kg) . . 958 l 4041 37,6 28,9 4.2181628 0.7686170 2. Vágott liba (kg) . 1 107 4144 29.5 39.2 0.4010840 1.3288136

3. Tojás (db) . . 21 652 97 016 1.8 1.5 4.4806946 0.8333333

4. Tejföl (l) . . '387 241 19.7 24,8 0.6227390 12588832

5. Burgonya (kg) . 21 629 37 752 3.2 3.7 1.7454344 1.1562500

6. Sórgorépo (kg) . 6 221 5 136 3.3 5.5 0.8255907 116666667

7. Fejes kóposzto (kg) 5 148 5 225 2.2 3.4 1.0149573 1,5454545

8. Korolóbé (kg) . . 2 937 2896 3.8 6.1 0.9860402 1.6052632

9. Zöldpopriko (kg) . 10 674 13 581 4.7 11.6 1.2723440 2.4680851

10. Paradicsom (kg) 12 129 7 174 2.2 6.9 0.5914750 3.1363636

11. Almo (kg) . 9 607 14 884 6.3 5.1 1.5492870 0.8095238

12. Szőlő (kg) 2 892 3 304 8.3 8.8 1.1424620 1.0602410

' Az egyedi indexek o multiplikotív felépítésű árindexek közötti kis eltérés miatt az egyébként indokolt-—

nál pontosabban vonnak szómíiva.

2. tábla

A számításokhoz szükséges ax py súlyadotok

(ezer forint)

Árucikk c10170 (NP! mpo mm

1. Élő csirke . . 36 O20.8 27 6862 151 941.6 116 7843 2. Vágott liba . 32 6565 43 394.4 13 098,0 17 404.8

3. Tojás 38 9736 32 478.0 174 628.8 145 524.0

4. Tejföl 7 623,9 9 597.6 4 747.7 5 976.8

5. Burgonya . 69 212,8 80 027,3 120 806.4 139 6824

6. Sórgorépo 20 529,3 34 215.5 16 948.8 282430

7. Fejes káposzta . 11 325,6 17 5032 11 495,0 17 765,0

8. Karalóbé . 11 160.6 17 915.7 11 004.8 17 6656

9. Zöld paprika . 50 167.8 123 818,4 63 830.7 157 539.6 10. Po rodicsom . 26 683,8 83 690,1 15 782.8* 49 5006

11. Alma 60 524,1 48 995,7 93 7692 75 908.4

12. Szőlő . . 24 003.6 25 449,6 27 4232 29 0752

Összesen ! 388 882,4

1 544771,7 ! 705477.o í 801 075,3

A /11/-—/17/ egyenlőtlenségek felírósóhoz szükséges további számítások ered-

ménye:

v; :: 0.7488227

4

v. : 0.7215373

'a

INDEXFORMULÁK 179

v . :0,7077759

1/19

f(így Vig) z—O.7326388

illetve:

vf : 0.5059014

*?

V

ip

: 0.5055267

v1 h.? : 0.3761853 f(lp, mp) : —0.9263378.

ahol víg 610131 súlyozással. v; Gipo súlyozással. az összes többi mutató pedig vo :: CloPo

?

súlyozással keszült.

Ezeket felhasználva, /9/ és /10/ alapján

ea : -—[O,7215373- 0.7077759(—0.7326388)] : 03741489 EP : ——[0.5055267 - 0.3761853(——0.9263378)] : 0.1761632

és így [14/ a

0.791 ( —— ( 1.249, Gt:

F(!

/17/ pedig a

5

0.908 ( —" ( 1.121

Ft:

alakot ölti. A tényleges arányok:

Ea E,,

,_V : 0,994, "— : 0.998.

Fa FP

Láthatjuk, hogy elég tág határokat kaptunk — különösen a volumenindexek ese- tében —, de ez elsősorban példánk egyedi sajátossága, ami a két összehasonlított év közötti nagy távolságban áll. Az összehasonlított időszakok közötti nagy távol- ság általában megnöveli mindkét fajta egyedi indexek -— példánk esetében külö- nösen az egyedi volumenindexek — relatív szórását. Ha azonban egymást követő!

évek volumen— és áradatait vesszük alapul, akkor a multiplikatív és additív felépí—

tésű indexek hányadosára a fentinél jóval szűkebb határokat kapunk. Ha például az 1. táblában szereplő 12 cikk 1970. és 1971. évi felhozatali adatai alapján haj- tanánk végre a fenti számításokat. akkor (: volumenindex esetében

G

0.988 ( ——"— (1.011,

FG

az árindex esetében pedig

GP

0.990 ( "" ( 1.011

Fo

határokat kapnánk. amelyek az előbb kapottaknál valóban jóval szűkebbek. Ebben

5;

180 VlTA : INDEXFORMULÁK

az a tény játszotta a legnagyobb szerepet. hogy jelen esetben mind az egyedi vo—

lumen-. mind az egyedi árindexek relatív szórása mintegy 0.15 a korábban kapott

0.7 és 0.5 körüli értékekkel szemben. (A tényleges arányok a jelen esetben: 099986

és 1.00005.)

Mindkét esetben látható, hogy a tényleges arányok l-hez igen közel esnek, ami ,

nem teszi kizárttá, hogy (: /l4/ és /17/ egyenlőtlenségekben szereplő határok még

tovább szűkíthetők.

lRODALOM *

(1) Dr. Köves Pál: Az indexformulúk áttekintése. Statisztikai Szemle. 1975. évi 12. sz. 1178—1207. old.

(2) Köves Pál -— Párniczky Gábor: Általános statisztika. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest.

1973. 817 old. — _ ,

,97 * (3) Köves Pál: lndexelme'let és közgazdasági valóság. Akadémiai doktori értekezés. Kézirat. Budapest.

8. — , ,

(4) Köves Pál: Statisztikai Indexek. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1956. 203 old.

PESIOME

B caoew cra'rbe aarop oruacfu Ha ocuoee oőmecraeunux nopamcos pasnmnux epen—

unx, oruacm me Ha öaae Beaumoaaauchocru Soprxeama ycranaanusaet cefrab Menza)!

MHAeKCöMH oőbema u ueu angnrnanoro " mynuunnuxauuonnoro crpoer-mn. Ocngecraneme sakmouenubrx :; cpopmynu [14/ u [17/ Hepaaeucrs aarop nonaeuaaer raxme Ha uncnoaam inpumepe.

SUMMARY

Relying partly on the well-known order 'of magnitude of different _averages and partly on the relation /ó/, due to Bortkiewicz. the author establishes in his article (: relationship between the auantity and price index numbers of additive and multiplicatíve type. Fulfilment of the ineaualities /14/ and /17/ is illustrated by (: numerical example, too.