1. A Pannon-medence geologiajanak es topograajanak rovid attekintese

(1)

NEH

EZS

EGI ER }

OTER

ENEK

MODELLEZ

ESE

Kandidatusi ertekezes

Papp Gabor

Sopron, 1996

(2)

Tisztelt Olvaso!

Bevallom, hogy gyorsan, sokszor kovethetetlenul valtozo vilagunkban egyre nehezebben tudok eligazodni. Az ertekrendek folyamatos cserel}odese, gyakran cserelgetese bizonytalanna teszi az embert. E megallaptasom vonatkozik a tudomanyos min}ostes rendszerere is, hiszen eppen nagy atalakulason megy keresztul. Ugy gondolom, hogy ilyen atmeneti id}oszakban a kuls}o tajekozodasi pontok hianyaban az a legjobb, ha a sajat magunk altal felalltott, hagyoma- nyokra eptett kovetelmenyrendszernek probalunk megfelelni. Remelem, hogy a magam szamara felalltott merce egyreszt ertekelhet}o modon tukroz}odik a kovetkez}o oldalakon, masreszt elfogadhato az On szamara is.

A dolgozatban, melyet kezeben tart az elmult 7 evben elvegzett, a Pan- non-medence nehezsegi er}oterenek szerkezetevel kapcsolatos kutatasaim eredmenyeit igyekszem egy vezerfonallal osszef}uzve braloim, kollegaim es barata- im ele tarni. Szeretnem a \gyumolcsoket", ha vannak megosztani masokkal.

Ugyanis a tudomanyos munkat leginkabb a gyumolcsszedeshez hasonltanam.

Amg az ember a foldon allva, messzir}ol tekint a leszedend}o fara, mint megol- dando problemara, addig altalaban minden egyertelm}unek es attekinthet}onek latszik. Itt is, ott isgeretes gyumolcsok csabtjak az embert a szuretre. Azon- ban felmaszva a fara, benn az agak s}ur}ujeben mar mas a perspektva. Sokkal szovevenyesebb minden, legtobbszor kiderul, hogy a foldr}ol kiszemelt agak, a korona belsejeb}ol latva }oket, mar nem is olyan gazdagok a termesben, a leg- szebbnek latszo gyumolcsok egyik fele meg igencsak eretlen es bizony a leg- nomabbakert az agak hegyere kell tornaszni magunkat, sokszor kn-keservesen.

Roviden: altalaban tobb a faradozas, neha csalodas is, mint az orom.

Ezert tartom nagy esemenynek, ha barkinek sikerul begy}ujtenie egy-ket igazan szep, erett gyumolcsot a farol es azt joszvvel megosztja masokkal is.

Helsinki, 1995. szeptember 10.

(3)

| 3 |

Bevezetes

A nehezsegi er}oter kutatasa Magyarorszagon hosszu es nemzetkozileg is el- ismert multra tekinthet vissza. Hagyomanyaink a foldtudomanyoknak ezen a teruleten uttor}ok, hiszen nem kell mast emltenem, mint baro Eotvos Loran- dot, akinek munkassaga nevenek mertekegysegkent valo megoroktesere ind- totta a nemzetkozi szakmai kozosseget. Igy a nehezsegi gyorsulas gal (1 gal = 1 10^;²ms^;²) mertekegysegenek, mint a foldi nehezsegi er}oter potencialjanak els}o derivaltjaival kapcsolatos mennyisegnek Galileo Galileit idez}o elnevezese mellett a nehezsegi potencial masodik derivaltjainak mertekegysege, az eotvos (1 E = 1 10^;⁹s^;²) a magyar tudos nevet viseli. Szerencses egybeeses, hogy a szazadfordulon Eotvos Lorand munkassaga szervesen illeszkedett a nehezsegi er}oter kutatasanak f}o nemzetkozi iranyvonalaba, amelynek kialaktasaban az Osztrak-Magyar Monarchia Sterneck kutatasai es meresei reven mar el}obb is jelent}os szerepet jatszott (Frohlich, 1930 Pekar, 1941). Az azota eltelt egy ev- szazad alatt Eotvos peldaja kimondva es kimondatlanul is sok szep eredmenyt inspiralt a magyar foldtudomanyok m}uvel}oi reszer}ol es magam is igyekszem legjobb tudasom szerint szolgalni azt a tudomanyos es emberi eszmet, amit ez a pelda szamomra jelent. Remelem, hogy ennek a torekvesnek a nyomai felfedezhet}ok a disszertacio kovetkez}o fejezeteiben.

A dolgozatban a nehezsegi er}oter fogalmat nem kizarolag a vele funkcionalis kapcsolatban lev}o es kozvetlenul eszlelhet}o nehezsegi gyorsulas vektorter vonatkozasaban hasznalom, mint ahogy az altalaban szokasos a geodeziaban es talan meginkabb a geozikaban, hanem tagabb ertelemben ertem, mint gy}uj- t}ofogalom alatt az osszes vele kapcsolatos mennyiseget is mint pl. a geoidundulacio, fugg}ovonal-elhajlas, nehezsegi potencial es nehezsegi anomalia, hiszen bar mindegyik felsorolt fogalomnak van sajat dencioja, megiscsak ugyana- zon er}oternek kulonboz}o megnyilvanulasi formai, amelyeket az angol nyelv}u szakirodalom \gravity related quantities" meghatarozassal foglal ossze.

A nehezsegi er}oter lerasara ket er}oteljes iranyzat alakult ki az elmult ev- tizedek soran, ezert en is e ket iranyzat kore csoportostva foglaltam ossze kutatasaim eredmenyeit, amelyek tulnyomo reszet hazai es kulfoldi szakfolyoi-

(4)

| 4 |

ratokban ill. kutatasi jelentesekben mar publikaltam. Az egyik iranyzat a matematikai statisztika eszkoztarat hasznalja a nehezsegi er}oter modellezesere, a masik zikai es matematikai torvenyszer}usegek egyuttes alkalmazasaval eri el ugyanazt a celt. Az el}obbi megkozeltes feltetelezi, hogy a nehezsegi er}oter bizonyos feltetelek mellett a sztochasztikus jelekhez, ill. folyamatokhoz hasonlo jellegzetessegekkel br, mg a masik determinisztikus szemleletmodot tukroz, es a harmonikus kuls}o er}oteret a potencialelmelet tetelei es torvenyszer}usegei alapjan rja le. Mindket iranyzat sikeresen alkalmazhato a geodezia feladata- inak megoldasara es ennek koszonhet}oen a kulonboz}o iranyzatokon alapulo modszerek parhuzamos alkalmazasa lehet}oseget biztost bizonyos foku ellen}or- zesre.

A potencialelmelet alapjan az er}oter lerasa megoldhato pusztan az un.

peremertekek (a potencial linearis funkcionaljai) ismereteben anelkul, hogy az er}oteret vegs}osoron letrehozo tomegeloszlasrol fogalmunk lenne. Eppen ezert az utobbi id}okig a Fold nehezsegi er}oterenek lerasaval foglalkozo geodetak jobba- ra csak elvi lehet}osegkent tekintettek a potencialnak az altalanos tomegvonzasi torveny alapjan torten}o meghatarozasara. Azonban a geodezia rokon szakteru- letei (geozika, geologia stb.) a Fold bels}o szerkezetere vonatkozoan egyre tobb es megbzhatobb adatot ill. modelltszolgaltatnak mind globalis (pl. Dziewonski es Anderson, 1981) mind regionalis/lokalis (pl. Royden es Horvath, 1988) me- retekben. Ezeknek az adatoknak az osszegy}ujtese es rendszerezese utat nyit a nehezsegi er}oter geodeziai celokra torten}o un. forward (el}ore) modellezese fele, amely egyreszr}ol a peremertek-feladatok megoldasaitol nagymertekben fuggetlen megoldast eredmenyez, masreszr}ol lehet}oseget teremt pl. a Fold alakjanak, a geoidnak geozikai interpretalasara globalis, regionalis es lokalis ertelemben egyarant. Tehat az er}oter forward modellezese kett}os haszonnal jar: 1) noveli az egyeb modellezesi modszerekkel kapott eredmenyek ellen}orizhet}oseget es 2) emeli a geoid meghatarozasanak ill. felhasznalasanak jelent}oseget mas foldtu- domanyi szakteruletek szamara is. A dolgozatnak egyik f}o celja eppen az, hogy ezt a lehet}oseget reszleteiben targyalja es gyakorlati peldan, a Pannon-medence un. `litoszfera geoid"-jan keresztul mutassa be, hogy a forward modellezes (a megfelel}o reszletesseg}u adatok birtokaban) pontossag tekinteteben egyeb geoid

(5)

| 5 |

megoldasokkal egyenrangu megoldasokat szolgaltat es ezzel egyidej}uleg lehet}o- ve teszi a medencebeli,lokalis geoidundulaciok geozikai ertelmezeset.A masik fontos dolog, amit a dolgozat szeretne megvilagtani az az, hogy a nehezsegi er}oter statisztikai eszkozokkel torten}o, az elmeleti felteteleket is kielegt}o lerasat eppen az er}oter es a s}ur}usegeloszlas vegeredmenyben determinisztikus kapcsolatanak vizsgalata es gyelembe vetele biztostja a leghatekonyabban.

A fentiek ertelmeben a dolgozat feleptese a kovetkez}o. Az els}o fejezet atte- kintest ad a Pannon-medence { vizsgalataink targya { geologiai szerkezeter}ol a felsznt}ol kezdve a fels}o kopenyig. Targyalja a medence kialakulasaval kapcsolatos fontosabb tudnivalokat, statisztikai adatokat tartalmaz annak geologiai kornyezetere vonatkozolag termeszetesen a kimert}o reszletesseg igenye nelkul.

A masodik fejezet osszefoglalja es bevezeti azokat a fogalmakat valamint mennyisegeket,amelyeka dolgozat tovabbi fejezeteiben hasznalatosak, es amelyek ismerete elengedhetetlenul szukseges a dolgozat megertese es kovethet}ose- ge szempontjabol. Ezek a fogalmak els}osorban a nehezsegi er}oter szerkezetevel es lerasaval kapcsolatosak, masodsorban a hasznalt modszerek terminologia- jahoz tartoznak.

A harmadik fejezetben talalhato a legkisebb negyzetek elven alapulo kollokacio alapelveinek es formulainak ismertetese. Ez a resz targyalja a nehezsegi er}oter statisztikai lerasa teren elert eredmenyeimet, amelyek els}osorban a nehezsegi anomaliak vizsgalatara es modellezesere koncentralodtak.

A negyedik fejezet tartalmazza a nehezsegi er}oter determinisztikus lerasaval kapcsolatos altalanos osszefuggeseket es a regionalis ill. lokalis geoidok meghatarozasahoz hasznalt un. \remove{restore" technika, azaz a globalis es helyi nehezsegi er}oter adatok kombinalasanak alapelveit. Itt kerulnek ismer- tetesre azok a megfontolasok is, amelyek alapjan letrehozhato es szamtasi igenyek szempontjabol optimalizalhato egy adott terulet s}ur}usegeloszlasanak terfogatelem modellje olyan formaban, hogy a modell altal keltett pl. potencial az altalanos tomegvonzasi torveny ertelmeben analitikusan kiszamthato legyen. A fejezet vegen talalhato a Pannon-medence haromdimenzios (3D) terfogatelem alapu litoszfera modelljenek lerasa.

A hatralev}o (otodik es hatodik) fejezetekben foglaltam ossze mindazt az

(6)

| 6 |

eredmenyt es tapasztalatot, amelyet a nehezsegi er}oter determinisztikus modellezese teren szereztem.

Az otodik fejezet is a szukseges alapfogalmak bevezetesevel es a s}ur}useg- modellb}ol szamtott lokalis undulacio hozzajarulasok es a globalis undulaciok kombinacioja (osszegzese) alapelveinek tisztazasaval kezd}odik. Ebben a fejezetben kerul kvalitatv vizsgalat ala a valodi er}oter es a modell altal keltett er}oter viszonya. A vizsgalatok alapjan bevezetesre kerul a lokalis potencialzavar fogalma, amelynek el}oalltasa az un. zikai sz}uressel lehetseges. Az eljaras elvi ismertetese es a digitalis sz}uressel valo osszehasonltasa az utolso kett}o alfejezetben talalhato.

A hatodik fejezet az undulaciok kombinalasanak gyakorlati problemaival foglalkozik es bemutat egy spektralis-statisztikai modszert, amely alkalmas a globalis es a lokalis undulacio hozzajarulasok szetvalasztasara. Ebben a fejezetben kapott helyet a litoszfera geoid ill. ennek variansai es a geoid kulonboz}o globalis es lokalis megoldasai kozotti osszehasonlto vizsgalatok eredmenyeinek ismertetese.

A hetedik fejezetet teljes egeszeben a litoszfera geoid es egyeb geoid meg- oldasok undulacioinak spektralis vizsgalatara es osszehasonltasara, valamint a lokalis undulaciok zikai ertelmezesere szenteltem.

Vegul a nyolcadik fejezetben az eredmenyek osszegzese talalhato a tezisek- kel egyetemben.

(7)

| 7 |

1. A Pannon-medence geologiajanak es topograajanak rovid attekintese

A Pannon-medence kialakulasa a jelenlegi velemenyek es kutatasi eredmenyek szerint az Afrikai es az Eurazsiai kereglemezek osszeutkozesevel magya- razhato leginkabb (1. abra). A lemezek mozgasa es kolcsonhatasa extenzios allapotot eredmenyezett, amely a kereg elvekonyodasahoz vezetett (McKenzie, 1978). Jarulekos jelensegkent a fels}o kopeny es az asztenoszfera felboltozodasa kovetkezett be (Adam es masok, 1982), amely felel}os pl. a jelenleg tapasz-

30 35 40 45 50

5 10 15 20 25 30 35 40

Eura´zsiai lemez

Afrikai lemez Arab lemez

1.abra. A Pannon-medence es tagabb kornyezetenek neotektonikai vazlatterkepe (Horvath, 1988) alapjan. A szurke foltok az aktv extenzios, ill. kompresszios es/vagy vertikalis kereg- mozgassal bro teruleteket mutatjak. A fekete nyilak a vzszintes kompresszio atlagos iranyat jelolik ki. A feher nyilak az Afrikai kereglemez Europahoz viszonytott mozgasvektorait reprezentaljak. A fogazott vonalak szemleltetik az allochton frontokat, mg a pontvonalak a f}obb vet}oket jelentik meg

talhato nagy foldi h}oaramokert. A kereg elvekonyodasanak kovetkezmenye a pre-tercier felszn jelent}os sullyedese is, melynek soran alakultak ki a kiugro- an mely (6{7 km) resz- vagy almedencek (pl. Kisalfold-medence, Bekesi-arok) a Pannon-medence teruleten. A foldtorteneti harmadkortol kezd}od}oen a Pan- non-tengerb}ol lerakodott uledekek folyamatosan toltottek fel ezeket a meden-

(8)

| 8 |

ceket, lassan kialaktva a mai geologiai{foldrajzi kepet. Termeszetesen ez csak egy er}osen leegyszer}ustett modellje a medence kialakulasanak es fejl}odesenek, de vilagosan megmutatja, hogy a kialakult keregszerkezet a kornyez}o teruletek orogen jellegehez kepest jelent}osen elter. Az elteresek nagysagrendjet jol erzekeltetik az alabbi tablazatok, amelyekben statisztikai adatokat foglaltam ossze. Az 1. tablazat tartalmazza a Mohorovicic-felulet melysegenek alakula- sat a Pannon-medenceben es a medencet koszoruzo Keleti-Alpok, Karpatok es Dinaridak alkotta hegyseg lancolatban. A tablazat alapjan az orogen teruletek atlagos keregvastagsaga megfelel az altalanosan elfogadott 33 km erteknek, bar az ujabb vizsgalatok szerint (Rudnick es Fountain, 1995 Christensen es Mooney, 1995) a kontinentalis kereg atlagos vastagsaga globalisan 40 km. Ha barmelyik fenti erteket osszehasonltjuk a Pannon-medencet jellemz}o 27 km- rel, megallapthatjuk, hogy a megemelkedett helyzet}u kopenyanyag jelent}os tomegtobbletet kepvisel a kornyezetehez kepest, aminek pozitv, a nehezsegi er}oteret ill. annak rendellenessegeit novel}o hatasanak kell lennie.

1. tablazat. A Moho-felulet melysegi adatainak alapvet}o statisztikai parameterei terulet minimum maximum atlag szoras racspontok

km] km] km] km] szama

A Pannon-medence

magyarorszagi resze 24.4 34.5 27.0 1^:5 935

Orogen teruletek a

Pannon-medence korul 25.9 52.5 33.2 4^:6 6361 45^<^'^<52

11^<^<24

!

Az adatok a Moho-felulet 10 km10 km-es digitalis melysegmodelljeb}ol szarmaznak (Papp es Kalmar, 1996).

A 2. tablazatbol jol latszik, hogy a nehezsegi er}oter kialakulasa szempontjabol szinten igen fontos szerepet jatszo harmadkor el}otti medencealjzat, a neo- gen uledekek also hataranak melysege szinten extremertekeketer el a medence belsejeben. A keregnel kisebb s}ur}useg}u szedimentumok tehat, nagy terfogatuk miatt jelent}os tomeghianyt kepviselnek a kornyezetukhoz kepest, ennelfogva a nehezsegi er}oteret csokkent}o hatasu a jelenletuk.

(9)

| 9 |

2. tablazat. A pre-tercier medencealjzat melysegi adatainak alapvet}o statisztikai parameterei az aljzat 2 km2 km-es digitalis melysegmodellje alapjan (Kalmar es masok, 1995)

adatok minimum maximum atlag szoras

szama km] km] km] km]

35384 0 8.5 1.9 1^:5

(felszni kibuvasok)

A harmadik fontos tenyez}o a nehezsegi er}oter rendellenessegeinek kiala- kulasaban a felszni topograa. A topograai tomegek szambavetele ma mar allandosult eljaras a geodeziai szamtasokban, els}osorban a geoid meghataro- zasakor. A 2. abrabol kit}unik, hogy a Pannon-medence magyarorszagi reszen a felszn nagyon sima, es a magassagok kis ertekhatarok kozott valtakoznak.

Joval valtozekonyabb a topograa a kornyez}o orszagok teruletein, a magas- hegysegek zonajaban. Valoszn}unek latszik tehat, hogy a topograai tomegek hatasa csak igen kis mertekben es els}osorban helyileg befolyasolja az er}oteret a medence belsejeben. A magashegysegekkel hataros teruleteken termeszetesen er}oteljesebb hatast varunk.

geológiai egység tengerszint feletti magasság [m]

1.K-i Alpok

2.Ny-iKárpátok 3.Pannon

-me d.

4.K-i Kárpátok 5.D-i Kár

pátok

6.Dinaridák 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

minimum szórás (±) átlag maximum

1 2

3 4

5 6

2.abra. A felszni topograa statisztikai osszehasonltasa a Pannon-medence kornyezeteben az ETOPO5 5⁰5⁰-es globalis digitalis terepmodell (DTM) (http://www.ngdc.noaa.gov) es a magyarorszagi 500 m500 m-es DTM (MH Kartograai Uzem) alapjan

(10)

| 10 |

2. A nehezsegi er}oteret jellemz}o mennyisegek es fogalmak osszefoglalasa

A foldi nehezsegi er}oter valodi haromdimenzios, id}oben valtozo vektorterrel rhato le a Descartes-fele koordinata rendszerben. A disszertacioban eltekintek az id}ofuggest}ol es feltetelezem, hogy a felhasznalt adatok mentesek az id}obeli valtozas hatasaitol (gravito-static state). Mint minden konzervatv er}oternek, ugy az

F

(x y z) nehezsegi er}oternek is letezik egy skalarter reprezentacioja V (x y z), amit a vektorter potencialjanak hvunk. A vektorter terer}ossege es annak skalartere kozott az alabbi kapcsolat letezik (Torge, 1980):

F

=

grad

V = fx

i

+fy

j

+fz

k

= @V@x

i

+ @V@y

j

+ @V@z

k

(1) ahol V az er}oter potencialja, fx fy fz a terer}osseg vektor harom komponense a Descartes-fele derekszog}u koordinata-rendszerben,

i j

es

k

, egysegvektorok a pozitv koordinatatengelyek iranyaban.

Egy adott pontban a foldi nehezsegi er}oter harom komponense altal meghatarozott er}ovektor Newton II. torvenyeertelmeben megegyezik a

g

nehezsegi gyorsulas vektorral, ha az egysegnyi tomeg}u probatestre kizarolagosan hat es annak abszolut erteke egyenl}o az adott pontban a nehezsegi gyorsulas nagysa- gaval:

g =^j

g

^j=^qg_2x+g_2y+g_2z: (2) Ennek alapjan a nehezsegi er}o es a nehezsegi gyorsulas, a mertekegysegt}ol el- tekintve ekvivalensek egymassal (Biro, 1989). A nehezsegi er}oterben az azonos potencialu pontok altal alkotott, zart feluleteket szintfeluleteknek nevezzuk. A szintfeluletek minden pontjan, egy es csak egy un. er}ovonal halad at a feluletre mer}olegesen. A nehezsegi er}oter er}ovonalait fugg}ovonalaknak hvjuk, mert az er}ovonal minden egyes pontjaban a pontbeli erint}o adja meg a helyi fugg}oleges iranyat. Ertelemszer}uen ez az irany egybeesik a ponton athalado szintfelulet normalisanak iranyaval (3. abra). Az er}ovonalaknak igen fontos szerepuk van, mert a szintfeluletek pontjai kozott projektv kapcsolatot biztostanak (fugg}o- leges vettes). A szintfeluletek adott pontbeli gorbuleti viszonyairol a nehezsegi potencial masodik derivaltjai nyujtanak informaciot. Ezek a derivaltak alkot-

(11)

| 11 |

P₃ nP

gP

3

V₃

V2

V1

P₂ P1

x

y z

g_x g_x

g_z

g_y

függôvonal

3.abra. Szintfeluletek es egy fugg}ovonal kapcsolata a foldi nehezsegi er}oterben.ⁿP³ a feluleti normalis vektor a^P³pontban, ^gP³ a nehezsegi gyorsulas vektor ugyanott

jak az Eotvos-tenzor elemeit:

@²V

@x@x @@x@y @²V @x@z²V

@²V

@y@x @@y@y @²V @y@z²V

@²V

@z@x @@z@y @²V @z@z²V

: (3)

Az Eotvos-tenzor divergenciajabol kepzett homogen differencialegyenleta Lap- lace-egyenlet:

V = div(

g

) = @²V

@x² + @²V

@y² + @²V

@z² = 0: (4)

Ez az egyenlet akkor oldhato meg, ha V harmonikus, mely feltetel akkor teljesul, ha a vizsgalt pontban nincs forrasa az er}oternek. Ebben a vonatkozasban a Laplace-egyenlet csak az un. kuls}o nehezsegi er}oterben ervenyes, az er}oteret letrehozo tomegeken kvul.

A foldi nehezsegi er}oter egy kituntetett szintfeluletet, amely a nylt tenge- reken a lehet}o legjobban megkozelti a tengerek felsznet, geoidnak hvjuk. A zikai geodezia legfontosabb feladata eppen ennek a kituntetett szintfeluletnek

(12)

| 12 |

a meghatarozasa, mivel ez szolgal vonatkozasi feluletkent a magassagmeresek- hez, de pl. a terbeli tavolsagok ellipszoidra redukalasanal is kozbuls}o feluletkent hasznalatos. A geoid a Fold inhomogen s}ur}usegeloszlasanak megfelel}oen szabalytalan felulet, ezert legkonnyebben egy szabalyos (egyszer}u), analitikusan lerhato, de a geoidot jol megkozelt}o, un. referencia felulethez viszonytva hatarozhato meg. A legalkalmasabb kozeltes erre a celra mind zikai, mind geometriai ertelemben a forgasi ellipszoid (4. abra) hiszen ket parameterrel lerhato (a { fel nagytengely, e { els}o excentricitas). Az ellipszoid elhelyezeset}ol fugg}oen a geoidkep lehet abszolut vagy relatv. Abszolut geoidkepr}ol akkor be- szelunk, ha a vonatkozasi ellipszoid geometriai kozeppontja egybeesik a Fold tomegkozeppontjaval es az ellipszoid forgastengelye egybeesik a Fold forgastengelyevel. Ha barmelyik feltetel nem teljesul, akkor az ellipszoid elhelyezese relatvesgy a geoid is az lesz (4. abra). Az elhelyezesneknagyon fontos szerepe van, mivel alapvet}oen befolyasolja a geoidkepet es gy a kulonboz}o megolda- sokbol kapott geoidundulaciok (pl. Gazso es Taraszova, 1984 Kenyeres, 1993) csak akkor vethet}ok ossze, ha azok egy alapfeluletre (tehata es e parameterek ugyanazok) es azonos elhelyezesre vonatkoznak. A geoid meghatarozasanak - zikai modszerei mind abbol a tenyb}ol indulnak ki, hogy a forgasi ellipszoid altal meghatarozott un. normal nehezsegi er}oter es a valodi nehezsegi er}oter kozott egy vizsgalt pontban elteres mutatkozik. Ez az elteres pl. nehezsegi za- varkent (gravity disturbance) jelentkezik. Ennek megfelel}oen a normal ter (U) es a valodi ter (V ) azonos potencialu szintfeluletei sem esnek egybe, ezzel egy adott pontban T potencialzavart (disturbing potential) okozva. Ezert a geoid meghatarozasa formalisan ket szintfelulet kozotti tavolsag meghatarozasara vezethet}o vissza:

C =^Z^V²

V¹

@V@

nds

⁼

V²

Z

V¹

g ds

=^j

g

^jS (5)

ahol C = V2^;V1 a ket szintfelulet potencialjanak kulonbsege,

g

{ a nehezsegi gyorsulas vektora,

ds

{ az elmozdulas vektora, ^@V_@ⁿ - a potencial gradiens vektora, S { a ket szintfelulet kozotti (itt fugg}ovonalon mert!) tavolsag, ^j

g

^j { a nehezsegi gyorsulasvektor abszolut ertekenek atlagerteke S menten.

V¹ = V⁰ eseten (5) az un. K geopotencialis szam dencioja (Biro, 1983),

(13)

| 13 |

E(a₁,e₁) geoid

E(a2,e

2)

z|| z||

E(a₁,e₁)_tkp=Föld_tkp E(a₂,e₂)_tkp

=Föld_tkp n₂

n₁

}

_N

1

N₂ P^’

}

4.abra. Relatv (Ê(â²ê²)) es abszolut (Ê(â¹ê¹)) elhelyezes}u ellipszoidok es a geoid viszonya.^N¹ abszolut,^N² relatv geoidundulaciok.^{tk p}= tomegkozeppont

de a fenti osszefugges kifejtese a normal es a valodi potencial geoidon eszlelhet}o elteresere, amit potencialzavarnak (disturbing potential) nevezunk a Bruns-egyenlethez vezet:

N = Tp"^p⁰ (6)

ahol Tp⁰ =U0^;Up⁰ =V0 ^;Up⁰ =V0^;

U0^; @U

@NN=V0 ^;(U0^;N) = N a potencialzavar a geoidon a p⁰ pontban, N { a geoidundulacio (a tavolsag a geoid es az ellipszoid kozott), { a normal nehezsegi gyorsulas atlagerteke N menten,p" { a normal nehezsegi gyorsulas erteke az ellipszoidon.

A (6) egyenletben felteteleztuk, hogy a valodi potencial Vp⁰(=V0) erteke a geoidon megegyezik az Up"(=U0) referencia potencial ertekevel az ellipszoidon es tovabbi egyszer}usteskent bevezettuk:

= p" (7)

mivel N a Fold mereteihez (R) kepest olyan kicsiny ((10^;100) m), hogy

@N@U erteke konstansnak tekinthet}o ebben a tartomanyban. Vegeredmenyben a Bruns-egyenlet ad lehet}osegetT potencialzavar geometriai reprezentalasara.

Mivelp" meghatarozasa a Cassini-formulaval, ill. bel}ole a kulonboz}o alap- feluletekre levezetett un. normal nehezsegi gyorsulas kepletekkel igen egyszer}u,

(14)

| 14 |

ezert a geoid kiszamtasabanT meghatarozasa a kulcsproblema. Ennel a pont- nal kezd}odik a geoid zikai meghatarozasanak iranyzatokra valo tagozodasa es a kulonboz}o modszerek kialaktasa. Mindegyik iranyzat azonban abbol a teny- b}ol indul ki, hogyV es U harmonicitasa miatt T potencialzavar is harmonikus es gy kielegti a Laplace-egyenletet:

T = 0 : (8)

EzertT megadhato Ynm( r) ortogonalis alapfuggvenyek osszegekent a harmonikus analzis elmelete ertelmeben:

T( r) = GM ^X¹

n=2 n

X

m=^;nCnmYnm( r) (9) ahol GM { a geocentrikus gravitacios allando, { a geocentrikus geodeziai szelesseg, { a geodeziai hosszusag, r { a geocentrikus tavolsag, Cnm { a harmonikus sor normalizalt egyutthatoi.

A harmonikus sor egyutthatoi el}oallthatok (8) megoldasaval, ha peremfel- tetelkent a zikai geodeziai alapegyenletet alkalmazzuk:

@T@h ^;^;¹@

@hT =^;g (10)

ahol g = gp⁰ ^;p" a nehezsegi anomalia, h az ellipszoid feletti magassag.

(10) nem csak peremfeltetel a geodeziai peremertek-feladat (Geodetic Bo- undary Value Problem) megoldasahoz, hanem egy alapvet}o linearis funkcional, amely megadja a kapcsolatot a potencialzavar es a nehezsegi anomaliak kozott.

Hasonlo funkcionalok leteznek T es egyeb mennyisegek kozott is a nehezsegi er}oterben. Gombi kozeltest alkalmazva (Heiskanen es Moritz, 1967):

g =^;@T

@r (11)

=^;(r)^;¹@T

@ (12)

=^;(r cos())^;¹@T

@ : (13)

ahol g a nehezsegi zavar (gravity disturbance), r a geocentrikus tavolsag, a fugg}ovonal-elhajlas meridian, a paralelkor iranyu komponenese, es a geodeziai szelesseg es hosszusag, T a potencialzavar.

(15)

| 15 |

3. A nehezsegi er}oter lerasa a matematikai statisztika eszkozeivel

3.1 A legkisebb negyzetek elven alapulo kollokacio

A legkisebb negyzetes kollokacio, tovabbiakban csak kollokacio az un. optimalis harmonikus interpolalas modszereb}ol fejl}odott ki az utobbi 25 ev soran.

A kollokacionak ketfele megfogalmazasa letezik, egy determinisztikus es egy sztochasztikus. Az el}obbi megkozeltes a minimum normaju, mg az utobbi a minimalis becslesi hiba approximacion alapul. Mindket kozeltes a vegtelen dimenziojuH Hilbert-ter K(P Q) un. reprodukalo magfuggvenyenek (rep- roducing kernel) (14) azon tulajdonsagat hasznalja fel, hogy barmely Li(T) funkcional, amely a nehezsegi er}oterben a T potencialzavar (15) es valamely mas merhet}o parameter kozotti kapcsolatot lerja (pl. (10)), reprezentalhato e magfuggveny segtsegevel (Albertella es Sans!o, 1994).

K(P Q) =⁺^X¹

n=2

2n + 1

pn R

rP R rQ

!n+1

Pn(cos ) (14)

T = ⁺^X¹

nm=2Tnm

R r

n+1

Ynm (15)

ahol, pn = ^R_rⁿ⁺¹Ynm

2

H a terbeli gombi harmonikusok normaja a Hilbert terben, Pn(cos ) n-ed foku Legendre-polinom, a gombi tavolsag P es Q pontok kozott, rP es rQ P es Q pontok helyvektorai, R az un. Bjerhammar- gomb sugara. A reprodukalo magfuggveny csak P es Q pontok egymashoz viszonytott helyzetet}ol fugg, gy formalisan elvegezve a behelyettesteseket, kapjuk:

Li(T(P)) = Li < K(Pi Q) T(Q) >H=

=< LiK(Pi Q) T(Q) >H=< K(Li Q) T(Q) >H (16) ahol <> a skalaris szorzat jele.

MivelLi(T(P)) nem mas mint az Mi meresi eredmeny, ezert (16) felrhato az alabbi formaban is:

Mi =< K(Li Q) T(Q) >H : (17)

(16)

| 16 |

(17)-b}ol latszik, hogy a reprodukalo magfuggveny hordozza a nehezsegi er}oter analitikus szerkezetet, amelyet a linearis funkcionalok rnak le. (17) megolda- sa (azaz a potencialzavar ^T becslese) a kovetkez}o altalanos formaban adhato

meg: ^T(P) =^X

ik K^N(Li P)ⁿK^N(Li Lk)^o^;¹Mk (18) amelyben ^N jelzi, hogy a meresekb}ol levontuk a megfelel}o vonatkozasi mo- dellertekeket (gy fennall (19)), amelyeket a determinisztikus vagy maskeppen egzakt kollokacioban a mereseinkkel egyutt hibamentesnek tetelezunk fel.

Tnm = 0 n ^N : (19)

A meresi hibak bevezetese a kollokacioba szuksegszer}uen a sztochasztikus folyamatok Hilbert-terbeli tanulmanyozasat es lerasat kvanja meg. Ezeknek a folyamatoknak a becslesi semaja ugyanaz, mint a determinisztikus megkoze- ltesi mod eseten, azzal a feltetellel, hogy a reprodukalo magfuggveny nem mas mint a sztochasztikus folyamat kovariancia-fuggvenye. Ennek a feltetelnek a kielegtesehez bizonythato (Moritz, 1978), hogy a vizsgalt folyamat (esetunk- ben T(P) potencialzavar) varhato ertekenek zerusnak kell lennie a vizsgalt tartomanyban, azaz az egysegsugaru gomb feluleten:

E^fT(P)^g= 14 ^ZT(P)dP = 0: (20) Ekkor a potencialzavar kovarianciajanak dencioja a kovetkez}o:

C(P Q) = E^fT(P)T(Q)^g: (21)

Vegtelen szamu veletlen forgatast alkalmazva a gombre (ezzel teve sztochasz- tikussa a potencialzavart), ugy, hogy kozben P es Q relatv helyzete, tehat valtozatlan marad (21) az alabbi formaba rhato at:

C(P Q) = 18²

Z

dP

Z

^PQT(P)T(Q)dQ : (22)

(22) alapjan a kovariancia kepzesehez a teljes gombfeluleten az osszes veletlen azimutban integraljuk, majd atlagoljuk az osszes el}ofordulo T(P)T(Q) szor- zatot. (23)-bol lathato, hogy a kovariancia csak a gombi tavolsag fuggvenye:

C(P Q) = C( ) (23)

(17)

| 17 |

(23) termeszetesen csak akkor ervenyes, ha az adatok homogenitasa es izotro- piaja egyarant fennall. C( ) mindig sorba fejthet}o az alabbi altalanos forma alapjan:

C( ) = ⁺^X¹

n=2cnPn(cos ) (24)

amelyben

cn=^m=+n^X

m=^;nT2nm (25)

vagyis cn az osszteljestmeny varianciaja adott n fokszamra (Albertella es Sans!o, 1994), ami nem mas, mint a potencialzavar (15) harmonikus sorfejtese egyutthatoinak osszege az adott n-re. (25) a szinonmaja a ketdimenzios (2D) harmonikus analzisben alkalmazott un. radialis teljestmenyspektrum kepzesenek. Hasznalva a

2n= c2n + 1ⁿ (26)

osszefuggest a kovariancia-fuggveny a kuls}o er}oterben (rP rQ> R) a kovetkez}o alakban adhato meg:

C( ) = ⁺^X¹

n=22n R rP R

rQ

!n+1

Pn(cos ) : (27)

(27) teljes mertekben megfelel (14)-nek azzal a feltetellel, hogy pn = n^;². Ez a megfeleles teszi lehet}ove, hogy barmely linearis funkcional altal lert meny- nyiseg kovarianciaja megadhato a reprodukalo magfuggveny segtsegevel. Ezt a tenyt nevezzuk kovariancia-terjedesnek, amelynek bemutatasara vegyuk az alabbi peldat (Moritz, 1980).

A potencialzavar gombi harmonikus sorfejteseb}ol (15) es a zikai geodezia alapegyenletenek gombi kozelteseb}ol (10) megadhato a nehezsegi rendellenessegek sorfejtese az (n^;1)=r linearis operator alkalmazasaval.

g = 1r_nm=2⁺^X¹ (n^;1)R r

n+1

TnmYnm : (28)

Felrva a nehezsegi rendellenessegeket P es Q pontra az rP es rQ helyeken, alkalmazva a kovariancia (27) denciojat, megkapjuk a nehezsegi anomaliak

(18)

| 18 | kovariancia-fuggvenyet:

C(gP gQ) =⁺^X¹

n=2(n^;1)²2n R²ⁿ⁺²

(rPrQ)ⁿ⁺²Pn(cos ) (29)

ahol 2n=bn R²

(n^;1)² (30)

A (30) szerintibnegyutthato bevezetesevelbelathato, hogy a reprodukalo mag- fuggvenyb}ol egyszer}u linearis m}uveletekkel allthato el}o a keresett kovariancia- fuggveny:

C(gP gQ) = ⁺^X¹

n=2bn R² rPrQ

!n+2

Pn(cos ) : (31) A kovariancia-fuggveny es a reprodukalo magfuggveny viszonyanak tisz- tazasa utan az alabbi sema alapjan egyszer}uen bizonythato, hogy a meresi hibakbol szarmazo becslesi hiba varianciajanak minimalizalasaval kapott linearis egyenletrendszermegoldasa megegyezika minimumnormaju approximacio alkalmazasaval kapott megoldassal (Albertella es Sans!o, 1994):

e = T(P)^; ^T(P) = T(P)^;^XiiLi(T)

" = C(0)^;2^XiLiC(Pi P) +^XikLiLkC(Pi Pk)

XkkLiLkC(Pi Pk) =LiC(Pi Pk)

^T =^Xi kLiC(Pi P)^fLiLkC(Pi Pk)^g^;¹Lk(T)

ahol i azLi meresi eredmeny egyutthatoja a meresek linearis kombinacioja- ban, e a becslesi hiba, " a becslesi hiba varianciaja. Az egyezes alapfeltetele:

C(P Q) = K^N(P Q) (32)

mely akkor teljesul, ha cn 0 az els}o ^N eseten (24)-ben. Ez a feltetel helyes modellvalasztassal biztosthato, azaz a vonatkozasi ellipszoid tomegenek meg kell egyeznie a Fold valodi tomegevel, tomegkozeppontjanak es forgastengelye- nek egybe kell esniuk a Fold valodi tomegkozeppontjaval es forgastengelyevel.

(19)

| 19 |

3.2 A nehezsegi anomaliak predikcioja a kollokacioval

A geoid nehany centimeteres relatv pontossagu meghatarozasa nagy meg- bzhatosagi igenyeket tamaszt a felhasznalt adatokkal, gy a nehezsegi rend- ellenessegekkel szemben is. A nehezsegi adatok eseteben ez azt jelenti, hogy az anomaliak kozephibajanak kisebbnek kell lenni, mint 1 mgal (Denker es masok, 1994). Ha csak a relatv gravitacios meresek (Csapo es masok, 1994) jelenlegi atlagos pontossagat (0:01 mgal) tekintjuk, akkor ugy t}unhet, hogy ennek az igenynek jatszva eleget tehetunk. Azonban ez a pontossag csak a foldfelszni nehezsegi gyorsulas kulonbsegekre vonatkozik. A bel}oluk kepzett nehezsegi rendellenesseg ertekek (pl. szabadleveg}o-anomaliak) megbzhatosa- ga, a kepzesuk soran felhasznalt geozikai feltevesek es egyszerustesek (pl. az atmoszfera gravitacios hatasanak elhanyagolasa (Ecker es Mittermayer, 1969), a valodi er}oter ^@g_@h vertikalis gradiensenek helyettestese a normal er}oter ^@_@h vertikalis gradiensevel) miatt rosszabb, mint(0:1^;0:5) mgal. Termeszetesen ez a megbzhatosag azokra a pontokra vonatkozik, amelyekben meres tortent.

Ezert, ha valamilyen okbol a nehezsegi anomaliak vegeredmenyben szabalytalan ponteloszlasu adatsorabol uj, szabalyos geometriai elrendezes}u adatsort kell letrehozni (pl. azert, hogy olyan numerikusan nagyon hatekony algoritmu- sokat, mint a gyors Fourier-transzformacio (FFT) vagy az un. gyors kollokacio hasznalni tudjunk), akkor altalaban a meglev}o szort adatainkat egyenkoz}u racshalora kell interpolalni. Szamtalan modszer van, amely interpolalasra alkalmas (Nagy es masok, 1991), azonban a kollokacionak nagy el}onye, hogy - gyelembe veszi a nehezsegi er}oter matematikai-zikai torvenyszer}usegeit (azaz nem pusztan geometriai modszer) es azokat felhasznalva legkisebb negyzetes ertelemben optimalis megoldast ad.

A kollokacio alapelveinek megfelel}oen a gi nehezsegi anomaliak, mint a nehezsegi potencialzavarral funkcionalis kapcsolatban lev}o mennyisegekill. meresi eredmenyek ugy tekinthet}ok, mint 1) determinisztikus trend

A

i

X

, 2) sztochasztikus jelsi, es 3) veletlen zaj ni komponensek osszegei.

gi =

A

i

X

+si+ni : (33)

Az adatok ilyen jelleg}u reprezentalasa lehet}oseget ad arra, hogy 1) a ^trend

(20)

| 20 |

komponenst ugy ertelmezzuk, mint globalis/regionalis de mindenkeppen szabalyos, \egzakt modon szamthato" alakulasa a foldi nehezsegi er}oternek, 2) a

jel komponenst azonostsuk a nehezsegi er}oter kozepes es rovidhullamu valto- zasaival, amelyeket determinisztikus eszkozokkel ugyan nem tudunk lerni, de matematikai-statisztikai alapokon modellezhet}ok, 3) a ^zajkomponenst ugy te- kintsuk, mint meresi hibat, amely a meresei eredmenyeinket bizonytalansaggal terheli.

Ez az interpretacio tag teret nyit a numerikus kserleteknek, mivel az egyes komponensek modelljeinek ill. modellparametereinek valtoztatasa ujabb es ujabb megoldasokat eredmenyezhet, amelyek { feltetelezzuk { kozeltenek egy optimalis, a valosagot h}uen tukroz}o megoldashoz. Termeszetesen a kon- vergencianak mindig hatart szab az adatok informacio tartalma es s}ur}usege.

A nehezsegi anomaliak predikcioja eseten (18) az alabbi formabarhato at:

gp =

C

Tps

C

^;sn¹(g^;

AX

) +

A

Tp

X

(34) ahol g az ismert nehezsegi anomaliak oszlopvektora (tehat amelyekb}ol a pre- dikciot szandekozunk elvegezni), gp a predikalt ertek aP pontban,

C

ps a

g

vektor elemei es a gp helye kozotti kovarianciak vektora,

C

^;sn¹ a

g

vektor elemeinek variancia-kovariancia matrixa (sn index azt jelzi, hogy felteteleze- sunk szerint a jel es a zaj komponensek korrelalatlanok, tehat kovarianciaik egy matrixba foglalhatok (

C

sn =

C

s +

C

n),

A

a trend alakmatrixa a

g

vektor elemeire vonatkozoan,

X

a trendmodell parametereinek vektora,

A

p a trendmodell alakvektora a P szamtasi pontban.

A hibaterjedes alapjan egy P pontban predikalt nehezsegi rendellenesseg m_2p kozephibaja (mean square error) a kovetkez}o:

m2p =C0^;

C

Tps

C

^;sn¹

C

ps (35) ahol C0 a jel, azaz a trendmentes nehezsegi anomaliak varianciaja. Skbeli ko- zeltesre ertelmezve (21) osszefuggest, az egymastolr tavolsagra lev}o nehezsegi rendellenessegek kovarianciaja (36) alapjan hatarozhato meg:

C(r) = E^fgi gj^g (36)

(21)

| 21 | ahol r = PiPj a skbeli tavolsag.

A gombon ugyanez a varhato ertek az alabbi harmas integral szerint de- nialhato (Moritz, 1972):

M^fgi gj^g= 18²

2

Z

=0

Z

#=0 2

Z

=0 g(#ii)g(#jj)sin#d#dd : (37) Globalis (Tscherning es Rapp, 1974) es lokalis (Lachapelle, 1975) vizsgalatokhoz (37),(31) szerinti gombi harmonikus sorfejtese jol hasznalhato es on- magaban konzisztens rendszert alkot, mivel az alap kovariancia-fuggvenyb}ol a nehezsegi er}oter osszes funkcionaljara szarmaztathato a megfelel}o kovariancia- fuggveny.

3.3 A nehezsegi anomaliak autokovariancia-fuggvenyenek (ACF) meghatarozasa

A 3.1 es 3.2 szakaszokbol lathattuk, hogy a kollokacio alapproblemaja a megfelel}o reprodukalo magfuggveny, vagy maskeppen a kovariancia-fuggveny el}oalltasa. Egy sztochasztikus folyamat autokovarianciajanak meghatarozasa elmeletileg a folyamat vegtelen sok realizaciojabol lehetseges, amely realiza- ciok mind a tervaltozo, mind az un. fazisvaltozo szerint kulonboz}ok lehetnek (Moritz, 1978). Ezeknek a folyamatoknak gy letezik ter- es fazisatlaguk is.

Nyilvanvalo, hogy a foldi nehezsegi er}oter eseteben { ha az id}obeli valtozaso- kat korrekcioba vesszuk { csak egyfele (ti. terbeli) realizacio gyelhet}o meg, hiszen csak egyetlen Fold letezik, amelynek egyfele tomegeloszlasa csak egyfele er}oteret hoz letre. Szerencsere,bizonyos feltetelekmellett(ergodicitas) a terbeli es id}obeli atlagok megegyeznek egymassal, ami azt jelenti, hogy egyetlen re- alizaciobol is meghatarozhato illetve megbecsulhet}o a folyamat kovarianciaja, ill. a tervaltozo (r) szerinti autokovariancia-fuggvenye.

A gyakorlatban tehat el}oszor egy empirikus autokovariancia-fuggvenyt al- ltunk el}o (36) szerint, majd ehhez probalunk egy analitikus es valodinak fel- tetelezett ACF-t illeszteni.

(20) es (32) szerint az autokovariancia-fuggveny becslese el}ott az adatok- ban megmutatkozo trendet el kell tavoltani, mert maskulonben a kovariancia-

(22)

| 22 |

fuggveny denciojaban hasznalt feltevesek megserulnek. Masreszr}ol (38)-bol, mely kisse modostott formaja (35)-nek lathato, hogy az adatok varianciaja meretarany-tenyez}okent hat a predikalt adatok hibainak varianca becslesekor:

m2p =C0#1^;f(rps)f(rss)f(rps)] (38)

E^f(gi^;

A

i

X

)^g= 0 (39)

C0=E^f(gi^;

A

i

X

)²^g (40) aholC(r) = C0f(r), azaz ket fuggetlen tenyez}o szorzatara bonthato (31) lokalis feladatokhoz szeles korben alkalmazott skbeli kozelteseiben (Moritz, 1980 Jordan, 1972 Kasper, 1971).

Megfelel}o trendmodell alkalmazasaval elerhet}o, hogy 1) az adatok varhato erteke (39) szerint zerus legyen, 2) az adatok varianciaja (40) szerint csokken- jen es vegul 3) nagymertekben javthato az adatok statisztikai kondcioja is (Papp, 1993).

3.4 Empirikus autokovariancia-fuggvenyek meghatarozasahoz felhasznalt nehezsegi adatok attekintese

Az ACF meghatarozasanak problemajat es a legkisebb negyzetes predikcio teszteleset az alabbi adatokon vegeztem el.

Rendelkezesemre allt egy regionalis, negy lokalis, valamint egy szintetikus adatsor.

A regionalis adatsor (MGA59) lenyegeben az 1959-ben publikalt (Renner, 1959) magyarorszagi els}o es masodrend}u nehezsegi alaphalozat 509 pontjabol all. Az 5. abrabol lathato, hogy a ponteloszlas nagyon homogen, egyenletesen lefedi az orszag teruletet. A halozatot a Potsdami Gravitacios Rendszerben hataroztak meg, ezert a jelenleg hasznalatos IGSN71 rendszerhez kepest a nehezsegi adatok kozel +14 mgal elterest mutatnak (Csapo es Sarhidai, 1990). A halozat allomas (pont) s}ur}usege 1 pont/180 km². A halozati pontok nehezsegi ertekeib}ol az 1967-es normal nehezsegi gyorsulas kepletevel szamtottam ki a szabadleveg}o (free-air) nehezsegi anomaliakat. Mivel eredetileg a halozati pontok geodeziai koordinatai a relatv elhelyezes}u Bessel-ellipszoidra vonatkoztak,

(23)

| 23 |

-100000 0 100000

-200000 -100000 0 100000 200000 300000

Duna´ntu´l

EKH

Alfo¨ld

38 1318 2328 3338 4348 5358 6368 7378 8388 93

mg al

5.abra. Az 1959-es I. es II. rend}u nehezsegi alaphalozat pontjainak eloszlasa. A hatter- ben a szabadleveg}o nehezsegi anomaliak szurkesegi fokozatokkal abrazolt terkepe lathato. A negyszogekkel lehatarolt teruletek a statisztikai vizsgalatokhoz felhasznalt pontok topograa szerinti elkulonteset reprezentaljak. A horizontalis koordinatak EOV rendszerben adottak, meter dimenziojuak

a koordinatakat transzformalni kellett a szinten relatv elhelyezes}u IUGG67 ellipszoidra. A relatv elhelyezes miatt meg kellett vizsgalni, milyen hatassal jar ennek a tenynek az elhanyagolasa az abszolut elhelyezesre ervenyes normal nehezsegi gyorsulas szamtasaban. A vizsgalatok alapjan (Papp, 1989) az orszag teruleten a relatv elhelyezesb}ol szarmazo ^;1⁰⁰ +1⁰⁰ ellipszoidi szelessegvaltozas (Adam J., 1987) maximum0:025 mgal nehezsegi gyorsulas valtozast jelent. Ezt a korrekciot, tekintve a halozati g ertekek pontossagat elhanyagolhatonak vettem a tovabbiakban.

A lokalis adatsorok, melyek mindegyike gyakorlatilag egy-egy felmeresi ter- kepszelveny (szelvenyszamok: 024,034,037,136,185), az Eotvos Lorand Geozi- kai Intezet adatbazisabol szarmaznak. A szelvenyek 20 km20 km-es teruleteket fednek le 1.3 pont/km² atlagos ponts}ur}useggel. A ponteloszlas a gravitacios felmeresi modszerek technikajanak megfelel}oen nem homogen (6. abra). A

(24)

| 24 |

0 10000 20000

a,

0 10000 20000

b,

0 10000 20000

c,

0 10000 20000

d,

0 10000 20000

e,

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

m[ ga l]

6.abra. Szelvenyek az ELGI gravitacios adatbazisabol. A szelvenyek a meresi pontok el- oszlasat es a szabadleveg}o-anomaliak szurkesegi fokozatokkal arnyalt terkepeit mutatjak. A vzszintes koordinatak meterben adottak. Szelvenyek: a) 024, b) 034, c) 037, d) 136, e) 185

(25)

| 25 |

pontok tulnyomo tobbsege az utak menten helyezkedik el, vonalas ill. sejtszer}u geometriai eloszlast hozva letre. Ezek az adatsorok mar az IGSN71 datumpont- ra vonatkoznak.

A szintetikus adatok a Round Lake Batholyt, Canada (Gibb and Boec- kel, 1970) geologiai kepz}odmeny 3D s}ur}useg modelljeb}ol szarmaznak. A modell alapjan barmely terbeli pontra szamthato annak numerikus kozeltesek- t}ol mentes gravitacios hatasa. Ebb}ol ketfele el}ony is szarmazik. 1) Barmely ponteloszlas szimulalhato a modell segtsegevel, 2) a predikcio ellen}orzesehez tetsz}olegesen generalhatok ellen}orz}o pontok anelkul, hogy ezzel a kiindulasi adatainkat (szamukat, geometriai eloszlasukat stb.) modostanank.

3.5 A nehezsegi anomaliak trendmodelljei a Pannon-medenceben

A kovetkez}o szakaszokban lert szamtasokhoz az alabbi trendmodelleket hasznaltam.

Trivialis trendmodell

, azaz az adatok atlagerteke.

A (39) feltetel kielegtese a legegyszer}ubb modon az anomaliak varhato ertekenek (atlagertekenek) kivonasaval lehetseges. Ebben az esetben a trendmodell konstans erteket ad:

A

i

X

=E^fg^g (41)

mindeni-re (i = 1 2 3 ::: np).

Ennek az egyszer}u modellnek az alkalmazasa el}ott ellen}orizni kell az adatok statisztikai homogenitasat ill. stacionaritasat, azaz meg kell vizsgalni, hogy a teljes adatsorbol kepzett egyes reszhalmazok statisztikai parameterei (atlager- tekek, szorasok) milyen mertekben ternek el egymastol.

A topograai viszonyoknak megfelel}oena regionalis adatsort 3 reszre osztva a megfelel}o statisztikai parameterek a 3. tablazatban talalhatok.

Az adatok alapjan a varakozasainkkal egyez}oen nem tapasztalhato jelen- t}os elteres az egyes orszagreszekre jellemz}o statisztikak kozott es nemzetkozi osszehasonltasban mind a nehezsegi er}oter, mind a topograa simanak tekinthet}o (Priovolos, 1988), ezert az atlag szabadleveg}o-anomaliat felhasznaltam,

(26)

| 26 |

3. tablazat. Szabadleveg}o nehezsegi anomaliak es topograkus magassagok alapvet}o statisztikai parameterei a domborzat szerint osztalyozva (ld. 5. abra)

terulet pontok atlag anomalia variancia atlag mag. szoras

szama mgal] mgal²] m] m]

Dunantul 212 +30^:5 179 +159 59

Alfold 185 +26^:5 46 +103 22

EKH 84 +29^:7 158 +169 85

teljes terulet 509 +28^:4 124 +138 60

mint trendmodell. Azonban, mint latni fogjuk, meg olyan sima nehezsegi er}o- terben is, mint ami a Pannon-medencet jellemzi, a konstans trend hasznalata tulsagosan durva kozeltes, ami a maradek anomaliak viszonylag nagy (v.o. 3.

tablazat 2. sor) varianciajaban (C0 = 124 mgal²) jelentkezik.

Magassagfugg}o trendmodell

Vizsgalva a zikai kapcsolatot a szabadleveg}o-anomaliak ertekei es a nehezsegi allomasok magassagai kozott, statisztikailag is jol kimutathato linearis korrelaciot tapasztalunk (7. abra). A korrelacio parameterei vagy linearis regresszioszamtassal, vagy magaval a kollokacioval hatarozhatok meg (Sun- kel, 1977). Ez utobbi esetben a kovetkez}o egyenlet adja meg a parameterek ertekeit:

X

= (

A

^T

C

^;¹

A

)^;¹

A

^T

C

^;¹

x

: (42) Nyilvanvalo, hogy ennel a megoldasnal a parameterek ertekeinek kialakula- saban a kovarianciak is szerepet jatszanak, mg az egyszer}u linearis regresz- szio szamtasaban nincsen befolyasuk. Tovabba (42) iteralhato, azaz az ujabb trendparameterek meghatarozasa ujabb kovariancia-fuggveny meghatarozasat teszi lehet}ove (stepwise collocation).

A szabadleveg}o-anomaliak magassagfuggese a kovetkez}o formulaval rhato

le: g^(P)F =a + bhP + gB^(P) (43)

ahol

(27)

| 27 |

7.abra. Szabadleveg}o nehezsegi anomaliak magassagfuggese. Teruletkodok: a) MGA59, b) 024, c) 034, d) 037, e) 136, f) 185

(28)

| 28 |

g^(P)F a szabadleveg}o-anomalia aP pontban a a regionalis/lokalis atlag Bouguer-anomalia b az un. Bouguer-egyutthato

hP a nehezsegi allomas magassaga a P pontban g^(P)B a Bouguer-anomalia a P pontban.

Igy a parametervektornak osszesen ket eleme van:

X

^T = (a b) : (44)

A 4. tablazat foglalja ossze a regresszioszamtas eredmenyeit. Ezeket a kovetkez}okeppen ertelmezhetjuk.

4. tablazat. Szabadleveg}o nehezsegi anomaliak magassagfuggesenek parameterei a vizsgalati teruletek szerint. _%a becsult s}ur}useg kozephibaja

terulet- pontok atlag Bouguer-anom. Bouguer-koe. s}ur}useg

kod szama ^amgal] ^bmgal/m] ^% _% kg/m³]

024 440 +6.6 +0^:0953 2274 208

034 520 +9.1 +0^:1206 2878 093

037 480 +1.5 +0^:0958 2286 127

136 400 +16.1 +0^:0999 2384 148

185 440 +3.4 +0^:0801 1911 041

MGA59 509 +12.99 +0^:1122 2677 158

az ertek a Potsdami Gravitacios Rendszerre vonatkozik

Ha a regionalis adatsorbol (MGA59) szarmazo a atlagos Bouguer-anomalia ertekeb}ol levonjuk a +14 mgal elterest, ami a Potsdam Rendszer es az IGSN71 kozott tapasztalhato, akkor ^;1 mgal (kozel zerus!) regionalis atlag anomaliat kapunk. Ez szamomra azt jelzi, hogy a Pannon-medence magyarorszagi reszen, tehat a medence kozepen a keregben a statisztikusan \veletlen"

jelleg}u s}ur}useg-inhomogenitasok vannak tulsulyban. Maskulonben a regionalis atlag Bouguer-anomalia erteke nem lenne kozel zerus. Ezt a feltetelezest csak meger}ostik a lokalis, 20 km20 km-es teruletekre vonatkozo adatokbol nyert parameterek, hiszen azok erteke esetenkent jelent}osen elter a regionalis 0 mgal atlagtol. Az pedig meg gyelemre meltobb, hogy az osszes esetben pozitv lokalis atlag anomalia eszlelhet}o. Sajnos a lokalis adatok hely es geologia

(29)

| 29 |

szerinti kategorizalasara nem volt lehet}osegem, mert a szelvenyek helye isme- retlen szamomra. A nehezsegi ertekeket csak relatv koordinatakkal kaptam meg a feldolgozasra.

A linearis korrelacio b parametere nem mas, mint a Bouguer-redukcioban alkalmazott koefciens.Igy ebb}ol egyszer}u modon megbecsulhet}o a topograai tomegek atlagos s}ur}usege:

% = b2G : (45)

Regionalisan % is a kontinensek felsznere vonatkozo atlagos viszonyokat mutat, mg a lokalis adatokbol nem ez kovetkezik, hiszen % erteke +(1911{

2878) kg/m³ kozott valtozik.

Kivonva a linearis trendmodelleket a megfelel}o adatokbol a maradek (azaz Bouguer) anomaliak varianciaja lathatoan csokkent, nemely esetben draszti- kusan (5. tablazat). Ez, mint latni fogjuk, kedvez}o hatassal van a predikcio pontossagara, mint az (38)-bol varhato.

5. tablazat. Maradek nehezsegi rendellenessegek statisztikai parameterei a hasznalt trendmodellek fuggvenyeben

terulet konstans trend linearis trend kod atlag variancia atlag variancia

mgal] mgal²] mgal] mgal²]

024 0.0 78.2 ^;0^:05 60.7

034 0.0 27.4 ^;0^:03 9.6

037 0.0 35.0 ^;0^:03 20.7

136 0.0 99.8 +0^:04 60.2

185 0.0 93.3 ^;0^:00 15.3

MGA59 0.0 124.5 ^;0^:02 78.9 az ertekek dencio szerint zerusak

Ha a predikalt Bouguer-anomaliakbol szabadleveg}o-anomaliakat kell el}o- alltanunk, akkor termeszetesen szukseg van egy nagy felbontasu es kell}oen pontos digitalis terepmodellre (DTM), hogy a magassagfugg}o trendet vissza- allthassuk a szamtasi pontban.

(30)

| 30 |

Keregszerkezet-fugg}o trendmodellek

Altalanosan elfogadott nezet, hogy a Bouguer nehezsegi anomaliak erteket a leger}oteljesebben a keregbeli s}ur}useginhomogenitasok eloszlasa hataroz- za meg. Ezert a vizsgalt terulet reszletes 3D geologiai modellje nagymertekben segthetne a nehezsegi anomaliak (es egyeb potencialfugg}o adatok) predik- ciojat (Geiger es masok, 1990). Esetenkent jol alkalmazhatok altalanostott kapcsolatok is a nehezsegi anomaliak es a keregszerkezet kozott, amint azt a kovetkez}okben latni fogjuk.

A Pannon-medence vilagviszonylatban is kiemelked}o geozikai es geologiai felmertsege kovetkezteben (pl. Royden es Horvath (ed.), 1989) mind a harmadkor el}otti medencealjzat mind a Mohorovicic-diszkontinuitas topograaja elerhet}o terkepi formaban (Kilenyies Rumpler, 1984 Posgay es masok, 1981)¹. A Bouguer-anomaliak es a medencealjzat felszne kozotti nyilvanvaloan nem- linearis korrelacio miatt (8. abra), amely els}osorban az uledekek jelent}os mer- tek}u kompakciojanak kovetkezmenye (Bielik, 1991), ez a kapcsolat is vizsgalat ala kerult es egy egyszer}u, statisztikai megfontolasokbol szarmazo osszefugges bevezetesevel sikerult azt modellezni (Papp, 1993):

gB = A

(z^;B)² +C (46)

ahol A B C megfelel}oen valasztott modellallandok.

A korrelacios modell aljzatmelyseg { Bouguer-anomalia adatokhoz valo il- lesztese utan ezen allandok es kozephibaik erteke a kovetkez}o:

A = 112:761:6 mgal km² B = 2:70:6 km C =^;6:71:3 mgal ha z erteke a melyseg novekedesevel csokken (azaz negatv el}ojel}u).

A Bouguer nehezsegi anomaliakat redukalva a modellb}ol szamtott kor- rekciokkal olyan rezidual rendellenessegeket kaptam, amelyeknek varianciaja (57.8 mgal²) a Bouguer-anomaliak varianciajahoz kepest 27 %-kal csokkent.

De nem csak a variancia csokkent, hanem { amint azt a kovetkez}o szakaszban

1A vizsgalatok idejen e ket publikacio szolgalt alapul. Azota ujabb es pontostott terkepek is elerhet}ok.

(31)

| 31 |

8.abra. A Bouguer nehezsegi anomaliak fuggese a medencealjzat melyseget}ol

latni fogjuk { a maradekok egyeb statisztikai jellemz}oi is kedvez}obbe valtak.

A 10b. abra szerint az anomaliak teruleti eloszlasa is \veletlenszer}ubb", tehat kvazi-sztochasztikus kepet mutat.

Az uledekvastagsag es a Bouguer-anomaliak kozotti korrelacios modell alkalmazasa sikeres volt a Kisalfold-medencebeli uledekek kompakciojanak vizs- galatakor is (Papp es Kalmar, 1995). Ezek a vizsgalatok meger}ostettek, hogy a medencefejl}odes soran kialakult legmelyebb medencek alatt nagys}ur}useg}u keregbeli es/vagy keregalatti k}ozetanomaliaknak kell lenniuk (pl. Kovacsvol- gyi, 1994 1996 Nemesi es Stomfai, 1992), ezzel kompenzalva az uledekb}ol szarmazo tomeghiany negatv tomegvonzasi hatasat.

A Bouguer-anomaliak es a Mohorovicic-felulet dominans korrelacioja az adatokbol nem mutathato ki (9. abra), s}ot negatv korrelacio tapasztalhato, ami viszont ellentmond az izosztazia Airy-fele modelljenek (Torge, 1980). Jol azonosthato, hogy a negatv korrelaciotazok az adatok okozzak, amelyeka Du-

(32)

| 32 |

9.abra. A Bouguer nehezsegi anomaliak fuggese a Mohorovicic-felulet melyseget}ol a Pannon- medenceben. A bekarikazott pontok, amelyek nagyreszt a Dunantuli-kozephegyseg terule- ter}ol szarmaznak, nyilvanvalo negatv korrelaciot okoznak

nantuli-kozephegyseg teruletere vonatkoznak. Itt viszonylag nagy, 10{15 mgal pozitv anomaliak eszlelhet}ok (10a. abra), annak ellenere, hogy egy viszonylag reszletesen felterkepezett depressziot (az egyetlen un. hegyseggyokeret a Pannon-medence teruleten (Horvath, 1993)) mutat a Moho terkep. Ezt az el- lentmondast masok (pl. Mesko, 1988) is targyaltak es a magyarazatot abban leltek, hogy a keregben magaban kell lennie olyan s}ur}useg-inhomogenitasnak (pl. un. dyke intruzio), amely gravitacios hatasat tekintve ellensulyozza a Mo- ho-felulet kimelyulesenek hatasat. Termeszetesen elkepzelhet}o, hogy a Bou- guer-anomaliak szamtasakor a Bouguer-egyutthato erteke nem megfelel}o az adott teruletre, azaz jelen esetben tulsagosan kis redukciot eredmenyez, mert a teruleten a topograai tomegek s}ur}usege nagyobb az atlagosnal. Azonban a 4. tablazat adatainak ismereteben ez az elteres csak +(200 ^;300) kg/m³