Tanulmányok 182/1986 Studies 182/1986 VOL I (Bulgaria), May 6-10, 1985 Scientific Station of Sofia University, Giuleciica PROCEEDINGS OF THE WORKSHOP ON "MATHEMATICALJOINT BULGARIAN-HUNGARIAN CYBERNETICS AND DATA PROCESSING"

Computer and Automation Institute Hungarian Academy of Sciences

Magyar Tudományos Akadémia Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete

PROCEEDINGS OF THE WORKSHOP ON "MATHEMATICAL

JOINT BULGARIAN-HUNGARIAN

CYBERNETICS AND DATA PROCESSING"

Scientific Station of Sofia University, Giuleciica (Bulgaria), May 6-10, 1985

V O L I

Studies 182/1986 Tanulmányok 182/1986

A kiadásért felelős:

Dr. REVICZKY LÁSZLÓ

E d i t o r s : Szerkesztők:

J. DE NÉV, B. UHRIN

Főosztályvezető:

DEMETROVICS JÁNOS

ISBN 963 311 211 7 ISSN 0324-2951

3

F O R E W O R D

The second Bulgarian-Hungarian Joint Workshop entitled

"Mathematical Cybernetics and Data Processing"

was held at the Scientific Station of Sofia University

"Giulecica"

between May 6-10, 1985. About 30 researchers from the following institutions attended the workshop:

- Centre of Mathematics and Mechanics of the Bulgarian Academy of Sciences, Division of Foundations of

Cybernetics & Control Theory, Laboratory of Mathemat­

ical Linguistics;

- Computer and Automation Institute of the Hungarian Academy of Sciences, Division of Computer Science;

- Blagoevgrad Pedagogical Institute, Blagoevgrad;

- Central Institute of Computer Technics, Sofia.

Although the workshop lasted a few days only and the number of participants was not too large, an intensive work went on.

The themes involved were from the: field indicated by the title of the workshop.

The papers presented at the workshop can be classified into four main subfields as follows:

- mathematical cybernetics;

- mathematical linguistics;

- computer and software architecture;

data bases.

4

The present proceedings contains papers presented at the workshop. Because of the great number of papers, we

divided the proceedings into two volumes, the first contain­

ing papers from the field of math, cybernetics and math, linguistics and the second one from those of comp, and software architecture and data bases.

The beautiful surroundings of the station

"Giuleaiaa"

(the Rila mountains) and an excellent weather contributed substantially to the success of the workshop. The same can be said about the station itself.

We thank everybody who took part in the organisation of this pleasent and succesful meeting.

The organizing committee

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вторая рабочая конференция "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

КИБЕРНЕТИКА И

ОБРАБОТКА ДАННЫХ" состоялась в Научной станции Софийского уни­

верситета "Шлечица" с б по 10 мая 1985 г. В работе конференции участ­

вовало свыше 30 научных работников из

- Единого центра математики и механики Болгарской Академии наук:

сектор "Основы кибернетики и теории управления" и лаборатория

"Математическая лингвистика" - организаторы конференции}

- Исследовательский институт вычислительной техники и автома­

тизации Венгерской Академии наук;

- Высший педагогический институт, Благоевград;

- Центральный институт вычислительной техники, София;

Хотя время конференции было ограничено, а число участников не очень большое, была проведена весьма интенсивная работа, р е ­ зультатом которой является настоящий сборник докладов конферен­

ции .

Тематика работы следовала направлению сотрудничества между Институтом математики БАН и ИИВТА ВАН по теме "Математическая кибернетика и обработка данных", в рамках которой проводилась эта встреча. Работы можно объединить в следующие группы:

- математическая кибернетика;

- математическая лингвистика;

- компьютерные и софтверные архитектуры;

- базы данных.

Этот сборник содержит в себе статьи прочитанные на конфе­

ренции. Число статей было так велико, что сборник надо было разделить на два тома. Первый том содержит статьи принадлежа­

щие к мат. кибернетике и мат. лингвистике, а второй - принад­

лежащие к компьютерной и софтверной архитектуре и базам данных.

Великолепная картина Рилских и Пиринских гор и прекрасная погода принесла весьма ощцтимый вклад в успех конференции, ко­

торая заключилась не только в богатой программе, но и в уста­

новлении и поддержке дружественных к о н тактов, которые происхо­

дили везде на заседаниях, во время прогулок и товарищеских встречах.

Внимательная забота персонала Научной станции обеспечила все условия и можно сказать даже комфорт для проведения работы в с т р е ч и .

Благодаря коллегам из Благоевграда была получена возмож­

ность устроить экскурсию в один из самых красивых уголков Бол­

гарии - горы Л и р и н .

Оргкомитет

7

C O N T E N T

С О Д Е Р Ж А Н И Е

V O L I

MATHEMATICAL CYBERNETICS Pa9e

<5lMEV, K.N. : Strongly essential variables and separable sets of arguments of

function ... 11-20 Ч И М Е В , K.H. - ГЮДЖЕН0В, И.Д.: Подфункции функций

с тремя сильно существенными переменными ... 21-30 ГЮДЖЕНОВ, И.Д.: О с-сильно существенных перемен­

ных функций из Р^ ... 31-35

ŐIMEV, K.N. - SHTRAKOV, SI. VI.: On the dominant

sets of variables for the functions ... 37-42 SHTRAKOV, SI. VI. : On the anulator sets of

variables for the functions ... ... 43-50 SHTRAKOV, SI.VI. : Mutually dominant sets of variables

for the functions ... . 51-76 ASLANSKI, M . : Structural properties of the graphs

of some types of functions ... ... 77-88 ЛУКАН0ВА, P.: Псевдокомбинаторные пространства

и рекурсивность в них ... 89-96 RÔNYAI, L .: Zero divisors in quaternion algebras ... 97-110 UHRIN, B . : Some combinatorial results for finite

sequences of signs ... ... . 111-115

8

MATHEMATICAL LINGUISTICS

Page flHMHTPOBA, JI.T.: Cneu,HJiH3HpoBaHHhie cjiOBapn h a B T O -

M a m ' í e c K a a o ö p a ö o T K a dojirapcKoro T e n c T a ... .119-124 DIMITROVA, L. - ISUSOVA, N . : A s y s t e m f o r a u t o m a t i c

retrieval of linguistic information ... 125-129 NEOVA, I.: A programming environment for developing

natural language processing programs ... 131-137

MATHEMATICAL CYBERNETICS

MATEMATH^ECKAfl KHEEPHETHKA

MTA SZTAKI Tanulmányok 182/1986 pp 11 -2t

STRONGLY ESSENTIAL VARIABLES AND SEPARABLE SETS OF ARGUMENTS

OF FUNCTION

K.N. ÖIMEV

Pedagogical Institute - Blagoevgrad Bulgaria

This paper treats properties of functions with regard to their separable sets of arguments- and under definite conditions for tne set of tne strongly essential variables.

Terminology and symbols of D - 7} have been used.

A

^variable

^H i i u

, is called essential fox the function

n )

if there exist values 0

^

for

(l

< ~ w )

such that

takes on at least tuo distinct values (see r o ).

The set of all essential variables of

by

£ t

will be denoted

L et

H s £

A variable

Z >

6 £ is said to be str o n ­ gly essential for ^ uith rgspect to

ÍÍ.

if there exist ualues

for such that

12

depends on each variable belonging to

ß

(except

QT;

).

A variable of

j!

which is strongly essential with res­

pect to

ftj)

is called strongly essential for

^

.

The set of all strongly essential variables of

V

will

V * '

be denoted by /V

o

•

r Ü

Functions obtainable from

,-L

by r e p l a c m g some variables rj! by constants are called subfunctions of . A subfunc-

’

ír

• of

tion is proper, if ^ ^ » then we write

Cj^

iZ

$ •' t

if ^f

is a function and the set

ß \Zq

^{, (}

f? 4 ^V <f) ^%

^then

s called separable for

Z

, if

R

or

R. K p

and for the variables from there exist values such tteat after they are replaced by them we get a subfunction from which depehds essentially on all variables from

R.

.

Ue shall mark with <5^ the set of all separable sets of arguments of the function

If i

^- (X l; * " ; ’^ a v) is a function and

then we shall say in a d d i t i o n that *VvV-tupli is separable for *

f ■

l x I

v

u

V

>

‘»«J

13

inet) variables f 9C ;*

X

/ ) is separable

L rr.l « ‘ t

C / L

sePar,at>ie for

j

*

es A pair of (distinct)

for jü. , if thie set

By an, order of the variable

C L £

for the

function

f f a n

*

* J <) ■X'n )

with; respect to the separable Vw-tupii

( Z t w \ %.

V t

)

ue shall understand the number

of

'Vvi— elemental sets which are separable for

jji

and contain .

A variables

0 L £

is said to be of order *Y for

j

, if there exist exactly separable pairs for

jl' having

^{££ ' as}

a member.

Ue shall call the hypergraph with

vertices the

essential variables of the function ^ ( ^ 4 1

) * * ’ J

n /

and

with

edges the set of separable

YVl

-tuples for ^

a hyoergraph

of

^

with respect to the separable VH. -tuples.

In case of VVl

— Z

we shall speak of

a graph

of

a

function, Let ^ be a function for which

I \ a * j t 0

and

14

Under theae conditions the following four theorems are valid.

m en

Theorem

€ .

If the subgraph of with, vertices the ele- ts of

M I

is full

(l

and M ^ 5 Ä , then for each X '

6

and for each

x j- e

'

Ü f. >

txt ’ xj j 6 _{% '}

This theorem can be proved on the basis of theorem 2 from r « j and theorem 5 from Taj.

Theorem 2., If for each C — £ the subgraph of

^

with vertices the elements of

M ,

for each variable x ,* £

\ i Z j>

is full and

\ r?* T

then and for each variable

\ 15 se^ 9 J ^ #

Theorem 2 can be proved on the basis of theorem 2 from

f

theorem 5 from U J and theorem I from this paper.

Corollary I. Under the conditions of theorem 2, if

H , n m x =

< p

, then the number of separable pairs of the func­

t i o n

I

^{uii 1} be equal tOj

C ‘ H M 4||MJ + k

where VC is the number of separable pairs which form between the elements of and the elements of

K .

Corollary 2. If the function j!. from or­

der VI ^

A

has exactly three strongly essential variables

15

between; which exactly

k {A

t k 1 3 ) separable pairs form, then; the number of separable pairs of

^ i s

equal to C +

k - J

Corollary 3, Let the function

^ i * * * j ^ YL )

from or­

der w

* z 5

haue exactly four strongly essential variables.

a) If the subgraph of

^

w i t h vertices the strongly essential variables of ^ is from the type fig» I * 2, 3, 4, 5, 6,„ then the number of separable pairs of ^ is equal to

r ^

a

r-Z r

_t.yj

^ _{^ j V i} 7 C ^ - A r ^ C

₄₁,' ^ correspondingly;

— 7

b) If three of the strongly essential variables for« a separable set and the subgraph of with; vertices the elements

O *

of is fro» the type fig. 7, then the number of the separa bla pairs of ^ is equal to C vt. -

^ *

f i g . I

_{fig. 2}

u

fig.3 fig.4

fig,5 fig.6 fig.7

Corollary 4, Under the conditions of theorem 2,

16

and no separable pairs form between the elements of

M ^

and then every one of the sets is

C

— strongly essential for

Theorem 3. If , then for each choice of va~

r iables X /

y ‘ ’ * y

X

l P

^{from R » \ R '}

t *

of their values

C- i , . C ■ ,

if

r

(

s

, L

1

] P

y

(X(_ , « > ■> ? X ^ Z. C £ p j depends essentially

and for each, choice the function

an all variables from

j

, then it depends essentially On all variables from ( k. ^ \ ft £ ) \ / x ^ , « * >> x c ^ j and it does not depend essentially on at least one variable from « t r w j .

This theorem can be proved by using theorem 2 from [ á J * Many corollaries follow from theorem 3, e. g.

Corollary I. Let

j

'(Xj

y * J ’ y

^ >i ) be a function from or­

der v r *

5

for which the only strongly essential variables are

ocn ^ X ,

and between them only the separable pair

X > ^xj

forms. In this case for each variable x ^

y H é

i i h , and for each value for which

~ ^ ~ ^ I J

depends

essentially on

•»

the function

Í,

does not depend es­

sentially on at least one of the variables

OC^ f

and depends essentially on each one of the variables

V C j ^

^ r: VI } ^

i .

Corollary 2. Let ^ (X^

^

be a function from or-

17

der

V\ % (p t

for which the only strongly essential variables are

^

and only two separable pairs

(pi t) )

and

( P ^ Ó O ^

h

)

f>orm between them. In this case for each variable

X :

4- /

J f l f Yl

and for each value C: for which

i - t ( z L - c i )

depends essentially an ^ and X ^ , the function does not depend essentially on at least one of the variables

X lf

and

^ t depends essentially on each one of the variables

^ ='^

”= ^

Í & 1

Theorem 4. If

j

then for each set

a ( i t < = L \ R p

the sets

l U H ,

and R U ^ are separable for

f

.

This theorem can be proved on the basis of theorem I from£7ja Corollary I. Under the conditions of theorem 4 if

I H , h 4 o r

I M J M then for the function ^ each unempty subset of the set

I f ^(M, V ^{Mx )}

is separable.

Theorem 5. Let

^

be a function for which

ity I = 4

^and

Rf -M,t% , 4 , M* * $ ■

lr

t

is a subfunction of

j!

and

M . é S » , i t

1 Í J , then for each: set

a

( £ * =

\ fig)

^{the set}

H> U

^&

6 Sjf.

The theorem can be proved by using theorem I from M . J theorem 5 from |_dJ and theorem 2 from M .

18

Corollary I . Under

subfunction

I Q

of ^ for the conditions which, the set

of theorem

M , 0 / J

and

Új.

does not depend essentially on variables f each set of variables containing all the variables is separable*

5 for each is separable

rom

Cfl'ijJy

from

N f ( )

References

1. flÓJIOHCKHŐ, C.B. ^THKIlHOHaJILHHe nOCTpoeHHH B K-SHa^IHOt JIOBMKe.

TpyuH MaT. z-Ta

hm

. B.A.CTeKJioBa,

t

. 51,1958, 5-142.

2 . HHNieB, K.H. OTneJiHMfi MHoxecTBa

ot

apryMeHTH Ha ^yHKmmre.

KnaroeBrpan, 1982.

3 . HHMeB, K.H. $yimiHH

h

rpa$H. EjiaroeBrpaji, 1983.

4 .

Cimev, K.N. On. some properties of functions. Colloquia Hath*

y

Sac. Janos Bolyai, 1981, 97 - IIO.

5 . JfeMeTpoBirc, H ., JI

l

. Jtbenenm. PeHepnpoBaHHe ^ymciiHOHajiiHHx 3aBHcnMocTeü

h hx

npencTaBJieHHe c noMoiiíBK peJWUHH.

MTA SzTAKI Közlemények 24 (1980),, 7 - 1 8.

6 . H

hm

6B, K.H. 0 BlwejmMiDC MHOsecTB apryMeHTOB <|yHKmtíi.

Sz TAKÍ Közlemények 24 (1980), 19 - 26.

7. HHMeB, K. H. 0 HeKOTOpHX HHBapnaHTHHX CBOHCTBaX $yHKHHH.

MTA Sz TAKÍ Közlemények 25 (1982),, 35 - 48.

19

СИЛЬНО СУЩЕСТВЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ВЫДЕЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА АРГУМЕНТОВ ФУНКЦИЙ

К. Н. Чимев В П И - Б л а го е в гр а д РЕЗЮМЕ

и

Рассматриваю тся вопросы, связанны е с сильно сущ ествен­

ными переменными и выделимыми множествами аргум ентов функций.

И сп ользуется терминология из [l - 7 ] . Пусть И £ - мно­

ж ество в с е х существенных переменных функции | ; £ л - мно­

ж ество в с е х сильно существенных переменных функции f ; - множество в се х выделимых множеств аргум ентов функции ^

Пусть I - функция, для которой

Ify ^\ Hfl Ф о

, H ' t p ,

При этих услови ях доказаны теоремы

¹

, 2 , 3 , 4 .

Теорема 1. Если подграф функции ^ с вершинами элементы множества M f полны О и , | * 2 ) и и я ё f)£ , т о г д а д л я каждого Х^ 6 W, и д л я каждого X j £ ß £ \ ß ^ м нож ест-

Теорема 2 . Если д л я каждого Л. ~ 4, 2 подграф ф унк- I- с вершинами элементы множество И ’ с полны и

для каждого XI» £ \ ß j ; и д л я каждого

^{2 ^ ' 6}

\ j во

ТТИИ

т о г д а

2 0

множество Iх 1 ? X i 1

т о г д а д л я каждого выделимо д л я .

Теорема 3 . Если ; ё Sy

выбора переменных } из множества Zy \ Цу и д ля каж дого значен ия CL £,* д ля них, есл и функция

I / V . - С; « M i а . •- г . ) зав и си т сущ ественно от в се х

Т \ Í--J ‘••f '

L p

переменных от И i ( ) » т о г д а она зав и си т сущ ественно от в с е х переменных от (Ну \ Й ^ ) \ ^Ср j и не зави си т сущ ественно, х о т я бы от одной и з переменных от К (“ <) ■

Теорема 4 . Если м * 6 s i . , т о гд а д л я каждого множества I ( H z \ д л я ^ выделимы множества

И 4 U /Z и í\ Ü а .

Теорема 5 . П усть ^ функция, д л я которой I ^ f l ”= - 4 и

= í É ^

Если ^£ подфункция функций ^ И Л/^ £ S ^ ^{; 4} = L .

____ il Г о с п

ч

'Чп*\

т о г д а д ля каждого множества

ц и м

ti О ^ к \ ч г * ;

3

для

выделимое множество

MTA SZTAKI Tanulmányok 182/1986 pp 21-3o

ПОДФУНКЦИИ ФУНКЦИЙ С ТРЕМЯ с и л ь н о СУЩЕСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

К.Н.Чимев - И.Д.Гюдженов

Высший педагогический и н сти ту т - Б л аго ев гр ад

В работе р ассм атр и вай тея св о й с тв а некоторых кл ассо в подфунк­

ций функций с трем я сильно существенными переменными, относящ иеся к выделимым множествам аргум ен тов.

И сп ользуется терминология из [ 1 - 5 ] .

Если ^ функция, то множество ее существенных аргум ентов будем обозначат К

^.1

.

Переменная 'Х'с (г Пф функции ^ (ос, , Ы ) , ( V i > X ) , н а зы в аетс я сильно сущ ественной для | , если сущ ест­

в у ет значение Су для ху т а к о е , что функция С зави си т сущ ественно от v \ - l переменных,

Множество н азы вается выделимым

д л я функции £ (д>ц, бсг , . . . , ) , если существуют кон­

с т а н т , таких ч т о , при замене ими переменных из множества

Щ Л {=Ч,, , ..., а,

²

функция 4 существенно зависит от

о ч , » » • ♦ • » ^ * г

Лемма 1 . Если

^{д л я}

функции ф С Х , • • -, порядка V\ \ Ц единственными сильно существенными переменными являю тся

'X , , , Х ь и между ними о б р а зу е т с я только одна вьгдели- м ая пара ( о ц ^ х ы , то не сущ ествует переменная х у ,

4 £• L < п , т а к а я , что для любого значения переменной Ху функция

⁴

СХ - су ) за в и с е л а бы существенно от и х^

и не сущ ествует переменная , 4 < j < и , т а к а я , что

д л я любого зн ачен ия C-j переменной функция ^ С -С^

22

з а в и с е л а бы сущ ественно от ОС

¹

.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При данных у сл о в и ях , если д о п у сти ть против­

н о е, придем к вы воду, что сущ ествует т а к а я подфункция функ­

ции $ с % * $-) , что { э е ^ х ^ х ^ е * | ^ , что не я в л я е т с я в о з­

можным. .

Т еорема 1 . П усть для функции ^ 0СА ) . . ОСи) порядка

\л z Д ед инственш м и сильно существенными переменными являются Гс, , vX

^_2

» Ос з и между ними о б р а зу е т с я только одна выделимая д л я £ п ар а ( x ^ X ^ j .

Б таком с л у ч а е :

а / . Для любой подфункции функции Í которая существенно зав и си т от ОС. и не зависит сущ ественно ни от ни от X } выделимо любое множество существенных переменных;

б / . Для любой подфункции функции , к о т о р а я не зав и ­ сит существенно от X v и д л я воторой п а р а ( x j я в л я е т с я вы- делимой для

⁴

» выделимо любое множество из двух существенных переменных и любое множество существенных переменных, содержащее х о т ь бы одну из переменных •

Д о к а з а т е л ь с т в о , а / . П усть -п р о и зво л ьн ая подфункция функции не зависящ ая сущ ественно ни от t ни от X j , но зависящ ая сущ ественно от ^-X, . П усть

9} С *'1 Ц • k Х ь - , X

гд е то в

С

₂

г »

» » С И , , -, . X

, . • *, М И » • • • »

С и

X V1

И\-И • ' ; Х ц - СЩ)

-некоторы е зн ач ен и я аргум ен- Если = {х,\ , то утверж дение а / верн о. Поэтому рассм от­

рим случай, к о г д а \&%\ • Б ез ограничения общности, можно

принять что •=. »

⁴

é W

¹

^ •

Для любого i * , Ы будем иметь { х д ^ е S g .

23

Докажем, что д л я любого ^ множество

S g .Н а п р и м е р , докажем, что { х у >Хч]е Допустим п р о ти в н о е. Т огд а для любого значения C v д ля Х\ функция

= С * } , а зн ачи т и функция

⁴

^

^{0 0}

, = CŸ) будет з а в и с е т ь с у ­ щественно от Х у , что противоречит лемме.

Докажем, что любое множество Д существенных переменных д л я ^ , которое содержит X , , вы делимо для

Для сл у ч ая \ = í ÏLj ^ 2. это уже д о к а за н о . Допустим, ч то э то верно д л я | £ | = \с , K

^ï

^ . Докажем, что это верно и д л я

^ Ю i

Пусть R,* -н е к о т о р о е произвольное множество для к о т о р о го : R-* £ ,

¹

£ * \ = < + < , ос, е к * .

Пусть а * - { a t г о , • • - , 'O i z , , VO-*

1

? .

Если \Ci ъ - \>W , то ясно что € S o . Рассмотрим сл у ч ай , к о гд а Vc-v à £ w \ - \ . Допустим, что Я* 4 S c . Но по индуктивному предложению Ц* \ G . Таким обро-

зом , для любого зн ачен ия переменной функция

» а сл ед о в ател ьн о и функция бу­

д е т за в и с е т ь сущ ественно от -X, , что не я в л я е т с я возможным.

Мы д о к а з а л и , что . Таким оброзом мы д о к азал и р а с ­ см атриваем ое утверж дение.

Докажем верн ость утверждение а / д л я любого множества сущ ест­

венных переменных , которое не содержит X j .

При 1 ß. 1 - 1 утверж дение верн о. Докажем его верн ость при I Я . Например, п у сть & - £ Х ч . Докажем, что

ÇL & . Пойдем от противного, т . е . допустим, что Ç & S £ . Но как уже доказали £ з с )(Х ч | в $ ^ и £ ^ .

С ледовательно, д л я любого значения переменной Х р

24

имеем , ,xi j £ . Вот почему д ля любого зн ачен и я Cj- переменной "X* функция ^ Хэс,-=■ £*-) должна сущ ественно за в и с е т ь от X , , что невозможно.

Допустим, ч то утверждение а / верно для любого множества существенных переменных в сяк о й подфункции g функции

⁴

(' X , £ ' X À i 4 ß g ) , при котором I tc\ — le и . Дока­

жем его вер н о сть д л я любого множества существенных перемен­

ных любой подфункции § функции

⁴

- (,Х , £ , Х2 , X ) »

Д Л Я

которого 1\ДА\ =1с- М и 3Zj ф

⁶

* .

функции ^ допустим, Допустим, что

что fx7 >X.J

^Г

le

1Д* i ‘ ^ <) . Пусть

Q ~ и

^{у f}

ДЛЯ V- + Ч г Vv»

1 ^{^}

^s

“ C-xjT, - - ‘

)

При ЭТОМ , , . . ., 0,

4

k. f ^ и»

= с. Л

д ля V .4 H i - i ,

*^4Ct i » ult is I

^ » » • • » 'X-ví,( » ЧТО

Выбор таких значений ^ , x ^ , . . . , X Uw> возможен с о г­

ласно уже доказанном у случаю . С ледовательно 1 ' и-*'^ . Поскльку мы предположили, что <$' , то №*<£ 5<^ .

!^л я в л я е т с я подфункцией Ç , к о то р ая зав и си т сущ ествен­

но

но от Х \ и не зави си т сущ ественно от х

²

и хщ . От индуктив­

ного предложения сл е д у ет, ч то . Т огда

д л я любого зн ач ен и я переменной Х к , А /, функция

( x w, н V с ^ х а с л е д о в а т е л ,н о и д ( х * ,у -C ^ y J б у д еть зав и се ть сущ ественно от

^'X,

что не я в л я е т с я возможным. ~~ ~г" ' '

Этим утверж дение а / д о к а з а н о .

2 5

б / . Рассмотрим случай, когд а

%

O i * •) •^■‘* 0 ^" ^'1 ^{) ^ Z}

)

^{• • •)} jC v u-m i “ * - ) ^ )

и при этом “ ) ^ » ч J и £ S |_ . Е с тес тв ен н о , д л я любого I » А , * - * , И будем им еть l “ i i е s t •

б ^ / . Докажем, что для любого множества ß — ^ , \£ Ц --1

имеем ß £ H .

Докажем с н а ч а л а , что д л я любого

^L

- 1,£ и д л я любого

<J - Ч , I , ►. - > Vvi множество { Х С < x i ^ ^ ^ .

Докажем, к примеру, что ^ x i j x yj £ S g . Допустим, что jű,]€Sv» Но 5g . С ледовательно для любого зн ачен ия С ч переменной 0Су функция ^ ( " х ^ . с , ) , а следовательн о и

^ ( з ц - С ч ,^ будет:, за в и с е т ь сущ ественно от Осл и , что н е в о з ­ можно.

Так как •[ , то о с т а е т с я д о к а з а т ь , что д л я функ­

ции <2г вы делима любая п ара типа {x^,3C j j , гд е i j é ' [ V ' y *и

^’4

. Докажем например, что f o C y ^ J ë . Допустим п ротивное, но как уже д о к азал и и [ х ь > Ou, j ë . С ледовательно д ля любого зн ачен и я Су переменной Щ- функция ^ CSj - Яг) » а значит и функция ^ С х Л - = <^) будет з а в и с е т ь существенно от Xj и

Ctj f что невозможно.

б g / . Докажем, что для любого множества R существенных переменных функции J , которое содержит ,х г и -Х^ , выде- лимо для ^ .

Утверждение верно для ) Ф . 1 - Д , т а к как в этом случае ß . £ Х

²

(х'

³

^ . Допустим, что оно верно д л я любого существенных переменных функции ^ » которое содержит ОСд и , и для

которого Д . Докажем его истинность в случае ( £ | -

¹

С-и.

26

П усть f t = ^ + 2 . 5 , kíZ'íH'í . Д о п у ­ стим, что ß s I ^ Но от индуктивного предложения сл е д у ет, что ЙЛ в . Вот почему, д л я любого зн ач ен и я

переменной ЭС*-*

²

. функция ^ ( pCv-iz = ОсГ

²

. ) , а зн ач и т и функция - ^ t l ) будет за в и с е ть сущ ественно от и f что н е ­ возможно.

6 3

/ . Докажем, что для функции ^ выделимо любое множество существенных переменных, к о то р о е содержит точно одну и з перемен­

ных

И 0 с з ,

Докажем и сти н н о сть утверж дения, например для множествь, ко то ­ рые содержит и не содержит •'*2.

П усть R , ССЬ € £1 , X j <£ ß , . Для с л у ч а я , к о гд а 4 I |ß .\ 4 % исти н н ость утверж дения была д о к а з а н а . Рассмотрим сл у ч ай , при котором | ß | ^ Ъ ..Д о п у сти м , например, что

. 5 f t C i Мл . Согласно случаю б?/

множество £. С

¹

£ & >.>. . Т о гд а пусть

З и Л г / § - >'

если

-С

V. = vvv '}

'-Хцч ~

(

^

если ч й У н -!.

При этом Слс-ц , ес ть т а к и е значен ия Х ^ ,

» • • • . ~Xvv, , что функция ^ порядка

Докажем, ч то L

⁶

. Допустим п ротивное. Т о гд а

|2_<£ . П усть R / максимальное выделимое д ля »подмно­

ж ество & » к о то р о е содержит . Т ак как И 4 ^ \ , сл е­

д у е т , что Й Д С

¹

Ф $ . Пусть ОЦ 5 1 й и ) к а к ая -л и б о пере­

м енная множества £ \ Й

¹

. Т о гд а при любом значении £,<; перемен­

ной функция , а следоватльн о и функция

^ о ц - C t ) долж на сущ ественно з а в и с е т ь от ^ и , что н е -

27

ВОЗМОЖНО.

Этим утверждением р а с с м а т р и в а е м ^ случай д о к а з а н . Теорема д о к а з а н а .

С ледствие 1 . Для любого значения С* переменной X , функ­

ция - С , ) порядка W - \ и д л я этой функции выделимо любое множество и з двух существенных переменных и любое множество существенных переменных, к оторое содержит х о тя бы одну переменную

и .

С ледствие 2 . Для любых значениях и переменных ^ и ос3 функция « г -- C i п о р я д к а Ул-2 и для н ее Вы­

делимо любое множество существенных переменных.

Лемма 2 . Если для функции ^ с Х г . , * - * , Эбц) порядка Ч ^ . ^ единственными сильно существенными переменными являю тся

'X t » , OCj и между ними образую тся только д в е выделимые пары С х 1 ( ^ ) и , то не сущ ествует переменная X j ,

4 4

[ £ V\ , т а к а я что при любого значения переменной

^ функция $ ( Х р - Сы.) существенно зависит от Х ’(

Теорема 2 . Пусть д л я функции * С'Х-\ , X . , « . . j X u )

порядка Ь| единственными сильно существенными переменными являю тся Об, » X i , и между ними образую тся точно д в е выделимые д ля \ пары ( х 1 и (р с ï.,~Xÿ) . При этих у сл о ­ виях в е р ш следующие утверждения:

а / . Для любой подфункции функции ^ , ко то р ая сущ ественно зав и си т от X , ( х 3) и не зави си т сущ ественно от Х . и Х 3

Ç со о тв етств ен н о и х , ) выделимо любое множество су ­ щественных переменных;

б / Для любой подфункции функции ^ , для которой выдели- ма п ара (0Сь С £,) (с о о т в е тс тв е н н о (эсх Х 3) ) выделимо любое мно­

ж ество сущ ествен ш х переменных:;

28

в / . Для любой подфункции функции ^ , к о то р ая зависи т су­

щественно от о с , и к а к ( о , ( ° т и X j

как и к о т о р а я не зав и си т сущ ественно от СГ

⁵

( Х } ) выделимо любое множество существенных переменных, ко то р о е не со­

держит ; £

г / . Для любой подфункции функции 'Y , к о т о р а я существенно зави си т от ОС) и ^ и не зависит сущ ественно от эсл выдели­

мо любое множество существенных переменных, к оторое не содержит х о т я бы одну и з поременных t x

¹

, ос j .

Следствие 1 . Пусть д ля функции с * , , , . у оси )

порядка \л >, Ч единственными сильно существенными переменными

являю тся X* , и между ними образую тсяточно

д в е выделимые пары ( х . , ( эс^) и • В таком сл у ч а е для лю­

бого значения С

⁷

переменной эс( , и для любого зн ачен и я С

³

переменной для функций = с< ) и j - c i ) выделимы в с е множества существенных переменных.

Лемма 3 . Е сли для функции , 0С2 , • *•> Х ^ ) порядка единственными сильно существенными переменными являются

’ Х, » Т 2 , X* и подграф функции -Ç. с вершинами ос, , ос^ , полон, т о не сущ ествует перем енная , 4 / L í и

т а к а я что для любого значен ия переменной функция

^ С х д - с щ ) сущ ественно за в и с и т от х У ) .

Теорема 3 . П усть для функции 4 с х , Xji ‘ * •, Х ц } поряд­

к а v\> . Ч единственными сильно существенными переменными являют­

ся оц , и подграф) функции с вершинами ЭЩ ,

³

^ , х

³

полон, тогда:

а / . Для любой подфункции функции , к о т о р а я существенно зави си т точно от одной из переменных эщ , \ , ï j выделимо лю­

бое множество существенных переменных;

29

б / . Д ля любой подфункции ^ функции ^ , которая сущ ест­

венно зав и си т точно от двух из переменных ОЩ , х , , , н а­

пример X , ,

»

х к

2L

и ( х \ вы делимо любое множество с у - щественных переменных;

в / . Д ля любой подфункции венно зав и си т точно от двух из

I функции /временных

которая сущ ест-

» Д, »

н а­

пример, ося , и ( х г,х ^ )^ 5 р ы д ел и м о любое множество сущ ест­

венных переменных, которое содержит не более одной из перемен­

ных X i , 7Xj_ .

Д о к а за т е л ь с т в о теоремы 2 и теоремы 3 аналогично д о к а з а т е л ь ­ с т в у теоремы

¹

.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 . Яблонский С . В . , Функциональные построения в уц-значной л о ги к е . Труды м атем атического и н сти ту та и м .В .А .С тек лова, т . 51 , 1958, 5 -1 4 2 .

2 . Чимев К. Н. , Отделими множества от аргум енти на функциите, Б л а г о е в г р а д , 1983, 207 с .

3 . Чимев К. Н. » Функции и граф и. Б л а г о е в г р а д , 1983, 195 с . 4 . Ч

ла

МОВ К .Н ., Об ^ОДНОМ к л а с с е функций. Rostokor Mathema-

tscen Kolloquiai, 1982, 19, 9-17*

5 . Чимев К .Н ., И .Д . Гюдженов, Функции с три силно същ ествени променливи. Годишник на ВТУЗ, Приложив математика ( в пе­

ч а т и ) .

6

. Чимев К .Н ., Силно съществени и с-си лн о съществени промен­

л и ви . Годишник на ВШ - Б л аго ев гр ад , М атематика. Т . 1 ,

КН.1, 1984 г.

3 0

T H E SUBFUNCT IONS OF FUNCTIONS WITH T H R E E STRONGLY ESSENTIAL VARIABLES

K. N. $ i m e v , I. D.Gju d j e n o v Abstract

The paper deals with t h e properties of some classes of subfunctions of functions w i t h three s t r ongly essential v a ­ riables with respect to separable sets of arguments.

MTA SZTAKI Tanulmányok 182/1986 pp 31-35

О С -СИЛЬНО СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ P«

И.Д.Гкщженов

Высший п едагоги чески й ин сти тут - Б л аго ев гр ад

П онятие С -си л ьн о сущ ественная переменная введено Чимев^м К. Н. Г

2

] . В ряде своих работ он и ссл ед у ет функций, которые имеют С -с и л ьн о существенные переменные. Найдены некоторые необходимые и достаточны е у сл о ви я, чтобы одна функция имела С - сильно существенную переменную.

В настоящей р аб оте п о к а зан о , что д л я "почти всех" функций И -зн а ч н о й логики каждая переменная С -си л ьн о сущ ествеца.

О пределение Д. Переменная ^ £ ££ функции , <v\>s

²

) , [(

²

| | =

^va

н а зы в ает с я сильно сущ ественной д л я ^ , если сущ ествует значение Ci для ^

т а к о е , что функция ^ - Ci ) зави си т сущ ественно от V\- \

переменных.

обозночено множество всех существенных переменных функции £

Определение 2 . Переменная ЗЦ G функции

,

⁰

^

²

) , н а зы в ает с я С - сильно сущ ественной для ^ , если д л я каждого значен ия Q д ля X i , функция = Q ) зави си т сущ ественно от V\-\

переменных.

Н епосредственно из определение 2 вытекают следущие н ес­

колько во п р о со в.

1 . Сущ ествует ли функция, для которой ни одна е е переменная

32

не была бы С- -с и л ь н о сущ ественной д ля н е е? Ответ на этот воп­

рос - полож ителен. Например д л я функции

эс, » • • • »

и не я в л я е т с я с -

ни одна из переменных ^{X, ,} сильно сущ ественной для ^

2

. Существует ли функция, для которой каждая е е переменная - С -си льн о сущ ественная? О твет и на это т вопрвс - положителен.

Например, д ля функции =• ЭСу+эс*+ •••+■ ОСл (vuo<?\\c) ,

каждая из переменных х ,

^ос

я в л я е т с я с - с и л ь ­ но существенной д л я } .

Интерес п р е д с т а в л я е т воп рос об определения ч и сл а функций из , для которых каждая перем енная - С* -си л ьн о сущ ественная.

Пусть % Qoc V, V.

^.5

X -,) функция порядка v\ ^ z Б ез ограничения общности рассм атри ван и я примем, что хщ не я в ­ л я е т с я С -с и л ь н о сущ ественной переменной для

И спользуя соответствующ ий аналог разлож ения Шенона для функ­

ций , даем f в ви д е

^

— yvui X • Vh t \л £ l"<rt С*-ч^ ^ ^ ( ^1, i ‘ ^ ^ 5

< b

гд е

к & > = ( * ( для ос -

⁶

Ü д ля рс ^ ^ •

Из определение 2 и п р ед став л ен и е -f в шше указанном ви­

д е , сл ед у ет, ч то переменная не будет С- -си л ьн о сущ ест­

венной переменной для функций ^ , т о г д а и только т о гд а , к о гд а

х о ть одна из функций ф (J'H , Х и ) не зависи т су­

33

щественно от в с е х своих переменных.

Если С Х * ) множество от всех функций , для которых х о т ь одна переменная не я в л я е т с я С -с и л ь н о сущ ествен­

ной, то каждая функция f ^GXt,'ûcX) <£ С Xм)

будет о п р е д ел я ть ся от К -то р к и функций, в которой участвует х о ть одна функция, не зависящ ая от в сех своих переменных.

Я сно, что

I P “ (Х " )\С к ^и (Vi*д) ( К^ ' Л Y \ _

ч с х - О к 1"'1 , ч

Vc V a (у\~4^ ^ .

\С is

V a (v\-i ) ve

VA VA

Vd - \C ' C vlV''24- 1 + 4

|R!, c C x *")V

Откуда д ля .--- - --- — есть

с с

- 1ЛЧ , vd^

V

i

“i . V I W \--- ----

p

, ( P C c ( x h) l

U VYA ---

» . „ VA

V» -> Cte ^VC

~ O .

И т а к д о к азал и следупцая

Т еорем а 1 . Для "почти всех" функций Р< каждая переменная С -си л ьн о сущ ественная.

Имея в ви д у , что каждая перем енная, которая С -сильн о с у ­

34

щ ественная для данной функции, она сильно сущ ественная и д л я н е е , т о и з теоремы 1 с л е д у е т в ер н о с ть следующего

Следствие 1. У "почти всех" функций Р*. каждая перемен­

н а я я в л я е т с я сильно сущ ественной.

Следствие 1 может р ас см атр и в атьс я и к а к сл ед ств и е теоремы 2 ИЗ £ 3 ] .

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 . Яблонский С . В . , Функциональные построен и я в к -зн ач н о й л о ги к е. Труды м атем атического и н с ти т у т а им. В .А .С текло­

в а , т .5 1 , 1 9 5 8 , 5 -1 4 2 .

2 . Чимев К . Н . , Отделими множества от аргум ента на функции- т е . Б л а г о е в г р а д , 19 8 3 , 207 с .

3. Денев Й . Д . , И.Д.Гюдженов, 0 выделимых подмножествах а р ­

гументов функции ^{ИЗ Р'к_} . SzTAKI TANULMÁNYOK 147,

I9S3, 47-50.

35

O N THE

C s t m m w

ESSENTIAL v a r i a b l e s o f f u n c t i o n s f r o m Pk I.D .Gjudjimov

Abstract

The variable 6 ^

£

of the fxmcthion

^

^{I”•* 2., “ \}

is called C -strongly essential for if for each value

Q

of , the function

depends strongly on

\

^variables.

It is proved that for almost all functions from Pk each variable is C -stcongly essential.

MTA SZTAKI Tanulmányok 182/1986 pp 37 42

ON THE DOMINANT SETS OF VARIABLES FOR THE FUNCTIONS

K.N. ŐIMEV, SI.VI. SHTRAKOV

Pedagogical Institute - Blagoevgrad Bulgaria

In this paper we investigate some properties of the d o m i ­ nant sets and separable pairs of variables for the functions.

Definition I.

m

A set M is called sep a r a ­ ble for the function

X

if there is a subfunctiob oi'

£

such that

M * K f t

• ' '

Definition 2. A pair 1 is called separable lor if

J

is a separable set for

tf

.

The set of all separable sets for x will be < noted

b y *

If is a essential variable[lj then the pair|*3C^^j is separable.

D efinition

J, A

set M , K ,

X- , ,0C-

^

Q

is cal

c t that

--- —— <■ ' '

c m

-> —

lied weakly dominant over

/

^{, ,}

Jf ±0

for the iun­

ion

J

r if there exists a collection (

C:

,

C; ,

) such

/

* Lz

ci t /

y n R

^{/ ( _}

c- - c

T ( t1 - %

» ‘z “ Q * * * • * ' W

If the set

M

is minimal with respect to this property then

PI

is called dominant over

J f

for

^

_

L ennna I . If is a weakly dominant set over J r for the function then there is at least one subset

M ,

of

M

which is a dominant set over

J f

for .

38

Theorem 2. Let

K

he a weakly dominant set over

/

^,

ITC. (?

,

f [ ± 0

for .For every natural n u m b e r

P

, such that

1 f

i é P é l W - l * l

. . . .

l'or every p variables , 9 ^ , . . . ,

& i p

in where 1

arbitrary and fixed constants and

'l1 t cc, f

* CL

if then

f

'fi Q,

»

a iz ~ Civ * ' " ~ Cif )

*

P roof. If y g M then the theorem is trivial.

Let

j r X M t ß f

and

j f \

» • » • »

$ i* 0 •

N o w we m a y suppose without lost of generality that

M ■ = {X,,X2 .. 3 , M - f a j .. Xjmt

^

. I f we suppose that

are

and

then fo r every

7TL

- constants _0-1 » ^>2 » * vai'iables in

Jv[

the function

ti =

%

» =

Cjz* ' ‘

^*

~ Q m )

wi 11 be depend

o n oc1

and £ ^ 3 where it

h x j .

^_

n.

oc- _ c-

- " Jz » * *

• * ^ n = CJrn^

This contradicts to the condition that

nant set over /

i o r

is a weakly domi- Tbe theorem is proved.

Corollary I. If

M

is a weakly dominant set over

J f

for

V

39

f j

(

R/l

) then for every there exists at least one variable

3C.j <xj

£

J4

such that

^3T- 3 j j € :

•

P roof. By

J T f f y

it follows thcit ^ anu. there ire the constants

9 9

...

9

for the variables in

\ ( M u ( * t i )

such that

,

where

ft

= / *

*it ~ Ch

’

%it

®

\

» * * * *

%

=

% ^

* By Theorem 2 it follows that

Ob v i o u s l y \ is a weakly dominant set o v e r

{ % i f

for

£

.By

Lemma I there is a set M4 r — M< which is a' do­

minant set over $ í*;J for ^

Now, we may suppose without lost of generality that .Mi “

{ X KS

j.

Let ,

CK^ t . . . t C*s

be

5

constants for the variables

in

H z

such that ,

U * i l " K f z ' - P

where

ft = 1^**1 = ^ ’ • • • * = ^5 } *

But rCt-€ , wuere

fs

^ ^

* \

= Cj> * * * *

Ob v i o u s l y | is a weakly dominant set over \ X *■/ lor

and by Theorem 2 ^ ^^*So, ^ is a subfunction of

^ and

\ X ; , X tJ < = < i e . *

The corollary is proved.