A statisztikai adatok kerekítési problémáinak gráfelméleti megoldása

NAGY: KEREKITÉSI PROBLÉMÁK

515

utolsó sorát és oszlopát az egyforma kezelhetőség érdekében egy technikai át—

alakítás segítségével — előjelüket az ellenkezőjére változtatva — bevonjuk a tábla

elemi adatai közé. A kerekített tábla sorainak és oszlopainak összege nem min-

denhol lesz zéró, mint várnánk — az eltéréseket a tábla mellett és alatt külön osz- lopban és sorban tüntetjük fel —. éppen ezért származtatott alaptáblának nevezzük.

A származtatott alaptábla egyes értékeit módosítani kell, el kell ,,téríteni" a kerekített értéktől a legközelebbi egész számra a keletkezett eltérések megszünte—

tése céljából, a következő szabályok betartásával:

— ha egy értéket lefelé kerekítettünk, akkor azt legfeljebb a nála nagyobb, hozzá leg- közelebbi egész számra módosíthatjuk: azaz értékéhez 1—et adunk;

——ha az értéket felfelé kerekítettük, akkor azt a nála kisebb legközelebbi egész számra vóltoztathatjuk: értékéből 1-et vonunk le:

— ha egy adat kerekítésekor nem voltak elveszett értékes jegyek, akkor azt nem módo- síthatjuk. a kerekítési lehetőségek táblájában 0 szerepel.

A feladat így a következő: a kerekítési lehetőségek táblájában kiválasztandók

azok az elemek. amelyek sor— és oszlopösszesenjei megegyeznek a sor- és oszlop—

eltérések —1-gyel szorzott értékeivel. Egy lehetséges megoldást a megoldás tábla mu- tat be. Ekkor a kiválasztott elemek segítségével módosítva a származtatott alaptábla

adatait. a sor— és oszlopösszesenekben helyesen kerekített táblát kapunk.

Az alapadatok táblája Az alaptábla

19 420 4 500 23 920 19 420 4 500 —23 920 0

—8 604 7 810 -—794 —8 604 7 810 794 0

5 460 6 000 11 460 5 460 6 000 —11 460 0

3400 110 3510 3400 110 -—3510 0

M —19 676 -—18 420 38 096 0

19 676 18 420 38 096

0 0 0

A származtatott alaptábla *

A kerekítési lehetőségek táblája

19 5 —24 0

—9 8 1 0 1 -1 1 O

5 6 -—11 0 1 -1 —1 0

3 o _4 _1 1 o —1 o

—20 —1 8 38 0 1 1 1 1

___—. 1 —1 1 0

—2 1 O

__

2 -1 O

A megoldástábla

A kerekített tábla

1 —1 0 0

0 0 0 0 20 4 24

o o o o _.9 8 ;1

1 0 0 1 5 6 11

0 0 0 0 4 0 4

2 —1 0 ' 20 18 38

516 NAGY ZOLTÁN

Könnyen lehetséges, hogy a feladatnak többféle megoldása van, mintapél—

dánk is ilyen.

Hipergráfelméleti kutatások során a kerekítési problémához hasonló feladat—

hoz jutott Baranyai Zsolt, aki cikkében (1) egzisztencia tételt ad az általa definiált

feladat megoldhatóságára. (A leírásban szereplő feladat csupán közbülső lépés egy

általánosabb hipergráfelméleti tétel bizonyításához. és nem egyezik meg az álta—

lunk megfogalmazott problémával.)

A kerekítés szempontjai, megszorítások

A származtatott alaptábla módosításakor. azaz a kerekítési lehetőségek táblá- jában levő elemek kiválasztásakor sokféle módon járhatunk el.

Megtehetjük. hogy minden elemet egyforma valószínűséggel módosítunk, és

csupán arra törekszünk, hogy a lehető legkevesebb számú adatot ..térítsük el" a

kerekített értéktől. Változtathatunk úgy is, hogy kevés. de nagyságrendben a leg—

nagyobb elemeket igyekszünk növelni vagy csökkenteni. esetleg nemcsak az előző pontban rögzített 1 egységgel, gondolva arra. hogy ezeket az adatokat kevésbé ér—

zékenyen érinti a módosulás, mint például a kisebbeket. Törekedhetünk arra is.

hogy a ,,csalás" mértéke — amennyiben a tényleges és a módosított értékek elté-

réseinek összegeként definiáljuk — a lehető legkisebb legyen. Általános szempont

azonban mindhárom kerekítési elv esetében. hogy a kumulált értékeket, tehát a

sor— és oszlopösszeseneket igyekezzünk változatlanul hagyni, a táblázat utolsó ele- mét pedig nem tekintik módosítható értéknek.

Az elsőként körvonalazott és fizikailag — az anyagi és szellemi ráfordításokat

tekintve —- a leginkább megoldhatónak tűnő feladatra számítógépes program ké—

szült. A továbbiakban a módszer matematikai alapjait és a megvalósulás konkrét eredményeit és tapasztalatait foglaljuk össze.

A kerekítési módszer matematikai alapjai

A statisztikai tábla alapadatainak matrixa legyen A, az í—edik sor i—edik elemét jelöljük aü-vel, a matrix sorainak száma m. oszlopainak száma n legyen.

A transzformált alaptábla adataira teljesülniök kell a következő egyenlősé- geknek:

IV

A kerekítés nagyságrendje legyen 10'. ahol r % 1.

Jelöljük az A alapmatrixból készülő származtatott alaptábla matrixát A-val.

elemeit aü-vel

aü-l—S-1of—1

% : '—_íöF"—' /2'

a kerekítési lehetőségek matrixa'nak elemeit bij-vel. amely 1, ha az i-edik sor i-edik elemét felfelé módosíthatjuk,

—1. ha az í—edik sor i-edik elemét lefelé módosíthatjuk.

0, ha nem módosíthatunk.

KEREKITESI PROBLÉMAK

517 Legyen a sorelte're'sek oszlopvektora :, az oszlopeltérések sorvektora cl

" ..

C: : —j£1 al.,.

/3/

m ... _ V _

d; _ ,; "ü

Jelöljük X-szel a megoldas matrixót, amelynek elemei, azaz xi]. : 1, ha az i-edik sor i—edik elemét módosítjuk.

xi]. : 0. ha nincs módosítás.

A kerekített tábla elemeinek matrixót A-val. amelynek ai,- elemére

a,.j : öijlbüxij /4/

összefüggő,-snek kell fennállnia.

A kerekítési lehetőségek táblájának, a megoldósmatrixnak és az eltéréseknek a sor— és oszlopvektoraira tehát a következő feltételrendszernek kell teljesülnie:

n

151 b,.). xi]. : c,. /5/

;"

31 bii xii : dj /ó'/

xi]. : (o, 1)

/7/

A korábban bemutatott kerekítési szempontokat rendre a következő —— a /8/. /9/

és [10/ — célfüggvények reprezentálják:

m n ,

i

2 2 Xi" _ minimális /8/

í:1j:1 '

m n

2 jaíjlxi. _ maximális /9/

;:1 ;:1 '

xEDk

ahol Dk : (X ] le § k) és k az a legkisebb egész. amelyre még van megoldása az

/5/, /6/ és /7/ rendszernek;

__ minimális [10/

0101

m n

iii; jaü—10'(öü4—büxü)j _. minimalis

E célfüggvények közül /8/ azt a követelményt fejezi ki, hogy a lehető legkeve—

sebb elemet módosítsuk. a /9/ azt, hogy lehetőleg kevés, de a legnagyobb eleme—

ket vóltoztassuk. végül a /10/ azt, hogy a tévedések összege minimális legyen.

Keresünk olyan xü : 0 vagy xi]- : 1 értéket, amelynél az /5/ és a [6/ telje—

sül. és a megoldás valamelyik célfüggvényre optimális.

518 NAGY ZOLTÁN

A fenti típusú feladatok az egész értékű lineáris programozás (integer linear

programming) problémakörébe tartoznak. A megoldásukra vonatkozó általános módszereket, illetve azok gyorsított változatait — teljes leszámlálási módszer, korlá—

tozás és szétválasztás módszere (branch and bound), Gomory—féle vágás — a mai

modern lineáris programcsomagok tartalmazzák. Ezek a módszerek által'ánosságuk- ból eredően nagy apparátust igényelnek, a nagyobb 0—1 egész értékű feladatok

megoldásának számítógépes futási ideje nem vagy nehezen becsülhető, márpedig

az előforduló statisztikai táblákat leíró modellbeli változók száma elérheti a 4—500—

at. Olyan eljárást dolgoztunk ki, amely megoldja az /5/, [ól és /7/ egész értékű prog-

ramozási feladatot a /8/ célfüggvénnyel.

A megoldó algoritmus

A problémát lényegében egy gráfelméleti feladatra vezetjük vissza, amelyet há—

lózati folyammódszerrel oldunk meg. A következőkben néhány elemi grófelméleti elnevezést bocsátunk előre. A digráf definícióját nem abszrakt módon adjuk, ha-

nem módszerünkre alkalmazva ismertetjük.

Legyen adva véges sok pont, amelyeket a digráf csúcsainak, a különböző pont- párokat összekötő irányított íveket pedig irányított éleknek nevezzük. Digráfon véges sok pontnak és az ezekre illeszkedő irányított éleknek (röviden éleknek) az össze-

gezését értjük. Többszörös élt vagy hurokélt (önmagába visszatérő él) nem enge—

dünk meg.

A digráfokat szokásos ún. pont— pont incidenciamatrixokkal leírni: az n pont-

ból álló digráfot an--es 0—1 matrix reprezentálja, amelynél

ai]. :: 1, ha az í-edik pontból a i-edíkbe van él, a,.] : 0, ha nincs él.

A következő példa egy digráfot és az annak megfelelő pont—pont incidencia- matrixot szemlélteti.

1. ábra. Egy tetszőleges digráf és a megfelelő íncidenciamatrix

P5

lPx le lPa M M

P1 Piloj1jojol1

, P2l0l0l1l1l0

pi ilWOlOIOM

P010l1l0l11 PlOlOJOÉOlO

,, Hill

2

pa

A digráf egy csúcsából kiinduló élek számát a csúcs ,,kifokának", a csúcsba befutó élek számát a csúcs ..befokának" nevezik.

A származtatott statisztikai tábla előállításakor keletkező lehetőségek tábláját fel lehet fogni egy speciális tulajdonságú digráf tömörített pont-pont incidencia-

KEREKlTÉSl PROBLEMAK 519

matrixoként: (: matrix minden sorához és oszlopóhoz rendeljünk egy-egy csúcsot

(pi. - - -. Pm és cu. - - -, %)-

Legyen él a p csúcsból a elj-be, ha (: matrix i-eclik sorának i-edik eleme 1, és

legyen él (; -ből pi—be, ha ez az érték —1. Nincs él. ha a szóban forgó elem nulla.

Tüntessük fel a csúcsok mellett a hozzájuk tartozó eltérések értékét is. A kerekítési

lehetőségek tóblójéhoz tartozó digrófot (: 2. ábra szemlélteti.

2. ábra. A kerekítési lehetőségek digráfia

(0) p,

(0) pa

(U) pa

(7) %,

(0) %

"Rajzoljuk meg ezután (: megoldósgrófot.

3. ábra. A megoldásgráf

m)p7

(17 (2)

(OM; .

(02173 _ 42 H)

(7) ,04 o 43 (0)

(0) p; '

Könnyen látható, hogy a kiválasztott értékek sorösszesenjei nem mások, mint a p, csúcsokhoz tartozó kifokszóm és befokszóm különbsége. az oszlopösszesenek

pedig a c,,- csúcsokhoz tartozó befokszóm és kifokszóm különbsége.

A B matrix jelentése ebben a szemléletmódban a következő:

bij :: 1. ha a pí-edik csúcsból van (: gj-edikbe él.

ü —— —1, ha o czj-edik csúcsból van a pi-edikbe él.

—. 0. ha nincs közöttük él.

Ú'D'

l l

520 NAGY ZOLTÁN.

A B matrixban kiválasztandó értékek itt a gráfban a választandó éleket jelen-r tik.

Tekintsük ezentúl az így nyert (m—l—n) pontból álló gráf teljes pont-pont inci—

denciamatrixát, példánkban:

P1P2P3P4P5P6P7P8PV

P1 1 01 o 2

P2 1 o o o 2

P:, 1 o o o 2

P4 1 1 1 11

P5 1 01 o 3

P6 () o o o o —2 ?

P71 o o g12

P8 01 1 o o o 3

Könnyen látható. hogy a tömörített pont-pont incidenciamatrixban levő nega- tív elemek ebben a teljes pont-pont incidenciamatrixban a matrix főátlójára tükrö—

zötten —1—gyel szorozva fordulnak elő. Az utolsó oszlopban feltüntettük a soreltéré- sek oszlopvektorát és így az oszlopeltérések vektorának —1-gyel szorzott értékét, va—

lamint az ún. variációs lehetőségek vektorát. Jelöljük az így nyert vektort p—vel:

p : (c. ——d)

A p peremfeltételi vektor tehát a digráf csúcsaihoz tartozó kifokszám és befek—

szám különbségét jelöli. A feladat így a következő: az adott digráfban kiválasztan- dó legkevesebb számú él úgy. hogy a meghatározott részgráf csúcsaihoz tartozó ki-v

fokszám és befokszám különbsége rendre az előírt p vektor komponensei legyenekr

Legyen a csúcsokhoz tartozó kifokok vektora k, a befokok vektora b; az előzők szerint p : k — b kell teljesüljön. A teljes pont—pont incidenciamatrix elemeit is je- löljük bij—vel. és közben emlékezzünk rá. hogy a teljes matrixról van szó; hasonló- an terjesszük ki az X megoldósmatrix értelmezését is. Az előírható kifokok vektora a matrix sorösszesenjeiből a befokok vektora a matrix oszlopösszesenjeiből adó—

dik.

Keressük tehát k és b vektorokat és X megoldásmatrixot úgy. hogy

pizkl—bi (;:1. 2. m—j—n) /11i

m-j'n

; büxü: kj , (;:1, 2 m—l—n) /12!

,:

mjn ;

% büxü : b,. (;:1, 2. m—l—n) /13l

,:

és

kíÉO bi eo (i: 1. 2, m—l—n) [w

xíizo vagy 1 (],í:1,2,...,m—l—n) . 115!

KEREKITESI PROBLÉMAK , 527

valamint minimalizólandó az alábbi célfüggvény:

m—i—n min

2 x..

i:1 j.-:1 "

Adott /14/-et kielégítő k és b vektorokra a /12/és a /13/ feltételrendszer megoldó-r sót szolgáltatja, vagy nem megoldhatósógót bizonyítja a Gale—féle kereslet—kinalat"

modell folyamatszemléleten alapuló módosított Ford—Fulkerson megoldó algoritmu—

sa1 ((2)). A feladat struktúrójóból következik, hogy

minm—l—n m-Jpn "H."

.2 .2 Xi]: ,2 bi: .2 kj [ló/)

;:1 ):1 ::1 )::1

tehát a célfüggvény értéke egyenlő a k, illetve b komponenseinek összegével. Ha k, és b vektorokat ezen összegek növekvő sorrendjében állítjuk elő, és megoldjuk a

[12/ és [13/ rendszert, akkor bizonyos lépésszóm után a feladat egyik alternatív op—

timumót kapjuk.

Induló vektorokként tekintsük a következő módon nyerhető kio) bla) vektorokat..

Legyen pl ; O—ra

kio) : P,

* (I:1,2,...,m—l—n) /17;r

bill:— klo)—Pl(: 0)

valamint P,( O-ra

O __

"l ) _ Pl

ka) : b,(0).i.p'(.—_ 0)

Nyilván az így definiált vektorokra lesz

mtn mA—n

2 k,- vagy 2 bí

izt iz1

érték a legkisebb. Ha ezekkel (: vektorokkal nem megoldható a [12], [13/ rendszerr akkor a célfüggvény növelésével. azaz a k, !) vektorok komponenseinek növelésével kell próbálkozni a feltételrendszer kielégítésére. Közben vigyázni kell arra. hogy a—

célfüggvény minden egyes növelésekor a lehetséges öszes k és b vektort előállít—

suk. Ha az l-edik pontban a növekmény értéke j,A akkor az s—edik lépésben az elő-—

óllítósi formulák:

k(/5) : §),—i.,,

(i:0.1,2,...,v,—1, ha p,; 0)

blisl ;j

valamint

bp): —p,A.Lj /18/4

(i:0,1,2,....v,-—1. ha p,(0) kis) :j

1 Az algoritmus kivitelekor szem előtt kell tartani, hogy a modellbeli kapacitásértékek nem mások, mint;

a br'j számok, és b,,— 2 0 vagy bij : 1.

522 NAGY ZOLTÁN

ahol:

min [(E—p,), Elm (P, ; 0)

VI :: _ A A

mm [p,—p,), k,]4—1 (1314 0)

és

A n—Fm

k,. : . 1 bü (i : 1, 2. . . ., n—l—m, az i-edik csúcs kifoka) ,:

A n-l-m

b]. : .21 bij (i : 1. 2. . . .. n—l—m, a i-edik csúcs befoka).

Nyilván

pl : kP—pfl (I : 1. 2, .. .. m—l—n)

A v, értékeket variációs lehetőségeknek is tekinthetjük, hiszen az egyes csú- csokhoz tartozó k,, b, komponensek lehetséges számát jelentik. A mintafeladathoz tar—

tozó v, értékeket az (m—l—n) pontból álló gráf pont-pont incidenciamatrixának be—

mutatásakor feltüntettük. így egy 30 sorból és 20 oszlopból álló táblázatot tekintve.

az összes előállítható k, b vektorok számára durva alsó becslés a 250 szám. Gyakor-

latilag az összes kombinációt előállítani lehetetlen, a leggyorsabb számítógépe- ken is évekig tartana. Éppen ezért csak azon k, h vektorok előállításával próbálkoz—

tunk. amelyekben a növekmény értéke 1. Egy ilyen generálási sorozatot mutat be számpéldánkra a következő matrix:

Pílelrg Pál/D,, PSlPVlPslkOlkí kgfka kz,

P] 1 1l0l1 olo o

P2 1 lo oli o o

Ps 1 [00 0100

",54 11l1l11l111

P:) 1 1looo1o

P,, 1 ooo§01

P7If1 1 11111

Ps 11 olo () ofo

NO 0 o o o 2 00

b11olololo 2 o o

bZOlolo 00 2 o o

b3ol0I0301f2 o ()

b4lolololo ^lll o 3 o o

A matrix mellett oszlopvektorokként az előálló k, sorvektorokként a hozzátar—

tozó b vektorokat tüntettük fel. Az első lehetséges km. bm vektorokhoz tartozó meg-

oldást vastag számmal jelöltük.

KEREKITÉSI PROBLÉMÁK 523

km és ka) esetében van megoldás, km), [((3), k") esetében nincs. Nagyméretű

táblákra azonban sokkal több rossz kombináció adódhat.2

A generálható vektorok száma jelentősen csökkenthető, ha nemcsak a Gale—

féle modell megoldhatóságának szükséges

n-t—m n—j—m

_ ki : ; bj /19/

::1 ;:1

"feltételét elégítjük ki, hanem a gráf pont-pont incidenciamatríxából kiolvasható má—

sik sajátosságot is figyelembe vesszük. A feladat két kisebb Gale-féle kereslet—kí—

nálat típusú modellre bontható. minthogy a matrixban a főátlóra tükrözötten he—

lyezkedik el a két szignifikáns pont-pont incidenciamatrix. a peremfeltételi vekto- zrok pedig az eredeti klsl, hm vektorok részeiből állnak: az első m, illetve m—l—l-edik—

től az (n—l—m)—edik komponensig.

Legyen

m m n—l—m n—tm

a : ; ka), 5 : ; bite), 'y : 2 kp), ö : 2 bjo) /2o/

l:1 ::1 ::mm I::m-H

Ha a növekmények az első m komponens között x számú, a második részben y :számú legfeljebb egységnyi nagyságban járulnak a pi értékekhez, akkor teljesülnie

kell a Gale—féle modell megoldhatóságához (: két kapacitásmotrixra, hogy a—j—x : Ö—l—y;

l3-l—xzy—l—y,

Legyen z : x—l—y, mindezek alapján:

_. Hm,—_a!

'— 2

/21/

_ z -- (ő — a)

y— 2

adódik. Tehát, ha a modellbeli céltüggvény értékét a feladat megoldhatatlansága miatt z-vel növelni kell. akkor a [21/ összefüggések és az előállítási formulák alap—

ján generálhatók a km, bm vektorok. Az előállításnak ez a módja jelentősen csök—

kenti az előállítandó km,!)(s) vektorok számát.3 lly módon példánkban szükségtelen a km), kH) vektor előállítása.

Az algoritmus számítógépes végrehajtásának tapasztalatai

Az algoritmus gépi megoldására PL/1 nyelvű moduláris szerkezetű programot írtunk, és a Központi Statisztikai Hivatal Számítóközpontjának IBM 370/155-ös szá-

mítógépén futtattuk.

A Központi Statisztikai Hivatal 1980. első félévi iparstatisztikai táblái már ezzel a kerekítő programmal készültek. példaként bemutatunk egy táblát a kerekítés előt—

ti és utáni állapotban. Ugyanitt található a kerekített táblák elkészítésének állapot- jelzőit tartalmazó tábla.

? Tapasztalati tény, hogy ha a sorok száma nem túl nagy az oszlopok számához képest. és fordítva. ak- kor a legfeljebb 1 értékű növekménnyel generált vektorok esetén van megoldása a kerekítési problémának.

3 Megjegyzem. hogy a Ford—Fulkerson megoldó algoritmus előtt alkalmaztunk egy technikai jellegű tesz- tet is, amely a gráfok részgráf problémájára vonatkozó Ore—tétel (3) gyengébb változata.

.

524

1.tábla Aszocialistaipar1979.éviértékesítésesajáttermelésből (ezerforint) SzocialistaSzocialistaMezőgaz-Közle-'Vizgaz—TEKFogyasz—Beru-Küike-EgyébE'tékESí' Aiógazatiparnak_építS-dasa'gnakkedéswekdómOdós'VÓHOIJ'tásraházósrareskede-célokratésösz- lparnaknak!oknaklemnekszesen Bányászat.......1981449965314418209539729815361010089631430026121199298993112167633687350 Villamosenergia-ipar...12921070724474223902412971786997551026697214315201421051733310329930367727 Kohószat.......36500689165739146572613400062129391120557622625515797172170481834144476270857 Gép-ésgépiberendezés ipar........11791128281246486380052108319704681150551615789563352915971003 Közlekedésieszközipar.14442275997680352023120487417995245134563102829404668932OIG894 Villamosgépés'készüiék ipar........7185172779596177372134394456219537747458456413456052797627220327932401021 Hiradós-ésvákuumtechni— kaiipar.......381927728881660002287345167422367165529707325558931983487928466634811858 Műszeripar......35726739604510466315205759559212698420913555644909610130102649919669059 Fémtömegcikk-ípar...76021844743341810223260882502531559046266618420285470620133070323488364 Gépipar......48377303574893517388823835391534553256560382421930516677238901573792995411219940435 Épitőanyag—ipar....50873403392068251364628228283659268613857965349709022_283296632751426878044 Vegyipar.......249921301183370210583521085001105834931641115692656876605305023121741761128630163 Nehéziparbányósmnél- kül.....'...1278785321270623890631131140390319237568714207957354176208567921452492088509429482087226 Nehézipar......1476930311336938292452081180120120773668724297560497178269779911482391398631105515774576 Fafeldoigozóipar....23690491605195317622724191281713335419864479208671216064747766518422105 Papíripar.......63036706753544341812142640212186153064202768248973876218611259284 Nyomdaipar......219422199481104395199752137291308408972491585542257749191858997284 Textilipor.......15399134390244173972689029437482314212764661123341995188930784344012565 Bőr-.szőrme-éscipőipar.52444332405898181586733100713304687655373468719775415878220448298 Textiiruhózatiipar...60492319928303291849576760698923815763752553628120614706716784283 Ruházatiipar....21248490434222302482312532192976235369277988512493622343084961369280645146 Kézmű-éshóziipar.12817101030215641823988155021674139597115490526714551314868500985 Könnyűipar.....333971402309454122433573011751414813510645584492605617295829156204214127824804 Egyébipar......4182333447150246710204549630768032804400364758784143424878127213321766 Iparösszesenélelmiszer- iparnélkül.....1852725041612598610716253127358572191856961813611104820342843239217925630215616591656921146 Éielmiszeripar.....2539028580354873144525753405257181686417583354410292510011675359152502059 Iparösszesen2106627891620634019447699127616202195908967531771968996172869680220850730317291950809423205

69025848211455 46000661358678

NAGY ZOLTÁN