1
A példa szintje: alap – közepes – haladó
CAE rendszer: -
Kapcsolódó TÁMOP tananyag: CAD-02 CAD rendszerek geometriai alapjai A feladat rövid leírása: A24/1 – pont elforgatása tengely körül
A24/2 – pont tükrözése síkra
A24/3 – kocka ábrázolása frontális axonometriában
2
A24/1. feladat
1. A feladat megfogalmazása:
Adott a P1=[3,1,0] pont. Forgassuk el a Po=[1,2,0] ponton átmenı, X3 koordináta tengellyel párhuzamos tengely körül 90º-kal!
2. A megoldás lépései:
A feladatot három lépéssel lehet megoldani:
1. Eltoljuk a forgástengelyt X3 koordináta tengelybe.
2. Elvégezzük X3 körül a 90º-os forgatást.
3. Visszatoljuk a forgástengelyt az eredeti helyére.
1. Eltoljuk a forgástengelyt X3 koordináta tengelybe.
Az eltolás vektora
−
−
= 0
2 1
t1 , vagy homogén transzformációs mátrixa:
−
−
=
1 0 0 0
0 1 0 0
2 0 1 0
1 0 0 1 T1
2. Elvégezzük X3 körül a 90º-os forgatást.
Mivel sin 90º=1 és cos90º=0, a forgatás homogén koordinátás mátrixa a következı:
−
=
−
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
3 3
3 3
3
ϕ ϕ
ϕ ϕ
F
3. Visszatoljuk a forgástengelyt az eredeti helyére.
Az eltolás vektora
= 0 2 1
t2 , vagy homogén transzformációs mátrixa:
=
1 0 0 0
0 1 0 0
2 0 1 0
1 0 0 1 T2
A pont transzformált helye: R∗ =T2⋅
(
F3⋅( )
T1⋅R)
=M⋅R3
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
A mátrixszorzás során fontos, hogy jobbról balra haladunk (vagyis az utolsó transzformáció szerepel bal oldalon).
=
⋅
−
=
⋅
∗=
1 0 4 2
1 0 1 3
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
3 0 1 0 R M R
vagyis P1*
=[2,4,0].
4
A24/2. feladat
1. A feladat megfogalmazása:
Adott a P1=[-2,2,4] pont. Tükrözzük meg az X1=2, [X2,X3] síkkal párhuzamos síkra!
2. A megoldás lépései:
A feladatot három lépéssel lehet megoldani:
1. Toljuk el a síkot az [X2,X3] síkba.
2. Végezzük el a tükrözést.
3. Toljuk vissza a síkot az eredeti helyére.
1. Toljuk el a síkot az [X2,X3] síkba.
Az eltolás vektora
−
= 0 0 2 t1
, vagy homogén transzformációs mátrixa:
−
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1 T1
2. Végezzük el a tükrözést.
Az [X2,X3] síkra való tükrözés homogén koordinátás mátrixa:
−
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3 ,
S2
3. Toljuk vissza a síkot az eredeti helyére.
Az eltolás vektora
= 0 0 2
t2 , vagy homogén transzformációs mátrixa:
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1 T2
A pont transzformált helye: R∗ =T2⋅
(
S2,3⋅( )
T1⋅R)
=M⋅R5
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
A mátrixszorzás során fontos, hogy jobbról balra haladunk (vagyis az utolsó transzformáció szerepel bal oldalon).
=
−
⋅
−
=
⋅
∗=
1 4 2 6
1 4 2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
4 0 0 1 R M R
vagyis P1*
=[6,2,4].
6
A24/3. feladat
1. A feladat megfogalmazása:
Adja meg egy 2 egység élhosszúságú, a koordináta síkokkal párhuzamos oldalú kocka sarokpontjainak koordinátáit frontális axonometriában!
2. A megoldás lépései:
1. Definiáljuk a kocka sarokpontjait.
2. A transzformációs mátrixszal generáljuk a síkban ábrázolandó sarokpontokat.
1. Definiáljuk a kocka sarokpontjait.
A 2 egység élhosszúságú kocka sarokpontjai:
P1=[0,0,0] P2=[2,0,0] P3=[2,2,0] P4=[0,2,0]
P5=[0,0,2] P6=[2,0,2] P7=[2,2,2] P8=[0,2,2]
2. A transzformációs mátrixszal generáljuk a síkban ábrázolandó sarokpontokat.
A transzformáció általános formája a következı: ρi = A Pi
⋅
−
−
⋅
⋅
= −
⋅
⋅
3 2 1
3 2
2 1
1
2 2
1 1
2 1
sin sin
0 cos
cos
x x x c
c c
c c
α α
α α
ξ ξ
Frontális axonometria esetén az x2 tengely egybe esik ξ1 tengellyel, az x3 tengely egybe esik ξ2 tengellyel, x1 tengely 45º-os szöget zár be, az x2, x3 tengelyeken nincs rövidülés, míg x1 tengelyen a rövidülés ½.
Tehát: α1 = 45°; α2 =0°; c1 =1/2; c2 = c3 = 1.
7
−
= −
1 4 0
2
0 4 1
A
=
⋅
−
= −
0 0 0 0 0 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ1
−
= −
⋅
−
= −
2 2 2
2
0 0 2 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ2
−
= −
⋅
−
= −
2 2 2 2 2
0 2 2 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ3
=
⋅
−
= −
0 2 0 2 0 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ4
=
⋅
−
= −
2 0 2 0 0 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ5
−
= −
⋅
−
= −
2 2 2
2 2
2 0 2 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ6
−
= −
⋅
−
= −
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ7
=
⋅
−
= −
2 2 2 2 0 1 4 0
2
0 4 1
2 ρ8
